S’il reste si peu de géométrie au lycée, on peut néanmoins continuer à y faire des choses intéressantes en renouvelant les approches et en rendant le questionnement attractif. Voici un exemple.
Sur le thème de la distance minimale d’un parcours sur un parallélépipède, cet article propose une figure d’illustration de la solution sur 9 patrons. Elle permet de repenser les activités qui peuvent être faites dans le cadre du programme de lycée. L’article propose plusieurs activités, de différents niveaux, tout en s’autorisant en même temps un peu de formation à l’usage de DGPad en 3D.
Cet article peut être librement diffusé et son contenu réutilisé suivant la licence CC-by-sa (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/fr/legalcode)
« Aujourd’hui, on enseigne les maths comme si on enseignait la musique juste en regardant la partition, en l’apprenant par cœur. Pourtant, à partir de la partition, il faudrait comprendre la musique, la ressentir. Quand on enseigne, il faut réussir à allumer cette étincelle des maths et on ne sait pas trop comment faire. Cela fonctionne avec certains… et alors, le son, la musique se mettent en marche. Accéder à la machinerie de l’esprit humain, c’est tout l’objet de l’enseignement. C’est une clé qui reste assez mystérieuse. »
Misha Gromov - Interview mars 2013
Ayant cette année un module de préparation au CAPLP Maths-Sciences, en maths, j’ai été amené à me plonger un peu plus sur la culture spécifique de cet enseignement, où, plus systématiquement qu’en lycée général, un travail préliminaire sur une activité TICE est fortement conseillé — et obligatoire à l’oral du concours. Par ailleurs, on travaille en général de manière opérationnelle sur les fichiers, en visant un résultat, l’objectif étant d’aborder tout de suite une notion mathématique comme outil — et en particulier développer une compétence — sans chercher à la conceptualiser comme objet de savoir, objectif général dans les lycées... généraux. C’est une vraie différence entre les finalités des BAC Pro et des BAC généraux : d’un côté on est centré sur des compétences, de l’autre plutôt sur des savoirs.
Pour un géomètre qui voit disparaître inexorablement sa matière favorite des programmes de lycée, avant une refonte de ceux des collèges, pour des raisons génériques partiellement recevables (*), l’idée émerge de faire au lycée, en géométrie, ce qui se fait en lycée professionnel : développer, sur le peu de géométrie qu’il reste, essentiellement des savoir-faire, et pour cela utiliser des méthodes proches des fiches de TP de Bac Pro en particulier, proposer une figure à manipuler et à questionner qui peut provoquer une certaine dévolution de l’activité aux problématiques soulevées.
Dans cet article, on propose de faire se rencontrer un questionnement mathématique et des outils plus contemporains, ce qui va conduire à faire des mathématiques dans une écriture proche de la programmation : une piste parmi d’autres pour « allumer cette étincelle des maths » comme nous y invite Gromov.
Activité préalable — prérequis
Avant d’aborder l’activité proposée, un prérequis est nécessaire sur le trajet minimal d’un point à un autre sur un polyèdre. Dit comme cela, ça pourrait paraître un peu savant, mais on peut rester dans une approche opérationnelle pour montrer qu’il faut chercher une longueur minimale sur un patron déplié, et même plus exactement sur une partie d’un patron, celle qui concerne les faces en jeu...
En activité préliminaire, on peut s’intéresser à la situation suivante : à partir d’un cube, sur deux faces adjacentes on cherche à optimiser un trajet d’un point d’une face à un point de l’autre face. Les élèves auront alors à découvrir, plus ou moins facilement, qu’il faut déplier une des deux faces dans le plan de l’autre, trouver la position des deux points dans ce dépliage. Alors, par l’inégalité triangulaire, le segment qui relie ces deux points est celui qui réalise la distance minimale.
Voici une illustration avec des points bien précis des deux faces pour faciliter la réflexion et le calcul :
Cette figure — réalisée avec CaRMetal par Monique Gironce, a déjà été présentée dans cet article de MathémaTICE (éventuellement, baisser le niveau de sécurité de java).
En réalité, c’est une figure d’illustration d’un problème de transposition informatique des questions de simulation : la solution, au tiers du segment, n’a aucune chance d’être accessible à la souris : il faut donc, quand on est à un pixel de la solution provoquer quelque chose pour que la solution exacte puisse être accessible. Dans le cas de cet article, on présentait l’aimantation de CaRMetal comme solution à cette question de transposition informatique.
Un très bel autre exemple de situation de trajet minimal
C’est un mélange de Pythagore et de Thalès, alors que cela ne saute pas aux yeux des élèves a priori.
On demande une distance minimale (donc on peut penser Pythagore quand même) entre deux points compte tenu d’un obstacle à franchir.
On notera la largeur de 3, une longueur de 1,5 puis 1, avec un obstacle de 0,75 à franchir en montant et en descendant. Les plus rapides auront déjà remarqué que 1,5+1+2x0,75 = 4... et que (3, 4, 5) est l’archétype historique du triplet pythagoricien...
Voilà pour la partie Pythagore. La partie Thalès intervient si l’on demande les positions des points charnières — de passage sur l’obstacle — qui vont réaliser le minimum. Non, ce n’est, bien sûr, pas un problème à trois inconnues ;-)
Il y a une aide conceptuelle quand on approche de la solution. On manipule la figure avec les 3 points de l’obstacle et à un moment, on peut « étendre l’obstacle »... ce que l’on s’empresse de faire.
C’est un très bel exemple de situation construire pour aider à la conceptualisation : la « ligne brisée » sur le sol fait immédiatement référence à l’inégalité triangulaire, et les élèves d’eux-mêmes disent qu’il faut tracer le segment pour réaliser le minimum.
Alors bien sûr on peut débattre de l’expression « d’eux-mêmes », car les élèves sont mis en situation de s’apercevoir de... Reste que la prise de conscience est personnelle, elle ne vient pas de l’extérieur. L’aide est prise comme une situation dynamique, une dévolution à l’exercice, elle est quasiment oubliée à la fois dans le jeu de la manipulation et dans la compréhension de la réalisation de la distance minimale.
Les élèves manipulent les points de l’obstacle pour faire coïncider le trajet au trajet minimal, puis remarquent la longueur 5.
Les positions des points de contact de l’obstacle se calculent avec la propriété de Thalès... en mettant des noms aux différents sommets des différents triangles.
(ces deux figures CaRMetal sont téléchargeables en fin d’article)
Figure générique proposée
On se donne une boite (un parallélépipède) que l’on peut manipuler en 3D dans un repère et dont les dimensions sont modifiables par deux sommets. La boite est ouverte, elle a 5 faces seulement, la face du haut n’existe pas. On se donne deux points M et N sur deux faces opposées, dans des plans parallèles à (yOz), et on s’intéresse à la distance minimale qu’il faut par aller de M à N en passant par au moins trois faces, et éventuellement — théoriquement — par les 5 faces.
En terme de représentation (on passe alors à des trajectoires, on est donc déjà sur des mathématiques appliquées), on peut parler d’une fourmi à l’intérieur de la boite qui doit aller d’un point à un autre : elle n’a d’autres choix que de passer par les faces.
Dans la figure proposée ci-dessous les trajets minimaux, pour aller d’un point à un autre sont déjà construits pour les 9 patrons possibles de la situation. La figure désigne d’une part le trajet minimal et d’autre part précise si des patrons, pour la configuration donnée en M et N, ne correspondent à aucun trajet sur les faces, ce qui arrive non seulement pour les patrons que l’on pense assez exotiques (ceux qui utilisent les cinq faces), mais aussi pour des patrons utilisant quatre faces. Dans la figure suivante, il n’y a que les trois premiers patrons qui ne rencontrent pas cette situation, car ils utilisent seulement trois faces adjacentes.
