Mathématice, intégration des Tice dans l'enseignement des mathématiques  
Sommaire > N° 9 - Mars 2008 > Le dossier du numéro > La démarche d’investigation et les TICE : une (...)

La démarche d’investigation et les TICE : une opportunité pour l’inventivité ?
Moteur de recherche

Note technique : cet article est construit autour d’environ 50 Mo de vidéo (sur 7 fichiers). Il peut être intéressant d’aller lire d’autres articles de ce numéro tout en laissant celui-ci se charger dans un onglet.

À l’occasion des 40 ans de l’INRIA (décembre 07), Michel Serres a donné une conférence intitulée « nouvelles technologies : révolution culturelle et cognitive » dans laquelle il conclu que les nouvelles technologies nous condamnent à l’inventivité :

Ces quelques minutes sont la fin de sa conférence que l’on veut voir ou écouter intégralement à cette adresse

http://interstices.info/m-serres-lille

« Il ne nous reste exactement que l’inventivité, nouvelle catastrophique pour les grognons, mais nouvelle enthousiasmante pour les nouvelles générations . C’est-à-dire que, décidément, aujourd’hui, le travail intellectuel est obligé d’être un travail intelligent, et non pas un travail répétitif comme il a été jusqu’à maintenant ».

Les propos qui suivent s’inscrivent dans cette analyse, rapportée au sujet de ce dossier, l’épreuve pratique expérimentale du Bac S et plus généralement la démarche expérimentale et d’investigation en mathématiques.

1.a. L’expérimentation en maths : une attitude de recherche

Comme l’a montré Henri Cohen dans sa conférence à l’université d’été de Saint-Flour, d’août2007, l’expérimentation est largement présente dans la recherche mathématique (avec des logiciels dédiés), dans les différentes étapes (exploration, conjecture, preuve) et l’a toujours été : Euler n’avait pas d’ordinateurs mais il avait des calculateurs – ses étudiants – pour explorer le comportement de la distribution des nombres premiers. L’intuition expérimentale de Gauss est bien connue aussi, il en a donné un exemple saisissant.

Bien-sûr le chercheur a une liberté d’inventivité que n’a pas l’élève en apprentissage de cette démarche. Comme l’a souligné Denise Grenier dans son atelier, le chercheur peut redéfinir les objets à étudier, modifier les règles, les données, et même la question posée alors que, par exemple dans l’apprentissage à la démonstration, les élèves sont généralement habitués à une démarche inverse comme « utiliser seulement les données du problème », ou encore à « vérifier qu’on a bien utilisé toutes les hypothèses ».

Les activités de mathématiques qui s’inscrivent dans la logique de l’épreuve pratique du Bac sont alors l’occasion de faire vivre « cette nouvelle enthousiasmante pour les nouvelles générations » et pratiquer l’inventivité mathématique hors des canons officiels de l’apprentissage.

1.b. Un enseignement qui prend en compte la complexité

En quittant la référence stricte à la pratique de la recherche scientifique, l’utilisation d’outils contemporains dans une démarche d’expérimentation traduit aussi une volonté institutionnelle de faire rencontrer aux élèves la complexité en général, plutôt que de développer chez eux des capacités de reproduction de tâches élémentaires. La nouvelle approche des équations différentielles en est un exemple. Les outils de calculs utilisés en cours, qu’ils soient formels ou simplement algébrisés (tableurs) sont les outils d’anticipation contemporains, utilisés dans de nombreux domaines d’activité, que ce soit pour la modélisation ou l’aide à la prise de décision.

La rencontre avec la complexité, en particulier à travers les simulations, est l’occasion d’aborder des problèmes non accessibles à une résolution exacte.

La question de l’apprentissage de ces outils, même s’il est à aborder en terme de temps ou de programmation, ne pose en tout cas pas de vrais problèmes d’adhésion, en particulier de la part des nouveaux enseignants qui sont désormais proches des « digital natives » que l’on voit arriver maintenant en collège. L’enseignement ne peut être que plus en phase, culturellement, avec le vécu des élèves, même s’il reste à faire passer un certain savoir faire sur les TIC d’un univers ludique à un univers scolaire.

