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La lumière messagère des étoiles : la distance Terre Soleil
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Mis en ligne le 9 novembre 2018, par David Crespil

Je tiens à remercier Aymeric Picaud pour son beau travail de mise en ligne qui je l’espère donnera envie au lecteur de satisfaire sa curiosité.

Auteur : David Crespil
Mise sous SPIP : Aymeric Picaud

Voir aussi : Mesures dans le système solaire

Mesures dans le système solaire : partie 2
dossier interdisciplinaire Mathématiques/Physique/Astronomie


Niveau : classes préparatoires, université et terminale scientifique

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Arcturus
L’étoile Arcturus de la constellation du Bouvier est au centre de notre étude.
Notions mathématiques Système de 2 équations à deux inconnues
La loi de composition des vitesses dans le cas de deux repères en translation
Dérivée du produit scalaire de deux vecteurs
Dérivée d’un vecteur de norme constante
Géométrie dans l’espace : le théorème des trois perpendiculaires
Angles orientés et relation de Chasles des angles orientés
Mesure principale d’un angle orienté
Mesure algébrique d’un vecteur
Notions d’astronomie Les différents systèmes de coordonnées célestes
Le temps et ses différentes appellations, l’équation du temps
Notions de physique et d’astrophysique La formule Doppler-Fizeau dans le cas non relativiste

Article

SOMMAIRE

Introduction

Cet article que l’on pourrait croire rédigé pour des physiciens n’en est pas moins le fruit d’une réflexion sur un sujet interdisciplinaire au carrefour des mathématiques, de la physique et de l’astronomie.

Les situations proposées donneront l’occasion de mettre en application les outils mathématiques dans des situations qui s’alimentent à l’une des plus belles découvertes de la physique : la spectrographie.

L’astronomie nous permettra au moyen des systèmes de coordonnées célestes et des éphémérides fournies par Miriade [1] ou VizieR [2] de connaître la meilleure époque pour obtenir le spectre d’absorption de l’étoile Arcturus.

L’effet Doppler- Fizeau va servir à déterminer la vitesse radiale d’une étoile (Arcturus) et corrélativement la distance Terre Soleil et la vitesse orbitale de la Terre.

Nous aborderons l’effet Doppler-Fizeau non relativiste en montrant le lien mathématique entre le décalage des raies sur le spectre d’absorption d’Arcturus et la notion de vitesse radiale par rapport à l’observateur.

Une première approche simplifiée sera proposée, puisque nous supposerons l’observateur placé au centre de la Terre sans tenir compte du mouvement de rotation de la Terre par rapport au référentiel géocentrique. Le résultat n’en sera pas moins intéressant pour autant.

Dans un deuxième temps, nous tiendrons compte de la rotation de la Terre par rapport au référentiel géocentrique.

Il faudra alors pour aborder ce nouveau calcul se familiariser avec les notions qui touchent au temps et à l’équation du temps, notions exposées dans le paragraphe de l’article « les fuseaux horaires » intitulé « Le temps et ses différentes appellations ».

Nous avons cru bon de familiariser le lecteur avec le catalogue d’étoile VizieR pour obtenir les coordonnées équatoriales et écliptiques des étoiles et le générateur d’éphémérides Miriade.

Le présent dossier fait suite à l’article « Mesures dans le système solaire » et vient ainsi compléter la panoplie des méthodes permettant de calculer la distance Terre-Soleil.

Note :

4/(0) signifie : paragraphe 4 ; formule (0)
4/b/(0) signifie : paragraphe 4 ; sous paragraphe b ; formule (0)
4/b/0 sans les parenthèses signifie : paragraphe 4 ; sous paragraphe b ; sous sous paragraphe 0

NDLR : nous vous invitons à suivre les liens internes au besoin au cours de votre lecture. Les liens externes peuvent être ouverts dans un nouvel onglet en utilisant le « clic-droit, ouvrir dans un nouvel onglet ».

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0) Les coordonnées écliptiques et équatoriales

La lecture de ce paragraphe permettra de comprendre de quelle manière on va déterminer dans les paragraphes suivants les périodes de l’année les plus favorables à l’obtention des raies du spectre d’absorption de l’étoile Arcturus afin de les exploiter par la relation Doppler-Fizeau.

a) Les coordonnées écliptiques

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Coordonnées écliptiques

L’élément de référence est :

  • le plan de l’écliptique

Le plan écliptique intersecte la sphère céleste selon un cercle : l’écliptique. L’équateur céleste et l’écliptique se coupent en deux points dont l’un est le point franchi par le Soleil le 20 ou 21 mars. Ce point correspond au nœud ascendant du Soleil. On l’appelle point vernal, on le note $\gamma$.

Comme toutes les étoiles, le point $\gamma$ a un mouvement apparent de rotation autour de l’axe des pôles.

O désigne le centre de la Terre.

(QQ’) est la droite passant par O perpendiculaire au plan de l’écliptique. Elle rencontre la sphère céleste en Q et Q’ appelés pôles de l’écliptique. Le pôle nord écliptique est celui d’où l’on verrait le Soleil progresser dans le sens direct (sens inverse de la marche des aiguilles d’une montre) le long de l’écliptique.

(PP’) est la droite passant par O et perpendiculaire au plan de l’équateur céleste.
Elle rencontre la sphère céleste en P et P’. P est le pôle nord céleste, prolongement du pôle nord géographique.

Dans ce système de coordonnées, la direction d’un astre est définie par :

  • sa longitude écliptique de $0°$ à $360°$.
  • sa latitude écliptique $b$ variant de $-90°$ à $90°$ (positive dans
    l’hémisphère contenant le pôle nord écliptique.

L’obliquité $\varepsilon$ de l’écliptique vaut 23 ° 27 ‘ : c’est l’angle entre l’équateur céleste (prolongement sur la sphère céleste de l’équateur terrestre) et le plan de l’écliptique.

Voir mon article : « Mesure de l’obliquité de l’écliptique par Pythéas »

Tout se passe pour l’observateur terrestre comme si la sphère céleste représentée ci-dessus tournait autour de lui, la durée de cette rotation étant de 23 h 56 minutes 4 secondes.
Les étoiles comme le point vernal sont entraînés dans ce mouvement apparent de la sphère céleste.

b) Les coordonnées équatoriales

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Ascension droite et déclinaison

La direction d’un astre est caractérisée par :

  • son ascension droite $\mathbf{\alpha}$
  • sa déclinaison $\mathbf{\delta}$.

