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Lycée professionnel : introduire des notions mathématiques à partir de l’enseignement des sciences-physiques
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Le groupe Lycée Professionnel de l’Irem de Marseille est composé d’un didacticien et d’une dizaine d’enseignants. Travaillant en lycée professionnel, nous enseignons les mathématiques à nos élèves de CAP et de Bac Pro. Cette année, nous avons beaucoup travaillé pour la diffusion de nos travaux. La mise à jour de notre site internet en est la partie la plus visible.

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Vous pourrez trouver sur ce site des vidéos pour les enseignants (des tutoriels ou des compléments disciplinaires) ainsi que des modules clés en main d’Enseignement Général Lié à la Spécialité.

En outre, et c’est l’objet de cet article, vous pourrez y trouver toute une batterie de travaux pratiques assistés par ordinateurs permettant d’aborder des notions mathématiques grâce à l’enseignement des sciences.

Expérimentation Assistée par Ordinateur (ExAO)

Pour toutes les classes de CAP et pour les classes de baccalauréat professionnel de type industriel, nous enseignons aussi les sciences-physiques et chimiques. Nous sommes donc bivalents. Cette bivalence nous permet d’aborder les notions mathématiques de façon parfois originale. Ainsi, un des axes de travail du groupe ces dernières années, a été d’utiliser les sciences pour aborder et traiter des notions mathématiques. Dans cette optique, nous avons développé une dizaine de séances de sciences. Ces travaux pratiques d’acoustique, de mécanique, de thermodynamique et d’électricité ont été pour nous autant de thèmes nous permettant d’aborder les statistiques, les suites arithmétiques, la géométrie, les fonctions linéaires, affines, carrées et exponentielles, les nombres et les fonctions dérivées, le sens de variation ou encore les fonctions définies par une aire.

Un exemple de TP

Fluctuation d’échantillonnage et Caractéristique d’un résistor

L’exemple développé dans cette partie est un TP d’élève d’une durée de deux heures. Le travail se fait en relative autonomie durant le cours de sciences-physiques. Il nécessite le matériel d’électricité classique ainsi que du matériel d’acquisition de données assisté par ordinateur. Les outils d’Expérimentation Assistée par Ordinateur (ExAO) sont essentiels pour notre démarche.

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TP proposé aux élèves
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Montage potentiométrique
pour un conducteur ohmique

Grâce à un montage d’électricité (le montage dit « potentiométrique »), nous faisons relever à nos élèves la caractéristique d’un composant. C’est-à-dire le relevé de la tension aux bornes de ce composant en fonction de l’intensité qui le traverse. Cependant, la précision de la mesure dépend de nombreux paramètres. L’activité proposée aux élèves de baccalauréat professionnel est centrée autour de cette précision de la mesure . C’est alors l’occasion d’expérimenter une notion mathématique qui a fait son apparition dans les programmes de 2009, la fluctuation d’échantillonnage. L’élève sera ici confronté à la variabilité de la valeur moyenne d’un échantillon et à la diminution de cette variation lorsque la taille de l’échantillon augmente.

Conducteur ohmique et loi d’Ohm

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Exemple de relevé et son modèle : U (en V) en fonction de I (en mA)

Dans ce TP, l’élève devra déterminer la résistance d’un conducteur ohmique . Un conducteur ohmique [1] a la particularité d’avoir la tension à ses bornes ($U$) proportionnelle à l’intensité qui le traverse ($I$). Le coefficient de proportionnalité entre $U$ et $I$ d’un conducteur ohmique lui est propre : c’est ce qu’on appelle sa résistance ($R$). Une formule exprime cette relation : $U=RI$. Ainsi, en mesurant en même temps la tension à ses bornes et l’intensité qui la traverse, nous obtenons un rapport $\frac UI$ théoriquement constant. Dans la réalité, une seule mesure ne permet pas de déterminer précisément la résistance car cette valeur varie. La précision des appareils de mesure est par exemple une des raisons de ces variations de mesures [2]. En réalisant le montage potentiométrique, l’élève fait varier l’intensité qui traverse le conducteur ohmique de 0 à 0,200 ampère. Alors la tension qui s’applique à ses bornes variera en fonction de cette intensité de manière linéaire puisque que l’une et l’autre sont proportionnelles.