2.a. Les choix de cet article

Plusieurs outils ont massivement envahi les programmes : les calculatrices (éventuellement symboliques), les tableurs, les logiciels de géométrie dynamique (GD) et, peut-être plus modestement car plus lourd en temps de formation, ceux de calcul formel.

Chacun est capable de mettre en œuvre « l’inventivité qu’il nous reste » décrite par Michel Serres, dans au moins un de ses domaines de prédilection, que ce soit le tableur, le calcul formel, la géométrie dynamique, ou même les trois ensembles comme on peut le faire avec la Nspire ou le logiciel N-spire associé.

Dans cet article, nous avons choisi d’illustrer des pratiques d’expérimentation et d’investigation en mathématiques dans un domaine où l’inventivité de l’utilisateur est directement liée à celle qui a été présente chez les auteurs des logiciels que nous utilisons. Ceci est particulièrement le cas de la géométrie dynamique.

Lors de sa conférence inaugurale d’un séminaire DGESCO sur « le rôle et les enjeux des TICE en mathématiques » (février 2007), Michèle Artigue, dont on connaît la rigueur et la prudence, présentait la géométrie dynamique comme « le nouveau paradigme de l’enseignement de la géométrie ». Et dans son analyse des « obstacles culturels » rencontrés, elle citait l’expérience qu’ont les enseignants de la géométrie dynamique et « le rôle des enseignants pour développer une culture de la géométrie dynamique cognitivement productrice ».

Le but de cet article est donc de participer à l’enrichissement de cette culture dans le cadre du dossier de MathemaTICE.

Et une façon de participer doublement à l’enrichissement de cette culture est de proposer les exemples prévus pour cet article avec un autre logiciel de géométrie dynamique que ceux généralement proposés [1], mais jamais cité ni dans les documents officiels, ni dans les actes de l’université d’été de Saint-Flour d’août 2007. Il s’agit de CaRMetal.

Nous allons tenter cette présentation en évitant un des écueils pointés par Michèle Artigue : « la formation continue reste encore prisonnière du stade du militantisme premier ».

2.b. CaRMetal : une aventure exemplaire du monde du logiciel libre

L’inventivité en géométrie dynamique, on la doit d’abord à la référence historique Cabri-géomètre et aux nombreuses études didactiques qui ont pu être mené autour, en particulier par les équipes de Grenoble (LSD2 puis EIAH). La manipulation directe d’abord, l’engagement direct ensuite (avec la version II), et ses nombreux raffinements – dont certains encore inégalés depuis – sont à mettre au crédit des auteurs de Cabri, et d’abord de son concepteur, Jean Marie Laborde.

Mais l’inventivité en la matière ne s’est pas arrêtée là. D’autres logiciels significatifs sont apparus depuis, en particulier Geogebra (largement cité pour la pratique de l’expérimentation en GD) et CaR (Compas and Rulers).

CaR est un logiciel libre développé en Allemagne par René Grothmann depuis 1989, écrit en java et donc disponible sur toutes les plateformes. Possédant de nombreuses qualités internes (le fil à la patte pour toutes les constructions, des possibilités extraordinaires de macros), l’uteur n’a pas pris le temps de développer une interface à la hauteur de ce que l’on attend d’un tel logiciel. Depuis plusieurs années, Eric Hakenholz, enseignant à Millau, s’est proposé [sans aucun moyen institutionnel comme souvent dans cet univers du libre] de développer une interface moderne : CaRMetal.

Par "fil à la patte", on entend cette capacité du logiciel à anticiper la construction avant le dernier clic de souris.
Ce nouveau raffinement de l’engagement direct, disponible à l’intérieur même de l’outil, est à comparer à la suppression des boites à dialogue dans les premières versions des logiciels de GD : quand le tracé de la parallèle à une droite passant par un point n’est disponible qu’au second clic, l’item est vécu comme une procédure. Ici, on dispose d’un accompagnement du geste qui induit d’autres rapports cognitifs ...