La déclinaison se mesure en degrés entre $- 90°$ et $90°$ positive au dessus de l’équateur, négative en dessous.
L’ascension se mesure en heures minutes et secondes.
1 heure d’ascension droite vaut $15°$.
Le demi grand cercle contenant la direction de l’étoile semble faire un tour en 23 h 56 min 4 s.
L’ascension droite se mesure dans le sens direct.
L’ascension droite et la déclinaison sont invariables en première approximation.

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Les deux repères
Crédit : Astrophysique sur mesure/Patrick ROCHER

On pourra utiliser l’application interactive GEOGEBRA du CRAL :

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Vue de l’animation GeoGebra du CRAL
https://cral.univ-lyon1.fr/labo/fc/astrogebra/reperage/systemes.html

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1) Vitesse radiale et tangentielle d’une étoile

Le référentiel de Kepler utilisé est centré sur le Soleil [3] et ses axes pointent vers trois étoiles lointaines.

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Référentiel de Kepler utilisé

Le référentiel centré sur la Terre (géocentrique) est un référentiel en translation par rapport au référentiel de Kepler au cours de la révolution de la Terre autour du Soleil.

Nous supposerons dans un premier temps que l’observateur est au centre de la Terre.

La ligne de visée dont il sera question tout au long de ce dossier est la ligne observateur étoile.

À l’instant $t$, l’étoile E à une vitesse $\overrightarrow{V_{S}}$ par rapport au Soleil que l’on projette sur la ligne de visée Terre étoile. Cette projection s’appelle la vitesse radiale de l’étoile notée $\overrightarrow{V}_{r}$.
$\overrightarrow{V}_{t}$ est la vitesse tangentielle orthogonale à la ligne de visée.
Son expression peut être connue grâce à ce que l’on appelle le mouvement propre $\mu$ de l’étoile et sa distance au moment de l’observation.
$V_{t}=4,74\mu d$ km/s avec $d$ distance en parsecs et $\mu$ en secondes par an.

On a alors $V_{S}^{2} = V_{t}^{2} + V_{r}^{2}$.

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2) Spectre d’absorption des étoiles

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Principes d’analyse spectroscopique
http://www.educonline.net/spip/spip.php?article419

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3) Formule relative à l’effet Doppler-Fizeau

Rappels mathématiques

Les vecteurs sont définis dans une base $\mathcal{R}_{0}$.

Dérivée d’un produit scalaire de vecteurs

$$ \dfrac{\mathrm{d}\left( \overrightarrow{V_{1}(u)} \cdot \overrightarrow{V_{2}(u)}\right)}{\mathrm{d}u}=\dfrac{\mathrm{d} \overrightarrow{V_{1}(u)}}{\mathrm{d}u} \cdot \overrightarrow{V_{2}(u)} + \overrightarrow{V_{1}(u)} \cdot \dfrac{\mathrm{d} \overrightarrow{V_{2}(u)}}{\mathrm{d}u} $$

Dérivée d’un vecteur de norme euclidienne constante

$\left\Vert \overrightarrow{V(u)} \right\Vert ^{2}= Cte = \overrightarrow{V(u)}\cdot \overrightarrow{V(u)}$

$$ 0 = \dfrac { \mathrm{d} \left( \overrightarrow{V(u)} \cdot \overrightarrow{V(u)} \right) } { \mathrm{d}u } = \dfrac { \mathrm{d} \overrightarrow{V(u)} } { \mathrm{d}u } \cdot \overrightarrow{V(u)} + \overrightarrow{V(u)} \cdot \dfrac{ \mathrm{d}\overrightarrow{V(u)} } { \mathrm{d}u } = 2 \dfrac { \mathrm{d} \overrightarrow{V(u)} } { \mathrm{d}u } \cdot \overrightarrow{V(u)} $$

Ainsi $\dfrac{\mathrm{d} \overrightarrow{V(u)}}{\mathrm{d}u}\cdot \overrightarrow{V(u)}=0$

et les vecteurs $\dfrac{\mathrm{d} \overrightarrow{V(u)}}{\mathrm{d}u}$ et $\overrightarrow{V(u)}$ sont orthogonaux.

Ce résultat s’applique en particulier à un vecteur unitaire.

Établissons à présent la formule de Doppler-Fizeau dans le cas non relativiste.

Considérons à présent un émetteur S (étoile), animé d’une vitesse $\overrightarrow{V_{\text{S}}}$ par rapport à un système d’axes liés à un observateur O. Cet émetteur envoie des signaux se propageant à la vitesse $c$ (vitesse de la lumière dans le vide).

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schéma explicatif

Nous supposerons que cette vitesse ${V_{\text{S}}}$ est très petite devant la vitesse de la lumière, ce qui permet de rester dans le cadre galiléen.
En vue de la démonstration qui se veut élémentaire, c’est-à-dire ignorant la théorie de la relativité appliquée aux ondes électromagnétiques, nous supposerons l’étoile munie d’un détecteur de crêtes de l’onde électromagnétique.

Nous supposerons que la source émet deux signaux émis aux instants $t_{1}$ et $t_{2}=t_{1}+T_{0}$ avec $t_{2} \approx t_{1}$, $ t_{1}$ et $t_{2}$ correspondant aux passages des crêtes dans le détecteur.

Posons $d_{1} = \text{RS}(t_{1})$, $d_{2}= \text{RS}(t_{2})$ et $f(t) = \text{RS}(t)$.

$d_{2}-d_{1}\approx \left(t_{2}- t_{1}\right)f’( t_{1})$

Soit $\vec{u}$ un vecteur unitaire de la ligne de visée choisi arbitrairement du récepteur vers la source.

$\overrightarrow{V_\text{S}}=\dfrac{d \overrightarrow{\text{RS}(t)}}{dt}=-\dfrac{d \overrightarrow{\text{S}(t)\text{R}}}{dt}$

D’après les rappels on peut alors écrire :

$\overrightarrow{V_\text{S}}\cdot\vec{u}=-\dfrac{d \overrightarrow{\text{S}(t)\text{R}}}{dt}\cdot\vec{u}=-\dfrac{d \overrightarrow{\text{S}(t)\text{R}}\cdot\vec{u}}{dt}$

Or $ \overrightarrow{\text{S}(t)\text{R}}\cdot\vec{u}=-\text{S}(t)\text{R}$ à cause du choix fait pour $\vec{u}$.

