M@ths’n co [1], l’association qui réunit tous ceux qui soutiennent, font vivre et développent la démarche proposée dans le dispositif M@ths en-vie [2], a engagé un chantier autour d’applications numériques pour outiller les enseignants dans le cadre de l’enseignement de la résolution de problèmes. Ces applications sont mises gratuitement à la disposition de toutes celles et tous ceux qui recherchent des outils complémentaires pour les aider dans leur enseignement [3].

  Quelle en est l’origine ?

Dans le cadre de nos formations sur l’enseignement de la résolution de problèmes, nous abordions avec les enseignants la typologie de Vergnaux comme support pouvant les aider à diversifier les problèmes rencontrés par les élèves et à structurer leur enseignement. À cette fin, nous proposions une typologie simplifiée [4] et exhaustive avec une entrée par le sens (problèmes de parties-tout, problèmes de transformation et problèmes de comparaison) contrairement à Vergnaud qui propose une entrée par l’opération. Notre objectif, déconstruire chez les enseignants et surtout chez les élèves le fait qu’un problème, ce n’est pas une opération à trouver (parfois au petit bonheur la chance), mais une situation à modéliser et donc à comprendre. Si l’accueil réservé à notre démarche était très enthousiaste, la même question revenait en fin de formation : où trouver des exemples de problèmes classifiés selon cette typologie ?

De cette demande, nous avons commencé à mettre en ligne une feuille de tableur qui était régulièrement mise à jour, mais ce fonctionnement ne nous satisfaisait pas. Trainait dans notre tête l’idée de pouvoir proposer une banque collaborative, mais à cette époque, nous n’avions pas les compétences pour développer un tel outil. C’est Rémi Gilger [5], étudiant ingénieur, qui a accepté, durant ses études, de concevoir une première version qui un an après a été totalement refondue pour une meilleure expérience utilisateur et qui a été complétée par d’autres outils, car il nous paraissait incontournable de pouvoir exploiter au mieux cette formidable banque de données pour alimenter un outil de rituel et un exerciseur en résolution de problèmes, l’Atelier des problèmes. Il a été aidé de son père, Christophe Gilger [6], co-fondateur de M@ths en-vie et trésorier de M@ths’n Co., pour la conception pédagogique.

Aujourd’hui, ce sont plusieurs centaines d’heures qui ont été dédiées à ce projet, tant par le développement que par la gestion (vérification, indexation et approbation des problèmes) et nous sommes ravis qu’il rencontre un beau succès puisque nous comptons à ce jour plus de 11 000 contributions à la banque, près de 10 000 utilisateurs enregistrés, plus de 7 000 comptes élèves créés et 23 000 problèmes résolus. Mais à l’heure où vous lirez ces lignes, les chiffres (ou nombres si on veut être rigoureux d’un point de vue mathématique) auront encore augmenté !

 Nos partis pris

Voici ce qui a guidé la création de ces 3 outils tout au long de leur développement :

• des interfaces simples et ergonomiques ;
• une prise en main rapide et un usage intuitif tant pour l’enseignant que pour l’élève ;
• des éléments de ludification (dés, badges, scores, jokers), mais aucun distracteur ;
• une utilisation instantanée avec un minimum de paramétrage ;
• une personnalisation des applications afin de s’adapter à chaque enseignant et à chaque classe ;
• une réflexion sur l’accessibilité : oralisation de tous les écrits dans le cadre de l’Atelier des problèmes, écrans épurés, police de caractère adaptée… ;
• un lien fort avec les apprentissages réalisés en classe en résolution de problèmes ;
• une prise en compte de la réalité des classes dans l’usage au quotidien des applications par les élèves et surtout de l’équipement numérique : accessible depuis tout ordinateur ou tablette munis d’un navigateur ;
• un appui sur notre démarche d’enseignement de la résolution de problème.

