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Geogebra pour la formation des enseignants au Maroc
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Mis en ligne le 15 juillet 2019, par Fouzia Bousselk

Cet article complète une série d’articles consacrés à l’enseignement des mathématiques au Maroc.

En tant que formatrice à l’école Normale Supérieure de Marrakech, ça fait déjà des années que j’assure un module consacré à l’utilisation de Geogebra dans l’enseignement des mathématiques au secondaire. Ce module est destiné aux étudiants de la licence professionnelle en éducation, option mathématique (LPE-Maths) qui sont des futurs enseignants de mathématiques aux deux cycles de secondaire (collège ou lycée). Ce module est donné au semestre 6 qui est le dernier semestre de la formation de cette filière.
Dans cet article, je vais décrire le contenu ainsi que le déroulement des cours où j’utilise le logiciel Geogebra pour la formation des enseignants de mathématiques.
Je commencerai d’abord par décrire la structure du programme de la formation à l’ENS de Marrakech.

Programmes de formation à l’ENS de Marrakech

Actuellement, le programme de formation à l’ENS de Marrakech compte plusieurs Filières Universitaires en Education (FUE) dans différentes disciplines scientifiques (mathématiques, physique, chimie, sciences de la vie et de la terre et informatique).
Ces filières sont organisées comme suit :

  • CYCLE LICENCE PROFESSIONNELLE D’ENSEIGNEMENT (LPE) :
    • Pour accéder à LPE (option mathématique), l’étudiant doit avoir un Baccalauréat ou équivalent (options : sciences mathématiques ou sciences physiques) et doit avoir validé les semestres S1 et S2 du tronc commun national dans une filière à concentration mathématique ou équivalent.
    • Après une formation de 2 ans, l’étudiant peut se présenter au concours de recrutement d’enseignants des mathématiques au collégial et/ou au secondaire, intégrer l’enseignement privé ou intégrer les Masters en mathématiques ou en didactique des mathématiques.
  • CYCLE LICENCE EN EDUCATION (CLE) :
    • Cette formation a débuté cette année. Elle est ouverte aux bacheliers et elle vise une formation d’enseignement au secondaire (lycée, collège) et au primaire. La formation dure trois ans et elle a les mêmes débouchés que LPE.

Pour plus d’informations, on peut consulter le site de l’ENS : http://www.ens-marrakech.ac.ma/

Place de Geogebra dans le contenu de formation

Pour les deux formations LPE et CLE, il y a un module consacré au TICE. Pour contenu de ce module, j’ai choisi d’explorer et de de faire découvrir à mes étudiants le potentiel du logiciel Geogebra. C’est un excellent outil qui peut les aider à bien mener leur enseignement. J’avais constaté durant mes années d’enseignement et d’encadrement des stagiaires que l’environnement papier-crayon reste très limité pour donner sens à plusieurs concepts d’enseignement. Je l’ai alors utilisé dans mon propre cours d’analyse1 que j’ai assuré cette année.

Le schéma ci-dessous résume les différents concepts que j’ai traités avec Geogebra dans mes cours de formations sur les TICE.

Thèmes abordés en formation

Exemples d’activités

A travers les activités que j’ai construites pour mes étudiants, je visais deux principaux objectifs :

  • La construction du sens de certains concepts mathématiques,
  • Le développement des stratégies de raisonnement chez les étudiants
    sans oublier l’objectif général qui est de préparer les futurs enseignants à utiliser cet outil dans leur enseignement.
    La mise en œuvre de ces activités a été organisée soit individuellement, l’étudiant construit lui-même l’activité. Cette démarche est adoptée pour toutes les activités du module « TICE » ; soit collectivement, lorsqu’il s’agit d’une simulation. Cette démarche est utilisée surtout dans les cours de mathématiques.

Voici quelques exemples :

Introduction de la notion de fonction

Dans un environnement papier-crayon, la représentation graphique d’une fonction est essentiellement basée sur l’expression algébrique de la fonction. Le premier exemple qu’on trouve dans les manuels scolaires est celui de la fonction carrée. L’élève, ayant l’habitude de construire les courbes des fonctions affines, autrement dit des droites, trouve des difficultés à imaginer une courbe telle que la parabole. Voici ce que font la plupart des élèves, en se basant sur un tableau de valeurs :
Construction d'une courbe
Ils tracent des « segments » entre les points donnés par le tableau de valeurs.
On voit bien que dans cet environnement, on se base sur l’aspect correspondance de la notion de fonction et on néglige ses deux aspects fondamentaux, à savoir l’aspect dépendance et l’aspect variation.
En utilisant Geogebra, les étudiants vont utiliser ces deux derniers aspects de la notion de fonction. Ils vont ainsi construire le sens de la notion de courbe. Ci-après un exemple d’activité donné dans ce but :

Enoncé de l’activité

On considère le repère du logiciel Geogebra. Soit $A(x , 0)$ un point sur l’axe des abscisses.

