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Activités mises en ligne par l’IREM de Lille sur le Calcul des probabilités en Troisième
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Plan

http://irem.univ-lille1.fr/activites/rubrique36.html

  • Il s’agit d’activités clef
    en main sur le Calcul des probabilités en Troisième
    conformes au programme de Troisième et au Projet de document
    d’accompagnement et choisies en toute liberté selon nos
    goûts, disponibilités et compétences.
  • Les professeurs peuvent
    s’approprier ces activités puisque les fichiers source sont
    fournis.
  • Elles comprennent souvent une
    partie d’expérimentation (auquel cas une organisation de la
    collecte et de la saisie des résultats expérimentaux
    en classe est proposée) et une partie de simulation sur
    tableur (ou calculette dans un cas seulement). Une fiche professeur
    précise cela avec, éventuellement, des commentaires.
  • Nous
    n’utilisons plus que des logiciels libres (OpenOffice, TeP,
    GeoGebra, etc). Des formats commerciaux subsistent dans certaines
    activités anciennes.

I - Liste des activités en ligne actuellement
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1 - Premier contact avec le hasard
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Descriptif : à l’occasion du lancer répété d’un dé,
on s’interroge sur la liste des résultats possibles, leur
variabilité, indépendance et imprévisibilité,
l’égalité des chances d’obtenir chacun des résultats
possibles, leurs effectifs et fréquences, l’existence d’une
répartition idéale, pour préparer l’introduction
de la notion de probabilité d’un événement.

Commentaires : Cette activité
peut être court-circuitée.

2 - Introduction de la simulation en troisième
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Descriptif : Le
lancer répété d’un dé et d’autres
situations familières sont interchangeables en ce sens
qu’elles relèvent d’un modèle commun qui peut être
simulé très rapidement à l’aide d’un
tableur. On explique l’intérêt de la simulation et
l’utilisation des fonctions ALEA.ENTRE.BORNES et NB.SI. On n’aborde
pas encore la notion de probabilité d’un événement.

Commentaires : La première
séance consiste en une expérimentation effective avec
collecte et résumé des résultats. Sans le dire,
on fait de la modélisation : les expériences proposées
se représentent par la même liste des issues possibles
qui ont toutes autant de chances de se produire les unes que les
autres. Dans la deuxième séance, on les simule
exactement de la même manière à l’aide d’un
tableur. C’est rapide, sans manipulations expérimentales
fastidieuses.

3 - Approche fréquentiste de la probabilité en 3ème (1)
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Descriptif : Activité
de base sur l’approche fréquentiste de la probabilité

 : la fréquence de sortie du 6 quand on répète le
lancer d’un dé se stabilise autour de 1/6, valeur que l’on
rapproche du fait que le 6 a une chance sur 6 de sortir. Si on
l’appelle probabilité de l’événement « Le
6 sort », on découvre donc un moyen expérimental de trouver la probabilité d’un événement associé
à une expérience aléatoire que l’on peut
répéter. On montre aussi qu’un petit nombre de lancers
ne permet pas de tirer de conclusion.

Commentaires : La
« Fiche Professeur » explique pourquoi
l’approximation de la probabilité d’un événement
par les fréquences nécessite un grand nombre de
simulations. Un « Classeur professeur »
illustre ces remarques. Il peut être montré aux élèves
à l’aide d’un vidéo-projecteur. Les calculs y sont
entièrement exécutés.

4 - La punaise : probabilités en Troisième
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Descriptif : Illustrer
l’approche fréquentiste des probabilités par la
détermination expérimentale approximative de la
probabilité qu’une punaise retombe sur la pointe. Les
données expérimentales sont fournies.

Commentaires : C’est une activité
qui ne peut venir qu’après une activité du genre de
« Approche fréquentiste
de la probabilité en 3ème (1) ». Comme
le signale le « Projet de document d’accompagnement »,
cette activité est intéressante parce que l’on ne sait
pas d’avance quelle est la probabilité pour qu’une punaise
donnée retombe sur la pointe. Ces cas sont rares dans la
littérature. On insiste sur le fait que la réponse
donnée dépend de l’expérimentation, donc du
hasard.

5 - Approche fréquentiste de la probabilité en 3ème (2)
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Descriptif : Approfondissement
de l’approche fréquentiste de la probabilité d’un
événement ; probabilité que l’un ou l’autre
de deux événements incompatibles se réalise et
somme des probabilités ; formule de Laplace.

Commentaires : La
formule de Laplace (Nombre de cas favorables/Nombre de cas possibles)
est citée dans le projet de document d’accompagnement.

