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Calculatrice virtuelle
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Mis en ligne le 24 septembre 2006, par Sébastien Hache

La calculatrice est un objet technique autonome qui a pris une place assez importante dans l’usage et l’enseignement des Mathématiques... mais un tel objet est tout à fait simulable sur ordinateur. Le déploiement massif (actuel ou à venir) de matériel informatique peut rendre pertinente la question de savoir en quoi cette simulation est intéressante. Voici donc quelques éléments de réponse à la lumière du document d’accompagnement cycle2-cycle3 « Utiliser les calculatrices en classe ». (tous les extraits tirés de ce document seront notés en italique dans l’article). Ces reflexions pourront servir de base aux développements de calculatrices virtuelles (et de leurs environnements) qui seront ensuite testées dans les classes. Un nouvel article pourra alors rendre compte de ces expérimentations.

1. Existence et unicité.

« Il n’est pas possible, actuellement, de recommander tel ou tel modèle de calculatrice dans la mesure où il n’existe pas de cahier des charges pour un type de calculatrice (une proposition dans ce sens est cependant faite en annexe). Il appartient donc à chacun de décider, en fonction des possibilités de l’école, si tous les élèves doivent disposer ou non du même modèle. La solution idéale consiste à doter la classe d’un stock de calculatrices (une par élève, ou au moins une pour deux élèves). » [1]

Que ce soit en primaire, au collège et même au lycée, le choix de la calculatrice est un sujet épineux. Les enseignants sont généralement confrontés à cette double problématique : les élèves auront-ils bien tous leur calculatrice ? La diversité des modèles de calculatrices ne sera-t-elle pas un frein à l’activité de classe ?
L’informatique ne peut pas régler entièrement ces questions (sauf peut-être dans les départements où tous les élèves de collège ont été dotés d’un ordinateur portable) mais peut apporter une réponse partielle : tel jour, je suis certain que tous mes élèves pourront utiliser la même calculatrice, via l’ordinateur. Evidemment, cela demande de disposer d’un équipement informatique...

Un autre intérêt pourrait être de donner facilement accès à plusieurs calculatrices virtuelles différentes. L’une pourrait respecter les priorités de calcul, l’autre pas... Plus généralement, l’étendue des fonctionnalités de l’une ou l’autre pourraient permettre d’appréhender les limites de chaque modèle.

Et si par ailleurs l’enseignant dispose d’un vidéoprojecteur, alors il dispose d’un outil supplémentaire pour montrer à tous le fonctionnement de tel ou tel modèle : autre façon de rompre l’isolement de l’élève face à sa machine.

2. Le bon modèle...

Ceux qui ont déjà utilisé, par exemple, la calculatrice de Windows ont pu mesurer l’inadéquation d’un tel outil avec les besoins pédagogiques. Certains fabriquants de calculatrices proposent un modèle virtuel de leur machine. Pour les utilisateurs du logiciel MathenPoche, on trouve également, pour certains exercices, une calculatrice virtuelle. A ma connaissance, aucune d’elles ne répond précisément au cahier des charges proposé par le document d’accompagnement :

« Annexe 2 : Proposition de cahier des charges pour une calculatrice adaptée pour l’école primaire
Une calculatrice pour l’école primaire doit :
- comporter un écran de deux lignes d’affichage permettant d’éditer et de corriger une séquence de calcul et d’afficher le résultat sans avoir à ressaisir la séquence de calcul ;
- ne pas proposer la notation exponentielle (c’est-à-dire que si l’affichage comporte huit chiffres, elle ne peut pas afficher de nombre supérieur à 99 999 999) ;
- en plus des touches usuelles (chiffres, 4 opérations, signe pour l’obtention du résultat), comporter des touches parenthèses et une touche pour la division euclidienne permettant d’obtenir l’affichage du quotient et du reste entiers ;
- ne pas comporter de touches [%], ni de touche de changement de signe [±] ;
- permettre de stocker un résultat partiel ;
- offrir la possibilité de définir, mémoriser et rappeler un opérateur constant, à l’aide d’une touche spécifique ;
- effectuer les calculs en respectant les priorités opératoires habituelles. »
[1]

Le développement d’une calculatrice virtuelle répondant exactement à ce cahier des charges est tout à fait dans le domaine du possible.
Pour cette calculatrice, il faudrait sans doute un mode d’emploi à la portée des élèves (ce qui est bien trop rarement le cas !), avec pourquoi pas, des petits exercices de prise en main. On pourrait aussi imaginer optionnellement une aide contextualisée permettant une découverte plus intuitive.