Utilisation de la figure
Voici la figure. Je vous invite à passer une minute à vous l’approprier vous même en testant les différents patrons. Vous pouvez par exemple tester des positions de réalisation de la distance minimale sur des patrons différents.
Si vous trouvez la figure trop petite dans la mise en page de MathemaTICE, voici un lien qui s’ouvre en pleine page (en particulier pour une utilisation avec tablette peut-être) : http://goo.gl/WuSD9X. À ouvrir dans un nouvel onglet pour passer de l’article à la manipulation.
• Déplacement du trièdre : sur ordinateur clic-droit glisser, sur tablette utiliser deux doigts dont un fixe.
• Ajout de points : Si vous créez des points par inadvertance (cela arrive à la première utilisation sur tablette), vous pouvez les supprimer par le bouton flèche gauche en bas de la figure, à droite dans le tableau de bord.
Vous pouvez aussi recharger la page.
Une première appropriation de la figure
La figure est suffisamment riche en soi pour susciter la curiosité et l’envie de tester les changements de patrons ainsi que la recherche de distance minimale pour un patron donné.
Un premier questionnement peut porter sur la réalisation de la distance minimale pour chaque patron (en déplaçant M et N par exemple), et en particulier pour les patrons qui utilisent les 5 faces pour réaliser le parcours de M à N, c’est-à-dire les patrons 7 et 9.
[titre]Premières manipulations de la figure
[qcm]
Q 1. Réalisation de la distance minimale avec le patron 9
P1 Je n’y suis pas arrivé | déplacer A, choisir AD <AB
P2 C’est possible, j’y suis arrivé
P3 Pas la peine de chercher la diagonale est trop grande pour être un minimum | Pas dans tous les cas, déplacer A
P4 Oui c’est possible, en positionnant bien M ET N ! | Avec la figure initiale, certainement pas.
P5 Les deux patrons 7 et 9, se déploient sur trop de faces pour réaliser le trajet minimal. | C’est une représentation fausse
R2
[qcm]
Q 2. Réalisation de trajets de même longueur sur plusieurs patrons
P1 Du mal à imaginer que deux trajets sur des faces différentes puissent donner la même longueur finale.
P2 Cela semble possible, pour certains patrons, car on passe d’un patron minimal à un autre en déplaçant à peine le point M.
R2
Éléments de correction... et intérêt de cette figure.
Effectivement, tous les patrons peuvent réaliser la distance minimale entre M et N comme on l’illustre ici heuristiquement pour le patron 9 : il faut modifier la forme de la boite (ie déplacer A)
Bien entendu, plusieurs patrons peuvent donner la même distance pour aller de M et N et même la distance minimale, cela va être un des objectifs de cet article que de calculer, puis construire de telles solutions.
Dans l’illustration suivante, les deux segments de la face ABCD correspondent aux lieux de M pour lesquelles les deux égalités cherchées sont réalisées (à N fixe). On peut alors déplacer N pour que ces deux segments se coupent. On a fortement aimanté l’intersection : ainsi pour N variant (un peu, il faut que les segments se coupent), il existe un point M pour lesquels trois patrons différents réalisent la distance minimale pour aller de M à N.
On pourra même pousser plus loin l’activité (au moins pour les enseignants) et chercher le lieu des points N pour que les deux segments soient sécants.
Organisation de l’article
La suite de l’article est déclinée en onglets pour une lecture plus confortable.
• Les coordonnées 3D des sommets des faces au sol.
• Les coordonnées 3D des points M1, M2, M3, N1, N2, N3
• Calcul de distances égales. Exemples simples de patrons réalisant la même longueur de trajet.
• Déterminations de trois patrons réalisant la même longueur de trajet
• Autre situation spécifique
• Réalisation des trajets sur les faces dynamiques
Constructions en ligne et apprentissage du logiciel
Dés les premiers onglets, mais plus systématiquement dans les trois derniers — généralement dans des blocs fermés pour ne pas perturber la lecture générale — des figures de travail (16 dans tout l’article) à ouvrir dans un autre onglet — ou mieux avec un autre navigateur — seront proposées pour effectuer des constructions partielles. Pour cela il faudra copier-coller du texte du bloc (coordonnées de points) dans une expression de DGPad, éventuellement ajouter une aimantation. L’utilisation minimale de DGPad pour faire cela est détaillée dans le bloc suivant, avant la barre d’onglet.
Copier-coller des expressions et aimanter des objets.
Principe général d’un copier-coller vers DGPad sur ordinateur
• Ne pas oublier que DGPad est d’abord conçu pour tablette, et donc son copier-coller ne fonctionne que dans le cas du clavier standard actif
• Or sur ordinateur il peut y avoir une confusion, car on peut avoir les deux claviers de DGPad actif (pour des raisons évidentes de commodité).
• Pour pouvoir faire un coller dans une expression, il faut que le « clavier DGPad » soit inactif. Pour cela, il faut cliquer sur l’icône clavier afin que ce « clavier DGPad » disparaisse (sur ordinateur) : sur tablette le clavier standard apparaitrait. Sur ordinateur, il n’apparaît pas, car on a un clavier physique. Autrement dit on retient que :
• Le copier-coller ne fonctionne dans une expression que si l’on est dans le mode expression AVEC le clavier d’expression fermé (par un clic sur l’icône de changement de clavier).
Détail de l’utilisation effective
S’il s’agit de recopier une expression, on suppose que vous avez déjà copié cette expression dans le presse-papier, depuis l’article.
• cliquer sur l’icône expression (une calculatrice, entre les outils — les macros — et une roue — l’inspecteur d’objet)
• cela ouvre en haut une barre d’expression avec le clavier « math » de DGPad", dont on remarque qu’il est inactif.
• Il faut cliquer dans la barre d’expression pour la rendre active, elle et le clavier.
Remarque : Sur ordinateur, quand on tape une expression, on peut utiliser aussi bien le clavier physique, que le clavier virtuel « math » de DGPad. On peut mélanger les deux : choisir les crochets du clavier virtuel, car on a les deux en un clic et ensuite taper au clavier physique à l’intérieur des crochets.
Suite du « coller »
• Avant de coller une expression, il faut enlever le clavier « maths », en cliquant sur l’icône « clavier » en haut à droite. On peut alors coller une expression.
• Quand le logiciel reconnaît dans cette expression un point (2D ou 3D), une icône point apparaît à gauche du bouton de validation. Cliquer sur ce bouton crée le point, l’expression disparaît en tant que telle
• Si l’on n’utilise pas le bouton « point », par exemple si l’on entre une expression pour tester sa syntaxe, il faut toujours la valider pour la conserver.
• En conséquence, si l’on ne valide pas, l’expression en cours de traitement disparaît et n’est pas en mémoire, ce qui peut être aussi bien pratique parfois : on teste un point. S’il n’apparaît pas comme correct, on passe. Attention voir le bémol plus loin
Conseils d’utilisation pour les expressions
• Parfois on peut garder une expression de point à l’écran quand on a plusieurs points à construire qui différent d’une coordonnée par exemple, souvent d’un signe : on valide l’expression, puis on sélectionne à nouveau l’expression, on la modifie, on la transforme en point ce qui crée un nouveau point tout en conservant l’expression.
• Pour les points 3D, il peut y avoir un bug de rafraichissement : le point est bien en 3D, mais pas affiché correctement : il faut déplacer un point (A, B, M ou N sur notre figure) ou déplacer le trièdre : bref il faut force un rafraichissement de la figure (bug qui peut rapidement disparaître).
Aimantation
Comme dans CaRMetal, un point peut être aimanté pour des objets. La manipulation est très simple, tellement qu’on peut parfois croire ne pas l’avoir effectuée.
