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Suites récurentes : le cas homographique
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Cet article fait suite à celui-ci, déjà publié dans MathemaTICE

Le dossier de calcul proposé ici n’est pas à construire par les élèves, mais simplement à manipuler. L’objectif est de visualiser les mécanismes d’attractivité et de répulsivité des points fixes.

En pratique, il est plus complexes à réaliser que les précédents si on veut un comportement régulier à l’approche de l’asymptote verticale.

On part donc de cette première feuille de calcul

On y repérera l’hyperbole et ses asymptotes (bleu clair), les intersections de la parabole associée avec l’axe des abscisses qui correspondent aux points fixes de la fonction f (traits de rappel en marron) et donc aux deux candidats potentiels à la convergence de la suite.

Puis on place les itérations, d’abord dans un cas (relativement) quelconque comme ici (u0 proche du point répulsif :

On notera donc le résultat général rappelé dans la feuille de calcul et qui, en classe peut se démontrer simplement avec le calcul formel d’une Voyage 200 ou d’une ClassPad par exemple, à savoir que l’un des points est attractif et l’autre répulsif, selon la valeur absolue de k. Le calcul principal est le suivant ; il donne la valeur de k :

On sait la convergence géométrique de rapport k.On peut vérifier qu’elle est très lente pour k proche de 1. Par exemple ci-dessous, une valeur initiale proche du point répulsif fait que l’itération est longue à être repoussée :

Alors que ce n’est pas du tout le cas pour k assez grand, la convergence vrs l’autre racine (géométrique de rapport 1/k) est plus significative :

On peut vérifier la même chose dans l’autre sens pour k < 1 :

Enfin une autre feuille de calcul du dossier s’intéresse au cas de la racine double λ. On sait qu’alors l’inverse de u(n)- λ est arithmétique, ce qui suffit à montrer que la suite converge vers la racine double. Le calcul est plus délicat car il faut rendre compte que le discriminant est nul. Ci-dessous la raison arithmétique est 2c/(a+d) :

On obtient alors :

En pratique un côté est attractif et l’autre répulsif. On voit ici,avec une valeur initiale inférieure à la racine, que le point fixe est répulsif à gauche et attractif à droite, et que la discontinuité assure la convergence.

On peut aussi faire la même figure en géométrie dynamique

Excel - 204.5 ko

ps

Cette discontinuité fait des suites géométrique un cas particulier qui ne rentre pas dans le théorème général du point fixe car l’application de f([a b]) n’est pas inclus dans l’intervalle [ab].

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     |   (figure Cabri - 56.7 ko)
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