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Spirales de Cotes et dynamique newtonienne

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Mis en ligne le 17 février 2021, par Patrice Debrabant

Les spirales de Cotes sont aux coniques ce que la fonction 1/r³ est à la fonction 1/r² .
On va les présenter ici en même temps que des outils plus généraux (sur les spirales et sur la dynamique newtonienne en géométrie de la tortue).

I) Généralités

En mathématiques, on appelle spirale une courbe qui tourne autour d’un point central tout en s’en éloignant. La trajectoire décrite quand la courbe fait un tour est appelée une spire. Une spirale a nécessairement une infinité de spires.
Le terme spirale s’applique en général à une courbe plane.

Un façon très simple de définir une spirale consiste à donner son équation polaire : la distance (notée r) d’un point de la courbe au point central est une fonction continue et monotone de l’angle (noté $\theta$) en direction du point de la courbe.

Parmi les spirales ainsi définies, on peut distinguer :

  • la spirale d’Archimède : $r = a + b.\theta$. Le rayon est une fonction affine de l’angle. La distance entre les spires est constante.
  • la spirale logarithmique ou spirale de Bernouilli : $r = a.b^\theta$.
    La spirale d’or est le cas particulier correspondant à $\quad b = ln(\dfrac{\phi}{\dfrac{\pi}{2}})$.

Pour tracer ces spirales, on peut bien sûr utiliser un traceur de courbe, mais aussi Scratch en estampillant un lutin en forme de point.

Voici par exemple une spirale d’Archimède :

Cette spirale a été tracée par ce script Scratch :

Fichier Scratch

On peut faire de même avec la spirale logarithmique.

Fichier Scratch

Une autre façon traditionnelle pour construire une spirale consiste à raccorder des arcs de cercle.
Par exemple, pour la spirale de Fibonacci (qui tend vers la spirale d’or) on raccorde des quarts de cercle de rayon égal aux termes de la suite de Fibonacci :
1
1
1 + 1 = 2
1 + 2 = 3
2 + 3 = 5

Cette spirale est autosimilaire. On peut la tracer en utilisant la méthode présentée dans cet article sur les figures autosimilaire : on estampille un quart de cercle dont on contrôle l’échelle.


Fichier Scratch

Comme on peut le voir, l’épaisseur du trait subit aussi la mise à l’échelle, ce qui n’est pas très heureux.

On peut aussi tracer ces spirales en géométrie de la tortue en utilisant la géométrie différentielle et en exploitant des variables $r$ et $\theta$ pour contrôler le mouvement élémentaire de la tortue.

On a : $\vec{OM}=r.\vec{u}\quad$ où $\vec{u}$ est le vecteur unitaire radial.

Donc $\vec{dM}=\dfrac{dr}{d\theta}. d\theta .\vec{u}+ r. d\theta. \vec{u_n}\quad$où $\vec{u_n}$ est le vecteur unitaire normal.

Quand on tourne d’un angle polaire de $d\theta$, la tortue (la vitesse) tourne de $d\theta+ (arc tan(\dfrac{r}{r’}) )’. d\theta$.

Dans le cas de la spirale d’Archimède, $\dfrac{r}{r’}$ est égal à $\theta$ (si on part de l’origine).

Par conséquent, la tortue tourne de $d\theta . (1+ \dfrac{1}{1+\theta^2})$.

On peut programmer ce script :

On obtient cette figure :

Fichier Scratch

Pour la spirale de Fibonacci, on trace des quarts de cercle.


Fichier Scratch

II) Spirales de Cotes et lois de la dynamique newtonienne

Dans la partie précédente, on a tracé des spirales que l’on a définies mathématiquement, indépendamment de toute considération physique.
On veut maintenant tracer des spirales (ou des courbes) qui correspondent à la trajectoire d’un point respectant les lois de la dynamique newtonienne.

Les spirales de Cotes sont une famille de courbes qui ont été étudiées par le mathématicien et physicien Roger Cotes (contemporain et proche d’Isaac Newton). La plupart des courbes de cette famille sont réellement des spirales (mais pas toutes).
Ces courbes correspondent à la trajectoire d’un point soumis à une force centrale proportionnelle à 1/r³.
Ce mouvement étant uniquement à force centrale, il est plan.

A) Etude expérimentale

On va commencer naïvement en modélisant la situation dans Scratch.
Pourquoi Scratch ?
Parce qu’il est simple et bien adapté à ce contexte.

On choisit Beetle comme lutin principal (= le mobile dont on tracera la trajectoire).
On crée ensuite un lutin supplémentaire en forme de croix qui correspondra au centre de la force. On positionne ce lutin au centre de l’écran, on le pointe en permanence vers le lutin Beetle, et on récupère son orientation (autrement dit l’angle polaire de Beetle) dans une variable globale.

