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Faire des mathématiques une discipline de culture par le prisme de leur histoire
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Mis en ligne le 4 juin 2022, par Gérard Kuntz

N.D.L.R : Dans cet article, de nombreux liens conduisent au site https://hist-math.fr sur des images ou des textes accompagnant l’audio, qui devrait démarrer automatiquement.
Or pour l’instant, ce n’est pas le cas pour la plupart des navigateurs.
Pour y remédier, il suffit de se placer au bas de l’image (ou du texte) : le compteur temporel de l’audio apparaît et permet de lancer l’histoire.
Ce problème technique sera résolu très prochainement (dans une nouvelle version du site), permettant l’automaticité du démarrage.

Les mathématiques restent, pour la plupart des bons élèves, un passage obligé pour se positionner idéalement dans la grande compétition qui, de la Maternelle au Lycée les conduit, par le truchement de ParcourSup, vers les filières sélectives, synonymes de réussite sociale, professionnelle et financière. C’était devenu tellement évident qu’il fallut casser l’ancienne filière C où se bousculaient quantité d’élèves pour qui les mathématiques n’étaient qu’utilitaires… Il est loin d’être évident que l’actuelle réforme du Lycée ait résolu la problème !

Nombre d’enseignants de la discipline se désolent de devoir enseigner une matière morte, qui ne fait vibrer personne et dont l’intérêt principal est de constituer les excellents dossiers scolaires que l’on sait. Car ils savent que les mathématiques ont une histoire millénaire qui s’est déployée dans différentes parties du monde et qu’elles connaissent aujourd’hui un développement fabuleux dont la médaille Fiels constitue (tous les quatre ans…) un vague écho médiatique. Ils savent que les mathématiques sont partout dans l’activité humaine, qu’elles ne sont pas tombées toutes faites du Ciel des Idées, mais qu’elles constituent une composante essentielle de la grande aventure humaine. Et qu’elles pèsent de tout leur poids, pour le meilleur et pour le pire, dans le développement intellectuel, économique et social de notre monde.

La récente introduction d’éléments d’histoire des mathématiques dans les programmes d’enseignement, leur a redonné l’espoir de faire de cette discipline une porte d’entrée vers une culture large, ouverte, multiforme, interdisciplinaire, porteuse depuis fort longtemps de problématiques que notre époque paraît découvrir…

MathémaTICE s’est engagée à leurs côtés sans réserves dans cet espoir et dans les actions qui en résultent. Le travail de titan réalisé par Bernard Ycart dans son site https://hist-math.fr/ ainsi que ses articles dans la revue nous ont paru d’excellents outils pour les épauler.

La page d’accueil de hist-math.fr

Dans cet article je m’efforcerai de mettre en évidence les aspects du site et des articles qui me paraissent propres à éveiller l’intérêt des élèves et à les ouvrir à des mathématiques vivantes, en mouvement, décloisonnées, en débat, portées par des personnages et des personnes de toutes origine, genre, condition, âge, fortune…

Je ferai aussi, ensuite, quelques propositions pour rendre possible concrètement cette nouvelle entrée en mathématiques dans un contexte de temps réduit (additionnel ?) consacré dans les programmes à cette discipline.

Quelques problématiques (très) anciennes, en résonance avec le monde actuel

Bernard Ycart a publié dans MathémaTICE une série d’articles sous forme de devinettes qui ne semblent pas avoir connu les faveurs de nos lecteurs. Ce sont pourtant des mines pour les enseignants. Elles leur évitent de longues et fastidieuses recherches. Elles se présentent sous la forme « Histoires de… » Chacune donne un accès direct à vingt personnages (en bas de page) dans un champ donné. En voici plusieurs exemples, qui sont au centre des préoccupations quotidiennes de nos journalistes et donc de l’opinion… dont les élèves font partie.

a) Des mathématiques et des femmes

En bas de page de cet article figure une liste de 20 noms de femmes s’étant distinguées au cours de la longue histoire du développement des mathématiques.