Remarques sur l’aimantation (janvier 2014)
• Au moment où cet article a été écrit, l’aimantation n’est pas encore bien intégrée à la 3D : vous allez aimanter un point M sur un segment, alors que M est déjà un point dans un quadrilatère. Le segment d’aimantation sera lui-même dépendant d’un point N. Mais quand vous déplacerez N, M ne suivra pas le segment. Il faudra le remettre sur le segment pour vérifier les égalités de longueur par exemple.
• C’est une des raisons pour lesquelles des figures dites « finalisées » sont proposées à la manipulation : on a reconstruit M comme point sur objet du segment. Dans ce cas, M reste bien attaché au segment quand celui-ci est modifié par votre action sur le point N.
(fin du bloc sur l’utilisation minimale des expressions de DGPad)
Coord 3D
Les coordonnées 3D dans DGPad
Les arêtes de la boite sont parallèles aux axes, l’origine du repère est le centre de la face du sol. Le point A est un point « du sol ». Ainsi en notant $A(x_A,y_A,0)$, les coordonnées des points du sol sont $D(x_A,-y_A,0), E(-x_A,y_A, 0)$ et $H(-x_A,-y_A,0)$.
On se propose, dans cet article, d’utiliser aussi les notations du logiciel. Les points sont des listes de trois nombres ou expressions algébriques. En pratique $x_A$ se note $A[0]$, $y_A$, $A[1]$ et $z_A$ se note $A[2]$ : on est, en interne, dans un langage de programmation, et c’est une des forces de DGPad que d’avoir ses fichiers écrit dans le même langage que le logiciel, en JavaScript... un JavaScript enrichi pour la géométrie bien entendu.
Ainsi le point $D$ est le point de coordonnées $[A[0],-A[1],0]$.
Le point $B$ est pris à la verticale de $A$, soit parallèlement à l’axe $(Oz)$. Et donc la hauteur de la boite est simplement $B[2]$.
Appropriation de la notation
[titre]Les autres sommets de la figure
[qcm]
Q 1. Le point $C$ a pour coordonnées
P1 $[B[0], -B[1], B[2]]$ | oui, c’est cela
P2 $[-B[0], -A[1], B[2]]$ | C’est le point G
P3 $[-A[0], A[1], B[2]]$ | C’est le point F
P4 $[-A[0], -B[1], B[2]]$ | C’est le point G
R1
[qcm]
Q 2. Parce que C a pour coordonnées
P1 $(x_A, y_A, z_B)$ | C’est le point B lui-même
P2 $(-x_A, y_A, z_B)$ | C’est le point F
P3 $(x_A, -y_A, z_B)$ | C’est bien cela c’est aussi (x(B), -y(B), z(B))
P5 $(-x_A, -y_A, z_B)$ | C’est le point G
R3
Géométrie repérée 2.0 — Écriture formelle des points
On s’intéresse maintenant aux coordonnées des points du sol dans le cas du dépliage des différents patrons. Plions la « face avant », soit le rectangle $ABCD$ sur le sol : $ADPt_{11}Pt_{12}$. Le premier réflexe est d’utiliser des propriétés géométriques de l’agrandissement (Thalès) : la parallèle à la droite $(XZ)$ passant par $C$ coupe la droite $(HD)$ au point $Pt_{11}$. Il faut deux droites pour construire ce point.
On peut économiser les deux droites et construire $Pt_{11}$ par un calcul direct. Le triangle $CPt_{11}D$ est un agrandissement de $ZXO$ : les deux triangles sont rectangles — respectivement en $D$ et en $O$ — et sont isocèles l’un est un grandissement de l’autre, d’un rapport la hauteur de la boite, soit $B[2]$. Donc il faut ajouter la longueur $B[2]$ à partir de $D$ dans la direction $\overrightarrow{HD}$. Comme $\overrightarrow{OX}$ est l’unité dans cette direction, mathématiquement $Pt_{11}=D+B[2]\overrightarrow{OX}$, ce qui s’écrit dans le logiciel tout simplement Pt11=D+B[2](X-O).
Par ailleurs, par la propriété de Thalès on peut aussi écrire $\overrightarrow{CPt_{11}} = B[2]\overrightarrow{ZX}$ soit encore $Pt_{11}=C+B[2]\overrightarrow{ZX}$, ce qui se traduit dans le logiciel par cette relation algébrique formelle : Pt11=C+B[2](X-Z).
Bien entendu, ce n’est pas de la géométrie repérée usuelle, mais de la géométrie repérée dans un logiciel contemporain, d’où ce titre de Géométrie repérée 2.0 en relation avec les écritures proches du calcul formel et assez proche de ce que l’on pourrait faire dans wxMaxima par exemple.
Dans le même ordre d’idée, le rabattement de la face $ABCD$ sur le sol donne un rectangle, et donc en particulier un parallélogramme $APt_{12}Pt_{11}D$, et donc $\overrightarrow{Pt_{11}Pt_{12}}=\overrightarrow{DA}$, ce qui s’écrit dans DGPad par cette expression formelle Pt12=Pt11+A-D.
On remarquera que cela correspond aussi à la relation $\overrightarrow{APt_{12}}=\overrightarrow{DPt_{11}}$ soit Pt12=A+Pt11-D.
Écriture formelle et écriture de Grassmann. (Pour l’enseignant)
On sait que si la somme des coefficients $(a_i)$ est égale à 1, l’égalité qui définit $G$ comme barycentre des points pondérés $(A_i, a_i)$ : $\sum_{i=1}^{n}a_i\overrightarrow{GA_i}=\overrightarrow{0}$ s’écrit aussi (notation de Grassmann) $G = \sum_{i=1}^{n}a_iA_i$.
C’est en particulier le cas quand on écrit $Pt_{12}=Pt_{11}+A-D$.
De même, on sait que la fonction vectorielle lde Leibnitz associée à des points pondérés est un vecteur constant quand la somme des coefficients est nulle d’où cette notation $N-M$ pour le vecteur $\overrightarrow{MN}$
Par contre, une écriture comme $Pt_{11}=D+B[2](X-O)$ ne relève pas de la notation de Grassmann (pour $B[2]$ ≠ 1). On peut choisir de dire qu’elle n’est pas mathématiquement justifiée, mais on peut aussi décider de lui donner du sens, celle de l’écriture mathématique (dans un espace affine) $Pt_{11}=D+B[2]\overrightarrow{OX}$. Notation seulement (abus de notation en quelque sorte), car avec cette écriture, certaines règles usuelles de calcul ne fonctionnent pas.
Par contre, c’est une écriture acceptée par le logiciel de calcul formel, et une écriture informatique tout à fait standard pour le « calcul de points ».
Utilisation comme changement de cadre
Utiliser cette notation en mathématique ne va pas intéresser (ni plaire à) tout le monde, loin de là, et je ne cherche à convaincre personne. J’apporte juste quelques éléments de réflexion pour envisager de travailler aussi avec cette notation en TICE.
En TICE, car en effet, nous sommes dans le cadre de l’utilisation d’un logiciel de géométrie dynamique. On peut alors tout naturellement présenter cette notation dans le cadre d’un changement de cadre mathématique /informatique dans lequel il faut apprendre la syntaxe d’un logiciel, comme on le ferait de celle d’une calculatrice. La notation $ U+N-M$ pour écrire $U+ \overrightarrow{MN}$ est peut-être l’occasion de faire vivre autrement l’écriture standard $(x(N)-x(M), y(N)-y(M))$, qui s’écrit simplement, dans un contexte informatique (ou formel) $N-M$.
Ce changement de cadre peut même être vécu par certains élèves comme une entrée dans une certaine modernité dans les activités mathématiques : on écrit les expressions algébriques dans le langage même avec lequel est conçu le logiciel.