Nous venons de dire que cet accompagnement du geste induit d’autres rapports cognitifs : c’est aussi un accompagnement - par exemple exploratoire - de l’idée qui se développe en nous en manipulant la figure. En voici une brève illustration, et chacun saura faire preuve "d’inventivité" sur ce thème.

Mais au cours des années, CaRMetal est devenu plus qu’une interface de CaR. C’est un nouveau logiciel, avec de nombreuses améliorations pour mettre en valeur des fonctionnalités présentes dans CaR mais cachées (différents types de macros, utiles pour la mise en ligne) mais aussi des fonctionnalités totalement nouvelles comme les macros de construction en 3D.
CaRMetal c’est aussi une interface conforme aux habitus actuels (inspecteur des objets avec onglets, palette d’outils totalement réactifs à la manipulation directe, avec des aspects modifiables en cours d’action), tout en améliorant régulièrement l’engagement direct général du logiciel.

La circulation des progrès est à double sens : par exemple Eric Hakenholz a introduit sur son site des procédures de traduction. En quelques mois, CaRMetal est passé de 4 à 11 langues qui depuis ont été intégrées à CaR.

C’est bien entendu le statut de « libre » qui a permis cette évolution extraordinaire. Mais pour certains cela ne suffisait pas : la « liberté » de CaR n’était pas entièrement conforme aux normes des distributions Linux, exigeantes sur ces questions, comme la débian notamment. Grâce à un travail méticuleux de Yves Combe, CaRMetal est désormais « libre à 100% » et depuis quelques mois incorporé aux distributions débian (donc disponible sous Ubuntu).

Depuis que cet article a été écrit, une version 2.8.5 autorise plusieurs types de boutons de contrôle dans les figures. Ces nouvelles fonctionnalités ne seront pas utilisées dans ce qui suit.

2.c. Quatre exemples d’exploration, en géométrie, et en analyse

Monique Gironce, professeur de Mathématique à Toulouse (désormais à la retraite) a effectué tous les tutoriaux du site de CaRMetal sous forme de fichiers flash. Elle a proposé de réaliser, pour cet article, des films d’animation sur la pratique de la démarche expérimentale : ainsi, pour les personnes qui ne connaissent pas le logiciel, on peut le découvrir en quelques minutes, se familiariser avec son environnement et apprécier ses fonctionalités. Bien entendu, les figures sont téléchargeables en fin d’article.

Nous commencerons par deux exemples, élémentaires et classiques pour les enseignants (barycentres, quelques propriétés affines des tangentes à une parabole), mais qui permettent déjà en classe, un vrai travail d’investigation (expérimentation, conjecture, vérification de la conjecture avec de nouvelles investigation, puis preuve). C’est l’occasion de présenter l’interface et le mode de fonctionnement de CaRMetal. Pour les enseignants qui utilisent déjà la GD, ces deux premiers exemples peuvent leur permettre de comparer le logiciel avec celui ou ceux qu’ils utilisent.

Le troisième exemple porte sur les nombres complexes. Il s’agit de chercher les éléments caractéristiques d’une transformation définie dans le plan complexe, en pratique une inversion. Ce film va être l’occasion de montrer une certaine inventivité dans la recherche de points invariants, autorisée par les fonctionnalités du logiciel.
On notera qu’il n’y a pas d’exercice de ce type dans les sujets de l’épreuve pratique puisque l’on travaille « avec le PGCD des possibilités des logiciels ».

