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Un petit logiciel pour découvrir des systèmes de numération
Moteur de recherche
Mis en ligne le 12 avril 2011, par Michel Ramus

Le logiciel Numérations dont parle l’article a été réalisé par Michel Ramus.

Le logiciel, ainsi que sa notice d’utilisation, sont téléchargeables ICI
.

L’annexe de l’article résume les échanges du comité de rédaction de MathémaTICE avec l’auteur du logiciel, pour en améliorer la portée et les potentialités pédagogiques.

 Pourquoi s’intéresser à d’autres systèmes de numération que le nôtre ?

Dans les années 1970, dès les premières classes de l’école élémentaire, on a enseigné notre numération écrite de position en présentant d’abord des bases autres que la base dix. Cela permettait de rencontrer des nombres de plus de deux chiffres en manipulant des petites collections. Le but était de mieux comprendre notre système.
Ce faisant, on a perturbé de nombreux parents, de nombreux enseignants et sans doute beaucoup d’enfants sans toujours atteindre ce but.
En effet, combien d’adultes formés ainsi ne confondent-ils pas chiffre et nombre, numération et numérotation et ne se trouvent-ils pas en difficulté face à des écritures binaires ou hexadécimales ?

Par la suite, certains manuels ont présenté les systèmes hiéroglyphique, babylonien, maya.
La présentation de ces systèmes permet de découvrir d’autres signes que nos chiffres, d’autres bases que la base dix et d’autres règles de codage que celles de notre système.
La comparaison de ces différents systèmes est un moyen pertinent de montrer ce qu’est un système de numération, de dégager les notions de chiffre, de base, l’intérêt du zéro et du principe de position.
Outre son intérêt historique et culturel, elle permet d’expliciter et de comprendre les caractéristiques de notre système.

 Pourquoi utiliser un logiciel ?

Lorsque ces numérations sont présentées dans des manuels ou d’autres documents écrits, l’élève doit observer les exemples présentés et lire les explications qui lui sont données.
Cela lui demande une réelle activité, mais lui laisse peu de liberté car il est prisonnier des choix des auteurs.

Voici une autre démarche facile à mettre en œuvre par tout enseignant maîtrisant un peu le calcul mental : les élèves proposent des nombres, l’enseignant traduit ces nombres dans le système étudié.
En procédant ainsi, les élèves peuvent progressivement découvrir les signes utilisés, faire des hypothèses sur les règles de fonctionnement du système et vérifier ces hypothèses en demandant de nouvelles traductions.

L’utilisation d’un logiciel qui assurerait les tâches de traduction présenterait plusieurs avantages.
Elle permettrait à chaque élève de suivre son propre cheminement.
Elle libèrerait l’enseignant des tâches de traduction, ce qui lui permettrait de se consacrer pleinement à l’observation de sa classe et à la préparation des phases de mise en commun et de synthèse des observations et des découvertes.

 Potentialités et limites du logiciel proposé

Le logiciel présenté reprend l’idée que la présentation et la comparaison de différents systèmes est un moyen pertinent de montrer ce qu’est un système de numération, de dégager les notions de chiffre, de base, l’intérêt du zéro et du principe de position.
Il aborde la numération romaine et trois autres numérations qui présentent les mêmes caractéristiques que les numérations hiéroglyphique, babylonienne et maya.

Les différences avec ces systèmes se situent au niveau des signes utilisés et de la disposition de ces signes dans les écritures.
Les signes utilisés sont des caractères du clavier présentant une ressemblance avec les vrais signes que l’enseignant peut montrer en utilisant un manuel ou internet.
Dans les numérations hiéroglyphique et babylonienne, les signes répétés plus de trois fois sont disposés de façon à faciliter la lecture.
Le logiciel ne respecte pas cette règle et de plus, il y a certainement des différences d’affichage selon l’ordinateur utilisé et le système sous lequel il fonctionne.
Ce non-respect de la disposition n’est pas incompatible avec les objectifs poursuivis, car d’une part, le logiciel ne prétend pas présenter les numérations hiéroglyphique et babylonienne, et d’autre part, l’objectif au niveau où nous envisageons son emploi n’est pas la reconnaissance globale et immédiate des quantités.

Le logiciel limite le champ des recherches à 4000 pour la numération romaine, et respectivement à 10 000, 216 000 et 7200 pour les trois autres numérations.
Ces bornes ont été choisies pour des raison d’affichage à l’écran. Elles sont suffisantes pour atteindre les objectifs visés.
Elles permettent de plus de poser le problème suivant :
En respectant les principes du système présenté, serait-il possible d’écrire tous les nombres naturels ?
La réponse à cette question est une façon de montrer la différence entre les numérations d’addition et les numérations de position ainsi que la supériorité de ces dernières.

