Mathématice, intégration des Tice dans l'enseignement des mathématiques  
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Géométrie dans l’espace sur tablettes en Primaire
Évaluation de l’apport d’une utilisation de tablettes numériques dans l’apprentissage de la géométrie dans l’espace à l’école primaire
Moteur de recherche
David Bertolo

Université de Lorraine LCOMS, EA 7306Metz, F-57006, France

david.bertolo@univ-lorraine.fr

Robin Vivian

Université de Lorraine PErSEUs, EA 7312Metz, F-57006, France

robin.vivian@univ-lorraine.fr

Jérôme Dinet

Université de LorrainePErSEUs, EA 7312Metz, F-57006, France

jerome.dinet@univ-lorraine.fr

Introduction

De plus en plus d’établissements scolaires se dotent de tablettes en espérant qu’elles puissent apporter des améliorations pédagogiques. Que ce soit les chefs d’établissement ou les enseignants, tous sont bien conscients que ce n’est pas le matériel qui sera la solution mais bel et bien d’une part, l’offre logicielle et d’autre part, l’usage qu’en feront les enseignants. Il semble relativement improbable que la tablette même équipée de logiciels adaptés et utilisée avec une grande pertinence par les enseignants soit la solution miracle à toutes les difficultés liées à l’apprentissage. Cependant l’introduction des nouvelles technologies dans les classes a souvent permis d’améliorer l’enseignement en venant compléter les outils existants. Un exemple proche de notre sujet concerne la géométrie plane. En effet, les logiciels de géométrie dynamique sont venus compléter les outils déjà existants de tracé et permettre de réaliser un grand nombre de figures rapidement. Ils ont ainsi permis de faciliter la formulation de conjectures par les élèves.

Dès les années 1980, Osta [16] a mis en avant que l’utilisation de l’outil informatique donnait une nouvelle dimension au contexte d’apprentissage. En effet, avec l’utilisation des TICE, les élèves sont capables d’interagir dynamiquement avec les représentations qui ne sont plus uniquement statiques. Bakò [3] a par ailleurs souligné le fait que l’utilisation d’un environnement informatique aide à donner l’impression d’une vision en trois dimensions grâce aux animations incluant le facteur temps. Les études de Balacheff [4], Chaachoua [10] ou plus récemment de Mithalal [15] ont bien mis en avant l’importance de la prise en compte des éléments de didactique lors de la conception des logiciels. Mithalal [15] a de plus expliqué qu’il n’y a rien de naturel à utiliser de tels logiciels.

Dans le contexte de la géométrie dans l’espace, nous émettons l’hypothèse qu’une tablette, avec une application de géométrie dans l’espace utilisant des interactions adaptées, peut venir compléter avantageusement les outils actuels en faisant le lien entre les solides physiques du monde sensible, leurs représentations planes et les représentations mentales. Nous pensons par ailleurs que ce lien peut être continu grâce à des interactions intuitives qui permettent de manipuler simplement des objets de l’espace et par là même faciliter la création des représentations mentales des objets. Lors d’articles précédents, nous avons montré l’acceptabilité de notre application FINGERS (Find INteractions for GEometry learneRS) [5], puis son apport lors de la résolution de problèmes [6]. Il est maintenant nécessaire de l’évaluer dans des conditions réelles d’enseignement afin de vérifier si son utilisation permet de favoriser l’apprentissage de la géométrie dans l’espace et plus particulièrement le passage des solides à leurs représentations dans le plan.

Dans cet article, nous présentons le processus qui a conduit au développement de notre prototype d’application, puis nous mettons en évidence les limites rencontrées dans cette étude et enfin nous présentons une expérimentation longitudinale réalisée au sein de deux classes.

FINGERS : notre prototype d’évaluation

Dans un article précédent, nous avions donné une description de notre prototype fonctionnalité par fonctionnalité [6]. Même si certaines fonctionnalités sont venues se rajouter, nous choisissons ici de décrire plutôt le processus qui a conduit à la réalisation de ce prototype appelé FINGERS pour Find INteractions for GEometry learneRS (figure 1).

Figure 1 – Différents solides pris en charge par FINGERS

Afin de déterminer les fonctionnalités et les interactions les plus pertinentes à associer, nous avons utilisé une approche centrée-utilisateur conformément aux principes mis en avant par Oviatt [17]. Nous avons réalisé un « focus group » composé d’enseignants de l’école primaire et du collège. Nous sommes aussi allés observer, en établissement, des élèves lors de séances de géométrie dans l’espace. Nous avons alors pu lister dix tâches importantes qu’un élève doit pouvoir réaliser, à un moment ou l’autre de son curriculum, avec un logiciel de géométrie dynamique dans l’espace :
- Créer un solide ;
- Sélectionner un solide (figure 2) ;
- Déplacer (translation suivant les 3 dimensions) un solide ;
- Tourner (rotation) un solide ;
- Modifier/Déformer un solide en conservant les contraintes liées à sa nature ;
- Changer de point de vue ;
- Manipuler/modifier le patron d’un polyèdre ;
- Dupliquer un solide ;
- Assembler des solides ;
- Supprimer un solide.