  1. Construire sur l’axe des ordonnées le point d’ordonnée $x^2$.
  2. En utilisant l’outil « trace », déterminer le lieu des points $M(x , x^2)$.
  3. En utilisant l’outil « Lieu », construire la courbe de la fonction réelle définie par : $f(x)=x^2$.

Description de l’activité

Les étudiants vont d’abord construire le réel $x^2$ connaissant $x$. Ils vont ainsi faire fonctionner des connaissances géométriques du collège (appliquer par exemple le théorème de Thalès).

Construction de x²

En utilisant l’outil « trace », les étudiants vont découvrir en faisant varier sur l’axe des abscisses, le lieu des points de la courbe de $f$ qui se construit point par point. Cette démarche permet de mettre en évidence la définition de la courbe comme ensemble des points de coordonnées $(x, f(x))$. L’élève peut ainsi visualiser la construction d’un « grand nombre » de points, chose qu’il ne peut pas faire en environnement « papier-crayon ».
L’outil « lieu » donne directement la courbe de $f$ qui dépend de l’expression algébrique de la fonction $f$. Si, par exemple l’expression contient un paramètre, la courbe va varier en fonction de ce paramètre, tel est le cas de l’exemple du paragraphe 2.

Lieu de points

Représentation d'une fonction

Etude graphique d’une fonction

On sait que l’étude des fonctions constitue une grande partie du programme de mathématiques au secondaire. Plusieurs notions sont liées à cette étude, à savoir les notions de limite, dérivée, continuité, …
Toutes ces notions peuvent être étudiées graphiquement grâce à l’aspect dynamique de Geogebra.
L’exemple suivant illustre une telle étude.

D’abord les étudiants construisent $f(x)=\sqrt{ax^2+bx+c}$ géométriquement sur l’axe des ordonnées, et en utilisant le lieu, ils déterminent la courbe de $f$. La variation des coefficients $a$, $b$, et $c$ leur permet de conjecturer, entre autres le domaine de définition de la fonction. Ce domaine peut apparaître selon la condition d’affichage que Geogebra leur permet de faire. En faisant ces constructions, les étudiants développent leurs stratégies de raisonnement.

Recherche d'un domaine de définition

Construction du nombre dérivé

En faisant l’activité ci-dessous, l’étudiant construit géométriquement le nombre dérivé d’une fonction $f$ en un point donné $x$ en utilisant la tangente à la courbe de $f$ en ce point. Il retrouve ensuite la courbe de $f’$ en faisant correspondre à $x$ le nombre dérivé construit et qui n’est autre que la pente de la tangente de $f$ en ce point.

Il ne faut pas oublier que les étudiants sont préalablement initiés à l’utilisation de Geogebra et sont supposés à cette étape de leur apprentissage, avoir des compétences relativement aux constructions géométriques des nombres réels.
Comme futurs enseignants, ils doivent être capables de construire eux-mêmes des activités pour leurs élèves. Ainsi, cette activité, construite par l’enseignant, peut être projetée à toute la classe pour faire des conjectures et visionner les variations de la courbe.
Construction du nombre dérivé
En utilisant l’outil « Champs Texte » Il peut ainsi construire la courbe de la fonction dérivée de n’importe quelle fonction.

Fonction dérivée

Illustration d’une suite récurrente

Il s’agit ici d’une illustration à construire pour étudier graphiquement une suite récurrente. Je l’ai utilisé moi-même dans mon cours d’analyse 1.
Dans le module TICE, les étudiants apprennent à construire eux-mêmes une telle activité, comme je l’ai expliqué précédemment. Mais, en classe, ils vont juste la projeter à leurs élèves comme illustration du cours.
Par exemple, mes étudiants (en Analyse1) ont pu grâce à cette illustration faire des conjectures sur la convergence d’une suite récurrente. Ils ont pu aussi déterminer la variation du terme général de la suite en fonction de $n$ (graphique 2). On peut aussi faire varier le premier terme de la suite.

Etude d'une suité définie par récurrence

Avec cette construction, on a pu illustrer n’importe quelle suite définie par récurrence et faire des conjectures. En particulier, on a pu étudier les suites arithmétiques, géométriques et arithmético-géométriques.

Etude d'une suite arithmétique

Exemples de créations des étudiants

Les étudiants de LPE-maths S6 sont appelés à faire des constructions créatives avec Geogebra. Une telle activité leur permet aussi de développer leurs esprits créatifs et leurs stratégies de raisonnement. Ci-après l’exemple de deux constructions animées faites par les étudiants.

Conclusion

En guise de conclusion, je pense que les activités interactives de Geogebra peuvent contribuer énormément à l’amélioration de l’enseignement et l’apprentissage des mathématiques à tous les niveaux.

Les bénéfices de Geogebra en formation


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