Choix d’une activité plus conforme à la géométrie repérée classique
Comme les directions de la boite sont les directions du repère, on peut tout aussi bien rester dans une notation mathématiquement plus standard et ajouter les vecteurs directement sur les coordonnées. Par exemple dans ce cas, on écrirait pour $Pt_{11} : [D[0]+B[2], D[1], 0]$ et pour $Pt_{12}$ soit $[A[0]+B[2], A[1], 0]$ ou encore $[Pt_{11}[0], A[1], 0]$.
C’est moins dynamique comme approche. Autant la notation formelle donne une impulsion de programmation, une écriture simple quasi visuelle, plus conceptuelle, car on ne va pas au bout de l’écriture, autant avec les coordonnées, on reste dans le champ des configurations, avec la nécessité — et l’effort — du calcul final.
Pourtant, si l’on veut les construire de manière optimisée sans objet intermédiaire, cette option sera de toute façon indispensable pour les images des points M et N sur ces faces au sol.
C’est pour cette raison que dans le QCM suivant, sur les écritures des points des faces au sol, on proposera aussi bien des écritures formelles que des écritures sous forme de coordonnées. On suppose que chacun a un peu manipulé la figure pour comprendre (figure ci-dessous) que $APt_{21}Pt_{22}E$ est les rabattements de $AEFB$ sur sol et que $APt_{23}Pt_{24}Pt_{21}$ est celui de la face $ABCD$ dans un rabattement selon l’axe (AB) lui-même rabattu sur le sol. De même pour les autres faces. Toutes les faces au sol sont donc des rectangles, et, en particulier des parallélogrammes.
Attention aux confusions possibles chez les élèves : on travaille en 3D, avec des coordonnées 3D, donc on travaille effectivement sur des rectangles et non pas sur leurs représentations planes de l’espace, c’est-à-dire sur des parallélogrammes.
Exercice sur les écritures et coordonnées des points du sol
Dans une logique de Géométrie repérée 2.0, on se propose d’utiliser des outils de collecte de données des travaux d’élèves (comme LaboMeP par exemple). En fait ici c’est juste proposé comme simple exemple, car il n’y a pas de collecte des informations puisqu’il n’y a pas d’identification préalable du lecteur (qui peut donc s’amuser à répondre pour jouer ou passer les questionnaires).
Dans le QRM suivant (Questionnaire à Réponses Multiples), il y a toujours plusieurs bonnes réponses à chaque question. La consigne est de les cocher toutes. La figure est proposée avant et, dans un bloc, après le QRM sous une vue différente. Ouvrir le bloc si nécessaire.
Si vous préférez, pour tester différentes expressions, vous pouvez aussi utiliser cette figure en ligne avec les seuls points du sol. (voir la mini doc avant la barre d’onglet pour une utilisation des expressions dans DGPad)
[titre]Écritures et coordonnées de quelques points du sol
[qrm]
Q 1. Le point $Pt_{21}$ peut s’écrire (ou a pour coordonnées)
P1 $A+B[2](Y-O)$
P2 $A+B[2](Y-Z)$
P3 $B+B[2](Y-Z)$
P4 $[A[0], A[1]+B[2], 0]$
P5 $[A[0], A[1]+B[2], B[2]]$ | Ce point n’est pas sur le sol
R1 R3 R4
[qrm]
Q 2. Le point $Pt_{23}$ peut s’écrire (ou a pour coordonnées)
P1 $A+D-H$
P2 $Pt_{34}+A-D$
P3 $A+(A[1]-D[1])(X-O)$
P4 $[A[0]+2*B[2], A[1], 0]$ | Mélange de coordonnées [1] et [0]
P5 $[A[0]+2*A[1], A[1], 0]$
R2 R3 R5
[qrm]
Q 3. Le point $Pt_{14}$ peut s’écrire (ou a pour coordonnées)
P1 $[-A[1]+B[2], A[0], 0]$
P2 $H+B[2](O-X)$
P3 $[-A[0]-B[2], -A[1], 0]$
P4 $H-B[2](Z-X)$
P5 $H+A-Pt_{12}$
R2 R3 R5
[qrm]
Q 4. Le point $Pt_{33}$ peut s’écrire (ou a pour coordonnées)
P1 $P_{34}+Pt_{14}-A$
P2 $Pt_{23}+Pt_{31}-A$
P3 $[D[0]+A[1], D[1]-B[2], 0]$ | le première coordonnée est fausse
P4 $[A[0]+2A[1], -A[1]-B[2], 0]$
P5 $Pt_{31} +(A[1]-D[1])(X-O)$
R2 R4 R5
Dans ce premier onglet, on a vu
• D’une part la notation 3D dans DGPad, et son approche assez formelle
• D’autre part qu’il est pratique et efficace de chercher directement les coordonnées des points sans constructions intermédiaires (typiquement des barycentres qui utiliseraient beaucoup d’objets)
Signalons à propos de l’écriture formelle que, si GeoGebra accepte l’écriture (A+B+C)/3, et construit l’isobarycentre des 3 points, dans DGPad (du moins en janvier 2014, date de l’écriture de cet article), les coefficients numériques doivent être avant les noms des points : sur cet exemple il faudrait écrire : (1/3)*A+(1/3)*B+(1/3)*C.
Coord Mi Nj
Les coordonnées des points Mi et Nj
Avoir des écritures formelles de ces points nécessiterait des rappels sur certaines arêtes. Pour éviter cela, on optimise les écritures en travaillant directement sur leurs coordonnées.
Le QCM suivant ne contient pas de « piège » comme le précédent. On propose en effet les mêmes réponses pour chaque point : en fait, ce serait un QCM d’appariement si l’on avait ce type de QCM dans SPIP. On peut donc aller vite en procédant par élimination.
Rappel : vous pouvez toujours utiliser cette figure en ligne avec les seuls points du sol pour des tests.
[titre]Les coordonnées de M et N au sol sur les différentes faces
[qcm]
Q 1. les coordonnées de $M_1$ sont
P1 $[A[0]+A[1]-M[1], A[1]+M[1], 0]$ | C’est M2
P2 $[D[0]+M[1]-D[1], D[1]-M[2], 0]$ | C’est M3
P3 $[M[0]+M[1],M[1], 0]$ | C’est M1
R3
[qcm]
Q 2. les coordonnées de $M_2$ sont
P1 $[A[0]+A[1]-M[1], A[1]+M[1], 0]$ | C’est M2
P2 $[D[0]+M[1]-D[1], D[1]-M[2], 0]$ | C’est M3
P3 $[M[0]+M[1],M[1], 0]$ | C’est M1
R1
[qcm]
Q 3. les coordonnées de $M_3$ sont
P1 $[A[0]+A[1]-M[1], A[1]+M[1], 0]$ | C’est M2
P2 $[D[0]+M[1]-D[1], D[1]-M[2], 0]$ | C’est M3
P3 $[M[0]+M[1],M[1], 0]$ | C’est M1
R2
[qcm]
Q 4. Les coordonnées de $N_1$ sont
P1 $[N[0]-N[2], N[1], 0]$ | C’est N1
P2 $[E[0]-E[1]+N[1], E[1]+N[1],0]$ | C’est N2
P3 $[H[0]-N[1]+H[1], H[1]-N[2],0]$ | C’est N3
R1
[qcm]
Q 5. Les coordonnées de $N_2$ sont
P1 $[N[0]-N[2], N[1], 0]$ | C’est N1
P2 $[E[0]-E[1]+N[1], E[1]+N[1],0]$ | C’est N2
P3 $[H[0]-N[1]+H[1], H[1]-N[2],0]$ | C’est N3
R2
[qcm]
Q 6. Les coordonnées de $N_3$ sont
P1 $[N[0]-N[2], N[1], 0]$ | C’est N1
P2 $[E[0]-E[1]+N[1], E[1]+N[1],0]$ | C’est N2
P3 $[H[0]-N[1]+H[1], H[1]-N[2],0]$ | C’est N3
R3
Réécriture des coordonnées des points en fonction de A, B, M et N
Chacun a un niveau d’enseignement qui lui est propre, et les activités que l’on trouve sur le réseau, comme celle-ci sont à chaque fois à adapter selon les objectifs de nos séances.