$\overrightarrow{V_\text{S}}\cdot\vec{u}=\dfrac{d \text{S}(t)\text{R}}{dt}$

D’où $d_{2}-d_{1}\approx \left(t_{2}- t_{1}\right)f’( t_{1})\approx \left(t_{2}- t_{1}\right)\overrightarrow{V_\text{S}(t_{1})}\cdot\vec{u}$

et donc :

$$ d_{2}\approx d_{1}+\left(t_{2}- t_{1}\right)\overrightarrow{V_\text{S}(t_{1})}\cdot\vec{u}\quad \textbf{(1)} $$

Par définition $\overline{V_\text{S}/\text{r}(t_{1})}=\overrightarrow{V_\text{S}(t_{1})}\cdot\vec{u}$ est la mesure algébrique de la vitesse radiale de la source S (étoile) à l’instant $t_{1}$.

$\mathbf{t_2-t_1}$ est la période de l’onde électromagnétique émise par la source.

Entre ces deux instants $t_{1}$ et $t_{2}$ , on considère que l’étoile se déplace selon une droite à la vitesse $\overrightarrow{V_\text{S}(t_{1})}\cdot\vec{u}$.

Le premier signal parvient à l’observateur O à l’instant $t’_{1}$ égal à l’instant d’émission $t_{1}$ augmenté de la durée mise par le signal pour atteindre l’observateur, c’est-à-dire pour parcourir $\text{RS}_{1} = d_{1}$ en se propageant, dans le repère de l’observateur, à la vitesse $c$ soit :

$t’_{1}=t_{1}+\dfrac{d_{1}}{c}$

Le second signal parvient à l’observateur O à l’instant $t’_{2}$ égal à $t_{2}$ augmenté de la durée mise par le signal pour atteindre l’observateur, c’est-à-dire pour parcourir la distance $\text{OE}_{2} = d_{2} = d_{1} + V\text{r} (t_2 - t_1 )$ à la vitesse $c$, d’après (1) de ce paragraphe.

$t’_{2}=t_{2}+\dfrac{d_{1}+ V\text{r} (t_2 - t_1 )}{c}$

$t’_{2}-t’_{1}=t_{2}-t_{1}+\dfrac{V\text{r} (t_2 - t_1 )}{c}$

$t’_{2}-t’_{1}=\left(t_{2}-t_{1}\right)\left(1+\dfrac{V\text{r}}{c}\right)$

On peut en déduire que l’observateur perçoit cette onde avec une période T’ différente de T :

$\mathbf{T’} = \mathbf{T}\left(1+\dfrac{V\text{r}}{c}\right)$

L’observateur reçoit une onde électromagnétique de longueur d’onde $\lambda’$ tel que :

$\lambda’=\lambda\left(1+\dfrac{V\text{r}}{c}\right)$ on pose $\Delta\lambda=\lambda’-\lambda$

On a alors :

$$ \dfrac {\Delta\lambda} {\lambda} = \dfrac {V\text{r}} {c} \text{ avec } V\text{r}=\overrightarrow{V_\text{S}}\cdot\vec{u} $$

avec $\overrightarrow{V_\text{S}}=$ vitesse de la source par rapport à l’observateur.

C’est la formule non relativiste associée à l’effet Doppler-Fizeau.

En se souvenant que $\vec{u}$ est un vecteur unitaire dirigé de l’observateur vers la source (étoile) :

Si $V\text{r}>0$ l’ étoile s’éloigne de nous car $\overrightarrow{V_\text{S}}$ de même sens que $\vec{u}$ (décalage vers le rouge).

Si $V\text{r}<0$ l’ étoile se rapproche de nous car $\overrightarrow{V_\text{S}}$ et $\vec{u}$ de sens contraires (décalage vers le bleu).

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Décalage de spectre

Histoire de l’effet Doppler-Fizeau ( Observatoire de Haute Provence)

http://www.obs-hp.fr/welcome.shtml

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Christian DOPPLER (1803-1853)

En 1842, l’autrichien Christian Doppler (1803-1853) montre que la fréquence d’une oscillation (son, lumière) change quand la source ou l’observateur sont en mouvement. Il essaye ensuite, sans succès, d’appliquer son principe pour expliquer les différentes couleurs des étoiles et, en particulier, la différence de couleur de certaines étoiles doubles. Ceci en effet aurait supposé que les étoiles auraient eu des vitesses proches de celle de la lumière !

En 1845 le hollandais C.H.Buys-Ballot (1817-1890) démontre la validité du principe de Doppler pour les ondes sonores en constatant le changement de ton entendu quand des musiciens jouant des instruments à vent, embarqués sur un train sur la ligne Utrecht-Amsterdam, s’approchent et puis s’éloignent de la gare.

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Hippolyte FIZEAU (1819-1896)

En 1848, le français Hippolyte Fizeau (1819-1896) développe le même principe de manière indépendante, mais montre que dans le cas de la lumière la couleur ne change pas. Ce sont les positions de raies spectrales qui changent. Un autre autrichien, Ernst Mach (1836-1916), ignorant le travail de Fizeau, arriva en 1860 aux mêmes conclusions.

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William HUGGINS (1824-1910)

L’italien Angelo Secchi (1818-1878) et l’anglais William Huggins (1829-1910) tentent les premiers de mesurer visuellement le décalage en longueur d’onde dans le spectre d’une étoile prédit par le principe de Doppler. Huggins annonce en 1871 avoir pu enfin mesurer la vitesse de Sirius, l’étoile très brillante dans la constellation du Grand Chien.

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4) La lumière messagère des étoiles ou comment déterminer la vitesse orbitale de la Terre et la distance Terre Soleil ?

a) Le théorème des trois perpendiculaires

Si H projection orthogonale de M et K projection orthogonale de H sur (d), alors K projeté orthogonal de M sur (d).