Le développement n’est d’ailleurs pas fini, puisque des améliorations apparaissent régulièrement ! Dernièrement, nous avons offert la possibilité de disposer de problèmes traduits en 4 langues : anglais, allemand, italien et espagnol. S’affiche également le taux de réussite des problèmes afin que le choix des problèmes puisse se faire aussi sur ce critère.

À venir, une catégorisation plus fine des problèmes à étapes (problèmes à étapes additifs, multiplicatifs et mixtes) pour répondre aux nouveaux programmes et à terme, une meilleure prise en compte de la diversité des élèves par une personnalisation plus fine des problèmes soumis au regard des profils et de la difficulté de chaque énoncé.

 La banque de problèmes collaborative

Cette banque collaborative vise à outiller les enseignants dans l’enseignement des mathématiques et notamment la résolution de problèmes.

Cette banque a plusieurs objectifs :

• aider les enseignants à structurer leur enseignement de la résolution de problèmes ;
• fournir des photos catégorisées supports à des activités mathématiques [7] ;
• fournir des problèmes et photo-problèmes classés selon une typologie ;
• fournir des outils d’édition et de vidéoprojection pour utiliser avec les élèves les contenus.

La plateforme comporte quatre modules :

• une banque de problèmes, du CP à la sixième, avec un accès par filtres, un formulaire de contribution permettant de soumettre ses propres problèmes à la communauté et un outil d’édition permettant de générer des fiches élèves et vidéoprojeter des problèmes pour la classe ;
• une banque de photos avec un accès par filtres et un formulaire de contribution permettant de soumettre ses propres photos à la communauté ;
• une banque de problèmes de recherche du cycle 1 au cycle 3 avec un accès par filtres (ces problèmes ont été produits par plusieurs collectifs de travail au sein de notre association, mais la banque contient également les problèmes du dispositif EurêkaMaths [8] et les problèmes de la circonscription d’Épinay-sur-Seine, réalisés par Jean-Claude Rolland, CPC) [9] ;
• une banque de photo-problèmes de la maternelle à la sixième avec un accès par filtres, un formulaire de contribution permettant de soumettre ses propres photo-problèmes à la communauté et un outil d’édition permettant de générer des fiches élèves et vidéoprojeter des photo-problèmes pour la classe.

À noter qu’il est possible, à l’image d’un réseau social, d’aimer certains problèmes (les plus populaires apparaissant en premier) et de commenter les énoncés (difficultés rencontrées avec les élèves, points de vigilance…).

  Le principe

Cette banque est collaborative, donc vous y trouverez ce que vous y apporterez ! La banque est accessible à tous. Pour activer la consultation de tous les problèmes, photos ou photo-problèmes, il faut être connecté (avoir créé un compte) et avoir contribué à 3 problèmes, photos ou photo-problèmes. Une fois vos propositions soumises et validées par un administrateur, vous recevrez un mail automatique vous indiquant que vous avez accès à l’intégralité de la banque en question.

Cette banque ne vit que grâce à vous. C’est pourquoi, si vous l’utilisez, nous vous invitons à continuer l’alimenter régulièrement. Peut-être ferez-vous alors partie du TOP TEN des contributeurs (voir au bas de la page d’accueil) ? Plus la banque sera fournie par la communauté et plus chacun pourra y trouver son bonheur !

  Les problèmes présents

Une large place est accordée aux problèmes « basiques », dits prototypiques, à une étape, avec une recherche très fine qui s’appuie sur notre typologie. Cependant, on trouvera également :

• des problèmes à étapes ;
• des problèmes de proportionnalité ;
• des problèmes avec des fractions.

  Les usages pédagogiques

Les différentes fonctionnalités permettent :

• de faire des recherches ciblées sur l’ensemble des contenus ;
• de soumettre des problèmes à vos élèves via l’outil de vidéoprojection ;
• d’éditer des fiches pour s’entraîner dans le cadre de séances, plans de travail, ateliers autonomes…
• de trouver des problèmes pour différencier votre enseignement ;
• de proposer des défis ou rallyes mathématiques à partir des énigmes ;
• de pouvoir interagir avec les autres utilisateurs via notamment les commentaires ;
• de contribuer à une communauté apprenante.