Figure 2 – Sélection cyclique d’un solide :

(a) état 1, solide avec les sommets et les arêtes,
(b) état 2, solide avec les sommets, les arêtes et le repère de l’objet
(c) état 3, représentation filaire avec uniquement les sommets et les arêtes.


En partant de cette liste, nous avons développé un prototype d’application basé sur une grammaire d’interactions permettant de répondre aux besoins des élèves. Nous avons alors évalué l’acceptation de nos interactions auprès d’un petit groupe de sept élèves âgés de 10 à 15 ans. Dans un premier temps, il leur a été demandé d’imaginer les interactions qu’ils réaliseraient pour effectuer une tâche donnée avec comme seule contrainte le fait de se passer de menus. Les élèves sont passés individuellement, l’ensemble des passations a été filmé. Nous avons alors pu noter l’importance du paradigme WIMP (fenêtre, icônes, souris, pointeur). En effet, dès qu’ils éprouvaient une difficulté à trouver une interaction permettant d’exécuter une tâche, les remarques montraient leur attachement à un environnement bien connu : mettre des curseurs horizontaux et verticaux pour réaliser les rotations ; utiliser une icône en forme de poubelle pour supprimer un objet...

Une grammaire formelle a été définie en intégrant sous des formes diverses les demandes des élèves. Nous avons pu, dans un second temps, catégoriser les interactions nécessaires en trois grandes familles utilisant des technologies différentes :
- Les interactions tangibles, c’est-à-dire l’utilisation de véritables solides, pour créer ou supprimer des solides (figure 3) ;
- Les capteurs comme le gyroscope pour le changement de point de vue ;
- Le multi-touch pour les autres tâches identifiées.

Figure 3 – Utilisation d’un cube tangible pour créer un cube virtuel dans l’application :
lorsqu’on pose le cube tangible sur la tablette, l’application le reconnaît
et l’introduit dans la scène virtuelle à l’endroit du contact.


Pour synthétiser et présenter l’ensemble des interactions retenues, nous avons alors proposé une nouvelle classification complétant la taxonomie de Martinet et al. [14] basée sur celle de Card et al. [9]. Dans sa taxonomie, Martinet proposait de prendre en compte :
- le nombre de contacts,
- la directivité : un contact est dit direct lorsqu’on touche le solide et indirect dans le cas contraire.
- le type de manipulation (intégrale et séparable).

Dans un but revendiqué de simplicité quant à la définition de cette taxonomie, les auteurs n’ont pas introduit d’autres notations permettant de représenter les gestes. Nous proposons donc d’étendre cette taxonomie dans le but de classifier les gestes inhérents à l’utilisation d’un logiciel de géométrie 3D dans des situations d’apprentissage. Il s’avère en effet nécessaire d’introduire d’autres notations pour gérer la prise en compte de nouvelles variables : 

- La sélection : dans une scène composée de plusieurs éléments, le fait qu’un objet dispose d’un état binaire sélectionné/non sélectionné permet de limiter les manipulations aux objets cibles. 

- La mobilité : la taxonomie de Martinet et al. ne permet pas de savoir si des contacts sont en mouvement ou non alors qu’un contact direct fixe et un contact direct mobile sont pour nous deux interactions différentes. 

- Le temps : dans de nombreuses applications, on retrouve le contact long comme moyen d’interaction (souvent pour faire apparaître un menu contextuel). Il y a ici une notion de durée qui est absente de la taxonomie initiale et que nous choisissons d’introduire.

Table 1 – Classification des interactions tactiles en fonction du nombre de contacts, de leur directivité, de leur mobilité et de leur durée

La composition du nombre de contacts, de la directivité, du type de manipulation, de la mobilité de la sélection et du temps permet d’enrichir les modes d’interaction définis par Martinet [14]. Pour chaque mode d’action, nous représentons une possibilité d’interaction et/ou la gestion d’un degré de liberté (DDL) par un cercle lorsque le solide n’est pas sélectionné et par un carré lorsqu’il l’est. Lorsqu’un geste permet de manipuler l’objet suivant plusieurs DDL, les cercles ou les carrés sont reliés par un trait. Les lettres d , i , f et m signifient respectivement direct, indirect, fixe et mobile. Enfin, lorsqu’une durée minimale est nécessaire à la réalisation d’une interaction, nous l’indiquons dans le cercle ou le carré de représentation. Ainsi par exemple, «  1df + 2im  » signifie un contact direct fixe et deux contacts indirects mobiles. La table 1 donne une représentation de cette taxonomie appliquée à notre langage d’interaction.