Par exemple autour du questionnaire précédent, en situation scolaire, chacun adapterait selon ses objectifs : il serait tout aussi intéressant de mettre plusieurs écritures justes (QRM) pour un même point, ou faire d’abord travailler sur un couple de points, sans indication particulière, et les faire tester avec le logiciel en entrant les coordonnées en expression, avant un questionnaire sur les autres, etc.
Je propose ici à nouveau un QCM, sur les notations standards, dégagé de la syntaxe de DGPad, essentiellement dans le cadre d’un travail personnel. Je pense par exemple à un travail sur la géométrie dans l’espace et les coordonnées pour la préparation au concours CRPE (il faudrait reprendre l’activité et ses QCM dans l’ENT de l’établissement pour récupérer automatiquement les réponses des étudiants). Il est clair que le QCM suivant demande selon le niveau, soit un peu de calcul, soit de la stratégie. Dans le cadre d’une activité de lycée, cela pourrait faire l’objet d’un travail de groupes : plusieurs groupes calculent les coordonnées des Mi, d’autres celles des Nj pour confronter les résultats, puis ensuite communiquer les résultats aux autres groupes. Un bilan sur les méthodes utilisées par chaque groupe pourrait conclure la séance.
Pour aller plus vite, comme dans le cas précédent, il n’y a pas de mauvaise réponse : chacune des six réponses est bien les coordonnées d’un des six points (et donc les 6 réponses proposées sont toujours les mêmes). C’est en cela que les plus habiles peuvent avoir une démarche stratégique : commencer par remplir les plus évidentes et ensuite chercher, éventuellement par élimination. En particulier dans quelle coordonnée se trouvent $z_N$ ou $z_M$ est un bon critère... si l’on voit bien dans l’espace. Cela pourrait même être un élément de réflexion sur un bilan de l’activité.
[titre]Les coordonnées des Mi, Nj en fonction de A, B, M et N
[qcm]
Q 1. Les coordonnées de M1 sont
P1 $(x_A+y_A+y_M, -y_A-z_M,0)$ | C’est M3
P2 $(-x_A-z_N, y_N, 0)$ | C’est N1
P3 $(x_A+y_A-y_M,y_A+z_M,0)$ | C’est M2
P4 $(x_A+z_M, y_M, 0$) | C’est M1
P5 $(-x_A-y_A-y_N, -y_A-z_N, 0)$ | C’est N3
P6 $(-x_A-y_A+y_N, y_A+z_N, 0)$ | C’est N2
R4
[qcm]
Q 2. Les coordonnées de N1 sont
P1 $(x_A+y_A+y_M, -y_A-z_M,0)$ | C’est M3
P2 $(-x_A-z_N, y_N, 0)$ | C’est N1
P3 $(x_A+y_A-y_M,y_A+z_M,0)$ | C’est M2
P4 $(x_A+z_M, y_M, 0$) | C’est M1
P5 $(-x_A-y_A-y_N, -y_A-z_N, 0)$ | C’est N3
P6 $(-x_A-y_A+y_N, y_A+z_N, 0)$ | C’est N2
R2
[qcm]
Q 3. Les coordonnées de M2 sont
P1 $(x_A+y_A+y_M, -y_A-z_M,0)$ | C’est M3
P2 $(-x_A-z_N, y_N, 0)$ | C’est N1
P3 $(x_A+y_A-y_M,y_A+z_M,0)$ | C’est M2
P4 $(x_A+z_M, y_M, 0$) | C’est M1
P5 $(-x_A-y_A-y_N, -y_A-z_N, 0)$ | C’est N3
P6 $(-x_A-y_A+y_N, y_A+z_N, 0)$ | C’est N2
R3
[qcm]
Q 4. Les coordonnées de N2 sont
P1 $(x_A+y_A+y_M, -y_A-z_M,0)$ | C’est M3
P2 $(-x_A-z_N, y_N, 0)$ | C’est N1
P3 $(x_A+y_A-y_M,y_A+z_M,0)$ | C’est M2
P4 $(x_A+z_M, y_M, 0$) | C’est M1
P5 $(-x_A-y_A-y_N, -y_A-z_N, 0)$ | C’est N3
P6 $(-x_A-y_A+y_N, y_A+z_N, 0)$ | C’est N2
R6
[qcm]
Q 4. Les coordonnées de M3 sont
P1 $(x_A+y_A+y_M, -y_A-z_M,0)$ | C’est M3
P2 $(-x_A-z_N, y_N, 0)$ | C’est N1
P3 $(x_A+y_A-y_M,y_A+z_M,0)$ | C’est M2
P4 $(x_A+z_M, y_M, 0$) | C’est M1
P5 $(-x_A-y_A-y_N, -y_A-z_N, 0)$ | C’est N3
P6 $(-x_A-y_A+y_N, y_A+z_N, 0)$ | C’est N2
R1
[qcm]
Q 4. Les coordonnées de N3 sont
P1 $(x_A+y_A+y_M, -y_A-z_M,0)$ | C’est M3
P2 $(-x_A-z_N, y_N, 0)$ | C’est N1
P3 $(x_A+y_A-y_M,y_A+z_M,0)$ | C’est M2
P4 $(x_A+z_M, y_M, 0$) | C’est M1
P5 $(-x_A-y_A-y_N, -y_A-z_N, 0)$ | C’est N3
P6 $(-x_A-y_A+y_N, y_A+z_N, 0)$ | C’est N2
R5
Bilan de cet onglet
Comme à l’onglet précédent, on a mis en évidence qu’un simple calcul permet de trouver les coordonnées des points M1, M2, M3, N1, N2, N3 sans aucune construction géométrique.
Dans la construction sur le sol, à part les polygones pour que M et N soient des points d’un polygone, il n’y a pas de construction intermédiaire particulière, tous les points ont été calculés directement.
Dans le cadre d’une figure finale optimisée, c’est une grande économie de moyens (en objets intermédiaires) par rapport à des méthodes plus automatiques, par macros.
Distances égales
Réalisations de distances égales sur deux patrons différents
Chacun a pu observer, en manipulant la figure initiale que parfois en déplaçant un point de quelques pixels, on change de « patron minimal », il est donc clair qu’il existe de nombreux couples (M, N) qui produisent des longueurs optimales de parcours égales sur deux patrons.
Compte tenu des calculs effectués à l’onglet précédent, le calcul des distances $d_{i,j}=d(M_i,N_j)$ se fait sans difficulté (attention ici $d_{i,j} \not= d_{j,i}$)
Les calculs pourraient faire l’objet d’une activité de groupe (calcul réparti), mais les résultats peuvent aussi être donnés aux élèves pour se centrer sur la suite de l’activité). On a donc :
$d_{11}^2 = (2x_A+z_M+z_N)^2+(y_M-y_N)^2$
$d_{12}^2 = (2x_A+y_A+z_M-y_N)^2+(y_M-y_A-z_N)^2$
$d_{13}^2 = (2x_A+y_A+z_M+y_N)^2+(y_A+y_M+z_N)^2$
$d_{21}^2 = (2x_A+y_A-y_M+z_N)^2+(y_A+z_M-y_N)^2$
$d_{22}^2 = (2x_A+2y_A-y_M-y_N)^2+(z_M-z_N)^2$
$d_{23}^2 = (2x_A+2y_A-y_M+y_N)^2+(2y_A+z_M+z_N)^2$
$d_{31}^2 = (2x_A+y_A+y_M+z_N)^2+(y_A+z_M+y_N)^2$
$d_{32}^2 = (2x_A+2y_A+y_M-y_N)^2+(2y_A+z_M+z_N)^2$
$d_{33}^2 = (2x_A+2y_A+y_M+y_N)^2+(z_N-z_M)^2$
Puisqu’il y a 9 expressions différentes pour la longueur des trajets minimaux pour chaque patron, une étude exhaustive nécessiterait d’étudier 9x8/2 = 36 cas d’égalités de longueurs... ce qui fait beaucoup...