6 - Choisir un point au hasard sur un cercle
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Descriptif : M étant un
point choisi au hasard sur le cercle-unité dont A est un point
fixe, on calcule la probabilité p de l’événement
« la longueur l de la corde AM est plus grande que le côté
c d’un triangle équilatéral ABC inscrit »
(ce qui est l’une des réponses possibles du paradoxe de
Bertrand), puis on constate que la fréquence de réalisation
de cet événement, quand on répète
l’expérience un grand nombre de fois, est voisine de p.

Commentaires : C’est une activité
à la limite du programme, qui utilise une « loi
uniforme » sur un intervalle (fonction ALEA). Les lois
uniformes sont très intuitives et expliquées en deux
mots dans l’énoncé. La volatilité de ALEA est
agaçante.

7 – Lancer de 200 dés
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Descriptif :
Diaporama qui aide le professeur à introduire la notion de
probabilité d’un événement.

Commentaires : Activité
de base sur l’approche fréquentiste de la probabilité
.
Très beau diaporama pour deux séances d’une heure. Dans
la première, la classe est organisée pour lancer 200
fois un dé et étudier la fréquence d’apparition
du 6 ; dans la seconde, le même travail est repris par
simulation. L’utilisation du tableur est détaillée et
illustrée, y compris la production du graphe.

8 – Le craps (une introduction à la notion de probabilité d’un événement)
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Descriptif : On
étudie la fréquence d’apparition des faces quand on
lance un dé ou la fréquence d’apparition des valeurs
prises par la somme des faces quand on lance deux dés. Les
données sont réelles ou simulées à l’aide
d’une calculatrice, saisies et rassemblées dans une seule
feuille de calcul préprogrammée qui fournit directement
les diagrammes des fréquences. Des simulations supplémentaires
au tableur sont préparées pour le professeur. On peut
les multiplier. En comparant les différents graphes obtenus,
on arrive à une notion intuitive de probabilité
d’événements liés au lancer d’un ou 2 dés.

Commentaires : Activité
de base sur l’approche fréquentiste de la probabilité
,
mais qui va plus loin que « Approche fréquentiste
de la probabilité en 3ème (1) » ou « Lancer
de 200 dés » puisque l’on considère aussi la
somme de deux dés. Les feuilles de calcul étant
préprogrammées, l’utilisation du tableur-grapheur par
le professeur ne présente aucune difficulté. Les
tailles d’échantillon mises en œuvre
sont convenables (jusqu’à 2000 lancers d’un dé).

9 –Jeu de boules à deux coups
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Descriptif : On
illustre la règle selon laquelle dans un arbre, la probabilité
du résultat auquel conduit un chemin est égale au
produit des probabilités rencontrées sur ce chemin, par
simulation et étude de l’évolution des fréquences.

Commentaires
 :
Les feuilles de calcul sont préprogrammées.