Les limites de notre expérimentation

Lors de notre étude, nous avons pu constater trois limites d’ordres différents. La première limite rencontrée a été liée à la mise en place d’un protocole d’expérimentation éthique. La deuxième relevait de l’organisation temporelle de l’enseignement. Enfin la troisième limite était liée à l’utilisation des tablettes par les élèves et plus particulièrement des interactions utilisant le gyroscope.

1.Éthique ou l’égalité des chances pour les élèves

Pour évaluer et comparer l’impact de l’utilisation de FINGERS, des solides pédagogiques et l’utilisation du papier-crayon dans l’apprentissage de la géométrie dans l’espace, une comparaison entre groupes utilisant un seul outil aurait été la méthodologie la plus adaptée. Cependant, nous n’avons jamais envisagé cette conception des évaluations. En effet, en tant qu’enseignants, notre sens de l’éthique nous a conduit à donner à chaque élève la même opportunité d’apprentissage. Aussi, nous ne pouvions pas laisser un groupe avec un seul outil durant trois semaines tout en pensant qu’il y avait une forte probabilité que cet outil ne permette pas un apprentissage équivalent sur l’ensemble de la notion. Nos résultats confirment par ailleurs nos doutes, si un groupe n’avait utilisé que le papier-crayon, il aurait été très probablement pénalisé. Ce dernier point n’est d’ailleurs pas une surprise puisque de nombreuses études didactiques vont dans ce sens [1][2][8][11][12][13].

De plus, en tant qu’enseignant, nous nous devons de part le décret du 24 août 2005 relatifs aux dispositifs d’aide et de soutien pour la réussite des élèves à l’école et au collège, de mettre tout en œuvre pour permettre à chaque élève d’atteindre son plein potentiel :

« Art. 4 - Les dispositions pédagogiques mises en œuvre pour assurer la continuité pédagogique, en particulier au sein de chaque cycle, prennent en compte les besoins de chaque élève afin de permettre le plein développement de ses potentialités, ainsi que l’objectif de le conduire à l’acquisition des éléments du socle commun de connaissances et compétences fondamentales correspondant à son niveau de scolarité. »

Décret du 24 août 2005, article 4.

2. Pratique et la progression sur l’année des notions

Aux limites éthiques viennent s’ajouter des limites d’ordre pratique. En effet, un enseignant ne peut pas traiter deux fois le programme relatif à la géométrie dans l’espace durant l’année. Ainsi, une classe ne peut participer qu’à une seule évaluation et un problème peut facilement reporter toute une expérimentation d’un an. Il est aussi essentiel de s’adapter à la progression des enseignants qui ont réfléchi au moment de l’année le plus pertinent pour traiter telle ou telle notion. Aussi, même si les professeurs peuvent faire preuve de souplesse, les moments d’expérimentations sont temporellement contraints. De plus, les progressions en spirale qui permettent de revenir régulièrement sur les notions et qui sont plus propices à l’apprentissage peuvent compliquer la mise en place des expérimentations. Ces progressions rendent beaucoup plus difficile la comparaison de l’impact pédagogique lors de l’utilisation d’outils. Entre deux retours sur une notion, les élèves continuent à y réfléchir, à la croiser dans d’autres domaines et à se construire des représentations ce qui peut introduire des biais. Enfin, il est plus facile de mener les expérimentations en école qu’au collège. En effet, l’enseignant de primaire gère seul sa classe et peut donc s’adapter plus facilement. A l’inverse, l’enseignant de collège est contraint par son emploi du temps et ne peut en aucun cas empiéter sur les heures de cours de ses collègues.

3. Interactions et des élèves trop statiques

Enfin, nous avons rencontré des limites liées à nos interactions et plus particulièrement au manque d’habitude des élèves à se lever et à bouger librement dans une classe ou lors de la manipulation d’une tablette. Le meilleur exemple est sans aucun doute celui de l’interaction de changement de point de vue, basée sur l’utilisation du gyroscope. Nous avons utilisé la métaphore de la caméra vidéo. Ainsi la tablette agit comme une fenêtre sur la scène et la rotation de la tablette dans l’espace réel change le point de vue sur la scène virtuelle (figure 4).

Figure 4 – Utilisation du gyroscope pour gérer le changement de point de vue.

Lors de l’utilisation de cette interaction, la majorité des élèves sont restés assis se retrouvant ainsi dans des positions particulièrement improbables et inconfortables pendant la réalisation des exercices (figure 5). Ce constat nous interroge d’autant plus que nous avions observé des élèves se déplaçant autour de scènes réelles pour valider certains de leurs résultats. Il semble ici que l’utilisation de la tablette ne les ait pas incités à se lever et à se déplacer.