Le dernier exercice traite de l’optimisation. Nous avons choisi un exemple de fonction à deux variables pour optimiser une construction. Bien entendu nous nous éloignons là d’un travail directement lié à l’épreuve pratique du Bac, Le début de l’activité est bien dans l’esprit de l’épreuve pratique du Bac (une modélisation, qui aboutit à l’étude d’une famille de fonctions dépendant d’un paramètre, avec recherche des maxima)

L’activité se termine par une troisième phase avec un prolongement assez original en nous plaçant dans la partie du programme « Sections planes de surfaces » qui précise :

« L’objectif est de montrer qu’une fonction de deux variables peut être représentée par une surface et que des études de coupes par des plans permettent leur étude à l’aide des outils déjà vus pour les fonctions à une variable. […] On visualisera sur écran les surfaces étudiées.
On entraînera à la reconnaissance des surfaces à partir de coupes parallèles à un plan et on associera les visions géométriques et analytiques. »

Conformément aux programmes, on part d’une situation simple qui aboutit à une surface dont les coupes sont les paraboles étudiées dans une première partie. Nous verrons que CaRMetal permet d’avoir dans le même écran une figure 2D qui agit sur une figure 3D manipulable.

3.a. Barycentre – transformation cachée

On étudie un transformation du plan définie par une égalité vectorielle dépendant d’un paramètre a. Comme la somme des masses est égale à 2+a, il va y avoir des cas particuliers pour a=-2, a =-1. Ce film est aussi l’occasion de montrer l’interface du logiciel.

L’investigation en utilisant le cercle est une manière originale de voir le cas a=-2. Clairement le cas a=-1 est plus culturel d’un point de vue graphique : le parallélisme des droites peut ne pas être une information pertinente pour les élèves dans une phase d’exploration. Il peut être nécessaire d’engager une réflexion ou un calcul pour revenir interpréter ensuite les manipulations.

Cette première illustration est l’occasion d’aborder le statut des macros dans CaRMetal. Bien entendu c’est un micro monde au sens que les équipes de développement de Cabri nous l’ont enseigné : chacun peut ajouter des macros au logiciel. Mais CaRMetal a choisi l’option d’offrir une bibliothèque standard de macro assez riche, appelée library.fr, qui correspond assez bien à nos besoins dans l’enseignement français.

On consultera les tutoriels de Monique Gironce pour approfondir les possibilités d’enrichir la bibliothèque, d’en créer d’autres, voir les macros de figure pour une exportation web, etc.

3.b. Propriétés affines des tangentes à une parabole issues d’un point

De nombreuses propriétés – généralement affines - sur les tangentes à une parabole sont souvent l’occasion de calculs divers. En voici une, étudiée récemment sur CaRzine par l’auteur de CaR lui-même, René Grothmann, en réponse à une question sur le forum de CaR. La présentation est faite dans une démarche d’exploration et de conjecture.

Dans ces deux premiers exemples on voit que CaRMetal fait ce qu’on attend de lui, sans grande surprise en fait. Ce que l’on a vu jusque là ne mérite pas qu’on envisage de « s’investir encore dans un nouveau logiciel de géométrie dynamique » comme on l’entend parfois en formation. Poursuivons ….

3.c. Inversion définie par les complexes

En fait c’est un exercice, là encore « classique » sur les nombres complexes. L’intérêt ici est dans la diversité des démarches d’exploration que permet le logiciel, et de quelques « plus » dévoilés ici où là.

Le fait de disposer d’outils pour les opérations simples avec les nombres complexes permet d’abord de tester la justesse des calculs, sans passer par un logiciel de calcul formel.
Il permet aussi de bien visualiser les ensembles de points.
C’est aussi une activité relativement ouverte, même si l’obtention de certaines preuves est hors programme : l’image d’un cercle est-elle toujours un cercle ? L’exploration de l’image d’un cercle (droite ou cercle) permet d’affiner les techniques de validation de conjectures sur un logiciel, même si la preuve elle-même de la conjecture peut rester hors de portée : les élèves se retrouvent dans la même situation :que les mathématiciens quand ils sont "convaincu" de la véracité d’un théorème des années avant d’en proposer une preuve. Généralement un mathématicien sait évaluer le temps de recherche de la preuve, ce qui reste généralement inaccessible à un élève (qui n’est pas non plus un professionnel des mathématiques).

