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Exemple d’usage d’une classe mobile couplée à un Tableau Numérique Interactif en Mathématiques
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Présentation de la classe mobile

La classe mobile dont je dispose est celle proposée par Apple, c’est un chariot roulant équipé de 15 ordinateurs portables de type MacBook connectés sur le réseau par WIFI via une borne Airport. Un des ordinateurs appelé « ordinateur maître » est doté d’un logiciel (Apple Remote Desktop) permettant de visualiser l’ensemble des ordinateurs des élèves, de prendre la main sur les postes élèves, d’y déposer des fichiers…
Son faible encombrement permet, dans une même heure d’alterner le travail sur ordinateur et le travail sur papier. L’informatique devient véritablement un outil au sein de la séance et n’est pas, comme l’est souvent la salle informatique, l’objet de la séance.

Exemple d’utilisation : résolution d’équations de degré 2

L’activité présentée ici a été menée avec deux classes de 3eme d’assez bon niveau, en fin d’année sur une séquence de 2 heures. Ces élèves n’avaient pas utilisé avant le tableur en mathématiques mais avaient manipulé l’outil en 4eme en technologie. Ils avaient été familiarisés avec l’usage de la géométrie dynamique et du tableur en mathématiques en vidéo projection en 4eme et en 3eme.

Lors de la première heure, nous avons commencé par rappeler les techniques de résolution d’une équation de degré 2 autour de l’exemple x2 + 46 = 25x.
Les élèves ont ramené l’équation à x2 + 46 – 25x = 0 et ont constaté qu’ils ne savaient pas factoriser le membre de gauche afin d’obtenir une équation produit nul. J’ai alors donné un indice supplémentaire : il y a deux solutions à cette équation, elles sont entières, et comprises entre 0 et 30.
Il suffisait alors pour résoudre l’équation de tester les deux membres pour ces valeurs entières de x afin de déterminer les deux solutions. Ce travail allait être réalisé au tableur. J’ai dans un premier temps montré comment on pouvait faire, au tableau numérique, en vidéo projection, en rappelant l’usage du « = » pour les calculs ainsi que la manière de recopier une formule...
Une fois les deux solutions déterminées en comparant x2 + 46 et 25x, nous avons rajouté une colonne calculant x2 + 46 – 25x où les zéros de l’équation, autour des changements de signes, apparaissent plus clairement...

On a pu aussi vérifier que l’équation produit nul (x – 2)(x – 23) = 0 correspondait bien à l’équation initiale, validant ainsi le résultat déterminé au tableur.
Les élèves ont ensuite eu à reproduire cet exemple sur les portables, en utilisant le tableur de la suite OpenOffice. L’outil de visualisation de l’ensemble des postes élèves, vidéo projeté au TNI, est alors un outil précieux pour surveiller l’avancée de travaux des élèves alors qu’on travaille avec un binôme particulier...

Autre fonctionnalité très précieuse du logiciel de gestion des postes élève de la classe mobile : à tout moment on peut verrouiller temporairement les ordinateurs de élèves afin de ramener l’attention sur une explication, une remarque complémentaire. En effet, les élèves peuvent avoir du mal à se détacher de l’activité informatique pour se concentrer sur le contenu mathématique...

Une fois vérifié que l’ensemble des binômes étaient capables de reproduire l’exemple que j’avais montré au tableau, ils ont eu à réinvestir cette technique de résolution sur la première application :
Rechercher deux solutions de l’équation 5x2 + 208 = 72x entre 0 et 20. L’une est entière, l’autre décimale avec un chiffre après la virgule.

La première solution, celle entière, a été trouvée assez rapidement par tout le monde. Pour l’autre, seul les groupes qui ont rajouté une 3eme colonne calculant la différence entre 5x2 + 208 et 72x ont pu observer le deuxième changement de signe entre 10 et 11 et ainsi trouver la deuxième solution.
Le tableau numérique est alors utile pour aider les groupes en retard ou en difficulté : on peut y afficher en grand un des écrans des postes élèves tout en verrouillant les autres, s’assurant ainsi l’attention de l’ensemble de la classe...

Outre la difficulté d’interpréter le changement de signe de l’expression 5x2 + 208 – 72x on peut signaler que les élèves ont eu plus de mal à modifier la colonne des valeurs de x afin d’obtenir 10 ; 10,1 ; ... ; 10,9 ; 11 qu’à refaire à côté ou dans une autre feuille de calcul, la comparaison de 5x2 + 208 et 72x pour ces valeurs de x avec un pas de 0,1. Il est donc nécessaire ici d’apporter de l’aide aux élèves afin qu’ils viennent à bout de la recherche...

En fin de première heure, après avoir mis les portables en veille, nous avons commencé à étudier la deuxième application :
Observer la figure ci-dessous, ABCD est un rectangle et M est un point de [DC].
On cherche la ou les positions de M pour que AMB soit rectangle en M.

Suite à plusieurs échanges, nous avons amorcé la mise en équation, que les élèves avaient à poursuivre pour la séquence suivante en suivant les indications :
Exprimer AM2 et BM2 en fonction de x puis montrer que si AMB est rectangle en M, alors on doit avoir : x2 – 10x + 9 = 0.

En début de deuxième heure, nous avons corrigé le travail à faire : il s’agissait pour les élèves de passer de 102 = 32 + x2 + (10 – x)2 + 32 à x2 – 10x + 9 = 0. Ils ont pu alors poursuivre le travail sur les ordinateurs portables :
Rechercher les solutions de cette équation à l’aide du tableur puis conclure.