L’apport de l’ExAO

Les appareils de mesure (voltmètre et ampèremètre) sont branchés à une console d’acquisition. De manière classique, il peut être demandé à l’élève de relever une dizaine de couple $(U ; I)$ afin de déterminer une valeur approchée de la résistance. Mais comme cette expérimentation est assistée par ordinateur (ExAO), les mesures relevées dans le circuit peuvent être, en plus de s’afficher à l’écran, enregistrées dans un ordinateur et utilisables à l’aide d’un logiciel de type tableur.

C’est grâce à cette particularité que l’objectif de ce TP peut être mathématique. En effet, il va être extrêmement aisé pour l’élève d’obtenir non pas un relevé, mais une dizaine de relevés. Chacun de ces derniers peut être considéré comme un échantillon de taille $n$. Dans une première partie de l’activité, l’élève devra obtenir trois échantillons de taille 10. C’est-à-dire que l’élève devra effectuer le montage correct, y placer les appareils de mesures, configurer le matériel d’acquisition afin d’enregistrer une dizaine de couples $(U ; I)$ et lancer trois enregistrements de ces mesures.

10 {PNG}Réaliser le montage 11 {PNG}Configurer le matériel d’ExAO grâce au logiciel 12 {PNG}Lancer l’enregistrement lorsque le circuit est alimenté

Puis, dans une deuxième partie, l’élève devra obtenir trois échantillons de taille 100. C’est-à-dire que chaque enregistrement aura désormais une centaine de couples $(U ; I)$. Le matériel d’ExAO qui équipe nos laboratoires permet donc, en un temps très limité, d’obtenir plus d’un millier de mesures sans aucun problème.

Le travail de l’élève

Que doit faire l’élève ? Comme nous venons de le voir, l’élève doit obtenir trois échantillons de taille 10 afin de calculer une première approximation de la valeur de la résistance et trois échantillons de taille 100 afin d’en calculer une deuxième. Pour chaque échantillon, il faut obtenir une valeur approchée de la résistance du conducteur ohmique. Pour cela, l’élève doit calculer pour chaque couple $(U ; I)$ le rapport $U/I$. Puis pour chaque échantillon, il faut calculer la moyenne de ces quotients. Ainsi chaque échantillon nous donne une première approximation de la valeur de la résistance. Puisque les enregistrements se font dans une feuille de calcul, il va être facile et rapide pour l’élève d’effectuer ces centaines de calculs moyennant l’utilisation de quelques techniques opératoires propres au tableur : écrire des formules faisant intervenir d’autres cellules, tirer une ou deux cellules (ou utiliser le copier/coller ) et utiliser la fonction moyenne du logiciel. Avec les trois échantillons de taille 10, l’élève obtient une valeur approchée de la résistance $(R_{10})$ : il lui suffit de calculer la moyenne de ces trois moyennes. De même, l’élève doit obtenir une deuxième approximation de la résistance $(R_{100})$ en calculant la moyenne des trois moyennes obtenues pour les échantillons de taille 100.

13 {PNG}Premier échantillon de taille 10 14 {PNG}Calculs des rapports U/I 15 {PNG}Fonction Moyenne du logiciel

Que doit observer l’élève ? Il est maintenant temps pour lui d’interpréter les résultats obtenus. C’est pourquoi nous lui demandons d’identifier, entre $R_{10}$ et $R_{100}$, la valeur la plus proche de la valeur réelle de la résistance inconnue. En outre, il faut que l’élève justifie son choix. Nous attendons des élèves qu’ils observent, à un premier niveau, que les quotients relevés varient. Loin des attentes théoriques où $U/I$ est constant et égal à la résistance, les relevés affichés au millième ne donnent jamais les mêmes valeurs. Pour certains élèves, ces nombres sont même très différents alors qu’en réalité, l’écart relevé n’excède pas quelques pourcents de la valeur moyenne. Le deuxième niveau d’observation découle de la remarque précédente. Puisque chaque quotient est différent, les trois moyennes calculées (une pour chaque échantillon) ne peuvent pas être identiques. Ces moyennes fluctuent. Enfin, le dernier niveau est atteint lorsque l’élève observe que les trois moyennes fluctuent plus lorsque le nombre de relevé est faible (échantillons de taille 10) que lorsque le nombre de relevé est élevé (échantillon de taille 100). Ainsi c’est en prenant conscience que la taille de l’intervalle de fluctuation a été réduite qu’il pourra justifier de la plus grande précision obtenue par un grand nombre de relevés.