 L’outil de rituel

Ce module permet de proposer aux élèves un rituel de problèmes s’appuyant sur une programmation et une progression sur les 5 périodes de l’année, et ce, du CP au CM2. Cet entrainement vient en complément du travail autour de la méthode [10] M@ths en-vie qui propose un enseignement explicite et structuré de la résolution de problèmes. Cependant, il peut également être utilisé seul.

  Comment ça marche ?

Chaque jour, un ou plusieurs problèmes selon le ou les niveaux de la classe (nous avons pensé aux classes multiniveaux !) sont tirés au sort dans la banque de problèmes en fonction d’une progression et d’une programmation issue de notre méthode qui s’appuie sur une typologie de problèmes.

À chaque période, un nouveau type de problème est concerné (l’affichage du type est possible) avec parfois, une graduation durant la période. Si le problème tiré au sort ne vous convenait pas (contexte trop compliqué pour vos élèves, nombres trop grands…), un nouveau tirage dans le même type de problème peut alors être effectué.

En termes de fonctionnalités, vous pouvez :

• afficher ou non le niveau des problèmes ;
• afficher ou non la difficulté des problèmes (de 1 à 3 *, selon les niveaux choisis) ;
• afficher ou non le type de problème ;
• augmenter et diminuer la taille d’affichage ;
• faire un autre tirage parmi le type enseigné si le problème du jour ne vous convient pas.

  Exemple d’affichage de 2 problèmes en simultané :

Le rituel n’est pas « figé » puisqu’il s’enrichit au gré des contributions des utilisateurs de la banque collaborative.

  Mise en œuvre concrète en classe

Ce rituel a vocation à être réalisé sur un court temps de 10 minutes environ.

• L’enseignant.e projette le problème ou les problèmes selon le nombre de niveaux dans la classe.
• Les élèves réalisent leur problème sur ardoise ou cahier d’essai.
• L’enseignant.e laisse quelques minutes aux élèves pour le résoudre seuls.
• Une correction collective est réalisée. On ne se focalisera pas sur les techniques opératoires qui ne sont pas l’enjeu de cet exercice.

À noter que les problèmes ne s’affichent que les seuls jours de classe ; il n’y a aucun problème prévu durant les vacances ainsi que les samedis et dimanches. Il est donc nécessaire que dans votre profil, vous complétiez votre zone de vacances.

 L’atelier des problèmes

L’atelier des problèmes permet aux élèves de s’entraîner en résolution de problèmes en lien avec les apprentissages réalisés en classe par l’enseignant. Les problèmes sont proposés selon une progression et une programmation du CP au CM2, définies dans l’application et personnalisables par l’enseignant.

Cet outil prend également appui sur la banque collaborative et puise ses problèmes dans les différentes contributions des utilisateurs (plus de 7 000 à ce jour). Les problèmes proposés sont le reflet parfait des problèmes qui sont donnés au quotidien dans les classes, car proposés par des enseignants de terrain.

L’application comprend trois modules :

• « L’atelier » pour un entraînement individuel, sans authentification ;
• « En classe » pour un usage régulier, avec un suivi des élèves pour le professeur ;
• « À la maison » pour un usage dans un cadre familial (en cours de développement)

Originalité de l’application « En classe », elle est indexée sur le calendrier scolaire et accessible uniquement les jours d’école, du lundi au vendredi. L’application n’est donc pas accessible aux élèves pendant les vacances scolaires.

Nous nous sommes appuyés sur l’intelligence artificielle pour :

• générer les aides tutorielles « A l’aide » et « Au secours » décrites ci-dessous ;
• générer les phrases réponses dans lesquelles les élèves inscrivent leur résultat ;
• vérifier le résultat de chaque problème saisi par l’administrateur ;
• traduite les problèmes en 4 langues ;
• générer une explication de la résolution en cas de non réussite au problème.