On se contentera de quelques cas, soit algébriquement élémentaires, soit aboutissant à des résultats intéressants.
Interprétation de l’égalité de deux expressions
Tout d’abord, précisons les objectifs. On se propose de chercher, quand cela existe, le lieu des points M qui réalisent $d_{ij} =d_{rs}$ ce qui est équivalent à l’égalité de leurs carrés. Donc, au moins dans un premier temps, les coordonnées des points A, B et N sont des paramètres. Ce sera notre premier objectif.
Puisque M est dans le plan $x=x_A$, le lieu des points M est une relation algébrique entre $y_M$ et $z_M$ tous les autres termes étant des paramètres.
En regardant les expressions des longueurs $d_{ij}$ on s’aperçoit de ces deux termes $y_M$ et $z_M$ ’interviennent tous les deux, dans chacune des expressions, dans des carrés, ce qui fait que l’égalité de deux longueurs quelconques éliminera les termes du second degré en $y_M$ et $z_M$ et donnera toujours une expression linéaire entre eux.
Autrement dit, le lieu des points M qui réalise $d_{ij} =d_{rs}$ sera toujours un segment. Reste ensuite à évaluer — ou plus simplement à tester sur une figure — quand ce segment est bien à l’intérieur de la face.
On pourrait éventuellement chercher — au niveau enseignant pour peaufiner des figures de présentation par exemple — des contraintes sur A, B ou N pour que le segment lieu soit dans la face ABCD. En fait, il est plus intéressant de tracer le segment pour la côte $z$ allant de 0 à $B[2]$ et d’ajuster la figure (avec les points N, A ou B) pour que ce segment soit, au moins partiellement dans la face ABCD.
Un second objectif serait de réaliser — heuristiquement, en déplaçant N — des patrons de parcours de même longueur qui réalise aussi la longueur minimale pour les 9 patrons. Pour certains cas, on pourra avoir trois patrons différents qui réalisent un trajet de longueur minimale.
Cas 1. Cas d22=d33
En regardant les écritures de chaque expression algébrique, on voit tout de suite des situations élémentaires à traiter. Il n’est pas certain que cela aboutisse à des situations réellement intéressantes, mais au moins dispose-t-on de cas simples sur lesquels on peut construire une activité algébrique en classe.
On commence par les patrons 2 et 3. Les deux expressions algébriques ont (au carré) les seconds termes égaux, il reste donc les deux premiers termes à égaler.
$d_{22}^2 = (2x_A+2y_A-y_M-y_N)^2+(z_M-z_N)^2$
$d_{33}^2 = (2x_A+2y_A+y_M+y_N)^2+(z_N-z_M)^2$
En posant $u = 2x_A+2y_A$ et $v = y_M+y_N$, l’égalité $d_{22}=d_{33}$ s’écrit $(u+v)^2=(u-v)^2$, soit $4uv=0$.
Comme $u$ est non nul (car $x_A$ et $y_A$ sont positifs) on doit avoir $v=0$ c’est-à-dire $y_M+y_N=0$
Ainsi, les patrons 2 et 3 donnent la même longueur ssi $y_M=-y_N$. Le segment lieu dont il était question plus haut est simplement un segment parallèle à [AB].
Sur l’illustration suivante on a construit le segment « lieu de M », en fonction de N, et affiché les longueurs $d_{22}$ et $d_{33}$ à 11 décimales.
Manipuler cette figure en ligne : http://goo.gl/jSruue (ouvrir dans un nouvel onglet)
Si cette activité est proposée en classe, éventuellement de manière guidée, cette symétrie obtenue ($y_M=-y_N$) peut être réexploitée en terme de positionnement des points M et N sur le sol pour voir que la différence des abscisses et la même dans les deux patrons (celle des ordonnées est acquise par l’écriture algébrique).
Enfin, on peut chercher si cette situation élémentaire peut quand même réaliser le trajet minimal des 9 patrons. On s’aperçoit rapidement que oui, dans certaines conditions pour la boite :
Ce minimum n’est bien entendu pas atteint pour tous les points M du segment auquel il appartient.
2. Cas d32=d23
Algébriquement, ce cas est une variante du précédent. On s’intéresse aux patrons 7 et 9, ceux qui utilisent les 5 faces pour leurs trajets, fortement en diagonale.
$d_{23}^2 = (2x_A+2y_A-y_M+y_N)^2+(2y_A+z_M+z_N)^2$
$d_{32}^2 = (2x_A+2y_A+y_M-y_N)^2+(2y_A+z_M+z_N)^2$
Là encore, les deux seconds termes sont égaux. Donc l’égalité des carrés revient à l’égalité des premiers termes. En posant à nouveau $u = 2x_A+2y_A$ et $v = y_N-y_M$, on se retrouve encore avec une relation du type $(u+v)^2=(u-v)^2$ qui aboutit à nouveau à $v=0$ soit cette fois $y_M=y_N$.
Les patrons 7 et 9, ceux qui utilisent les 5 faces, donnent des trajets de même longueur ssi M et N ont même ordonnée. Le lieu de M qui réalise cela est donc encore un segment « vertical » (parallèle à [AB]). C’est le symétrique du segment solution de l’égalité précédente par rapport au centre de la face.
En fait, les longueurs obtenues ne sont pas toujours des trajets : il faut que le segment au sol, pour chaque patron, coupe les arêtes du sol qui correspondent à ce patron. Donc il faut bien vérifier que cette égalité des distances — et donc des ordonnées de M et N — produisent bien deux trajets conformes à la réalisation d’un trajet selon ces deux patrons. Cela s’obtient facilement en manipulant la figure, même s’il serait un peu délicat de bien préciser les contraintes exactes.
Manipulation de la figure associée en ligne : http://goo.gl/wKH2SD (ouvrir dans un nouvel onglet)
Dans le cas très particulier où N et M sont d’ordonnées nulles ($yN=y_M=0$) alors on a les égalités deux à deux, $d_{23}=d_{32}$ et $d_{22}=d_{33}$, mais ces valeurs ne sont pas égales entre elles.
3. Cas d12=d21
Terminons cette première approche des égalités de longueur par un cas moins trivial, mais qui reste facilement abordable. Cette fois-ci nous allons avoir une vraie relation linéaire entre $y_M$ et $z_M$, c’est-à-dire que le segment lieu ne sera plus vertical.
$d_{12}^2 = (2x_A+y_A+z_M-y_N)^2+(y_M-y_A-z_N)^2$
$d_{21}^2 = (2x_A+y_A-y_M+z_N)^2+(y_A+z_M-y_N)^2$
Posons alors $u=2x_A+y_A, v=y_M-z_N, w=z_M-y_N$. L’égalité des (carrés des) deux distances peut s’écrire :
$(u-v)^2+y_A+w)^2 =(u+w)^2+(v-y_A)^2$
Tous les termes carrés disparaissent en développant, il ne reste que les doubles produits : $-2uv-2y_Aw=2uw-3vy_A$ soit encore $(y_A-u)(w+v)=0$.
Or $y_A-u=0$ est équivalent à $x_A=0$ ce qui est exclu. Il reste donc $w+v=0$ soit encore $y_M=-z_M+z_N+y_N$.