Ensuite, on va faire de la dynamique en géométrie de la tortue.
On considère le schéma suivant :

L’angle (non représenté) entre le vecteur vitesse $\vec{v}$ et l’axe [Ox) correspond à l’orientation de Beetle.
Par conséquent l’angle rouge (entre $\vec{a}. dt$ et $\vec{v}$) est égal à OrientationBeetle – $\theta$. [1]

En appliquant la loi des sinus, on obtient :

$\dfrac{sin(d\alpha)}{a.dt}=\dfrac{sin(OrientationBeetle – \theta)}{v} $

On en déduit au premier ordre :

$d\alpha = \dfrac{sin(OrientationBeetle – \theta).a.dt}{v}$ (en radians)

$d\alpha = \dfrac{sin(OrientationBeetle – \theta).a.dt}{v} \times \dfrac{180}{\pi}$ (en degrés)

Pour obtenir $dv$, on utilise la formule d’Al-Kashi :

$(v+dv)^2 = v^2 + a^2. dt^2 – 2. v. a . dt. cos(180 – (Orientationbeetle – \theta))$

$\qquad \qquad \approx v^2 + 2. v. a . dt. cos(Orientationbeetle – \theta)$ [2]

On obtient :

$dv \approx \sqrt{v^2 + 2. v. a . dt. cos(Orientationbeetle – \theta)} – v$

$\quad \approx v . r\sqrt{1 + \dfrac{2. a . dt. cos(Orientationbeetle – \theta)}{v}} - v$

$\quad \approx a. cos(Orientationbeetle – \theta). dt$ [3]

On programme alors une boucle dans Scratch en écartant les risques de crash.

On gère le futur dans une boucle, le passé dans l’autre.

On peut alors obtenir ces trajectoires :





Fichiers Scratch

B) Etude théorique

Cette étude théorique a été réalisée par Roger Cotes.
On renvoie le lecteur à la page Wikipedia sur la question, qui est claire et précise, et qu’il ne nous a pas paru utile de paraphraser.

III) Le théorème de Newton des orbites tournantes

Reprenons notre simulation de force centrale. Et si on optait maintenant pour une force inversement proportionnelle non pas au cube, mais au carré de la distance ?
Sir Isaac Newton l’a brillamment démontré en son temps : on obtient alors une ellipse. Dans une large gamme de valeurs initiales.

On peut alors avoir l’envie un peu plus farfelue suivante :
Et si l’on prenait une autre particule ayant à tout moment la même vitesse radiale que la première particule, mais une vitesse angulaire proportionnelle à celle de cette première particule ?
Si le coefficient de proportionnalité k est une fraction, on obtiendra encore une courbe fermée. Faisons cela et voyons à quoi ressemble cette courbe.

Si k est un entier, la trajectoire obtenue est appelée une harmonique.
Si k est l’inverse d’un entier, la trajectoire obtenue est appelée une sous-harmonique.

Pour les tracer, on introduit un troisième lutin Ladybug.
Dans le script de Beetle, on utilise une variable globale rLBug pour mettre à jour et rendre disponible la distance au centre (identique pour les deux lutins).
L’angle couvert par Beetle est déjà disponible, c’est $\theta$.

Voici le script de LadyBug, dont la partie cruciale est appelée par le script de Beetle à chaque étape infinitésimale.

Voici un extrait du script de Beetle :

On obtient la première harmonique (k = 2, en rouge).

puis les harmoniques suivantes :


Fichier Scratch

On obtient les sous-harmoniques de la même façon (à ceci près qu’il faut gérer le multi-tours dans le script !).



Fichier Scratch

On n’a pas choisi ces courbes au hasard. Leur allure évoque irrésistiblement les spirales de Cotes.
La raison est la suivante : dans cette situation (une deuxième particule ayant à tout moment la même vitesse radiale que la première particule, mais une vitesse angulaire proportionnelle), si on examine la différence de forces auxquelles ces particules sont soumises pour un même angle polaire, on trouve une force proportionnelle à 1/r³. C’est le théorème de Newton des orbites tournantes. [4]


notes

[1Remarque : dans Scratch les angles sont mesurés à partir de la verticale et dans le sens des aiguilles d’une montre. Comme on soustrait les angles, on peut considérer ici que les angles sont mesurés par rapport à l’horizontale.

[2car deux angles consécutifs d’un parallélogrammes sont supplémentaires (leur somme est 180°)

[3Développement limité en 0 : $\quad (1+x)^\alpha \approx 1 + \alpha . x$

[4Newton a utilisé ce théorème pour rendre compte de la rotation globale des orbites (précession absidale) de la Lune et des planètes (via des approximations en 1/r³).

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