Le logiciel permet aux élèves de s’assurer qu’ils savent déchiffrer des inscriptions en chiffres romains, mais il ne propose pas d’autre exercice.
Cette absence d’exercice, laisse à l’enseignant un rôle primordial, sans priver l’élève de la possibilité d’avoir une réelle activité mathématique. Le logiciel ne laissant pas de trace des précédentes "traductions", l’élève doit être invité à consigner par écrit ses observations et ses remarques.
Si les consignes sont clairement données et si l’élève prend des notes, le logiciel lui permet de mettre en œuvre une véritable démarche scientifique. En effet, il peut faire des hypothèses sur la signification des chiffres et des règles utilisés, il peut vérifier ces hypothèses en proposant d’autres nombres. En lui demandant de formuler par écrit ses observations et ses découvertes, on l’amène à préciser sa pensée et à utiliser correctement les termes chiffre, nombre, système de numération.
Ce premier temps de recherches permet de mettre en évidence l’intérêt du calcul mental. En effet, un élève en difficulté dans ce domaine aura du mal à découvrir le fonctionnement des systèmes de type babylonien et maya.
Dans un deuxième temps, si l’enseignant demande de comparer le système étudié avec notre système, s’il demande si ce système permet d’écrire tous les nombres entiers, il pose des problèmes qui permettront à l’élève de s’approprier avec son aide, ce qu’est un système de numération et quelles sont les caractéristiques de notre numération de position.
La notice qui accompagne le logiciel propose des pistes qui permettent de travailler dans cet esprit.

  Annexe - Réponses aux réactions de deux enseignants du Comité de rédaction de MathémaTICE après expérimentation du logiciel


J’ai jeté un coup d’œil, sur la version web et sur la version Windows.
Un peu surpris au début, j’aurais plutôt mis "proposer un nombre" que "traduire" et laissé une trace des précédentes "traductions".

Michel Ramus :
J’ai mis traduire car le logiciel ne fait que traduire les nombres demandés dans les systèmes proposés. Remplacer "Traduire" par "Proposer un nombre" ne pose pas de problème.

Il n’y a pas de trace des précédentes "traductions" car il me paraît souhaitable que durant la phase de recherche l’élève consigne par écrit ses observations et ses remarques.


Sinon, l’utilisation du @ dans la numération hiéroglyphique m’a un peu surpris, il correspond à ça :

appelé escargot et censé représenter un rouleau de papyrus car on peut y représenter 100 hiéroglyphes (source : http://fr.wikipedia.org/wiki/Num%C3%A9ration_%C3%A9gyptienne). Ils ont utilisé des caractères pour représenter les hiéroglyphes, pas toujours très proches visuellement, mais je suppose que c’est plus simple, et finalement pas très gênant, l’enseignant peut préciser que les symboles utilisés par le logiciel sont modernisés.

M. R. :
Le logiciel ne prétend pas présenter la numération hiéroglyphique. Il présente une "numération de type hiéroglyphique", c’est à dire une numération qui a les mêmes caractéristiques que la numération hiéroglyphique.
J’ai choisi des caractères du clavier qui présentent une certaine ressemblance avec les hiéroglyphes.
L’enseignant peut effectivement utiliser le manuel ou internet pour présenter les hiéroglyphes.


Pour le niveau, je faisais des activités sur les différents systèmes de numération en 6e, (la première activité du manuel sésamath 6e est sur les différentes numérations) je suppose que cela peut se faire aussi dans le premier degré. Les élèves aiment bien et cela permet de leur montrer que notre système de numération n’est jamais qu’une interprétation.
L’idée de leur faire découvrir par eux mêmes comment ces numérations fonctionnaient est séduisante.

M. R. :
J’ai moi-même enseigné la numération en sixième pendant deux années, puis pendant trente-deux ans comme formateur d’enseignants du premier degré. Cela m’a permis de fréquenter les classes et d’observer de nombreux enfants et de nombreux adultes en situation d’apprentissage.
C’est cette longue expérience qui m’a amené à élaborer ce logiciel.
A la fin des années 80, j’ai conçu et j’ai utilisé un logiciel de ce type.
Lorsque le logiciel n’a plus été utilisable sur le matériel disponible, j’ai joué son rôle en traduisant et en écrivant au tableau les nombres que l’on me proposait.
Dans les deux cas, les élèves et les adultes ont toujours manifesté un vif intérêt.
C’est en leur demandant d’expliciter les analogies et les différences avec notre système que j’essayais de faire comprendre la notion de base et le principe de position.


