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Activités mises en ligne par l’IREM de Lille sur le Calcul des probabilités en Troisième
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Mis en ligne le 30 janvier 2009, par Raymond Moché

Les liens de cet article ouvrent sur une page présentant plusieurs activités : il reste à choisir celle indiquée dans le titre sur cette page (NDLR)

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Plan

http://gradus-ad-mathematicam.fr/3emeProba0.htm

  • Il s’agit d’activités clef en main sur le Calcul des probabilités en Troisième conformes au programme de Troisième et au Projet de document d’accompagnement et choisies en toute liberté selon nos goûts, disponibilités et compétences.
  • Les professeurs peuvent s’approprier ces activités puisque les fichiers source sont
    fournis.
  • Elles comprennent souvent une partie d’expérimentation (auquel cas une organisation de la collecte et de la saisie des résultats expérimentaux en classe est proposée) et une partie de simulation sur tableur (ou calculette dans un cas seulement). Une fiche professeur précise cela avec, éventuellement, des commentaires.
  • Nous n’utilisons plus que des logiciels libres (OpenOffice, TeP, GeoGebra, etc). Des formats commerciaux subsistent dans certaines activités anciennes.

I - Liste des activités en ligne actuellement
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1 - Premier contact avec le hasard
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Descriptif : à l’occasion du lancer répété d’un dé, on s’interroge sur la liste des résultats possibles, leur variabilité, indépendance et imprévisibilité, l’égalité des chances d’obtenir chacun des résultats possibles, leurs effectifs et fréquences, l’existence d’une répartition idéale, pour préparer l’introduction de la notion de probabilité d’un événement.

Commentaires : Cette activité peut être court-circuitée.

2 - Introduction de la simulation en troisième
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Descriptif : Le lancer répété d’un dé et d’autres situations familières sont interchangeables en ce sens qu’elles relèvent d’un modèle commun qui peut être
simulé très rapidement à l’aide d’un tableur. On explique l’intérêt de la simulation et
l’utilisation des fonctions ALEA.ENTRE.BORNES et NB.SI. On n’aborde pas encore la notion de probabilité d’un événement.

Commentaires : La première séance consiste en une expérimentation effective avec collecte et résumé des résultats. Sans le dire, on fait de la modélisation : les expériences proposées se représentent par la même liste des issues possibles
qui ont toutes autant de chances de se produire les unes que les autres. Dans la deuxième séance, on les simule exactement de la même manière à l’aide d’un
tableur. C’est rapide, sans manipulations expérimentales fastidieuses.

3 - Approche fréquentiste de la probabilité en 3ème (1)
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Descriptif : Activité de base sur l’approche fréquentiste de la probabilité : la fréquence de sortie du 6 quand on répète le lancer d’un dé se stabilise autour de 1/6, valeur que l’on rapproche du fait que le 6 a une chance sur 6 de sortir. Si on
l’appelle probabilité de l’événement « Le 6 sort », on découvre donc un moyen expérimental de trouver la probabilité d’un événement associé à une expérience aléatoire que l’on peut répéter. On montre aussi qu’un petit nombre de lancers
ne permet pas de tirer de conclusion.

Commentaires : La « Fiche Professeur » explique pourquoi l’approximation de la probabilité d’un événement par les fréquences nécessite un grand nombre de
simulations. Un « Classeur professeur » illustre ces remarques. Il peut être montré aux élèves à l’aide d’un vidéo-projecteur. Les calculs y sont entièrement exécutés.

4 - La punaise : probabilités en Troisième
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Descriptif : Illustrer l’approche fréquentiste des probabilités par la détermination expérimentale approximative de la probabilité qu’une punaise retombe sur la pointe. Les données expérimentales sont fournies.

Commentaires : C’est une activité qui ne peut venir qu’après une activité du genre de « Approche fréquentiste de la probabilité en 3ème (1) ». Comme le signale le « Projet de document d’accompagnement », cette activité est intéressante parce que l’on ne sait pas d’avance quelle est la probabilité pour qu’une punaise donnée retombe sur la pointe. Ces cas sont rares dans la littérature. On insiste sur le fait que la réponse donnée dépend de l’expérimentation, donc du
hasard.

5 - Approche fréquentiste de la probabilité en 3ème (2)
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Descriptif : Approfondissement de l’approche fréquentiste de la probabilité d’un
événement ; probabilité que l’un ou l’autre de deux événements incompatibles se réalise et somme des probabilités ; formule de Laplace.