La première, Hypatie, est la doyenne des mathématiciennes, dont on sait (très) peu et qui fut rapidement mythifiée. Mais cette mythification et sa récupération idéologique au travers des siècles sont elle-mêmes éloquentes, jusqu’au film récent qui lui est consacré. Science et religion s’y mêlent, loin, très loin de la rigueur dont les mathématiques sont créditées. Le récit (audio) qu’en fait Bernard Ycart (ou le PDF qui le reprend) étonneront les élèves et feront s’effondrer nombre de leurs a priori et certitudes… Tout en élargissant grandement l’horizon dans lequel s’inscrivent les mathématiques.

A propos d’Émilie du Châtelet, Bernard Ycart écrit : «  Il y a peu de femmes du dix-huitième siècle qui soient aussi connues, et peu qui aient été aussi décriées. Jusqu’à ce qu’on s’intéresse, récemment, à qui elle était vraiment.  » L’histoire qu’il raconte plonge l’auditeur ou le lecteur au cœur de controverses que l’on juge indigne aujourd’hui et qui ont cependant marqué le siècle des Lumières ! Car pour traduire en français les principes mathématiques de la philosophie naturelle, ouvrage majeur de Newton, il fallait des qualités scientifiques exceptionnelles, une compréhension profonde de sa pensée novatrice et une rare puissance de travail. Morte en couches à 43 ans, Émilie du Châtelet incarne le combat puissant des femmes pour la reconnaissance de leur dignité et de leurs mérites, mais aussi le drame de leur condition, avant qu’une la médecine devenue enfin efficace ne les y soustraie (après des controverses invraisemblables), dans certaines parties du monde, en tous cas.

Mettre les élèves, filles ou garçons, face à une personne de cette ampleur, n’est-ce pas leur ouvrir d’utiles horizons ? La Science peine à se dégager des préjugés de son temps. Mais qu’on se rassure, ce n’était le cas qu’au dix-huitième siècle😂 !

Émilie du Châtelet (1706—1749)

Sophie Germain a réussi à gagner par son talent et son travail, le respect des mathématiciens de son temps ; surtout du plus grand d’entre eux, le « prince des mathématiciens » : Gauss. Mais pour pouvoir correspondre avec lui, elle a cru indispensable de se présenter sous une identité masculine. Ses manuscrits ayant été dispersés (par Guillaume Libri) après sa mort, la profondeur et l’ampleur de ses recherches sur le dernier théorème de Fermat n’ont été reconnues que récemment. Pour l’anecdote (mais elle est significative), un bâtiment de l’Université Paris-Diderot porte son nom.

Sophie Germain (1776—1831)

Chacun des noms proposés dans la liste finale de l’article mérite qu’on s’y arrête. Selon leurs connaissances, leurs intérêts et leur sensibilité, les collègues pourront proposer à leurs élèves d’autres choix, plus personnels.

b) Des mathématiques et des jeunes

Lisez la courte présentation de chacun des « jeunes » de la liste. Beaucoup de noms sont connus, voire célèbres. Vous les reconnaîtrez sans peine, mais connaissez-vous le détail de leur activité mathématique ? Un clic suffit à écouter ou à lire leur histoire. Leur (extrême) jeunesse surprend : il peut être passionnant pour des collégiens, des lycéens ou même pour des enfants du Primaire de trouver un point commun avec des mathématicien(ne)s créatifs dès leur jeune âge, et cela dans diverses parties du monde.

Voyez simplement les 3 premiers de la liste Aryabhata, Ibn Sina, Regiomontanus : ils nous font voyager dans l’espace et le temps. Plongez-vous dans leur histoire. Vos élèves n’en tireraient-ils pas parti ?

Avicenne (en persan Ibn Sina) (980—1037)

J’y ajoute Ramanujan, qui, à 26 ans, sans savoir ce qu’est une démonstration, remplit une lettre de résultats mathématiques nouveaux. Ses carnets ont donné du travail aux mathématiciens pendant tout le vingtième siècle !

Srinivasa Ramanujan (1887—1920)

Deux jeunes femmes figurent dans la liste, Koopman et Agnesi. (L’histoire de la première porte la marque de son époque). Elles y sont, avec leur nom, mais sans leur prénom, à l’égal de leurs homologues masculins…

c) Histoire de souverains

Dans l’histoire, ceux qui ont fait les mathématiques étaient insérés (immergés) dans une civilisation et une société. Plus encore qu’aujourd’hui, leur activité et leur condition dépendait d’un pouvoir politique, et le plus souvent du bon vouloir de leurs dirigeants ou souverains.