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Illustration du théorème des trois perpendiculaires

Démonstration :

La droite (MH) est orthogonale à (d) car elle est orthogonale au plan (p) qui contient la droite (d). (HK) est orthogonale à (d) par définition du point K. Le plan (MHK) est donc orthogonal à (d) car il contient deux droites sécantes orthogonales à (d). Par suite, (d) est orthogonale à toute droite de (MHK) et en particulier à (MK) ce qui prouve que K est le projeté orthogonal de M sur (d).

b) Détermination de l’expression de la vitesse radiale orbitale de la Terre sur la ligne de visée Terre étoile

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Angles en jeu

Appelons $\mathbf{L_T}$ la longitude écliptique héliocentrique de la Terre et $\mathbf{L_E}$ la longitude écliptique de l’étoile E. Le point vernal $\gamma$
est un point de l’écliptique qui n’est pas représenté. Le point e est le projeté orthogonal de E sur le plan de l’écliptique.

On a $L_{T}=\left(\overrightarrow{\text{S}\gamma},\overrightarrow{\text{ST}}\right)$, $L_{E}=\left(\overrightarrow{\text{S}\gamma},\overrightarrow{\text{Se}}\right)$, $\left(\overrightarrow{\text{Se}},\overrightarrow{\text{ST}}\right)=\left(\overrightarrow{\text{S}\gamma},\overrightarrow{\text{ST}}\right)-\left(\overrightarrow{\text{S}\gamma},\overrightarrow{\text{Se}}\right)$

Appelons $\theta$ la mesure principale de $\left(\overrightarrow{\text{Se}},\overrightarrow{\text{ST}}\right)$ représenté en jaune sur l’illustration précédente. Comme il sera expliqué plus loin, les mesures spectrographiques seront faites lorsque l’étoile, le Soleil et la Terre sont en quadrature, c’est à dire lorsque cet angle orienté a pour mesure principale $90°$ ou $-90°$. Nous expliquerons en détail les raisons pour lesquelles il en est ainsi.

L’angle orienté $\left(\overrightarrow{\text{Se}},\overrightarrow{\text{SE}}\right)$ en bleu est la latitude écliptique $\gamma$ de l’étoile.

La droite(ST) est perpendiculaire au vecteur vitesse $\overrightarrow{V_{\text{T}}}$ de la Terre.
Pour obtenir la projection orthogonale du vecteur vitesse de la Terre sur la ligne de visée Terre/étoile, nous allons faire deux projections orthogonales de ce vecteur vitesse, ce qui permettra d’obtenir le projeté orthogonal du vecteur vitesse de la Terre sur la ligne de visée Terre/étoile d’après le théorème des trois perpendiculaires.

Se référer au schéma ci-dessus.

1) Première projection orthogonale sur (Se)

Le module du vecteur vitesse de la Terre projeté est $V_{\text{T}}\left|\sin \theta\right|$ avec $\theta$ différence des longitudes écliptiques héliocentriques de l’étoile et de la Terre.

En effet, le vecteur vitesse de la Terre est perpendiculaire au rayon vecteur si l’on suppose la trajectoire de la Terre circulaire.

2) Deuxième projection orthogonale sur (SE)

Le vecteur obtenu lors de la première projection orthogonale sur (Se) est à son tour projeté sur la ligne de visée (SE) Soleil/étoile.
Mais les droites (SE) et (TE) peuvent être considérées comme parallèles compte tenu de ce que la distance Terre Soleil est insignifiante par rapport à la distance qui nous sépare des étoiles.
Donc, projeter orthogonalement sur (SE) ou sur (TE) revient au même et le module du vecteur vitesse radiale noté $\overrightarrow{V_{\text{T}}/R}$ de la Terre est alors égale à :

$$ \left\| \overrightarrow{V_{\text{T}}/R} \right\| = V_{\text{T}} \left| \sin \theta \right| \cos \gamma \quad \textbf{(0)}$$

$\theta$ correspond à la mesure principale de la différence des longitudes écliptiques héliocentriques de l’étoile et de la Terre (angle en jaune sur le schéma Angles en jeu).
$\gamma$ est la latitude écliptique de l’étoile (angle en bleu sur le schéma Angles en jeu).

D’après le théorème des trois perpendiculaires, on a obtenu le projeté orthogonal du vecteur vitesse de la Terre sur la ligne de visée étoile/Terre.

Nous avons choisi comme vecteur unitaire sur la ligne de visée un vecteur dirigé de l’observateur vers l’étoile.

La mesure algébrique de la projection du vecteur $\overrightarrow{V_{\text{T}}/R} $ sur la ligne de visée Terre/étoile notée $\overline{V_{\text{T}}/R}$ est donc :

$V_{\text{T}} \left| \sin \theta \right| \cos \gamma$ ou $-V_{\text{T}} \left| \sin \theta \right| \cos \gamma$

Nous allons chercher l’époque où le vecteur vitesse orbitale radiale de la Terre est de même sens que le vecteur unitaire $\vec{u}$ dirigé de la Terre vers l’étoile E.

$\left(\overrightarrow{\text{Se}},\overrightarrow{V_{\text{T}}}\right)=\theta+\dfrac{\pi}{2}$ (relation de Chasles sur les angles orientés)

Si $\mathbf{\theta\in[-\pi ;0]}$ alors mesure principale de $\theta+\dfrac{\pi}{2}\in\left[-\dfrac{\pi}{2} ;\dfrac{\pi}{2}\right]$.

Le vecteur vitesse radiale de la Terre est dans le même sens que $\vec{u}$ et sa mesure algébrique vaut $\overline{V_{\text{T}}/R}=V_{\text{T}}\left|\cos\left(\theta+\dfrac{\pi}{2}\right)\right|\cos\gamma = V_{\text{T}}\left|-\sin\theta\right|\cos\gamma=-V_{\text{T}}\sin\theta\cos\gamma$

$\overline{V_{\text{T}}/R}$ est positif dans cet intervalle.

Si $\mathbf{\theta\in]0 ;\pi]}$ alors mesure principale de $\theta+\dfrac{\pi}{2}\in\left]\dfrac{\pi}{2} ;\pi\right]$.

Le vecteur vitesse radiale de la Terre est dans le sens contraire de $\vec{u}$ et sa mesure algébrique vaut aussi $\overline{V_{\text{T}}/R}=V_{\text{T}}\left|\cos\left(\theta+\dfrac{\pi}{2}\right)\right|\cos\left(\gamma + \pi\right)= V_{\text{T}}\left|-\sin\theta\right|\cos\left(\gamma + \pi\right)=\left(V_{\text{T}}\sin\theta\right)\left(-\cos\gamma\right)=-V_{\text{T}}\sin\theta\cos\gamma$

$\overline{V_{\text{T}}/R}$ est négatif dans cet intervalle.