Après tout ce travail, nous demandons à l’élève d’établir un compte rendu de l’activité. Guidé au travers d’une dizaine de questions mathématiques, tout le travail de synthèse s’articule autour de la façon d’accroître la précision du résultat final.

Pour finir, nous vous signalons que nous utilisons aussi ce montage pour travailler d’autres notions mathématiques telles que la fonction linéaire ou les statistiques à deux variables.

D’autres exemples de TP

Dans la suite de l’article, nous décrivons rapidement quelques uns de nos TP liant explicitement les mathématiques et l’expérimentation assistée par ordinateur.

Suite arithmétique et Chute d’une bille

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Lors de la chute libre d’une bille (très peu de frottements), l’accélération subie est constante. Ainsi, la vitesse instantanée de la bille est proportionnelle au temps écoulé et donc si on s’intéresse à la suite des vitesses instantanées aux temps 1s, 2s, 3s, etc. on se rend compte que cette suite est arithmétique.

Pour l’élève, l’objectif de ce TP est de déterminer un modèle mathématique permettant de prévoir la distance parcourue à chaque seconde par une bille en chute libre. Pour cela, nous utilisons le matériel de chronophotographie disponible dans nos laboratoires de sciences : matériel d’ExAO et webcam.

À partir d’une vidéo enregistrée d’une seconde, l’élève sera amené à

  • afficher la distance parcourue par la bille en fonction du temps écoulé depuis le lâcher ;
  • trouver un modèle de courbe (la parabole) correspondant le mieux possible à ce nuage de points ;
  • déterminer la distance parcourue par seconde aux instants 1s, 2s, 3s, 4, 5, 6s, et 7s.
  • montrer que cette suite de nombres forme une suite arithmétique et effectuer un travail mathématique sur les suites.
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Enregistrements sur quelques dixièmes de secondes
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Modèle mathématique appliqué sur 6 secondes

Ressources disponible sur le site du groupe

Géométrie et cinématique

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En cinématique, le passage de la vitesse angulaire à la vitesse linéaire est un travail très mathématique. Ainsi, à travers une situation de recherche motivante, l’élève est amené dans cette activité à travailler sur ce point mis en avant par les programmes de 2009 de baccalauréat professionnel.

Grâce à l’ExAO, un enregistrement vidéo d’un véhicule en mouvement permettra à l’élève d’établir expérimentalement le lien entre la vitesse de rotation d’une roue et la vitesse linéaire du véhicule. L’influence d’un paramètre, ici le rayon de la roue, est l’élément clé de la situation proposée.

Ressources disponible sur le site du groupe

Les fonctions usuelles en lycée professionnel

En bac pro, les élèves doivent étudier les fonctions dites usuelles . Fonctions linéaire, affine, carré, racine, cube, exponentielle et logarithmique. Pour cela, nous avons développé quelques TP prenant appui sur les situations scientifiques.

Fonction linéaire

Comme nous l’avons vu plus haut, une situation d’électricité nous permet d’utiliser la fonction linéaire comme modèle mathématique. La tension $(U)$ aux bornes d’un conducteur ohmique est proportionnelle à l’intensité $(I)$ qui le traverse. L’équation théorique est : $U=RI$.

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Ressources disponible sur le site du groupe

Fonction affine

Cette fois-ci, c’est un travail sur la pression qui nous permet une rencontre avec la fonction affine. Dans un liquide, la pression $(p)$ exercée sur un corps dépend de la profondeur $(h)$ de ce corps suivant une équation du type : $p = ah+b$. La constante $a$ dépend du liquide et la constante $b$ est égale à la pression exercée à la surface.

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Dispositif expérimental
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Enregistrements effectués

Ressources disponible sur le site du groupe

Fonction carrée

La fonction carrée sera étudiée grâce à une situation de cinématique. En effet, la distance parcourue $(y)$ par un objet lancé dépend du carré du temps écoulé $(t)$. L’équation théorique est $y=\frac{1}{2}gt^2$.