40 souverains ayant interféré avec des savants et ayant rendu leur activité possible, agréable et souvent lucrative, sont offerts à votre intérêt et à votre sagacité, 20 à la fin de chacun des deux articles :

Ils nous viennent de partout et de toutes les époques. Leurs portraits mettent à mal l’image du savant dans une tour d’ivoire… Ils sont plutôt mêlés à l’histoire personnelle du souverain-protecteur et même à la grande Histoire de l’État en leur temps.

Je vous en propose une petite sélection, hautement subjective…

Voyez l’importance qu’a eue Monsieur Viète auprès du Bon roi Henri (Henri IV) et de nombreux personnages, hommes ou femmes de son époque. Les élèves, confrontés à ce couple souverain-savant, découvriront le rôle social et politique que le premier fait jouer au second, y compris dans la guerre, contre sa protection et souvent la richesse. Ils seront emportés dans une saga où politique, religion, géographie et histoire, sciences et mathématiques se mêlent inextricablement pour écrire une histoire qui ne se serait pas faite sans le savant dans la pénombre.

Henri IV (1553—1610)

Un immense saut dans le temps et l’espace nous amène à un couple improbable, où le souverain a été d’abord à l’école du savant. Je vous parle d’Alexandre le Grand qui fut élève d’Aristote, dont Bernard Ycart détaille la pédagogie singulière et puissante.

Il y a près de 4000 ans, sous le règne d’Hammurabi, une École qui nous est parvenue par les tablettes d’argile, diffusait la sagesse et les sciences de l’époque, dont les élèves d’aujourd’hui découvriront avec étonnement et admiration des contenus et des démarches intellectuelles qu’ils ne soupçonnaient pas. Ils pourront ainsi éprouver un véritable bouleversement culturel.

Plus près de nous (après 1600), voici Rodolphe II, empereur du Saint-Empire Romain Germanique installé à Prague, indissolublement lié à la vie et au destin de l’immense mathématicien et astronome Kepler. Qu’aurait été la carrière de Kepler sans le soutien décisif de l’empereur ? Au passage on découvre un mélange des genres qui feraient frémir d’horreur nos contemporains : il était possible, voire indispensable de rédiger des horoscopes pour pouvoir faire progresser de façon décisive les connaissances astronomiques ! Autre temps, autres mœurs, autre conception des connaissances…

Rodolphe II (1552—1612)

Marie-Thérèse d’Autriche s’est bornée a accepter la confrontation avec le premier automate joueur d’échecs mis au point par Wolgang von Kempelen. D’autres souverains de l’époque s’y sont affrontés et se sont fait battre. Ce faisant, ils ont accrédité et diffusé l’idée révolutionnaire d’une « machine intelligente ». L’histoire développe cette idée et en retrace le cheminement à travers l’Europe jusqu’à nos jours. Et bien sûr le nom de Turing y apparaît, ainsi que de nombreux autres, moins célèbres, mais non sans intérêt dans la genèse des machines qui nous émerveillent (et nous enivrent) aujourd’hui.

Automate joueur d’échecs de von Kempelen (1770)

Terminons cette rapide revue des souverains par le couple Napoléon 1er - Gaspard Monge l’homme de la géométrie descriptive et de l’École Polytechnique (entre autres), qui suivit l’Empereur en tant que savant durant ses campagnes d’Italie et d’Égypte et qui lui voua un attachement indéfectible. Quantité de noms illustres sont passés en revue, en particulier des architectes, ainsi que la foule des bâtisseurs anonymes.

Gaspard Monge (1746—1818)

d) Et encore : des mathématiques de toutes origines et de toute nature, dans le temps et l’espace

J’arrête ici la revue de détail, pour m’attacher à de vastes zones géographiques (et historiques), ou encore à des techniques qui ont beaucoup contribué au développement des mathématiques. Mais le principe reste le même : 20 noms figurent au bas de chaque « histoire de ». Il vous reste à les parcourir et à sélectionner ceux qui vous font particulièrement vibrer… et que vous proposerez à vos élèves.

e) Les anniversaires d’événements en lien avec les mathématiques

Douze brèves de MathémaTICE sont consacrées aux anniversaires de faits marquants dans l’histoire des mathématiques, une par mois.