Dans tous les cas :

$$ \overline{V_{\text{T}}/R}=-V_{\text{T}}\sin\theta\cos\gamma \quad \textbf{(1)} $$

c) Détermination de l’expression de la vitesse radiale de l’étoile par rapport à l’observateur

La loi de composition des vitesses nous permet d’écrire :


Vitesse de l’étoile par rapport à la Terre

=

Vitesse de l’étoile par rapport au Soleil + Vitesse du Soleil par rapport à la Terre

=

Vitesse de l’étoile par rapport au Soleil - Vitesse de la Terre par rapport au Soleil

Attention : S désigne ici le Soleil et non plus la source S étoile.

$\overrightarrow{V_{\text{S}}/r}$ projection du vecteur vitesse $\overrightarrow{V_{\text{S}}}$ de l’étoile par rapport au Soleil sur la ligne de visée.

Nous poserons : $\mathbf{V_r}=\overline{V_{\text{S}}/r}=\overrightarrow{V_{\text{S}}}\cdot\vec{u}$.

$\overrightarrow{V_{\text{T}}/r}$ projection du vecteur vitesse de la Terre $\overrightarrow{V_{\text{T}}}$ sur la ligne de visée.

$\overrightarrow{V_{\text{E}}/r}$ projection du vecteur vitesse de l’étoile $\overrightarrow{V_{\text{E}}}$ par rapport à la Terre sur la ligne de visée et que nous avons appelé vitesse radiale de l’étoile par rapport à l’observateur.

On a donc :

$\overrightarrow{V_{\text{E}}}=\overrightarrow{V_{\text{S}}}-\overrightarrow{V_{\text{T}}}$

D’après 4/b/(1) on a donc :

$$ \boxed{ \overline{V_{\text{E}}/r}=V_r+V_{\text{T}}\sin\theta\cos\gamma } \quad \textbf{4/c/(2)} $$

Remarquons au passage que d’après le théorème des trois perpendiculaires, les directions Soleil/étoile et Soleil/Terre sont perpendiculaires.

d) Recherche des valeurs de $\theta$ pour lesquelles le module du vecteur vitesse radiale de l’étoile est le plus grand possible.

D’après 4/b/(0) on a : $V_{\text{T}}/R=V_{\text{T}}\left|\sin\theta\right|\cos\gamma$

Le module du vecteur vitesse radiale de l’étoile par rapport à la ligne de visée est maximum pour $\left|\sin\theta\right|=1$ c’est à dire si l’écart $\Delta\lambda$ à $\lambda_0$ est le plus grand possible. Ceci, en vertu de la formule vue au paragraphe 3 : $\dfrac{\Delta\lambda}{\lambda}=\dfrac{V_{\text{r}}}{c}$ avec $V_{\text{r}}= \overrightarrow{V_S}\cdot\vec{u}$.

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Graphe de $y=\left|\sin x\right|\text{ sur }\left]-\pi ;\pi\right[$

Les valeurs telles que $\left|\sin \theta\right|=1$ dans $]-\pi ;\pi]$ sont :

$\theta)=\dfrac{\pi}{2}$ et $\theta)=-\dfrac{\pi}{2}$ (1)

Ce qui a pour conséquence que les deux mesures seront faites à six mois d’intervalle.

L’effet du décalage sera alors maximum si l’étoile est dans le plan de l’écliptique car alors $\gamma=0$ et $\cos \gamma = 1$.

Nous avons choisi comme vecteur unitaire $\vec{u}$ sur la ligne de visée un vecteur dirigé de l’observateur vers l’étoile.

e) Détermination de la distance Terre Soleil

Appliquons Doppler Fizeau aux instants $t_1$ et $t_2$ pour la longueur d’onde de référence $\lambda_0$ . Si l’on appelle $V_{\text{E}}/r_1$ et $V_{\text{E}}/r_2$ les vitesses radiales de l’étoile par rapport à l’observateur aux instants $t_1$ et $t_2$ on a en notant :

$\lambda_1$ et $\lambda_2$ les longueurs d’ondes mesurées aux instants $t_1$ et $t_2$

$\lambda_0=446,165\text{ nm}$ $\lambda_1=446,123\text{ nm}\quad (t_1)$ $\lambda_2=446,199\text{ nm}\quad (t_2)$

$\gamma=$latitude écliptique de l’étoile$=30,75°$.

D’après l’annexe 1, la latitude écliptique est fournie par VizieR ainsi que la longitude écliptique héliocentrique soit $204,43°$.

Longitude écliptique héliocentrique de la Terre à $t_1$ : $114,23°$
Longitude écliptique héliocentrique de la Terre à $t_2$ : $294,23°$

$\theta_1$ différence des longitudes écliptiques héliocentriques de la Terre et de l’étoile à l’instant $t_1$. $\theta_1 = 114,23°-204,23°=-90°$.

$\theta_2$ différence des longitudes écliptiques héliocentriques de la Terre et de l’étoile à l’instant $t_2$. $\theta_2 = 294,23°-204,23°=+90°$.

La formule de Doppler-Fizeau vue au paragraphe 3 nous permet d’écrire :

$$ \dfrac{\Delta\lambda}{\lambda}=\dfrac{V_{\text{r}}}{c}\quad\text{avec }V_{\text{r}}=\overrightarrow{V_{\text{S}}}\cdot\vec{u} $$

Important : Nous admettrons que le vecteur vitesse radiale de l’étoile par rapport au Soleil, c’est-à-dire la projection orthogonale du vecteur $\overrightarrow{V_{\text{S}}}$ sur la ligne de visée peut être considérée constant sur six mois, autrement dit :

En notant cette projection $\overrightarrow{V_{\text{S}}/\text{r}}$

$\overrightarrow{V_{\text{S}}/\text{r}}=\overrightarrow{V_{\text{S}}/\text{r}_1}=\overrightarrow{V_{\text{S}}/\text{r}_2}$ en deux époques séparées de six mois.

Nous avons par commodité posé $V_{\text{r}}=\overline{V_{\text{S}}/\text{r}}=\overrightarrow{V_{\text{S}}}\cdot\vec{u}$.