Donc le lieu des points M qui réalisent l’égalité des longueurs des deux patrons est la partie de la face qui rencontre la droite $y=-z+y_N+z_N$. Pratiquement, on prend le segment pour $z$ entre 0 et $z_B$ ou $N[2]$, ce qui donne une illustration comme celle-ci :
Manipuler la figure associée en ligne :http://goo.gl/hMhCh6
4. Cas d13=d31
Sur la dernière figure, ajoutons la contrainte $d_{13}=d_{31}$, on a :
$d_{13}^2 = (2x_A+y_A+z_M+y_N)^2+(y_A+y_M+z_N)^2$
$d_{31}^2 = (2x_A+y_A+y_M+z_N)^2+(y_A+z_M+y_N)^2$
Comme dans le cas précédent, on peut noter $u=2x_A+y_A, v=z_M+y_N, w=y_M+z_N$. L’égalité des (carrés des) deux distances peut s’écrire :
$(u+v)^2+(y_A+w)^2=(u+w)^2+(y_A+v)^2$, soit, après simplification, $(u-y_A)(v-w)=0$. Comme $u-y_A$ ne peux pas être nul (sinon $x_A=0$ il n’y aurait pas de boite), on a $v-w=0$ soit $y_M = z_M+y_N-z_N$, on a un nouveau segment, cette fois de pente 1.
Manipuler la figure (M aimanté par les deux segments) : http://goo.gl/OLQgOc
5. Cas d13=d31=d12=d21
A l’intersection des deux segments, on aura $d_{13}=d_{31}$ et $d_{12}=d_{21}$. Il est immédiat (et cela reste simple pour des élèves) de voir que ceci n’est possible que si $y_M=y_N$ et $z_M=z_N$, mais bien entendu les deux couples d’égalités de longueurs ne sont pas égales entre elles.
Il est facile de chercher à égaler ces deux valeurs différentes. Pour cela on s’intéresse à réaliser $d_{12}=d_{13}$ sur la base de cette double égalité préalable : $y_M=y_N$ et $z_M=z_N$.
Cela aboutit à $y_N(z_N+y_A+x_A)=0$. Or $z_N$>0 on ne peut donc avoir $z_N+y_A+x_A=0$. Il reste donc $y_N=0$.
Dans ce cas, comme on l’a vu dans les premiers paragraphe de cet onglet, on a d’autres égalités, ce qui donne :
(le segment vert correspond à la solution de $d_{12}=d_{13}$)
On a bien quatre patrons qui donnent des trajets de même longueur, mais c’est un cas tellement symétrique et spécifique $(y_M=y_N=0, ~; et ~; z_M=z_N)$ que ce n’est pas surprenant, et en définitive assez peu intéressant comme résultat (sauf le travail algébrique produit par les élèves si on leu fait faire cette étude).
Manipuler la figure en ligne : http://goo.gl/B930tA
Dans le prochain onglet, nous allons chercher d’autres situations pour trois (et même quatre) patrons produisant des trajets de même longueur, dans des situations moins triviales.
Bilan de l’onglet
Dans cet onglet, nous avons centré l’exploration des trajets de même longueur sur des situations algébriquement élémentaires, facile à traiter à la main. Mais à traiter des situations élémentaires on aboutit à des résultats eux aussi assez élémentaires.
Il reste que les traitement des cas 3 et 4 sont intéressants en soi.
Le cas 3 sera poursuivi à l’onglet « Coïncidences de lieux »
Dans le prochain onglet, nous explorons des exemples moins triviaux. Nous quittons alors peut-être (sauf projet spécifique) l’activité scolaire.
Sur 3 patrons
Trois patrons pour trois trajets de même longueur
Fort de l’expérience de l’onglet précédent, on veut aller plus loin, en particulier pour avoir des situations finales moins triviales que ce que l’on a trouvé dans l’exploration précédente.
L’objectif de cet onglet est de dégager des situations où les trois longueurs suivantes sont égales, et donc des cas où les trajets sur les patrons 4, 8 et 9 sont de mêmes longueurs. On verra qu’ils peuvent même réaliser le trajet minimal. Rappelons les données de la situation :
$d_{12}^2 = (2x_A+y_A+z_M-y_N)^2+(y_M-y_A-z_N)^2$
$d_{31}^2 = (2x_A+y_A+y_M+z_N)^2+(y_A+z_M+y_N)^2$
$d_{32}^2 = (2x_A+2y_A+y_M-y_N)^2+(2y_A+z_M+z_N)^2$
La méthode...
On commence par traiter les équations deux à deux. On a déjà remarqué que, dans chaque cas, les termes $y_M$ et $z_M$ sont toujours dans des carrés, et donc s’éliminent dans l’égalité. Si l’on cherche une relation entre ces deux termes, elle est nécessairement du premier degré, toutes les autres données étant considérées comme des paramètres.
On choisit ensuite de représenter $y$ en fonction de $z$ : c’est une droite, et ce qui nous intéresse est la partie qui est éventuellement sur la face $ABCD$. Il suffit de chercher $y(0)$ et $y(z_B)$ et de construire le segment dont les extrémités sont les points $(x_A, y(0), 0)$ et $(x_A, y(z_B), z_B)$.
On se situe ensuite d’un point de vue heuristique : on peut déplacer N, éventuellement déformer la boite en déplaçant $A$ et/ou $B$ pour que ce segment coupe la face $ABCD$. On aimante alors M sur ce segment. Pour ces points M de la face, les trajets de M à N sur les deux patrons sont de même longueur.
On peut tenter de trouver trois patrons qui réalisent le même trajet si l’on arrive à faire se couper « deux segments-lieu » qui sont issus d’une distance commune. C’est ce que nous allons faire ici.
... et son éventuelle utilisation en classe
Chacun aura bien compris que mathématiquement, nous ne faisons que construire des droites (par l’intersection avec un repère) en nous intéressant en particulier à l’intersection de ces droites. Pour autant ce type de prolongement est-il réalisable par des élèves, sinon en classe, au moins sous forme de projet (narration de recherche) ou de défi (problème ouvert) ? C’est à chacun d’en juger, selon l’environnement dans lequel il évolue (culturel, technique : en sciences de l’ingénieur, on réalise des modélisations autrement plus complexes).
La principale difficulté conceptuelle est dans l’abstraction des autres variables que $y_M$ et $z_M$ et de ne les considérer que comme des données de la situation.
La seconde difficulté conceptuelle pourrait être dans la relation fonctionnelle de $y$ en fonction de $z$ alors que normalement on représente la côte $z$ en fonction de l’ordonnée $y$. On a choisi ici de ne pas le faire en minimisant cette relation fonctionnelle et en s’intéressant essentiellement aux segments auxquels cela conduit : en se focalisant sur les configurations, on « défonctionnalise » le problème.
Il y a deux difficultés techniques. La première est dans le calcul. Il est clair que ceci ne peut se faire dans un temps raisonnable sans un outil ce calcul formel. Cela suppose une pratique antérieure du calcul formel. Mais cela ne suffit pas, il faut s’assurer que le calcul à effectuer soit bien compris : selon le type de tâche (narration de recherche, tâche complexe, problème ouvert), l’activité autour du calcul formel sera donc plus ou moins guidée, avec des fiches de TP plus ou moins dirigiste.
Construction en ligne dans cet article
La seconde difficulté technique non négligeable est la transposition des résultats du calcul formel en points 3D de DGPad. On a dit qu’il ne s’agit en définitive que de construire deux points sur la figure (puis d’aimanter M sur le segment obtenu). C’est néanmoins à considérer comme une étape à part entière de l’activité. Pour un travail scolaire, il est conseillé de travailler dans un petit traitement texte pour vérifier la syntaxe avant de la copier les expressions dans DGPad.
Dans cet article, à partir de cet onglet, on vous propose de faire une partie de la figure en ligne rapidement.