Le logiciel est très simple, pas d’une ergonomie satisfaisante ( "proposer un nombre" serait plus judicieux que « Traduire »), et de plus peu cohérent avec les vraies écritures : les hiéroglyphes sont remplacés par d’autres symboles (ça c’est vraiment problématique à mon sens, ou bien on ne parle pas de hiéroglyphes)

M. R. :
Voir remarques ci-dessus.


le positionnement des symboles n’est pas celui que l’on trouve dans les documents historiques :
9 dans l’écriture égyptienne hiéroglyphique ne s’écrit pas IIIIIIIII mais plutôt
IIIII
IIII
(qui permet facilement de lire le nombre)
ou
III
III
III
(Intéressant d’ailleurs au niveau de la décomposition en trois...)
De la même façon pour les clous et les chevrons de l’écriture babylonienne (cf. ci-dessous la magnifique tablette montrant la table de 9, jointe ( Christine Proust (2008) Tablettes mathématiques de la collection Hilprecht, Harrassowitz Verlag)

M. R. :
Effectivement, ce sont ces dispositions qui facilitent la lecture qui étaient utilisées. Le logiciel ne les respecte pas et de plus, il y a certainement des différences d’affichage selon l’ordinateur utilisé et le système sous lequel il fonctionne.
Ce non-respect de la disposition ne me paraît incompatible avec les objectifs poursuivis, car d’une part, le logiciel ne prétend pas présenter les numérations hiéroglyphique et babylonienne, et d’autre part, l’objectif au niveau où nous envisageons son emploi n’est pas la reconnaissance globale et immédiate des quantités.


Enfin, les bornes supérieures ne me paraissent pas très judicieuses (pourquoi limiter l’écriture hiéroglyphique à 10000, l’écriture romaine à 4000, etc. ?)

M. R. :
Ces bornes ont été choisies pour des raison d’affichage à l’écran et car elles me paraissent suffisantes pour atteindre les objectifs visés.
Lorsque j’employais cette démarche, je posais le problème suivant :
En respectant les principes du système présenté, serait-il possible d’écrire tous les nombres naturels ?
La réponse à cette question est une façon de montrer la différence entre les numérations d’addition et les numérations de position ainsi que la supériorité de ces dernières.


A part ça, travailler et faire travailler les élèves sur les écritures des nombres est certainement intéressant et productif en terme d’apprentissage.

M. R. :
J’en suis convaincu en tant qu’enseignant (voir page 1)


Mais le seul exercice disponible sur le logiciel est la conversion d’un nombre écrit dans la numération romaine à la numération décimale de position ; pourquoi pas les autres ? Pourquoi pas faire convertir d’une écriture dans une autre ? Quid des opérations ?

M. R. :
J’ai mis l’exercice sur la numération romaine car il me paraît utile que les élèves s’assurent qu’ils savent déchiffrer des inscriptions en chiffres romains.
Je n’ai pas mis cet exercice pour les autres numérations, mais effectivement, il pourrait être ajouté.
Par contre, je ne vois pas l’intérêt d’une conversion d’un système à l’autre. Fait-on directement des conversions de la base trois à la base sept ?
Le logiciel ne permet effectivement pas d’aborder le problème des opérations et du calcul dans les systèmes présentés, mais ce n’est pas dans son cahier des charges et ce serait un autre sujet.


Il manque donc des scénarios permettant l’exploitation avec des élèves ; dans la notice, il est précisé "Dans l’enseignement élémentaire et secondaire, il peut développer le goût pour la recherche, il amène à formuler et à vérifier des hypothèses", mais on voit bien que le logiciel ne peut pas en soi faire tout ça : quelle médiation du professeur ?

M. R. :
Effectivement et comme le montre d’ailleurs l’absence d’exercice, l’emploi de ce logiciel laisse à l’enseignant un rôle primordial, mais donne aussi à l’élève la possibilité d’avoir une réelle activité mathématique.
En effet si les consignes sont clairement données, dans un premier temps, le logiciel permet à l’élève qui note ses observations de faire des hypothèses sur la signification des chiffres et des règles utilisés, de vérifier ces hypothèses en proposant d’autres nombres, de formuler par écrit ses observations et ses découvertes.
Cette phase permet de plus de mettre en évidence l’intérêt du calcul mental. En effet, un élève en difficulté dans ce domaine aura du mal à découvrir le fonctionnement des systèmes de type babylonien et maya.
Dans un deuxième temps, si l’enseignant demande de comparer le système étudié avec notre système, s’il demande si ce système permet d’écrire tous les nombres entiers, il pose des questions qui permettront à l’élève de s’approprier avec son aide, ce qu’est un système de numération et quelles sont les caractéristiques de notre numération de position.


Ce serait précisément l’intérêt de l’article pour compléter le logiciel qui visiblement est encore en l’état de développement. C’est un peu ébauché dans le paragraphe "pourquoi utiliser un logiciel" mais ce devrait être largement développé pour décrire, si l’expérience a eu lieu, les façons de faire de l’enseignant, les réactions des élèves,...

M. R. :
Je vais revoir l’article en tenant compte de ces observations.
Je le compléterai lorsque j’aurai reçu des témoignages d’enseignants.


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