Le principe est le même que précédemment : un fait historique est rappelé brièvement, puis un lien conduit à l’histoire du fait sur le site.

Voyez par exemple, dans les anniversaires de juin :

ou encore la brève spéciale
Gauss et le comput pascal

Ces brèves sont une autre porte d’entrée dans le site https://hist-math.fr, elles réduisent drastiquement le temps de recherche des enseignants en conduisant d’emblée aux histoires et aux personnages concernés.

f) Quelques suggestions d’utilisation des ressources du site pour les enseignants.

J’entends d’ici les objections, fort légitimes au demeurant. Comment mettre en œuvre, dans une situation de temps d’enseignement terriblement contraint, les masses de connaissances que le site offre à notre curiosité d’enseignants ? Il est utopique d’ajouter une nouvelle discipline, l’histoire des mathématiques, alors que nous peinons à enseigner un peu de mathématiques, en courant après un temps chichement mesuré.

Une de mes suggestions consiste à surfer sur la toute nouvelle importance donnée à l’oral, consacré de façon décisive par une épreuve importante au baccalauréat ! C’est un signal qui va donner valeur et importance à la parole des élèves, du Lycée jusqu’à l’École Primaire. Un nouvel équilibre peut en résulter dans lequel l’écrit aura perdu (un peu) de sa toute-puissance.

Dans ce contexte, les histoires de Bernard Ycart offrent une belle matière pour des exposés courts (5 à 10 minutes dans un premier temps) pourvu que l’enseignant réduise le périmètre de l’exposé à l’intéressant et au raisonnable. Pour cela, la préparation pourrait se faire à partir des PDF qui reprennent l’audio à l’identique : cela fait gagner beaucoup de temps par rapport à l’écoute préalable en forme de défrichement et d’entrée agréable dans la séquence. Extraire la substantifique moelle d’une histoire peut changer le regard, la perspective et l’intérêt des élèves pour les mathématiques. Surtout si ces démarches sont répétées. Au Collège et plus encore au Lycée, ces exposés peuvent prendre des formes plus élaborées et utiliser en particulier les périodes un peu creuses de fin de trimestre, où le travail pourrait ainsi se poursuivre en changeant complètement de forme et de contenu (mais ce n’est qu’apparence…).

On peut espérer que cette activité mobilisera des élèves souvent très discrets en classe, mais intéressés par cette nouvelle approche, moins désincarnée de la discipline. Rien n’empêcherait de récompenser le travail et la prise de risques de ces élèves par des notes qui souligneraient l’importance accordée par l’enseignant (et les programmes) à cette nouvelle forme de travail.

Une fois de temps à autre, surtout en Lycée, une heure complète pourrait être consacrée à un exposé suivi de discussions sur un sujet ou une situation plus vaste et plus complexe, en interdisciplinarité peut-être, antichambre d’un oral au baccalauréat (sans que cela devienne une obsession).

D’autres approches ont été réalisées par des collègues et sont déjà en partie introduites dans leurs classes. Elles sont accessibles dans les articles suivants :

La salle de classe de Sarah Maati, embellie par les pavages de Truchet réalisés par les élèves

g) Complément : quelques articles destinés à nourrir la réflexion des enseignants à propos de l’histoire

Ces articles sont essentiels pour saisir l’impact du temps et de l’histoire sur l’enseignement des mathématiques aujourd’hui. Pour chacun, une courte présentation du projet par l’auteur vous éclairera sur ses intentions.