Figure 5 – Exemple de positions inconfortables prises par les élèves lors de la manipulation des tablettes et plus particulièrement lors de l’utilisation des interactions utilisant le gyroscope.

Évaluation de l’apport dans l’apprentissage de la géométrie dans l’espace

Les expérimentations que nous avons réalisées précédemment ont apporté tous les éléments nécessaires à la mise en place d’une évaluation sur l’apport de notre grammaire de gestes. En effet, nous savons que les interactions étaient bien acceptées par les élèves [5], que celles-ci augmentaient significativement la réussite lors de résolution de problèmes [6] et enfin que l’utilisation de FINGERS, dans des problèmes considérés comme complexes, permettait de minimiser la charge cognitive [7] (chez des adultes). Nous allons maintenant présenter l’expérimentation mise en place pour évaluer un apport potentiel dans l’apprentissage, ce qui sous entend de mener une étude plus longue et écologique, c’est-à-dire en immersion dans une ou plusieurs classes.

1. Participants

Pour réaliser cette expérimentation, nous avons été dans deux écoles différentes et plus précisément dans deux classes de CM1 au sein des deux écoles avec lesquelles nous avons réalisé des partenariats. Au total, l’évaluation a impliqué 48 élèves. Aucun des participants n’était daltonien. Dans les deux classes, les élèves avaient l’habitude de l’usage des tablettes. Durant l’expérimentation, les élèves de chaque classe ont été divisés en trois groupes.

1.1 École Notre Dame de Pont-à-Mousson (école A)

La classe de l’école A était composée de 25 élèves, 15 garçons et 10 filles de 9 et 10 ans. L’école était équipée d’une classe mobile de 30 iPad 2. De plus, tous les élèves avaient déjà utilisé une tablette mais uniquement dans le but de faire des recherches scolaires sur internet.

1.2 École Sainte Thérèse (école B)

La classe de l’école B était composée de 23 élèves, 11 garçons et 12 filles de 9 à 11 ans. L’école n’était pas équipée de classe mobile ou de tablettes pour les élèves mais les enseignants possédaient des tablettes Microsoft Surface que les élèves étaient invités à utiliser lors de présentations ou de mises en commun.

2. Matériel et conditions d’expérimentation

Lors de cette étude, l’application FINGERS a été déployée sur les iPad 2 de la classe mobile de l’école A et sur les iPad Air de notre laboratoire pour l’école B (figure 6 a.). En fonction des semaines et des groupes, les élèves ont eu à disposition des solides en bois équipés d’une lettre (figure 6 b.) pour permettre de les identifier sans pour autant en connaître le nom mathématique et ainsi être en mesure de répondre à certains exercices. Ils ont aussi eu accès à des mallettes de Polydrons (figure 6 c.) lors du travail sur les patrons.

Figure 6 – Matériel utilisé lors de l’expérimentation dans les deux classes :
(a) captures d’écran de l’application FINGERS,
(b) solides en bois,
(c) Polydrons.

Durant l’ensemble de l’expérimentation toutes les séances ont été conçues en étroite collaboration avec l’enseignante de l’école A, avec à chaque fois un regard didactique et en conformité avec les programmes de CM1 qui fixent sans autre explication les deux objectifs suivants :
- Reconnaître, décrire et nommer les solides droits : cube, pavé, prisme.
- Reconnaître ou compléter un patron de cube ou de pavé.

Lors de la duplication de l’expérimentation dans l’école B, les séances préparées dans l’école A ont été reprises sans aucune modification et dans les mêmes conditions d’organisation matérielle ainsi qu’avec les mêmes consignes.

Lors de chacune des séances où les élèves ont utilisé les différents outils (papier-crayon, solides, FINGERS), nous avons chronométré chaque élève exercice par exercice. De plus, nous avons pris des notes détaillées et ce en particulier pour les problèmes didactiques rencontrés et les stratégies mises en œuvre par les élèves pour résoudre les problèmes que ce soit avec ou sans outil. Durant les séances utilisant les différents outils, les élèves étant séparés en trois groupes, nous avons disposé dans les deux écoles de trois salles distinctes afin que les élèves ne soient pas distraits par les autres groupes utilisant d’autres outils. Les élèves étaient par contre en classe entière lors des mises en commun et de l’institutionnalisation du cours.

3. Plan d’expérimentation

Cette étude a été réalisée sur deux périodes chacune étalée sur 8 semaines :

  1. Décembre 2013 – janvier 2014 ;
  2. Avril 2014 – mai 2014.

Durant ces deux périodes chaque expérimentation, face aux élèves, a duré 4 semaines.