3.d. Fonction à deux variables

On commence par un exercice d’optimisation d’une gouttière à une variable mais dépendant d’un paramètre. Puis on cherche un maximum, et on s’intéresse ensuite à ce maximum qui dépend encore d’un paramètre, tout cela en 2D. Dans une dernière phase, on regarde en 3D ce que cela donne …

Rappelons que cette activité n’est pas proposée comme sujet d’épreuve pratique mais comme un exemple de ce qui peut se faire en classe, avec par exemple des travaux intermédiaires à la maison. L’approche ici est plus riche que l’approche papier-crayon, et "le max du max" en 2D est largement plus parlant qu’un traitement par le calcul formel (qui lui, donnerait une solution exacte dans ce cas).

La dernière partie, le maillage 3D sur lequel on dessine des coupes montre bien que cette partie du programme, souvent négligée :
- d’abord est facilement contextualisable dans une problématique élémentaire,
- peut être traitée de manière visuelle, dynamique, non nécessairement technique tout en restant conforme aux exigences du programme.

Pour terminer

Dans ces présentations de possibilités d’expérimentation et d’investigation avec la géométrie dynamique, en géométrie comme en analyse, on aura compris qu’on ne cherche pas à développer la technicité , mais au contraire développer cette culture de la géométrie dynamique dont parlait Michèle Artigue, avec un traitement de l’information "en acte", par la manipulation directe, sans syntaxe à apprendre, sans script à écrire [2] : peut-être d’une certaine façon, l’ultime de l’inventivité proposée par Michel Serres dans le domaine qui nous occupe ici.

Mais cet ultime là n’est envisageable qu’en développant cette culture de l’investigation, et en affinant régulièrement les outils utilisés comme le fait si merveilleusement Eric Hakenholz, le développeur de CaRMetal

Site de téléchargement du logiciel et des tutoriels

http://db-maths.nuxit.net/CaRMetal/

Ne pas hésiter à aller voir les diaporamas du site (ils sont dynamiques) , et à visiter CARZine, magazine en ligne - du même auteur - dédié à CaR et CaRMetal.

On trouvera ci-après, un fichier contenant les trois figures de l’activité précédente.


notes

[1Dans le numéro de ce mois (Mars 2008) de la revue "A vos Mac" (numéro 82, p. 44) on peut lire cette phrase, à propos de Geogebra, "Ce logiciel est recommandé par les Inspecteurs de Mathématiques, car les futurs bacheliers S doivent dès à présent le prendre en main en vue de l’épreuve informatique". Que Geogebra soit un logiciel libre recommandé par l’institution est bien, qu’il soit le seul ... donne envie d’en faire connaître un autre, largement aussi performant.

[2Durant toutes ces vidéos, aucune boîte à dialogue n’est apparue, il
n’a pas été nécessaire de cliquer sur "ok" ou "appliquer", et les
transformations géométriques, numériques, conditionnelles ou
esthétiques ont toujours été appliquées directement sur l’objet en cours d’utilisation. C’est
de cette façon-là que toute construction se fait dans CaRMetal,
l’action voulue s’exécutant naturellement, sans que des
intermédiaires, bloquants autant qu’inutiles, vienne s’interposer
entre l’utilisateur et son objectif.

Documents associés à l'article
  3 figures de l’activité "Gouttière"   |   (Zip - 22.2 ko)
Réagir à cet article
Vous souhaitez compléter cet article pour un numéro futur, réagir à son contenu, demander des précisions à l'auteur ou au comité de rédaction...
À lire aussi ici
MathémaTICE est un projet
en collaboration avec
Suivre la vie du site Flux RSS 2.0  |  Espace de rédaction  |  Nous contacter  |  Site réalisé avec: SPIP  |  N° ISSN 2109-9197