II – Les difficultés de la conception d’activités de probabilité en Troisième
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  • Le
    programme de calcul des probabilités en Troisième (1.4
    Notion de probabilité
    ,
    quelques lignes) paraît modeste (tout en se rattachant à
    des questions philosophiques très profondes qui sont ici hors
    sujet) alors que le Projet de document d’accompagnement (27 pages)
    est ambitieux et technique. L’écart entre les deux documents
    est énorme.
  • L’idéal
    serait que les professeurs aient en tête un cours de
    probabilité du niveau de la préparation au CAPES. Cela
    étant, ils sauraient que l’approche fréquentiste de la
    probabilité d’un événement lié à
    une expérience que l’on peut répéter autant de
    fois que l’on veut repose sur la loi forte des grands nombres. Ils
    pourraient aussi remarquer que le « Programme »
    oublie la notion d’indépendance (si intuitive et nécessaire
    pour énoncer la loi forte des grands nombres ; l’indépendance
    stochastique est présente dans le programme de Seconde) ou
    que le « Projet de document d’accompagnement »
    fait appel à des lois à densité comme les lois
    uniformes sur un intervalle ou même sur un carré, hors
    programme.
  • Néanmoins,
    il est vrai que toutes les idées et outils introduits dans le « Programme » ou le « Projet de
    document d’accompagnement du programme », qui
    reposent sur des bases mathématiques solides et éprouvées,
    relèvent du bon sens et de l’intuition. Il n’est pas
    déraisonnable de dire que l’on peut enseigner ce programme
    sans les connaissances théoriques qui donnent habituellement
    un recul bienvenu aux professeurs.
  • Conformément
    au programme, nous nous contentons d’illustrer ou de faire
    découvrir des propriétés. Toutes les situations
    sont familières.
  • Concernant
    la simulation, il ne faut pas multiplier les difficultés
     : les élèves sont
    supposés avoir été initiés à
    l’usage du tableur ou de la calculatrice. Sinon, il faut commencer
    par une initiation. Nous avons essayé de gommer au maximum
    les difficultés.
  • Nombres
    aléatoires, pseudo-aléatoires :
    les calculatrices
    et le tableur utilisés fournissent des nombres qui sont en
    fait calculés d’après une formule de récurrence
    à partir de son premier terme. Ces nombres ne sont pas du
    tout aléatoires mais peuvent être considérés
    comme des nombres aléatoires (d’après la théorie
    statistique, notamment tout une batterie de tests d’adéquation
    à une loi donnée, dont le test du chi2). Certains les
    appellent pour cela des nombres pseudo-aléatoires. Cette
    subtilité ne s’impose pas.
  • La partie informatique des activités consacrées à
    l’approche fréquentiste de la probabilité, voir le
    « Projet de document d’accompagnement » , p.5, comprend de façon standard une étape de simulation,
    éventuellement un codage des résultats (considérés
    comme des résultats expérimentaux), un calcul des
    effectifs, des fréquences, une représentation
    graphique qui devra être interprétée.
  • L’usage du tableur d’OOo est simple : les fonctions de base sont toutes
    citées dans le « Projet de document
    d’accompagnement » (par exemple ALEA.ENTRE.BORNES et
    NB.SI). Les formules plus compliquées, qui peuvent comprendre
    un test (par exemple SI) ou même des test emboîtés,
    sont pré-insérées dans les cellules ad hoc ;
    les graphes sont souvent préparés d’avance. L’usage
    d’un autre tableur peut poser des problèmes (mineurs). Par
    exemple, la fonction ALEA.ENTRE.BORNES n’est pas incluse dans
    l’installation d’EXCEL par défaut.
  • Un piège à éviter : L’utilisation d’un tableur
    pose des problèmes d’affichage. En effet, il y a deux
    contraintes antagonistes :
    • d’une
      part, l’approche fréquentiste de la probabilité exige
      de simuler beaucoup de nombres (voir la « Fiche
      Professeur » et le « Classeur Professeur »
      de « Approche
      fréquentiste de la probabilité en 3ème (1) »,
      de l’ordre de plusieurs milliers si possible, si l’on ne veut pas
      se trouver devant des résultats expérimentaux
      ridicules (par exemple 0,45 comme valeur approchée de 1/6),
      parce que la convergence dans la loi forte des grands nombres, très
      étudiée, est lente ;
    • d’autre part, il vaudrait mieux que ces nombres soient visibles à
      l’écran, pour aider les élèves (que
      peuvent-ils penser d’une colonne de 1500 nombres ?).
  • Une
    solution peut être de calculer les fréquences non pas
    après chaque expérience, mais seulement (par exemple)
    après la 30ème expérience, la 60ème,
    etc. Ces deux options donnent de tracés assez différents
    en apparence : les images qui suivent sont extraites du « Classeur
    Professeur » de « Approche
    fréquentiste de la probabilité en 3ème (1) ».
    Il s’agit du lancer d’un dé.


    Le deuxième tracé, analogue aux tracés du « Projet
    de document d’accompagnement », est trompeur. Il donne une
    impression de stabilisation des fréquences alors que c’est
    faux comme le montre bien le premier tracé, qui est un extrait
    du second
    (fréquences calculées de 30 en 30 à
    partir des mêmes données expérimentales). La
    conclusion, puisque l’on est sûr que la stabilisation finit par
    se produire, d’après la loi des grands nombres, est que 900
    lancers, ce n’est pas assez.
    Une
    simulation sur 20000 lancers répétée
    trois fois a donné
    respectivement 0.168, 0.166 et 0.171 pour valeur approchée
    de la probabilité 1/6 de sortir un 6 quand on lance un dé
    (voir la feuille 2 du classeur cité). Le terrain est mouvant !

III - Comment obtenir la publication d’une activité sur notre site ?
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Nous apprécierions beaucoup de recevoir des critiques constructives et toute autre forme d’aide. Notre site est ouvert et accepte des contributions. Voir http://irem-old.univ-lille1.fr/activites/article5.html
Descriptif : Ce document en trois parties s’adresse à toutes les personnes désirant
participer au contenu de ce site. Il décrit les éléments à respecter pour qu’une contribution soit mise en ligne.
Des documents techniques indiquent comment charger les fichiers techniques (voir « Informations générales » sur le site).


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