La seconde période étant une duplication exacte du plan expérimental de la première, nous ne détaillerons que celle-ci.

Chaque période a été divisée en deux temps :

  1. Séances avec les élèves et évaluations hebdomadaires durant trois semaines ;
  2. Évaluation finale pour contrôler l’apprentissage cinq semaines après la fin du premier temps.

Description du premier temps :

Lors du premier jour, nous avons réalisé un test diagnostique. A partir de ce test et avec l’aide de l’enseignante responsable de la classe, nous avons constitué trois groupes équivalents en terme de connaissances et de compétences en géométrie dans l’espace. Nous avons pris en compte les résultats et les typologies d’erreurs rencontrées dans le pré-test ainsi que le point de vue de l’enseignante qui connaissait le mieux les élèves et les regroupements à éviter. Il est important de noter ici qu’une analyse ANOVA (analyse de la variance) a montré qu’il n’y avait pas de différence significative entre les différents groupes constitués.

Chaque semaine, chaque groupe a utilisé un outil différent (crayon-papier, solides et polydrons, FINGERS) pour les aider dans les séances de géométrie dans l’espace. Ainsi à la fin de ce premier temps chaque groupe avait utilisé chaque outil.

Au début et à la fin de chaque semaine, nous avons évalué tous les élèves avec des tests papier-crayon de manière identique. Nous appellerons les tests de début de semaine des pré-tests et ceux de fin de semaine des post-tests. Durant une semaine chaque groupe avait trois séances d’exercices avec son outil. De plus au début de chaque semaine, avant toute séance d’exercices, le groupe devant utiliser FINGERS avait une session d’entraînement de 15 minutes pour apprendre à utiliser notre application. Cet entraînement n’avait aucun lien avec les exercices et les notions abordées durant la semaine à venir.

A la fin de chaque semaine, un questionnaire a été complété par les élèves du groupe ayant utilisé FINGERS afin de recueillir leur opinion sur l’aide apportée par l’application, la facilité d’utilisation et l’intérêt d’avoir de façon permanente l’application. Nous avons aussi réalisé des entretiens hebdomadaires avec les élèves afin de recueillir leurs impressions.

Durant les trois semaines de cours, les notions suivantes ont été abordées :

- Semaine 1 : Visualisation de solides. Les élèves devaient dénombrer le nombre de faces, arêtes et sommets de différents solides. Ils ont aussi dû déterminer les formes des différentes faces des solides étudiés afin de pouvoir les différencier puis les classer en fonction de leurs caractéristiques.
- Semaine 2 : Découverte de la notion de patron. Les élèves ont découvert ce qu’est un patron du cube de façon implicite puisqu’aucune définition formelle n’a été donnée. Ils ont dû trouver tous les patrons d’un cube et ont eu à reconnaître des patrons simples du cube.
- Semaine 3  : Travail sur les patrons, être capable d’identifier et de compléter des patrons de cubes. Les élèves ont du reconnaître des patrons plus complexes du cube ou des patrons plus simples d’autres polyèdres. Ils ont aussi du compléter des patrons du cube.

Tout au long de cette période dans les classes, nous avons proposé aux élèves différentes tâches en lien avec les programmes :
- Décrire un solide en donnant son nombre d’arêtes, de sommets et de faces ainsi que la nature de celles-ci ;
- Réaliser la carte d’identité d’un solide ;
- Trouver un solide à partir de sa description ;
- Trouver tous les patrons du cube ;
- Reconnaître le patron d’un cube ou d’un pavé droit ;
- Faire correspondre un solide et l’un de ses patrons ;
- Compléter un patron de cube ou de pavé droit ;
- Réaliser le patron d’un polyèdre simple ;

Entre le premier et le deuxième temps de l’expérimentation, les élèves ont eu une période de 4 semaines (dont deux semaines de vacances) pendant lesquelles ils n’ont rien fait en lien avec ce qui avait été vu durant les trois semaines de travail sur la géométrie dans l’espace.

Le deuxième temps a donc eu lieu cinq semaines après la fin du premier. Tous les élèves ont eu la même évaluation finale, réalisée uniquement avec les classiques papier-crayon. Suite à cette évaluation, un débriefing a été fait avec la classe entière et nous avons aussi demandé à chaque participant, l’outil qu’il avait préféré utiliser durant cette expérimentation.

La table 2 résume le protocole expérimental mis en place.

Table 2 – Résumé du protocole expérimental mis en place dans les deux classes.