D’après 4/c/(2) , on a :

$$ \dfrac{\lambda_1-\lambda_0}{\lambda_0} = \dfrac{\overline{V_{\text{E}}/\text{r}_1}}{c}= \dfrac{V_{\text{r}}+V_{\text{T}}\sin \left(\dfrac{-\pi}{2}\right)\cos \gamma}{c} \quad\textbf{(2)} $$

$$ \dfrac{\lambda_2-\lambda_0}{\lambda_0} = \dfrac{\overline{V_{\text{E}}/\text{r}_2}}{c}= \dfrac{V_{\text{r}}+V_{\text{T}}\sin \left(\dfrac{+\pi}{2}\right)\cos \gamma}{c} \quad\textbf{(3)} $$

$$ \dfrac{\lambda_1-\lambda_0}{\lambda_0} = \dfrac{\overline{V_{\text{E}}/\text{r}_1}}{c}= \dfrac{V_{\text{r}}-V_{\text{T}}\cos \gamma}{c} \quad\textbf{(2bis)} $$

$$ \dfrac{\lambda_2-\lambda_0}{\lambda_0} = \dfrac{\overline{V_{\text{E}}/\text{r}_2}}{c}= \dfrac{V_{\text{r}}+V_{\text{T}}\cos \gamma}{c} \quad\textbf{(3bis)} $$

Comme $\gamma \neq 90°$ on a :

$$ \text{(2 bis)+(3bis)}\quad\Rightarrow V_{\text{r}} = \dfrac{c}{2\lambda_0}\left[\lambda_1 - \lambda_0 + \lambda_2-\lambda_0 \right]\quad\textbf{(4)} $$

$$ \text{(2 bis)-(3bis)}\quad\Rightarrow V_{\text{t}} = \dfrac{-c}{2\lambda_0\cos\gamma}\left[\lambda_1 - \lambda_2 \right]\quad\textbf{(5)} $$

La latitude écliptique $\gamma$ de l’étoile Arcturus par rapport au plan de l’orbite de la Terre est 30,75°.

$\lambda_0=446,165 \text{nm}$ $\lambda_1=446,123 \text{nm}$ $\lambda_2=446,199 \text{nm}$

Remplaçons ces valeurs dans (4) et (5), on obtient  :

Vitesse radiale de l’étoile par rapport au Soleil $V_{\text{r}} = -2,69 \text{km/s}$

Vitesse de la Terre sur son orbite $V_{T} = -29,73 \text{km/s}$

Calculons à présent la distance Terre Soleil :

Année sidérale : 365,25 jours

La vitesse trouvée est en km/s, $V_{T} = -29,73\text{ km/s}$

Nous progressons autour du Soleil à environ 100 000 km/h !

Trajet en km parcouru en un an : $365,25 \times 24 \times 3600 \times 29,73=\text{circonférence de l’orbite}=2\pi R$.

$R=\dfrac{36,525 \times 24 \times 3600 \times 29,73}{2\pi}$

$$ \boxed{R=\text{distance Terre Soleil}=1,493\times 10^{8} \text{km} } $$

Soit environ 150 millions de km.

f) Les corrections à apporter

Seule la n°2 sera développée au paragraphe 5.

  1. l’orbite terrestre qui est légèrement elliptique de sorte que la vitesse orbitale de la Terre est approximativement 3,4 % plus grande au périhélie [4] qu’à l’aphélie [5].
    PNG - 19.7 ko
    périhélie et aphélie
    https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Aph%C3%A9lie_P%C3%A9rih%C3%A9lie_Terre_Soleil.png
    • Vitesse orbitale moyenne : 29,783 km
    • Vitesse orbitale maximale : 30,287 km
    • Vitesse orbitale minimale : 29,291 km
  2. le mouvement de rotation de la Terre sur elle-même.
    $v=0,460\times \cos \varphi$, $\varphi$ latitude du lieu
  3. le mouvement orbital du Soleil autour du barycentre du système solaire
  4. le mouvement autour du barycentre du système Terre Lune
  5. la vitesse de l’étoile par rapport au Soleil doit être très inférieure à $c$ sinon il faut appliquer la loi relativiste de composition des vitesses.
  6. le champ de gravitation de l’étoile est la source d’un petit décalage

g) Détermination des jours d’expérience

Par les longitudes écliptiques héliocentriques

La longitude écliptique héliocentrique d’Arcturus est 204,23°
À l’instant $t_1$, la longitude écliptique héliocentrique de la Terre est 114,23° et
294,23° à l’instant $t_2$.
$\gamma$ désigne le point vernal dont il a été question au paragraphe 0/a consacré aux coordonnées écliptiques géocentriques. On peut aussi travailler avec le système des coordonnées écliptiques héliocentriques dans lequel :

$$\text{longitude géocentrique } l_{\text{T/S}} \equiv 180°+ \text{longitude héliocentrique } l_{\text{S/T}} \text{(modulo 360°)}$$

voir le schéma suivant :

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Longitudes héliocentrique et géocentrique

La longitude écliptique héliocentrique d’Arcturus : 204,23°= 204° 13’ 48’’
Il nous reste à déterminer le jour et l’heure correspondants à une longitude écliptique héliocentrique de la Terre un jour donné à une heure donnée, ce qui est possible grâce aux éphémérides de l’IMCCE :

http://vo.imcce.fr/webservices/miriade/?forms

Ce qui donne par exemple pour l’année 1998 :

On voit ainsi que pour une amplitude maximum des raies, il faut faire les mesures le 14 janvier 1998 à 13 h 55 min UTC environ soit 15 h heure de Paris environ .

On voit ainsi que pour une amplitude maximum des raies, il faut faire les mesures le 17 juillet 1998 à 2 h environ UTC, c’est-à-dire à 4 h heure de Paris.

Nous aurions pu aussi conduire un raisonnement qui aurait conduit au même résultat avec les coordonnées équatoriales. Afin d’alléger l’exposé, il ne sera pas fait ici.

h) Éloignement ou rapprochement de la Terre et de l’étoile

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Décalage de spectre
CRAL université Lyon

D’après 4/b/(1), on a :

$\overline{V_{\text{E}}/\text{r}} = \overline{V_{\text{S}}/\text{r}} - V_{\text{T}}\sin\theta\cos\gamma$

Nous prendrons comme valeur :

$V_{\text{T}} = 29,73 \text{km/s}$ valeur trouvée en 4/e

$V_{\text{r}} = -2,69 \text{km/s}$ valeur trouvée en 4/e

$\gamma =30,75°$ la latitude écliptique est fournie par VizieR : voir Annexe 1)

Représentons la fonction $f$ définie par $f(\theta)=-2,69-29,73\sin(\dfrac{\pi \theta}{180})\times\cos(30,75°)$ sur l’intervalle $]-180 ;180]$.