Commentaires : La formule de Laplace (Nombre de cas favorables/Nombre de cas possibles) est citée dans le projet de document d’accompagnement.

6 - Choisir un point au hasard sur un cercle
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Descriptif : M étant un point choisi au hasard sur le cercle-unité dont A est un point fixe, on calcule la probabilité p de l’événement « la longueur l de la corde AM est plus grande que le côté c d’un triangle équilatéral ABC inscrit » (ce qui est l’une des réponses possibles du paradoxe de Bertrand), puis on constate que la fréquence de réalisation de cet événement, quand on répète l’expérience un grand nombre de fois, est voisine de p.

Commentaires : C’est une activité à la limite du programme, qui utilise une « loi
uniforme » sur un intervalle (fonction ALEA). Les lois uniformes sont très intuitives et expliquées en deux mots dans l’énoncé. La volatilité de ALEA est agaçante.

7 – Lancer de 200 dés
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Descriptif : Diaporama qui aide le professeur à introduire la notion de
probabilité d’un événement.

Commentaires : Activité de base sur l’approche fréquentiste de la probabilité.
Très beau diaporama pour deux séances d’une heure. Dans la première, la classe est organisée pour lancer 200 fois un dé et étudier la fréquence d’apparition du 6 ; dans la seconde, le même travail est repris par simulation. L’utilisation du tableur est détaillée et illustrée, y compris la production du graphe.

8 – Le craps (une introduction à la notion de probabilité d’un événement)
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Descriptif : On étudie la fréquence d’apparition des faces quand on lance un dé ou la fréquence d’apparition des valeurs prises par la somme des faces quand on lance deux dés. Les données sont réelles ou simulées à l’aide d’une calculatrice, saisies et rassemblées dans une seule feuille de calcul préprogrammée qui fournit directement les diagrammes des fréquences. Des simulations supplémentaires
au tableur sont préparées pour le professeur. On peut les multiplier. En comparant les différents graphes obtenus, on arrive à une notion intuitive de probabilité d’événements liés au lancer d’un ou 2 dés.

Commentaires : Activité de base sur l’approche fréquentiste de la probabilité,
mais qui va plus loin que « Approche fréquentiste de la probabilité en 3ème (1) » ou « Lancer de 200 dés » puisque l’on considère aussi la somme de deux dés. Les feuilles de calcul étant préprogrammées, l’utilisation du tableur-grapheur par le professeur ne présente aucune difficulté. Les tailles d’échantillon mises en œuvre
sont convenables (jusqu’à 2000 lancers d’un dé).

9 –Jeu de boules à deux coups
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Descriptif : On illustre la règle selon laquelle dans un arbre, la probabilité du résultat auquel conduit un chemin est égale au produit des probabilités rencontrées sur ce chemin, par simulation et étude de l’évolution des fréquences.

Commentaires : Les feuilles de calcul sont préprogrammées.