  Module « L’Atelier »

Ce module ne nécessite pas d’authentification. L’élève choisit son niveau de classe et accède directement à une partie.

Chaque partie propose 5 problèmes tirés au sort dans la banque collaborative M@ths en-vie en fonction d’une programmation et d’une progression définies de base dans l’application.

Pour chaque partie, l’élève dispose de 3 jokers qu’il peut s’il le souhaite utiliser lui permettant :

• de passer un problème s’il ne le comprend pas, par exemple pour des raisons de vocabulaire (coût : 1 joker) ;
• d’accéder à une aide « Coup de pouce » lui donnant des indications pour pouvoir résoudre le problème (coût : 1 joker) ;
• d’accéder à une aide « À l’aide » (uniquement pour le cycle 3) lui donnant la démarche complète pour résoudre le problème (coût : 2 jokers).

À l’affichage du problème, l’élève peut :

• écouter une lecture de l’énoncé via l’icône associée ;
• demander un autre tirage du même type ;
• demander l’affichage de l’aide « Coup de pouce » ou « À l’aide » ;
• répondre.

À la fin de la partie, l’application indique :

• le nombre de jokers utilisés ;
• le badge obtenu (« Expert », « Confirmé » et « Novice ») calculé par un algorithme selon les réussites et le nombre de badges utilisés ;
• et pour chacun des 5 problèmes, s’il a été réussi (barre verte), s’il a été réussi avec une aide (barre orange), s’il a été échoué (barre rouge).

  Module « En classe »

Le module « En classe » s’appuie sur le même type de parties proposées dans le module « L’atelier » (voir descriptif ci-dessus) avec des fonctionnalités complémentaires :

• une authentification enseignant permettant aux élèves d’accéder à leur profil personnel et à l’enseignant, de suivre les progrès de ses élèves ;
• un tableau de paramétrage de la progression/programmation (voir descriptif ci-dessous) ;
• une évaluation diagnostique lors de la première partie effectuée dans chaque période (5 évaluations).

L’enseignant s’authentifie sur tous les postes afin de donner l’accès au tableau des pictogrammes permettant à chaque élève de retrouver son profil personnel. Le pictogramme « professeur » permet à l’enseignant de pouvoir tester l’application telle qu’un élève peut l’utiliser.

Lors de sa première partie dans la période, l’élève est soumis à une évaluation diagnostique qui se compose de 3 problèmes (sans aide, sans correction) du type étudié dans la période, déterminant ainsi la difficulté des problèmes qui vont lui être proposés.

L’élève peut réaliser jusqu’à 3 parties dans la journée et 10 dans la période.
Si un élève n’a pas réussi un problème, une correction s’affiche. Si l’élève ne comprend pas la correction, il a la possibilité de notifier l’enseignant afin que ce dernier puisse lui venir en aide. Une notification s’affiche alors pour cet élève dans le tableau de bord de l’enseignant.

  Le tableau de bord de suivi des élèves

Le tableau de bord permet de paramétrer le niveau des élèves et suivre la progression des élèves. Il vous sera demandé à nouveau votre mot de passe afin que les élèves ne puissent pas accéder au tableau de bord.

Le tableau de bord permet de voir :

• la réussite à l’évaluation diagnostique grâce à un code couleur : vert (3 problèmes réussis), orange (1 à 2 problèmes réussis) ou rouge (aucun problème réussi) ;
• la réussite de chaque partie calculée selon un algorithme : vert (réussite), orange (réussite partielle), rouge (problèmes non réussis) ;
• si un élève a sollicité de l’aide pour un problème. Un historique des demandes et des énoncés en question vous permettra de revenir individuellement avec lui sur l’explication de la solution qu’il n’a pas comprise.