Par ailleurs, une telle calculatrice "idéale" pourrait être paramétrable. Par exemple, on pourrait tout à fait paramétrer les touches visibles au départ ou bien le nombre maximum de chiffres qui s’affichent dans la zone d’affichage. De cette façon, on pourrait faire évoluer la calculatrice au fur et à mesure des besoins, en implémentant successivement les fonctionnalités dont on a besoin. Construire sa calculatrice (de même qu’on peut construire une règle graduée, en choisissant soit même l’unité) peut être un élément important de l’apprentissage. Mais cette potentialité pose une question : doit-on former à l’usage des calculatrices telles qu’on les trouve dans la vie courante ou bien utiliser l’outil calculatrice pour aider à construire des notions mathématiques ?

3. Cassons les calculatrices !

Parmi les utilisations de la calculatrice préconisées par le document d’accompagnement, on trouve en particulier les 2 exemples suivants :

Calcul : affichages sous contraintes :

Un nombre doit être obtenu à l’affichage, en respectant certaines contraintes pour provoquer cet affichage. Par exemple :
faire afficher 16 sans taper ni 1 ni 6
[1]

Multiplication sans [x] :

Il s’agit, sans utiliser la touche [x] et un minimum d’opérations sur la calculatrice, de calculer
les produits suivants : 387 x 204 et 387 x 199.
[1]

Les 2 calculatrices ci-dessus (réalisées par Emmanuel Ostenne, voir le fichier accompagnant cet article et contenant ce premier modèle de calculatrice virtuelle paramétrable) ont été paramétrés à l’aide d’un simple fichier texte. De cette façon, chaque enseignant peut facilement enlever des fonctionnalités à la calculatrice, forçant ainsi l’élève à des démarches de calcul.
Voici encore un exemple où il s’agit de faire afficher 1,24... mais malheureusement la touche « , » est désactivée...

Que ce soit pour mettre à jour des stratégies de calcul réfléchi ou bien pour travailler plus directement sur la numération, ces exemples montrent comment un système de contraintes simples (rendues concrètes par la désactivation des touches) oblige à recourir à des procédures. D’une certaine façon, la calculatrice souvent perçue comme "ce qui résout les problèmes" devient un problème en soi, une situation problème.

4. Vers une calculatrice à mémoire étendue ?

Les accompagnements précisent également :
« la nécessité de noter au fur et à mesure les calculs réalisés et les résultats obtenus, ainsi que leur interprétation dans le contexte de la situation évoquée ; »[1]

Plus loin :

« Par la facilité de calcul qu’elle offre, la calculatrice permet de générer rapidement des résultats et donc d’observer des phénomènes numériques, par exemple des régularités dans des suites de nombres générées à l’aide de la calculatrice. »[1]

L’intérêt d’une calculatrice encapsulée dans un logiciel informatique réside aussi dans la mémoire de l’ordinateur. On peut tout à fait imaginer enregistrer toutes les manipulations (ce qui comprend aussi les errements de l’élève, sa stratégie globale...) effectuées sur la calculatrice et qui pourraient être restituées sous la forme d’une suite de calculs en ligne (et pourquoi pas sous forme d’arbre ?)ou sous la forme d’un petit film montrant les activations et affichages successifs des touches, exactement comme si la calculatrice avait été filmée...( sur le modèle des petits films montrant les constructions des élèves avec des instruments virtuels, voir le site « Instrumenpoche »)
Avoir accès aux manipulations des élèves sur un outil (éventellement les confronter aves d’autres manipulations) peut se révéler très utile pour les discussions dans la classe sur les différentes stratégies possibles. Par exemple, si un élève fait 124:100 pour trouver 1,24 et un autre 1240:1000, on peut discuter pour savoir s’il y a un nombre fini de solutions au problème, ou encore si certaines sont plus économiques que d’autres (en temps ? en nombres de touches activées ?). Parfois, les élèves parviennent à un résultat mais sans réussir à reconstituer le fil (le film) de leur raisonnement. Accéder à la temporalité de ces actions, c’est aussi permettre la reproductibilité de certaines procédures à d’autres situations.

