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Une curiosité mathématiques en Terminale S
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Traditionnellement dans l’établissement scolaire où j’enseigne (le lycée Maurois à Elbeuf) a lieu avant les vacances de Noël une journée anciennement appelée "journée banalisée" où les élèves et adultes sont autorisés à venir déguisés.

Cette année, un thème a été choisi pour cette journée, la curiosité, les enseignants étant invités à construire leurs cours autour de ce thème.

Avec ma classe de Terminale Scientifique, je venais de terminer le cours sur les suites et un peu plus tôt la démonstration par récurrence, j’ai donc choisi comme curiosité mathématique la théorie du chaos, illustrée par l’usage d’une fonction simple, la fonction logistique ($f(x)=rx(1-x)$,$r$ étant un paramètre réel variant entre 0 et 4). En considérant une suite définie par $u_{n+1}=f(u_n)$ ,$u_0\in ]0 ;4]$ suivant la valeur du paramètre $r$, de faibles variations sur $u_0$ entraînent un comportement totalement différent de la suite.

Afin de préparer au mieux le cours autour de ce phénomène, les élèves devaient travailler au préalable sur quelques questions permettant d’introduire la situation,$r$ compris entre 0 et 1 permettant d’obtenir une suite convergente (avec une démonstration par récurrence et l’utilisation du théorème des gendarmes pour conclure) :

Je leur avais également demandé de représenter graphiquement les termes de la suite pour $r=2$ et $u_0=0,2$ :

Pendant le cours, après une correction rapide des résultats précédents, on a pu effectuer plusieurs observations à l’aide du tableur (en vidéoprojection) :

  • l’influence de la valeur de $r$ : en prenant par exemple $r=3,2$, on observe que la suite ne semble plus converger mais "hésiter entre deux valeurs..." :

    On peut illustrer graphiquement ce phénomène de diverses façons :
    • A l’aide de la représentation graphique du tableur des cellules des deux premières colonnes précédentes :
    • On peut également utiliser la calculatrice des élèves et la représentation graphique en mode WEB :
  • l’influence du choix de $u_0$ pour une valeur du paramètre $r$ proche de 4. Sur l’exemple suivant, on observe deux suites construites à partir de la même fonction mais avec une faible variation (($10^{-3}$) sur la valeur initiale.

A noter que ce travail a permis également de revoir les références absolues et relatives pour les cellules du tableur...

Après observation par les élèves du caractère chaotique, je leur ai demandé quelle était l’expression correspondante en français, ils ont rapidement cité "l’effet papillon". Comme nous étions dans un cours "pas banal", je leur ai à ce moment diffusé la célèbre chanson de Bénabar...

Par la suite, mon objectif était la compréhension par les élèves de ce qu’on appelle le diagramme de Feigenbaum (qui pour chaque valeur du paramètre donne le nombre de valeurs d’adhérences de la suite) et encore une méthode pour construire ce diagramme.

Cet affichage peut se faire à partir d’un algorithme, on a donc commencé à voir qu’en "éliminant" les 10 premières valeurs de la suite, et en gardant les 10 suivantes, on obtenait soit la limite de la suite, soit ses valeurs d’adhérences (expression non utilisée en cours...), voire encore 10 valeurs différentes pour des valeurs de $r$ proches de 4.

Depuis le début de l’année, nous utilisons exclusivement la calculatrice pour les programmes, notamment pour sa disponibilité rapide.
Voici donc le programme saisi : (syntaxe Casio)

ClrGraph
ViewWindow 0,4,0.1,0,1,0.1
For 0→R To 399
0.4→T
For 1→K To 10
R×T×(1-T)÷100→T
Next
For 1→K To 10
R×T×(1-T)÷100→T
R÷100→A
PlotOn A,T
Next
Next

A noter que la première boucle FOR de compteur K permet de calculer les 10 premiers termes de la suite, sans en tenir compte, la seconde est identique, on ajoute simplement l’affichage d’un point.

Voici également l’affichage, obtenu au bout de 10 bonnes minutes :

L’avantage d’un affichage lent est qu’on peut commenter au fur et à mesure de l’avancée des calculs les disparités suivant les valeurs de $r$. En réalisant un diagramme pour des valeurs de $r$ entre 3 et 4, on peut également observer l’apparition d’une "zone de stabilité", que l’on peut illustrer (sans l’expliquer...) en mettant dans la cellule du tableur la valeur 3,48 pour $r$ :

PNG - 53.6 ko

Ne disposant que d’une heure de cours, j’ai simplement affiché le programme et son résultat, mais idéalement, nous aurions établi l’algorithme ensemble, puis les élèves auraient programmé cet algorithme sur leur calculatrice. On s’aperçoit assez souvent que réfléchir sur l’algorithme et le programmer ensuite permet de mieux comprendre la situation étudiée.

On peut également envisager l’usage d’un logiciel de géométrie dynamique pour faire varier les différents paramètres :

Désolé, l'activité GeoGebra ne peut pas démarrer. Assurez-vous que Java 1.4.2 (ou version supérieure) est installée et activeée sur votre navigateur (Cliquez ici pour installer Java maintenant !)
Créé avec GeoGebra

Par la suite, j’ai déposé sur le cahier de textes numérique de l’établissement le programme pour que les élèves puissent le tester sur leur calculatrice. A peine un mois après, j’ai ajouté un nouveau message..., puisque je découvrais avec plaisir l’existence récente de films illustrant la théorie du chaos, sous licence libre (voir la brève ). Dès le premier chapitre, cet "effet papillon" est d’ailleurs illustré, cette fois avec une trajectoire d’une balle de billard.

Remerciements :
Je termine en remerciant plusieurs personnes en lien direct avec le sujet :
- Olivier Guibé de l’université de Rouen, pour l’oral blanc qu’il m’avait fait passer il y a quelques années sur la théorie du chaos...
- Laurent Zamo, pour les premiers échanges sur cette activité, il en est d’ailleurs à l’origine.
- Laurent Fréguin, collègue de mon lycée, pour les échanges réguliers et fructueux.
- Bien sûr les élèves de TS3, qui ont bien "joué le jeu"...

Remarques d’un relecteur :
Pour aller plus loin dans la documentation, voici quelques liens donnés par Yves Martin :
- Un texte de Jean-Michel Ferrard sur l’usage de calculatrices TI
- une conférence approfondie de Daniel Perrin sur le sujet.


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