Les deux solutions une fois mise en exergue par la plupart des binômes, nous avons pu retrouver le résultat, en factorisant en deux temps x2 – 10x + 9. Ce travail, délicat, s’est fait à partir d’un calcul à trous sur une fiche guide, sous ma conduite pendant que les ordinateurs étaient verrouillés en suivant le plan suivant :
x2 – 10x est le début du développement d’un produit remarquable,
x2 – 10x + … = x2 – 2 ´ … ´ x + … 2 = (x – … )2
On peut utiliser ce résultat pour résoudre par le calcul l’équation précédente, mais c’est astucieux… Compléter les égalités suivantes afin de factoriser x2 – 10x + 9.
x2 – 10x + 9 = x2 – 10x + … - … + 9 = (x – … )2 – … + 9 = (x – … )2 – … = (x – … )2 – … 2
Finalement on obtient que x2 – 10x + 9 se factorise en ...
Et on retrouve que les solutions de l’équation x2 – 10x + 9 = 0 sont ...

Enfin, pour la troisième et dernière application, les élèves avaient à travailler sur le problème suivant :
[AB] mesure 10 cm, on cherche la position de C sur [AB] pour faire en sorte que le cercle de centre A qui passe par C ait la même aire que le carré centré en B et tangent au cercle. On va rechercher les solutions avec 3 méthodes : logiciel de géométrie dynamique, tableur, équation.

Afin de mieux appréhender le problème, j’ai annoncé aux élèves qu’ils allaient avoir à expérimenter en géométrie dynamique la situation avant de tenter de mieux cerner la ou les éventuelles solutions. Faire réaliser la figure aux élèves ici n’apportait rien pour la compréhension du problème à mes yeux, j’ai donc préféré envoyer sur chaque portable le script d’une figure déjà réalisée à partir du logiciel Tracenpoche. Après avoir renommé le fichier en fonction du numéro de leur poste, les élèves ont lancé Tracenpoche en ligne et ouvert le fichier déposé sur leur bureau en utilisant la fonction correspondante du logiciel.

Ils ont pu alors manipuler la figure, se rendre compte qu’une valeur, autour de AC = 5,3, semblait convenir, mais qu’ils s’agissait bien d’une conjecture avec un degré de précision incertain...
En verrouillant les écrans de tous les postes élèves sauf un, nous avons pu alors nous concentrer sur une mise en équation possible du problème, comme le montrent les prises de vues suivantes :


Sur le dernier quart d’heure, nous avons entrepris d’affiner cette valeur conjecturée autour de 5,3 en utilisant le tableur pour comparer px2 et (20 – 2x)2 pour x entre 5,290 et 5,310.
Les groupes les plus efficaces ont été ceux qui ont calculé la différence px2 – (20 – 2x)2. En effet, les valeurs entre les deux expressions étant difficiles à discerner, il est plus facile d’observer les changements de signe...

Au début de l’heure qui a suivi, j’ai résolu avec les élèves l’équation px2 = (20 – 2x)2. Il a fallu les aider à reconnaître la forme A2 – B2 = 0 mais ils ont fini par obtenir :$[(\sqrt{\pi} + 2)x - 20][(\sqrt{\pi} - 2)x + 20] = 0$

Ils ont pu ainsi valider leur conjecture, avec la valeur exacte de la solution :.
$20\over {\sqrt{\pi} + 2}$

Conclusion

Bilan très positif pour ces deux heures de travail : les élèves ont été très motivés par cette façon d’utiliser le tableur qui différait de ce qu’ils avaient fait en technologie : volonté de trouver les solutions les premiers, impression d’arriver à résoudre des problèmes hors de portée normalement pour des élèves de 3eme... Le couple classe mobile – TNI a été un véritable outil au service de la gestion de la classe, permettant facilement de recentrer l’activité sur l’aspect mathématique et non pas sur le contexte informatique.

Indéniablement, le fait d’avoir vu l’intérêt d’une colonne qui calcule la différence entre les deux membres à comparer, à renforcé chez les bons élèves, l’idée que face à une équation de degré 2 de type A = B, il faut commencer par ramener le problème à A – B = 0.

Ces activités m’ont permis de valider en fin d’année, avec le concours du collègue de technologie, divers item du B2i :
- C.2.4 : Je m’interroge sur les résultats des traitements informatiques (calcul, graphique…).
- C.3.4 : Je sais créer, modifier une feuille de calcul, insérer une formule.
- C.3.6 : Je sais utiliser un outil de simulation (ou de modélisation) en étant conscient de ses limites.

Enfin, on peut imaginer divers prolongements à ces problèmes, que je n’ai pas entrepris par manque de temps. On peut par exemple compléter l’étude par les représentations en fonction de x des deux membres (ou de la différence entre les membres) afin d’aborder l’aspect graphique de la résolution d’équation. Pour des lycéens, on peut remplacer la partie faite au tableur en utilisant les fonctions « table » des calculatrices ...

En complément à cet article, vous trouverez divers fichiers :
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OpenDocument Text - 60.3 ko
fiche élève au format odt
PDF - 98.8 ko
fiche élève au format pdf


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Excel - 78.5 ko
Fichier tableur au format xls
OpenDocument Spreadsheet - 14.4 ko
Fichier tableur au format ods
ce sont les résolutions des équations au tableur, pour l’enseignant ;


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Texte - 1 ko
Script tracenpoche
c’est le fichier à charger avec Tracenpoche qui permet d’avoir la figure dynamique pour la toute dernière application ;


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geogebra - 2 ko
Script Geogebra
la même figure, mais avec geogebra.

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