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Sangaku, des problèmes ouverts de géométrie du collège au lycée ?
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Mis en ligne le 24 mai 2009, par Christophe Prévot

S’agit-il vraiment de jeu ? Ou plutôt d’une démarche philosophique ?

Peut-on baptiser « jeu » toute énigme ou tout problème ayant un habillage ludique ? Ou faut-il suivre Yves Martin pour qui l’ensemble des mathématiques est un immense jeu, quel qu’en soit l’habillage ?

Nous avons hésité à mettre le bref article qui suit dans le dossier du numéro. A vous de voir si nous avons eu raison de l’y inclure. De toutes façons, son intérêt n’est pas discutable (voyez les liens proposés), que ce soit dans le dossier ou hors dossier.

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Plan

Qu’est-ce qu’une Sangaku ?
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Chaque civilisation a eu besoin, au cours de son développement, d’outils mathématiques pour des usages très terre à terre comme le dénombrement, la détermination de surface, le calcul des impôts et taxes, etc. Les mathématiques dont nous avons hérité en France et, plus généralement en occident, sont issues principalement des branches grecques pour la géométrie et arabes pour l’algèbre. Globalement nous sommes plutôt ignorant des mathématiques développées chez les civilisations amérindiennes et asiatiques.

Les mathématiques japonaises (ou Wasan ) ont pris leur envol au début du 17e siècle suite à la publication du Jinkôki ( Traité inaltérable ) du mathématicien Yoshida Mitsuyoshi (1598-1672) qui s’inspirait fortement de traités mathématiques chinois antérieurs. Rapidement des écoles japonaises de mathématiques se sont organisées, comme toutes les autres écoles (e.g. écoles d’arts martiaux), avec un maître, des disciples et une recherche d’influence, voire de domination, des autres écoles. Les maîtres décidèrent alors de se lancer des défis mathématiques afin d’asseoir leur notoriété et celle de leur école. Dans la préface de l’ouvrage de Géry Huvent [1], Sangaku Le mystère des énigmes géométriques japonaises (Dunod, 2008), Annick Horiuchi [2] écrit : «  Les problèmes légués symbolisent ce que nous appellerions aujourd’hui le front de la recherche. […] Ces joutes mathématiques que les maîtres s’échangent à distance stimulent incontestablement le recherche.  » C’est dans ce contexte que sont nées les Sangakus , plaques de bois peintes présentant des problèmes de géométrie sous forme d’une figure, exposées dans des temples et autres lieux sacrés ce qui étaient un excellent moyen de diffusion de l’art et de la connaissance.

L’une des énigmes de Sangaku la plus simple est la suivante :

Démontrer que AB²=4Rr (où R et r sont les rayons des cercles).

On pourrait aussi traduire l’énoncé sous forme moderne ainsi : soient d une droite et C1 et C2 deux cercles de rayons respectifs r1 et r2 tangents entre eux et avec d. On appelle respectivement A et B le point de contact de d avec C1 et avec C2. Démontrer que AB²=4r1r2.

Suggestion d’utilisation en classe
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Les Sangakus présentent des problèmes de géométrie dont certains sont accessibles aux élèves de collège et d’autres de lycée. Chaque tablette présente des problèmes ouverts de géométrie qu’il faut résoudre. L’utilisation dans le cours de mathématiques peut être l’occasion de mettre les élèves en situation de recherche et de confrontation de points de vue à travers deux types d’approches du problème :
- capacité à réaliser la figure géométrique, notamment à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique ;
- capacité à résoudre l’énigme.

Si on considère l’exemple donné précédemment, le bagage mathématique nécessaire à la résolution de l’énigme se résume à :
- la propriété de Pythagore ;
- la propriété d’une tangente à un cercle ;
- la position du point de contact de deux cercles tangents avec leurs centres.

Il ne reste plus qu’à tester en classe, à l’occasion d’un travail de recherche à la maison, d’un débat, pour voir l’approche des élèves et leur investissement de ces acquis mathématiques pour la résolution de cette énigme et la mise en place d’une démonstration correcte.

Quant à la construction, elle nécessite une recherche intéressante qui peut conduire à des résultats qui susciteront à nouveau débat mathématique et nécessité de démonstration.

Ressources documentaires
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- Géry Huvent, Sangaku Le mystère des énigmes géométriques japonaises , éd. Dunod, nov. 2008
- site de Géry Huvent : http://pagesperso-orange.fr/gery.huvent
- les Sangakus dans l’encyclopédie Wikipédia : http://fr.wikipedia.org/wiki/Sangaku
- ouvrages traitant de Sangakus repérés dans Publimath : http://publimath.irem.univ-mrs.fr/publimath.php?r=sangaku


notes

[1agrégé de mathématiques, professeur au lycée Faidherbe à Lille et animateur de l’IREM de Lille

[2agrégée de mathématiques, professeur à l’université de Paris-Diderot (Paris 7)

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