  • L’échelle historique de difficulté
    L’histoire des mathématiques a-t-elle quelque chose à nous apprendre sur l’ordre qu’il convient de suivre dans l’apprentissage d’une notion ? Suivre chacune des routes qui ont été empruntées, parfois pendant des siècles, pour être ensuite abandonnées, est hors de question : pourquoi perdre son temps sur des techniques rendues caduques par d’autres plus puissantes ?
    Pour autant, je crois sincèrement que connaître l’histoire des notions enseignées est indispensable, si l’on veut appréhender correctement la difficulté de ce qu’on enseigne. Les cerveaux n’ont pas eu le temps d’évoluer depuis le début des mathématiques ; ceux d’il y a cinq mille ans avaient à peu près les mêmes capacités que les nôtres. Si une technique est apparue depuis l’aube de la discipline dans toutes les civilisations, elle sera probablement beaucoup plus facile et naturelle pour nos élèves, qu’une notion née en Europe au dix-septième, qui a mis deux bons siècles à s’imposer.
    L’histoire des mathématiques fournit donc à mon sens une échelle de difficulté dont on doit tenir compte dans une progression didactique. C’est l’idée que développe cet article, dont les références et les exemples sont tirés du site Histoires de Mathématiques.
  • Fonctions : une perspective historique
    Les fonctions telles que nous les enseignons ne datent guère que du dix-neuvième siècle. Il n’est donc pas surprenant qu’elles soient difficiles à assimiler pour nos élèves, si on accepte de se référer à l’échelle historique de difficulté. Cet article propose une vision historique de la notion. Il évoque sa lente évolution depuis Oresme jusqu’à Weierstrass, mais aussi ses antécédents dans l’Antiquité : tables numériques, courbes, algorithmes. Un exemple concret d’utilisation de texte ancien en classe, préparatoire à l’introduction des fonctions, est proposé.
  • Une figure pleine de ressources (en liaison avec « Histoires de Grecs »)
    Un triangle, une hauteur, quoi de plus simple ? Il est possible que ce soit le sujet des tout premiers raisonnements mathématiques de l’histoire. On en trouve la trace à des époques très reculées en Mésopotamie, comme en Inde et en Chine. Les plus anciens concernent le triangle rectangle isocèle, coupé en deux moitiés symétriques par sa hauteur. Étendue à un triangle rectangle quelconque, la figure a accompagné l’émergence de la notion de similitude, ainsi que les premiers calculs de rapports de longueurs et d’aires. Les hauteurs d’un triangle isocèle ont constitué la base des calculs trigonométriques, chez les Grecs comme chez les Indiens. Ces figures et les raisonnements qu’elles sous-tendent, sont sources d’activités pédagogiques, qui pourront faciliter l’acquisition de nombreuses notions géométriques.
  • L’héritage astronomique des mathématiques
    Raconter l’histoire de l’utilisation des mathématiques en astronomie c’est pratiquement raconter l’histoire de l’astronomie elle-même. Réciproquement, une grande partie des mathématiques est issue de l’interaction entre les deux disciplines. Les domaines mathématiques dans lesquels l’inspiration astronomique s’est révélée particulièrement fertile, sont décrits ici. Plus de détails sont donnés dans le chapitre Astronomie du site Histoires de Mathématiques. Pour l’utilisation de l’astronomie dans l’enseignement, voir l’excellente série d’articles de David Crespil.
  • Astrologie, astronomie et mathématiques : l’histoire partagée
    L’observation du ciel est une science plus ancienne et plus universelle que les mathématiques. Contrairement à une vision épistémologique récente, héritée à la fois des Lumières et du positivisme, l’astrologie n’en est pas le dévoiement tardif et populaire. Elle a été au contraire la principale motivation de l’astronomie, et en conséquence des mathématiques, pendant des siècles. Un historique de l’interaction entre les trois domaines est proposé. Plus de détails sur cette histoire commune sont donnés dans le chapitre Astronomie du site Histoires de Mathématiques

Il reste à espérer que la nouvelle opportunité offerte aux enseignants de mathématiques d’introduire de l’histoire (donc de la vie, du mouvement et une pointe de rêve) dans leur discipline, soit saisie malgré les nombreux et puissants obstacles. Par le biais de l’oral et de l’interdisciplinarité, vantés dans les programmes, ou par d’autres approches et méthodes que vous pourriez suggérer, il sera peut-être possible de modifier le regard et la perception des élèves, comme fut changé celui de Sarah Maati sur les mathématiques qui l’avaient tant fait souffrir et qu’elle enseigne maintenant avec plaisir et bonheur.

Si c’est le cas, ne serait-ce que pour quelques collègues et pour leurs élèves, cet article n’aura pas manqué son but. C’est tout le bien que je lui souhaite.

G. Kuntz


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