4. Résultats et discussion

4.1 Les résultats pédagogiques

Les figures 7, 8 et 9 montrent les taux de réussite aux pré et post-tests ainsi que la différence de taux de réussite entre les deux en fonction des outils et des semaines dans les deux écoles. On peut noter que tous les groupes obtiennent de meilleurs résultats aux post-tests qu’aux pré-tests quelle que soit l’école, ce qui n’est pas toujours le cas comme nous l’ont confirmé les enseignants. La table 3 montre que FINGERS a permis d’obtenir des progressions significatives des résultats entre les pré et le post-tests 4 fois sur six alors que ce n’est le cas que 2 fois sur six pour chacun des autres outils (papier-crayon et solides/polydrons).


Table 3 – Comparaison entre la réussite au pré-test et au post-test lors de chaque semaine (ANOVA, * indique les valeurs significatives soit une probabilité d’erreur inférieure à 0,05).

Semaine 1 :

A la fin de la première semaine, les élèves de l’école A nous ont expliqué qu’il était plus simple de compter les sommets et les arêtes car elles apparaissent lors de la sélection du solide. De plus, ils ont apprécié la possibilité de pouvoir sélectionner un solide en « fil de fer » ne laissant apparaître que les arêtes. Cette dernière remarque a été reprise par les élèves de l’école B. Ils ont eux aussi apprécié l’utilisation de FINGERS qu’ils ont trouvé utile lors du dénombrement des éléments caractéristiques des solides. Dans les questionnaires nous avons retrouvé de nombreuses remarques allant dans ce sens (les fautes ont été volontairement laissées) :

-  « Sa m’a aidé parce-que sa nous les arêtes et les sommêts et les face. »
-  « Un peu, ce qu’il ma aidé le plus est quand le solide était invisible car j’ai pu compter les arrêtes et les sommets »
-  « Oui, beaucoup car on arrive à mieu voir les solides et en plus pour les arrêtes faces… c’est très pratique. »
-  « Oui cela peut m’aidé. Parce que il y a des effets que l’on ne peut pas voir en réalité. »

Lors de cette première semaine, dans l’école B, on peut expliquer l’absence de progression significative avec FINGERS et les autres outils par des résultats déjà élevés lors des pré-tests. En effet, on peut constater sur la figure 7 que les résultats des pré-tests de l’école B sont quasiment au niveau des post-tests de l’école A. Cette différence indique que les élèves de l’école B avaient déjà majoritairement des connaissances sur les solides. Leur marge de progression s’en est trouvée réduite et n’a pas permis d’obtenir des augmentations significatives.


Figure 7 – Résultats en fonction des outils aux pré et post tests ainsi que la différence en pourcentage entre les deux lors de la semaine 1.

Semaine 2 :

La seconde semaine correspondait à une période de découverte des patrons d’un polyèdre. Les patrons à identifier étaient simples et certains élèves ont été capables de les trouver sans utiliser les outils proposés. Ces deux éléments expliquent le fait que les résultats des post-tests soient très proches pour les trois outils dans l’école A. Dans l’école B, on peut noter que le groupe papier-crayon avait des résultats particulièrement faibles au pré-test, ce qui explique sa forte progression sur la semaine. Ce qui était aussi le cas pour le même groupe de l’école A. On peut aussi constater que le seul groupe qui n’a pas eu d’augmentation significative de ses résultats entre le pré et le post test est le groupe utilisant les solides dans l’école B. Une des explications possibles est liée au manque d’habitude des élèves dans la manipulation des solides et des polydrons en particulier. En effet, alors que l’école A possédait beaucoup de matériel pédagogique, nous avons dû fournir une mallette de polydrons pour les manipulations des semaines 2 et 3 dans l’école B. En conséquence, les élèves ont découvert les polydrons et leur manipulation. Ce dernier point a pu influer sur la concentration et les stratégies mises en œuvre par les élèves. En partant de cette hypothèse et sachant que les élèves des deux écoles ne connaissaient pas FINGERS, ils ont tout de même obtenu une augmentation significative de leurs résultats qui laisserait penser que la prise en main de FINGERS est plus efficiente que celle des Polydrons. Enfin, on peut noter qu’à l’exception de ce groupe, ils ont tous dépassé les 75% de réussite au post-test (figure 8).

Figure 8 – Résultats en fonction des outils aux pré et post tests ainsi que la différence en pourcentage entre les deux lors de la semaine 2.