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graphique de la fonction

De sorte que si $\theta\in [-180° ; -173.957°] \cup [-6,043° ;180°]$, la vitesse radiale est négative, ce qui signifie que l’étoile se rapproche de la Terre.
Si $\theta\in[-173,957° ; -6,043°]$ , la vitesse radiale est positive, ce qui signifie que l’étoile s’éloigne de la Terre.
Or $\theta$ varie dans un intervalle d’amplitude 360° qui correspond aux 365,25 jours de l’année c’est-à-dire que 1° de longitude écliptique pour la Terre correspond pratiquement à 1 jour de l’année.

Considérons $I = [-180° ; -173.957°] \cup [-6,043° ;180°]$ :

Si l’on fait la somme des deux amplitudes de chaque intervalle de l’union , on trouve 180°.

Ce qui signifie que l’étoile s’éloigne de la Terre une moitié de l’année et s’en rapproche l’autre moitié.

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5) La prise en compte de la rotation de la Terre dans le référentiel géocentrique

a) Expression du vecteur vitesse radiale de l’observateur

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Situation de l’observateur sur la sphère terrestre

Le repère géocentrique n’est pas représenté sur le schéma.
E l’étoile ; C centre de la Terre ; en noir le méridien de l’observateur O.
Le cercle (C2) en bleu est le cercle décrit par l’observateur O au cours de la rotation de la Terre sur elle-même. (C1) le cercle équateur.
E’ le point substellaire de l’étoile, c’est-à-dire le point d’intersection de la Terre avec la droite(CE). v le point substellaire du point vernal décrit dans le paragraphe 0 sur les coordonnées écliptiques.
e le point d’intersection du méridien de E’ avec le cercle équateur (C1).
Le repère orthonormé direct $(\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ représenté est constitué d’un vecteur unitaire$\vec{k}$ porté par l’axe des pôles. Ce repère est attaché à la Terre et donc fixe dans le référentiel géocentrique.
Le vecteur unitaire $\vec{i}$ est de même sens que $\overrightarrow{\text{Oe}}$.
Le vecteur $\overrightarrow{\text{U}}$ en vert d’origine o’ est le vecteur vitesse de l’observateur par rapport au repère géocentrique.
Il se déduit du vecteur vitesse $\overrightarrow{\text{U}}$ d’origine O par la translation de vecteur $\overrightarrow{\text{Oo’}}$.
Les vecteurs $\overrightarrow{\text{U}}$ et $\overrightarrow{\text{Co’}}$ sont orthogonaux.

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Situation de l’observateur sur la sphère terrestre
en masquant la Terre

Notations :

  • $\Omega$ est la vitesse de rotation de la Terre dans le référentiel géocentrique (360° en 23 h 56 min 4 s).
  • R est le rayon de la Terre (6 400 km)
  • $\varphi$ la latitude de l’observateur
  • $l$ la longitude comptée positivement vers l’ouest

La vitesse $\overrightarrow{\text{U}}$ de l’observateur dans le référentiel géocentrique a pour module :

$$\text{U}=\Omega\text{R}\cos\varphi$$

Je dois remercier Béatrice Sandré de m’avoir fourni l’expression de la vitesse radiale de l’observateur en rotation et de m’en avoir proposé la démonstration qui suit :

Démonstration de Béatrice Sandré

On pose $\omega=(\vec{i},\overrightarrow{\text{Co’}})$ alors $\overrightarrow{\text{U}}=\Omega\text{R}\cos\varphi\left(-\sin\omega\vec{i}+\cos\omega\vec{j}\right)$.

Soit, à la date et à l’heure de l’observation, l’angle horaire du Soleil $\text{H}_{\text{S}}$ et son ascension droite $\alpha_{\text{S}}$ (voir paragraphe 0 sur les coordonnées célestes).

$$\text{H}_{\text{S}}=\text{heure solaire}-12\text{ h}\quad\textbf{(0)}$$

avec $\text{heure solaire}=\text{heure légale}-\left\{\begin{array}{c}\text{2 h l’été}\\ \text{1 h l’hiver}\end{array}\right. - \text{équation du temps} - \text{longitude}$.

Le vecteur unitaire $\vec{p}$ de même sens que le vecteur $\overrightarrow{\text{CE}}$ est :

$$\vec{p}=\cos\delta \vec{i}+\sin\delta \vec{k}$$

La projection orthogonale de la vitesse $\overrightarrow{\text{U}}$ sur (CE) munie du vecteur unitaire $\vec{p}$ a pour mesure algébrique :

$$ \vec{u}\cdot\vec{p} = \Omega\text{R}\cos\varphi\left(-\sin\omega \vec{i}+\cos\omega \vec{j}\right) \cdot \left(\cos\delta \vec{i}+\sin\delta \vec{k}\right) $$

$$ \boxed{ \text{U}_{\text{r}}=\vec{u}\cdot\vec{p}=-\Omega\text{R}\cos\varphi\sin\omega\cos\delta } \quad\textbf{(1)} $$

Il reste à déterminer $\omega$.
D’après la figure précédente (bien faire attention aux angles orientés et aux conventions pour les mesurer) :

$$ \omega =-(\text{H}_{\text{S}}+\alpha_{\text{S}}-\alpha_{\text{E}})\quad\textbf{(2)} $$

Fin de la démonstration de Béatrice Sandré.

b) Nouveau calcul de la vitesse radiale de l’étoile

Il y a trois référentiels en translation les uns par rapport aux autres en jeu :

  • R1 = référentiel lié au Soleil que l’on appelle le référentiel de Kepler
  • R2 = référentiel géocentrique lié au centre de la Terre et en translation par rapport au référentiel de Kepler
  • R3 = référentiel associé à O dont les axes sont parallèles aux axes du référentiel géocentrique ou de Kepler. Ce référentiel restera en translation par rapport aux axes du référentiel géocentrique au cours de la rotation de la Terre autour de l’axe des pôles.

L’observateur O effectue en 23 h 56 min un mouvement de rotation par rapport à R2.

Le centre C de la Terre effectue une révolution autour du Soleil en 365,25 jours.