  La programmation/progression en résolution de problèmes

L’application utilise par défaut une programmation/progression déjà paramétrée au regard de la méthode d’enseignement de la résolution de problèmes M@ths en-vie.

  Exemple pour le CP

Chaque période est découpée en deux, soit 10 modules dans l’année. Pour chaque module sont définis :

• le ou les types de problèmes que l’élève va rencontrer ;
• la taille maximale des nombres dans l’énoncé ;
• la longueur maximale de l’énoncé (nombre de caractères) ;
• le nombre maximal de données dans un problème à étapes ;
• la présence ou non de décimaux dans l’énoncé.

Il est possible de personnaliser les différents paramètres de chaque module depuis le profil de l’enseignant. À savoir que toute modification impactera l’outil « Rituel de problèmes ».

 Trois outils en synergie

Depuis peu, on peut accéder depuis un même compte aux trois applications. Ainsi les paramètres définis pour une application (zone de vacances, programmation, abonnement…) s’appliquent également aux deux autres.
Nous souhaitons que les enseignants puissent utiliser ces outils de façon complémentaire afin d’enrichir et faciliter leur enseignement de la résolution de problèmes.

À cette fin, nous avons donc développé récemment une nouvelle plateforme avec une authentification unique vous permettant d’accéder à tous les outils. Elle est accessible via cette adresse : https://appenvie.fr/

Pour rappel, l’accès est totalement gratuit et les membres de l’association M@ths’n Co bénéficient de deux fonctionnalités spécifiques sur nos apps :

• La possibilité de personnaliser la programmation de l’atelier des problèmes et du rituel.
• La possibilité d’éditer des fiches problèmes et photo-problèmes ainsi que de vidéoprojeter des problèmes et photo-problèmes depuis la banque.

 Les perspectives

Au-delà des améliorations possibles des outils, nous souhaiterions pouvoir associer des didacticiens et statisticiens pour analyser les énoncés au regard des taux de réussite de chaque problème, car nous collectons pour chaque résolution dans l’atelier des problèmes si le problème a été réussi, si oui, avec quelle aide éventuelle et le résultat saisi (qu’il soit juste ou faux).

Nous pourrions alors définir, pour chaque niveau, voire chaque profil d’élèves :

• les types de problèmes les mieux réussis et à l’inverse, ceux les plus échoués ;
• les erreurs fréquentes ;
• le lien entre taux de réussite et taille des nombres ;
• Les erreurs liées à la compréhension ou au calcul ;
• le vocabulaire qui peut être aidant ou celui qui peut créer des obstacles…
  … et de nombreux autres paramètres liés aux énoncés nous permettant de mieux comprendre les réussites et difficultés des élèves en résolution de problèmes.

Enfin, nous espérons pouvoir disposer d’une aide dans deux domaines que nous ne maîtrisons pas en interne afin de pouvoir améliorer nos outils :

• une aide relative à l’accessibilité,
• une aide relative à l’environnement graphique, que nous souhaiterions pouvoir améliorer.

 Des communs numériques

Le code de ces trois applications est libre et déposé sur La forge des communs numériques éducatifs [11] portée par la Direction du numérique pour l’éducation du ministère de l’Éducation nationale. Les applications sont quant à elles accessibles depuis le portail primaire de la Forge [12].

La forge des communs numériques éducatifs, alias LaForgeEdu, regroupe les enseignants, communautés d’enseignants et leurs partenaires qui créent et partagent des logiciels et ressources éducatives libres.

Elle rassemble à la fois les professeurs développeurs qui y déposent le code de leurs projets (tels que PrimTux, MathALÉA, e-comBox ou La Nuit du Code) mais aussi les professeurs qui choisissent le format texte ou texte formaté (Markdown, LaTeX, etc.) pour éditer et publier du contenu pédagogique.

Elle repose sur le logiciel libre GitLab. Elle mutualise et valorise les productions des communautés et aide certains de ses projets à passer à l’échelle.