Semaine 3 :

Durant la troisième semaine, les patrons utilisés et à retrouver sont devenus plus difficiles car moins classiques. Les élèves ont alors eu besoin d’utiliser les outils pour pouvoir résoudre les exercices. Nous pouvons noter qu’à partir de ce moment, l’utilisation des polydrons et des solides ainsi que de FINGERS a permis d’obtenir de meilleurs résultats qu’avec le papier-crayon dans l’école A. Pour l’école B, les résultats sont à l’opposé puisque c’est le groupe utilisant le papier-crayon qui a obtenu les meilleurs résultats. On peut toutefois noter que seuls des groupes utilisant FINGERS et les solides ont obtenu une augmentation significative de leurs résultats lors du post-test. Les entretiens avec les participants suggèrent qu’il était facile de manipuler les patrons et les faces des solides avec FINGERS. Ils ont souligné que de « déplier » un cube et de voir un premier patron était un bon point de départ pour rechercher et trouver les autres patrons du cube. On retrouve à nouveau dans les questionnaires de nombreuses remarques allant dans ce sens :
-  « Oui Parce que ont peut construire notre patron du cube »
-  « Oui sa ma aidé parce que l’iPad ca peu ouvrir et refermer les cubes. »
-  « Oui car on pouvait plier les patrons, les tournés dans tous les sens. »
-  « Oui parceque ont n’a pas besoin de scotche pas de siceaux c’est plus rapide »
-  « Oui car pour les patrons on pouvait plier et voir si s’était un patron du cube… »

Figure 9 – Résultats en fonction des outils aux pré et post tests ainsi que la différence en pourcentage entre les deux lors de la semaine 3.

A la fin de ces trois semaines, nous pouvons noter que sur les six séances effectuées avec chaque outil, l’utilisation de FINGERS permet d’obtenir des résultats significatifs deux fois plus souvent qu’avec les solides ou le papier-crayon. De plus, nous avons chronométré les exercices réalisés par chaque participant. Nous avons ainsi pu constater qu’au début de chaque semaine, le groupe utilisant FINGERS avait besoin de pratiquement le double de temps que le groupe utilisant des solides pour réaliser les exercices. Cependant, en fin de semaine, l’écart entre le groupe utilisant FINGERS et celui utilisant les solides était de moins d’une minute en faveur du second, ce qui montre une assimilation rapide de l’utilisation de l’application.

Cinq semaines plus tard lors du deuxième temps, nous avons réalisé un test final. Nous n’avons trouvé aucune différence significative entre les groupes en terme d’acquisition des connaissances et compétences. A l’exception de deux élèves dans l’école A et d’un élève dans l’école B, tous les autres ont acquis les connaissances et les compétences travaillées lors du premier temps de l’expérimentation. La figure 10 illustre les résultats des élèves au test final dans les deux écoles.

Figure 10 – Médiane des items validés sur les 22 items du test final pour chaque groupe.

Lors des discussions avec les élèves, ils nous ont fait remarquer qu’ils trouvaient les outils complémentaires. En effet, cinq élèves sur quarante-huit pensent que l’utilisation de solides pédagogiques après celle de FINGERS les a aidés à avoir une meilleure compréhension de ce qu’ils faisaient en résolvant les exercices. A l’inverse, sept élèves sur quarante-huit ont considéré que l’utilisation de FINGERS après celle des solides leur a permis de répondre plus facilement lors du post-test sur papier. Ils nous ont expliqué qu’avec FINGERS, ils devaient davantage anticiper leurs actions, ce qui les avait aidés dans le travail avec les représentations planes sur papier. Six élèves nous ont aussi fait remarquer qu’ils avaient particulièrement apprécié le fait de pouvoir vérifier par eux-mêmes la validité de leurs réponses dans le travail sur les patrons. Ce dernier point les a entre autre motivés dans la recherche des différents patrons du cube.

L’augmentation significative de la réussite de résolution des exercices lors des post-tests suite à l’utilisation de FINGERS, ainsi que le haut taux de réussite lors du test final cinq semaines plus tard, montre un bénéfice pédagogique dans l’apprentissage de la géométrie dans l’espace. Lors de notre expérimentation, FINGERS semble bien avoir été plus utile que les solides et les Polydrons, et semble avoir été complémentaire des autres outils utilisés. Nous pouvons expliquer ces résultats par la création d’un continuum entre l’espace réel, un monde en 2D ½ et les représentations graphiques planes des solides. Il serait donc possible de « créer » un monde qui viendrait se situer entre le monde réel tridimensionnel et le monde graphique bidimensionnel en créant ainsi une continuité dans le passage entre ces deux mondes. Nous pouvons définir ce monde comme étant un monde en 2D ½. Bien que cette dénomination existe déjà entre autre dans les jeux-vidéos du point de vue des rendus graphiques, nous lui donnerons un autre sens ici dans le cadre du passage d’un objet tridimensionnel à sa représentation plane. Aussi, nous définissons le monde 2D ½ en mathématiques, comme étant le monde permettant de lier l’espace réel physique (monde sensible) à l’espace graphique des représentations planes des objets de l’espace. Dans le monde 2D ½, les objets sont représentés en 3D sur des supports bidimensionnel et peuvent être manipulés comme dans le monde sensible sans y ajouter de contraintes particulières.