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Référentiels R2 et R3

Nous allons utiliser deux fois la loi de composition des vitesses :

$$\text{vitesse étoile /R3}=\text{vitesse étoile /R1} -\text{vitesse R3/R1}\quad\textbf{(1)}$$

$$\text{vitesse R3/R1}=\text{vitesse R3/R2} +\text{vitesse R2/R1}$$

Donc :

$$\textbf{vitesse étoile /R3}=\textbf{vitesse étoile /R1} -\textbf{vitesse R3/R2}-\textbf{vitesse R2/R1}$$

Autrement dit en projection radiale sur la ligne de visée :

$$\text{vitesse radiale étoile /observateur}=\text{vitesse radiale étoile /Soleil} -\left(\text{U}_{\text{r}}+\overline{V_{\text{T}}/\text{R}}\right)$$

Soit avec les notations déjà utilisées :

$$ \overline{V_{\text{E}}/\text{r}} = \overline{V_{\text{S}}/\text{r}} - \left(\text{U}_{\text{r}}+\overline{V_{\text{T}}/\text{R}}\right) $$

D’où l’expression de la vitesse radiale de l’étoile par rapport à l’observateur :

$$ \boxed{ \overline{V_{\text{E}}/\text{r}} =\color{green} \overline{V_{\text{S}}/\text{r}} \color{black} + \color{red} \Omega\text{R}\cos\varphi\sin\omega\cos\delta \color{black} + \color{blue} V_{\text{T}}\sin\theta\cos\gamma } \color{black} \quad\textbf{(2)} $$

avec :

  • $\theta=\text{longitude écliptique de la Terre} - \text{longitude écliptique d’Arcturus}$ au moment de l’observation.
  • $\gamma$ latitude écliptique de l’étoile
  • $V_{\text{T}}$ vitesse orbitale de la Terre

D’après 5/a/(2) on a :

$$ \omega =-(\text{H}_{\text{S}}+\alpha_{\text{S}}-\alpha_{\text{E}}) $$

Nous avons vu aussi au paragraphe 5/a, la formule (0) :

$$\text{H}_{\text{S}}=\text{heure solaire}-12\text{ h}$$

avec $\text{heure solaire}=\text{heure légale}-\left\{\begin{array}{c}\text{2 h l’été}\\ \text{1 h l’hiver}\end{array}\right. - \text{équation du temps} - \text{longitude}$.

Ainsi , on peut déterminer à tout instant la vitesse radiale de l’étoile par rapport à l’observateur.
Dans la formule 5/b/(2), le terme en rouge fournit une contribution négligeable de l’ordre du pourcent par rapport au terme en bleu. On pourra le vérifier avec les données qui suivent.

Nous disposons à présent de toutes les formules permettant de calculer $V_{\text{E}}/\text{r}$ .

  • $\Omega=\dfrac{\pi}{12}\text{ rad/h}$ (un tour en $23 \text{h} 56 \text{min} 4 \text{s}\approx24 \text{h}$)
  • Les coordonnées de Paris peuvent être trouvées avec Google :
    Latitude de Paris 48° 51’ 45,81’’ N
    Longitude de Paris 2 ° 17’ E
  • R=6400 km
  • $\alpha_{\text{S}}$ ascension droite du Soleil à déterminer le jour de l’observation grâce à Miriade (voir Annexe 4)
  • $\delta$ et $\alpha_{\text{E}}$ déclinaison et ascension (coordonnées équatoriales) de l’étoile Arcturus à déterminer avec le logiciel stellarium (voir Annexe 2) ou avec VizieR (voir Annexe 1)
    • Ascension droite : $\alpha_{\text{E}}= 14\text{ h }15\text{ min }34\text{ s}$
    • Déclinaison : $\delta=\left(\vec{i} ;\overrightarrow{\text{CE}}\right)= 19°11’ 34"$
  • Heure légale sur le site de l’observatoire de Paris : https://www.obspm.fr/-heure-legale-francaise-.html
  • $\gamma$ latitude écliptique d’Arcturus = 3,75° sur VizieR (voir Annexe 1) mentionnée sous l’appellation ELAT.
  • $\theta=\text{longitude écliptique de la Terre}-\text{longitude écliptique d’Acturus}$, au moment de l’observation ( voir paragraphe 4/f).
  • Pour trouver l’équation du temps (voir Annexe 3)

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Annexes

-1- VizieR

http://vizier.u-strasbg.fr/viz-bin/...

JPEG - 249.6 ko
Vue de l’interface de VizieR
Recherche sur Acturus
http://vizier.u-strasbg.fr/

Après avoir appuyé sur « submit », on obtient :

JPEG - 67.4 ko
Longitude et latitude écliptiques d’Acturus
extrait de données fournies par VizieR

On peut aussi trouver sur VizieR les coordonnées équatoriales d’Arcturus :

  • RA désigne l’ascension droite
  • DE désigne la déclinaison
  • ELON la longitude écliptique
  • ELAT la latitude écliptique

-2- stellarium

http://stellarium.org/fr/

JPEG - 34.8 ko
Données d’Acturus dans Stellarium
http://stellarium.org/fr/

-3- Équation du temps

Comment trouver l’équation du temps ?
Il suffit d’aller sur le site : http://www.proftnj.com/calcastr.htm

JPEG - 164.1 ko

Voici à quoi ressemble la courbe de l’équation du temps :

JPEG - 119.3 ko

-4- Miriade

http://vo.imcce.fr/webservices/miri...

On choisit avec la cible , ici, le Soleil par exemple.
Avec on met à jour l’époque et le pas, ici le jour, mais cela pourrait être heure ou minute ou seconde.
Avec on choisit le centre de référence héliocentrique ou géocentrique.
Avec on choisit le type de coordonnées équatoriales ou écliptiques.

Utiliser l’échelle de temps UTC déjà cochée.

Ne pas oublier de valider à chaque étape.

JPEG - 75.8 ko
Vue de Miriade

Bibliographie/Webographie


notes

[1Le site http://vo.imcce.fr/webservices/miri... fournit un générateur d’éphémérides

[2Le site http://vizier.u-strasbg.fr/ regroupe des bases de données astronomiques

[3C’est un référentiel héliocentrique

[4position d’un astre en orbite autour du Soleil (ici la Terre) la plus proche du Soleil

[5position d’un astre en orbite autour du Soleil (ici la Terre) la plus éloignée par rapport au Soleil

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