5. Algorithmique et boîte noire...

S’il est vrai qu’on peut enlever des touches ou les rendre inactives, on peut tout aussi bien imaginer "rajouter" des touches. Cette fonctionnalité pourrait se décliner de 2 façons :
- Comme une "boite noire" : une touche mystérieuse réalise une certaine action, par exemple elle fait comme la touche "multiplier" mais c’est à l’élève de le découvrir en faisant des tests (pour les petites classes). Ou bien cette touche agit directement en transformant les nombres, par exemple elle multiplie les nombres par 2 ou bien elle les divise par 10... Il reviendrait à l’enseignant de paramétrer l’action de cette touche, toujours de façon simple...
- Comme une fonctionnalité (qui serait d’ailleurs une fonction) mise à la disposition des élèves. "Tiens, pour tel type de problème, ce serait bien d’avoir une touche qui fait telle action..."

Plus généralement (et cette remarque dépasse sans doute très largement le cadre du primaire), il pourrait être particulièrement intéressant de montrer l’algorithme qui se cache derrière les touches habituelles de la calculatrice : les algorithmes simples (par exemple, la touche "carré" au collège) comme les plus complexes. Cela reviendrait à mettre à nu la calculatrice. Après l’avoir amputé et outillé, c’est bien le moins qu’on puisse faire !

6. Liens possibles avec d’autres logiciels et exercisation.

Une calculatrice virtuelle peut aussi être programmée pour vérifier un résultat ou une procédure. A ce stade, elle peut donc être utilisée en autonomie par un élève, comme un exerciseur.
Elle peut aussi servir de base à un jeu entre les élèves, par exemple tel qu’il est décrit dans les accompagnements :

« Calcul : interrogation mutuelle

L’activité, voisine de la précédente, est réalisée avec deux élèves. L’un des élèves tape une séquence du type 21 [-] 7 (en annonçant à l’autre ce qu’il tape). Le deuxième élève doit écrire le calcul dicté et le résultat. Le premier élève appuie alors sur [=]. Si le résultat affiché correspond au
résultat écrit, le deuxième élève marque 1 point, sinon c’est l’autre joueur qui marque 1 point. »

Une calculatrice virtuelle peut aussi être un des éléments d’un ensemble virtuel plus large (qui reste pour l’essentiel à construire et préfigurant sans doute les Labos de Maths de demain) : si on ajoute des robinets virtuels, des cuves virtuelles et des chronomètres virtuels... voilà de quoi réaliser de jolies expériences et mener des calculs très intéressants.

7. CalculaTICE ?

On remarque une certaine tendance des calculatrices à devenir de petits ordinateurs (avec géométrie dynamique et tableur intégré). La frontière tend à s’estomper, mais reste bien réelle (en particulier sur la façon dont la calculatrice et l’ordinateur sont implémentées). Utiliser une calculatrice virtuelle, c’est aussi prendre un certain recul sur l’outil calculatrice en l’immergeant dans un système dont il n’occupe pas le centre.
Par ailleurs, à l’heure où l’on parle d’opérations comme les "portables à 100 euros" pour les pays en voie de développement, on peut mesurer tout l’intérêt de développer des calculatrices virtuelles hautement paramétrables et évolutives...

Vous trouverez ci-dessous le fichier calculcassee.zip qui contient la calculatrice et le mode d’emploi pour la paramétrer (fichier "emploi.txt)


notes

[1"Utiliser les calculatrices en classe" : http://www.eduscol.education.fr/D0048/calculatrice.pdf

Documents associés à l'article
  Calculatrice   |   (Flash - 9.9 ko)
  Calculatrice - Accompagnement des programmes   |   (PDF - 253.6 ko)
  Calculatrice cassée   |   (Zip - 16.5 ko)
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