II – Les difficultés de la conception d’activités de probabilité en Troisième
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  • Le programme de calcul des probabilités en Troisième (1.4 Notion de probabilité, quelques lignes) paraît modeste (tout en se rattachant à des questions philosophiques très profondes qui sont ici hors sujet) alors que le Projet de document d’accompagnement (27 pages) est ambitieux et technique. L’écart entre les deux documents est énorme.
  • L’idéal serait que les professeurs aient en tête un cours de probabilité du niveau de la préparation au CAPES. Cela étant, ils sauraient que l’approche fréquentiste de la probabilité d’un événement lié à une expérience que l’on peut répéter autant de fois que l’on veut repose sur la loi forte des grands nombres. Ils pourraient aussi remarquer que le « Programme » oublie la notion d’indépendance (si intuitive et nécessaire pour énoncer la loi forte des grands nombres ; l’indépendance stochastique est présente dans le programme de Seconde) ou que le « Projet de document d’accompagnement » fait appel à des lois à densité comme les lois uniformes sur un intervalle ou même sur un carré, hors programme.
  • Néanmoins, il est vrai que toutes les idées et outils introduits dans le « Programme » ou le « Projet de document d’accompagnement du programme », qui reposent sur des bases mathématiques solides et éprouvées, relèvent du bon sens et de l’intuition. Il n’est pas déraisonnable de dire que l’on peut enseigner ce programme sans les connaissances théoriques qui donnent habituellement un recul bienvenu aux professeurs.
  • Conformément au programme, nous nous contentons d’illustrer ou de faire découvrir des propriétés. Toutes les situations sont familières.
  • Concernant la simulation, il ne faut pas multiplier les difficultés : les élèves sont
    supposés avoir été initiés à l’usage du tableur ou de la calculatrice. Sinon, il faut commencer par une initiation. Nous avons essayé de gommer au maximum les difficultés.
  • Nombres aléatoires, pseudo-aléatoires : les calculatrices et le tableur utilisés fournissent des nombres qui sont en fait calculés d’après une formule de récurrence à partir de son premier terme. Ces nombres ne sont pas du tout aléatoires mais peuvent être considérés comme des nombres aléatoires (d’après la théorie statistique, notamment tout une batterie de tests d’adéquation à une loi donnée, dont le test du chi2). Certains les appellent pour cela des nombres pseudo-aléatoires. Cette subtilité ne s’impose pas.
  • La partie informatique des activités consacrées à l’approche fréquentiste de la probabilité, voir le « Projet de document d’accompagnement » , p.5, comprend de façon standard une étape de simulation, éventuellement un codage des résultats (considérés comme des résultats expérimentaux), un calcul des effectifs, des fréquences, une représentation graphique qui devra être interprétée.
  • L’usage du tableur d’OOo est simple : les fonctions de base sont toutes citées dans le « Projet de document d’accompagnement » (par exemple ALEA.ENTRE.BORNES et NB.SI). Les formules plus compliquées, qui peuvent comprendre un test (par exemple SI) ou même des test emboîtés, sont pré-insérées dans les cellules ad hoc ; les graphes sont souvent préparés d’avance. L’usage d’un autre tableur peut poser des problèmes (mineurs). Par exemple, la fonction ALEA.ENTRE.BORNES n’est pas incluse dans l’installation d’EXCEL par défaut.
  • Un piège à éviter : L’utilisation d’un tableur pose des problèmes d’affichage. En effet, il y a deux contraintes antagonistes :
    • d’une part, l’approche fréquentiste de la probabilité exige de simuler beaucoup de nombres (voir la « Fiche Professeur » et le « Classeur Professeur » de « Approche fréquentiste de la probabilité en 3ème (1) », de l’ordre de plusieurs milliers si possible, si l’on ne veut pas se trouver devant des résultats expérimentaux ridicules (par exemple 0,45 comme valeur approchée de 1/6), parce que la convergence dans la loi forte des grands nombres, très étudiée, est lente ;
    • d’autre part, il vaudrait mieux que ces nombres soient visibles à l’écran, pour aider les élèves (que peuvent-ils penser d’une colonne de 1500 nombres ?).
  • Une solution peut être de calculer les fréquences non pas après chaque expérience, mais seulement (par exemple) après la 30ème expérience, la 60ème, etc. Ces deux options donnent de tracés assez différents en apparence : les images qui suivent sont extraites du « Classeur Professeur » de « Approche fréquentiste de la probabilité en 3ème (1) ». Il s’agit du lancer d’un dé.


    Le deuxième tracé, analogue aux tracés du « Projet de document d’accompagnement », est trompeur. Il donne une impression de stabilisation des fréquences alors que c’est faux comme le montre bien le premier tracé, qui est un extrait du second (fréquences calculées de 30 en 30 à partir des mêmes données expérimentales). La conclusion, puisque l’on est sûr que la stabilisation finit par se produire, d’après la loi des grands nombres, est que 900 lancers, ce n’est pas assez.
    Une simulation sur 20000 lancers répétée trois fois a donné respectivement 0.168, 0.166 et 0.171 pour valeur approchée de la probabilité 1/6 de sortir un 6 quand on lance un dé (voir la feuille 2 du classeur cité). Le terrain est mouvant !

III - Comment obtenir la publication d’une activité sur notre site ?
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Nous apprécierions beaucoup de recevoir des critiques constructives et toute autre forme d’aide. Notre site est ouvert et accepte des contributions. Voir http://irem-old.univ-lille1.fr/activites/article5.html
Descriptif : Ce document en trois parties s’adresse à toutes les personnes désirant
participer au contenu de ce site. Il décrit les éléments à respecter pour qu’une contribution soit mise en ligne.
Des documents techniques indiquent comment charger les fichiers techniques (voir « Informations générales » sur le site).


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