4.2 Les retours utilisateurs

Les réponses aux questionnaires hebdomadaires, les entretiens et les débriefings finaux dans les deux écoles, nous suggèrent que les participants voient FINGERS et les interactions utilisées de façon positive. La figure 11 résume les réponses des élèves données aux questionnaires. Ils ont majoritairement trouvé que l’application était une aide dans la résolution des exercices et qu’elle était simple à utiliser. Par ailleurs, ils aimeraient pouvoir s’en servir de façon définitive en classe.

De plus sur les 48 élèves des deux écoles :
- 31 ont préféré utiliser FINGERS. La raison principale étant le fait de pouvoir s’en servir facilement avec leurs doigts. Ils ont trouvé l’utilisation fun et ludique. Pour eux, il était plus facile de voir avec les solides en « fils de fer » et facile d’obtenir des patrons ;
- 11 ont préféré utiliser les solides et les polydrons. La raison principale étant le fait de pouvoir réellement les manipuler plutôt que virtuellement ;
- 6 ont préféré utiliser le papier-crayon. La raison principale étant leur préférence pour l’écriture et le dessin. Ils ont aussi signalé préférer compter les arêtes en les marquant au fur et à mesure sur la représentation plane de la feuille.

Enfin, il est intéressant de noter qu’une élève de l’école B a réussi à utiliser FINGERS et l’a apprécié alors qu’elle avait les deux bras plâtrés. Même si la manipulation de l’application n’a pas été évidente, elle a été plus facile que celle des polydrons qui nécessitait de les emboîter deux à deux ou que le papier-crayon qui nécessitait des découpages et de collages. Cette observation ouvre des pistes quant à l’utilisation d’un tel logiciel pour aider à l’inclusion d’élèves à besoins spécifiques.

Lors d’un entretien final avec chacune des deux enseignantes des classes qui ont participées à notre expérimentation, nous avons eu des retours positifs. En effet, les deux enseignantes ont trouvé que les élèves avaient acquis plus facilement et de façon plus importante les connaissances et les compétences liées à la notion par rapport à leurs expériences des années antérieures. Elles nous ont par ailleurs suggéré de mener une expérimentation plus approfondie en nous focalisant sur l’apport de notre application pour les élèves les plus en difficulté. En effet, toujours d’après elles, il semble que ces élèves aient éprouvé moins de difficultés lors de l’apprentissage de cette notion. Enfin, elles nous ont demandé s’il serait possible de continuer à utiliser notre application car elles l’ont trouvée utile. Elles nous ont fait remarquer que FINGERS permettait d’avoir une approche complémentaire en permettant de visualiser et de manipuler simplement des solides d’une autre façon que celle utilisée habituellement.

Figure 11 – Retour des élèves sur FINGERS après une semaine d’utilisation pour chaque groupe.

Conclusion

Les tablettes numériques sont largement entrées dans la vie courante. Aidé par des enseignants et des élèves, nous avons identifié les manipulations importantes à réaliser et nous les avons catégorisées afin de développer un prototype fonctionnel qui utilise différentes technologies (tangible, capteurs, multi-touch). Nous avons pu voir que lors de deux expérimentations identiques réalisées dans deux classes de CM1, les groupes utilisant FINGERS augmentaient significativement leurs résultats deux fois plus souvent qu’avec l’utilisation de solides ou du papier-crayon. Pendant ces évaluations, les élèves ont trouvé la tablette complémentaire aux autres outils. Les résultats des tests finaux, cinq semaines plus tard, attestent de l’acquisition des connaissances et des compétences travaillées par les élèves. Nous pouvons donc conclure à ce stade que FINGERS permettrait de faciliter l’apprentissage de la géométrie dans l’espace grâce à une diminution de la charge cognitive et à une approche manipulatoire et visuelle différente et complémentaire de celles déjà existantes : «  Oui, avec ce logiciel c’est bien plus facile avec car on n’a pas vraiment à manipuler c’est plus visuelle  ». Nous expliquons ces résultats par la complémentarité des approches utilisées. L’utilisation de FINGERS en complément de solides de l’espace réel et du papier-crayon a permis de créer un continuum entre ces deux derniers outils. Les élèves ont alors pu passer de véritables solides liés à l’espace réel physique (monde sensible), a un espace en 2D ½ où les objets sont représentés en 3D sur des supports bidimensionnels mais peuvent être manipulés comme dans le monde sensible sans y ajouter de contraintes particulières. Enfin, les élèves ont pu passer de ce monde en 2D ½ à celui des représentations graphiques dans le plan, le tout semblant faciliter l’apprentissage de la géométrie dans l’espace.

Remerciements

Nous tenons à remercier les deux écoles qui nous ont accueilli, ainsi que les enseignants avec qui nous avons travaillé et enfin tous les élèves qui ont participé à cette expérimentation.

Références

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