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Ressources disponible sur le site du groupe

Fonction exponentielle

C’est encore une situation d’électricité qui sera utilisée. Un condensateur est un composant électrique qui permet d’accumuler de l’électricité. Ainsi, la tension électrique au bornes du condensateur peut être nulle ou augmenter jusqu’à une valeur limite maximale (le condensateur se charge) ou diminuer jusqu’à être nulle (décharge du condensateur). La charge d’un condensateur, ainsi que sa décharge électrique, n’est jamais immédiate. Lorsqu’il se décharge, le condensateur a une tension à ses bornes qui décroit en fonction du temps de manière exponentielle.

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Tension (U) en fonction du temps (t)

Ressources disponible sur le site du groupe

La dérivation

Nombre dérivé, sens de variation et cinématique

Comme nous l’avons vu plus haut, la distance parcourue $(y)$ par un objet lancé dépend du carré du temps écoulé $(t)$. L’équation théorique est $y=\frac{1}{2}gt^2$. Ainsi, dans la troisième partie de ce TP, après l’acquisition des données à partir d’un enregistrement vidéo ainsi que sa modélisation graphique, l’élève devra utiliser les fonctions du logiciel pour construire des tangentes à la courbe obtenue. À partir de ces constructions, le travail portera sur les équations des tangentes, leurs coefficients directeurs, puis la notion de nombre dérivé.

Ressources disponible sur le site du groupe

Un deuxième TP différera de celui-ci dans le travail final. L’accent sera mis sur le signe du nombre dérivé et son lien possible avec la variation de la courbe. Le TP se terminera sur une généralisation de cette propriété.

Ressources disponible sur le site du groupe

Fonction dérivée

Un autre TP aborde aussi la notion de nombre dérivé. C’est toujours à partir de la cinématique que l’élève va travailler. L’enregistrement vidéo montre une voiture en train d’accélérer.

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L’accélération est un très bon support pour travailler la dérivation si on se souvient que l’accélération est par définition égale à la variation de vitesse. Ainsi, si l’accélération a et la vitesse $v$ sont définies en fonction du temps $t$ par des fonctions analytiques, nous avons $a(t)=\frac{dv(t)}{dt}=v’(t)$. De même, puisque la vitesse $v$ est égale à la variation de position $x$ par unité de temps, nous avons l’égalité $v(t)=\frac{dx(t)}{dt}=x’(t)$. Dans notre vidéo, le véhicule a une accélération constante. L’élève relève la position $x$ en fonction du temps t et constate que le nuage de point suit une courbe parabolique. En travaillant sur les tangentes à cette courbe, puis sur les coefficients directeurs de ces tangentes, l’élève construit point par point la représentation graphique de la fonction dérivée. Par les fonctions de modélisation du logiciel, l’élève retrouve facilement l’équation de cette courbe. Cette dernière est affine et l’élève conclut le TP en généralisant à la fonction dérivée la fonction de type $f(x)=ax^2$.

Ressources disponible sur le site du groupe

Pour conclure

À travers ces exemples, nous avons voulu vous montrer une partie du travail effectué par le groupe Lycée Professionnel de l’Irem de Marseille. Ce travail a été diffusé auprès d’une quinzaine de collègues par le biais du plan académique de formation durant l’année scolaire 2009/2010.

L’enseignant bivalent, lorsqu’il dispense les deux matières, fait nécessairement le lien entre les mathématiques et les sciences. C’est d’ailleurs depuis des années une recommandation explicite dans nos programmes. Par contre, l’originalité de notre démarche a été d’utiliser le matériel de sciences pour enseigner les mathématiques. Le laboratoire de sciences physiques et chimiques, équipé de consoles d’acquisition permettant un grand nombre de relevés, que ce soit sur des temps très courts ou au contraire très longs, est devenu un lieu privilégié ou les mathématiques ont pu donner du sens aux sciences.


notes

[1Un conducteur ohmique est souvent appelé par abus de langage « résistance ».

[2Soit un conducteur ohmique de 100 ohm soumis à une tension de 10 V. Si l’ampèremètre mesure l’intensité avec une incertitude de +/- 0,001 A, alors le calcul de la résistance entraîne une incertitude de +/- 1 ohm. En effet, un calcul d’incertitude montre que $dR=\frac-R^2UdI$ avec $dI=0,002 A$, $R=100 \Omega$ et $U=10V$ on obtient bien $dR=2\Omega$

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