Il est souvent difficile de comprendre l’espèce de « dyscalculie » qui s’empare de plus en plus d’élèves. Nous lisons régulièrement dans les copies des phrases telles que 3*5²=15² ou bien a(bc)=(ab).(ac). Des heures de remédiation en groupes ne semblent pas avoir effet à terme. Que faire pour que les élèves donnent du sens aux écritures mathématiques qu’ils doivent manipuler ?

La piste des « arbres syntaxiques » a été suggérée en septembre par Alain Busser dans cette revue.

Qu’est-ce qu’un arbre syntaxique ?

Une expression comme a(b+c) est représentée par un arbre binaire :

On peut espérer que des exercices de traduction entre expressions et arbres améliorent la façon dont les élèves lisent et écrivent les mathématiques. j’ai donc essayé de concevoir un petit outil en ligne dans ce but,
auquel on accédera avec un navigateur à jour [1].

Scénario 1 : On donne une expression et l’élève doit construire l’arbre

Au début, l’arbre se réduit à sa racine, qui est une case vide.

L’élève y tape l’opérateur, par exemple *, pour faire apparaître deux branches, et de nouvelles cases vides :

On continue à construire l’arbre en entrant de nouveaux opérateurs ou bien des opérandes :

A la fin, l’élève doit tester si l’arbre qu’il a construit correspond bien à l’expression demandée.

Scénario 2 : On donne un arbre et l’élève doit construire l’expression

Voici un exemple :

On a proposé l’arbre à gauche et l’élève a entré l’expression « 3*2+8 » . L’arbre de droite est alors construit automatiquement et on voit que la réponse est fausse.

Scénario 3 : Réduire progressivement un arbre

A chaque étape, on demande à l’élève d’effectuer toutes les opérations prioritaires et seulement celles-ci. En cas de succès, il voit alors l’arbre se réduire progressivement.

Exemple d’énoncé de départ :

Première étape

Seconde étape

J’ai testé ces exercices en classe de première, dans le cadre de l’accompagnement personnalisé. Tous les élèves sont parvenus à faire rapidement les exercices, malgré leur aspect un peu déroutant au début.

A titre de comparaison, un exercice de lecture graphique d’équations de droites provoque nettement plus de difficultés ...

Prolongement possible en collège

Insérer les parenthèses au bon endroit pour obtenir un résultat donné :

Caramba ! Encore raté !

Prolongement possible en première

Choisir les fonctions à composer pour reconstituer une fonction donnée :

On peut sûrement imaginer plein d’autres exercices de ce genre. L’expérience montre que les élèves les traitent rapidement, après un petit temps d’adaptation.