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Intégration des TICE dans l’enseignement des mathématiques

MathémaTICE, première revue en ligne destinée à promouvoir les TICE à travers l’enseignement des mathématiques.

Géométrie dans l’espace
Problème de recherche de lieu dans l’espace
Les logiciels de géométrie dynamique au service de la réflexion mathématique
Article mis en ligne le 10 avril 2015
dernière modification le 14 mai 2015

par Hédi Abderrahim

Cet article peut être librement diffusé à l’identique dans la limite d’une utilisation non commerciale suivant la licence CC-nc-nd
(http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/fr/)

Dans cet article, je traite un exercice qui m’était proposé par un collègue. Cet exercice fait partie des problèmes de recherche de lieu dans l’espace.
Au début de mes recherches, je me suis interdit d’utiliser mon ordinateur et tout autre outil utilisant les T.I.C et en particulier les logiciels de géométrie dynamique, et bien, je reconnais que mes résultats n’étaient pas encourageants !
J’ai renoncé à ma décision et je me suis permis de me servir d’un logiciel de géométrie dynamique : GeoGebra5 qui m’a permis de :

  • faire une figure
  • énoncer une conjecture sur la nature et les éléments caractéristiques du lieu,
  • infirmer ou confirmer certaines apparences remarquées sur la figure et qui peuvent représenter des éléments de base dans certaines étapes de mes démonstrations.
Animation de la figure Géogébra
Conjecture du lieu du point H par une animation de la vue 3D.

Énoncés

  • $ABC$ un triangle rectangle en $A$,
  • $(P)$ est le plan perpendiculaire à la droite $(AC)$ et passant par $A$,
  • $\zeta$ est le cercle de diamètre $[AB]$ contenu dans $(P)$,
  • $M$ est un point variable sur le cercle $\zeta$,
  • $H$ est le projeté orthogonal de $A$ sur $(CM)$.

On se propose de trouver sur quelle ligne varie $H$ lorsque $M$ varie sur $\zeta$.

  1. En utilisant un logiciel de géométrie de l’espace :
    1. Réaliser une figure,
    2. Déplacer $M$ et observer la trajectoire du point $H$,
    3. Émettre une conjecture sur la nature du lieu de $H$,
  2. Démontrer la conjecture.

(Problème de lieu page 161 du Tome 2 du manuel Tunisien de la 2e Sciences)