Pour cela, les écritures des expressions au format DGPad sont fournies (souvent dans un bloc à ouvrir pour ne pas gêner la lecture des personnes non intéressées). Se reporter au monde d’emploi proposé dans le bloc avant la barre d’onglets : il faut copier les points et ensuite aimanter M sur le segment.
On poursuit dans la présentation des cas particuliers avec une rédaction plutôt « pour l’enseignant » tout en conservant à l’esprit la possible utilisation de ces activités en classe dans des projets un peu ambitieux qui voudraient montrer que même des situations élémentaires (on reste dans du premier degré) peuvent faire intervenir de nombreux paramètres et qu’il convient de choisir judicieusement nos variables.
Cas d32=d12
On a choisi de noter $y_{3212}(z)$ la relation fonctionnelle pour ce cas-là. On voit que le segment part du point D par la relation $y_{3212}(0)=-y_A$, il n’y a donc en fait qu’un point à construire pour ce premier cas, le point correspondant à $y_{3212}(z_B)$
L’étape d’écriture de ce point dans DGPad peut-être un peu délicate pour des élèves. On doit écrire d’abord l’expression $y_{3212}(z_B)$ :
$\displaystyle -\frac{B[2]*(-2*A[0]+N[1]+A[1]+N[2])+A[1]*N[2]-A[1]*N[1]+3*A[1]^2+2*A[0]*A[1]}{2*A[0]+3*A[1]+N[2]-N[1]}$
Puis dire que le point a pour abscisse $A[0]$ et pour côte $B[2]$ et donc rentrer par copier-coller le point 3D de coordonnées :
[A[0],-(B[2]*(-2*A[0]+N[1]+A[1]+N[2])+A[1]*N[2]-A[1]*N[1]+3*A[1]^2+2*A[0]*A[1])/(2*A[0]+3*A[1]+N[2]-N[1]),B[2]]
Faire la construction en ligne à partir de cette figure : http://goo.gl/3XxvTJ (ouvrir dans un nouvel onglet)
Sur l’illustration précédente, on voit bien le segment marron « lieu de M pour l’égalité des longueurs » et son extrémité qui correspond au point calculé ci-dessus.
Réaliser le trajet minimal des 9 patrons sur cette égalité est délicat à obtenir, on voit bien ci-dessus que la longueur $d_{31}$ du patron 8 est proche. En fait, elle est souvent plus petite. D’où l’idée de chercher une autre égalité de longueur avec elle et de chercher quand les trois vont être égales.
Manipuler cette première étape finalisée, en ligne : http://goo.gl/7Fz6MM (ouvrir dans un nouvel onglet)
Cas d31=d12
Le segment à construire est un peu plus technique, au moins parce qu’il faut construire deux points
Pour d31=d12
En z=0
l’ordonnée y
(-A[0]*N[2]-(A[0]+A[1])*N[1])/(A[0]+A[1]+N[2])
le point
[A[0],(-A[0]*N[2]-(A[0]+A[1])*N[1])/(A[0]+A[1]+N[2]),0]
En z=B[2]
l’ordonnée y
(-A[0]*N[2]-(N[1]-A[0])*B[2]-(A[0]+A[1])*N[1])/(A[0]+A[1]+N[2])
le point
[A[0],(-A[0]*N[2]-(N[1]-A[0])*B[2]-(A[0]+A[1])*N[1])/(A[0]+A[1]+N[2]),B[2]]
Utiliser cette figure contenant déjà le segment précédent : http://goo.gl/phccbW (ouvrir dans un nouvel onglet)
En voici la réalisation, sur un trajet non minimal
On a laissé le premier segment de la partie précédente. Sur cette illustration on voit aussi les extrémités de ce second segment marron qui réalise $d_{31}=d_{12}$. On a vu qu’il y a des situations où les trois longueurs concernées sont très proches.
Exploration en ligne sur une figure finalisée : http://goo.gl/plujmm (ouvrir dans un autre onglet)
Cas d31=d12=d32
L’exploration proposée sur la figure en ligne ci-dessus est probablement la limite de ce qu’on peut faire chercher en classe dans un projet un peu ambitieux. Nous poursuivons l’exploration, a priori, désormais hors contexte scolaire. Nous reprendrons le contexte scolaire dans les autres onglets.
Plutôt que de faire une aimantation, on peut calculer les coordonnées de l’intersection et donner à M les coordonnées de ce point-là.
En notant zSol la solution en z (la côte) de l’intersection des deux segments, et ySol l’ordonnée du point, on a :
intersection des droites d32=d12 et d31=d12
Dénominateur
(N[2]^2+2*A[1]*N[2]+N[1]^2-2*N[1]*(A[1]+A[0])+A[1]^2+2*A[0]*A[1])
Numérateur en Z
– ((A[1]-A[0])*N[2]^2+N[2]*(-2*A[1]*N[1]+4*A[1]^2-2*A[0]^2)+(A[0]+A[1])*N[1]^2-2*N[1]*(2*A[1]^2+3*A[0]*A[1]+A[0]^2)+3*A[1]^3+5*A[0]*A[1]^2+2*A[1]*A[0]^2)
Numérateur en Y
– (A[0]*N[2]^2+N[2]*(2*A[0]*N[1]+2*A[1]*A[0]-2*A[0]^2)+(A[0]+2*A[1])*N[1]^2-2*N[1]*(A[1]^2+2*A[0]*A[1]+A[0]^2)+3*A[0]*A[1]^2+2*A[1]*A[0]^2)
Point intersection pour les trois trajets de même longueur
[A[0],-(A[0]*N[2]^2+N[2]*(2*A[0]*N[1]+2*A[1]*A[0]-2*A[0]^2)+(A[0]+2*A[1])*N[1]^2-2*N[1]*(A[1]^2+2*A[0]*A[1]+A[0]^2)+3*A[0]*A[1]^2+2*A[1]*A[0]^2)/(N[2]^2+2*A[1]*N[2]+N[1]^2-2*N[1]*(A[1]+A[0])+A[1]^2+2*A[0]*A[1]),-((A[1]-A[0])*N[2]^2+N[2]*(-2*A[1]*N[1]+4*A[1]^2-2*A[0]^2)+(A[0]+A[1])*N[1]^2-2*N[1]*(2*A[1]^2+3*A[0]*A[1]+A[0]^2)+3*A[1]^3+5*A[0]*A[1]^2+2*A[1]*A[0]^2)/(N[2]^2+2*A[1]*N[2]+N[1]^2-2*N[1]*(A[1]+A[0])+A[1]^2+2*A[0]*A[1])]
Redéfinir le point M à partir de cette expression sur cette figure : http://goo.gl/VobiPe (ouvrir dans un nouvel onglet)
(Cliquer sur M et copier coller l’expression précédente)
Voici une illustration de la figure dans le cas où les trajets égaux réalisent aussi le trajet minimal sur les 9 patrons.
Manipuler la figure finalisée en ligne : http://goo.gl/DYaz3z (ouvrir dans un nouvel onglet)
Le cas de 4 patrons
On poursuit ici, hors de tout contexte scolaire, l’exploration de cette situation car on voit bien, en manipulant la figure précédente que l’on peut avoir $d_{21}$ proche de $d_{12}$.
Or cette égalité $d_{21}=d_{12}$ a été traitée à la fin de l’onglet précédent, on a vu que la solution en M est régit par cette équation : $y_M+z_M=y_N+z_N$/.
On peut donc ici envisager de calculer des solutions en N pour que le segment solution de $d_{21}=d_{12}$ passe déjà par le point M solution de trois patrons de même longueur de trajet : on aurait ainsi un quatrième patron.
La situation est moins simple qu’il n’y paraît car M intersection des deux premiers segment dépend des coordonnées de N. Il en résulte que les coordonnées de N doivent vérifier cette équation polynomiale de degré 3
On aura $d_{12}=d_{21}=d_{31}=d_{32}$ ssi on réalise l’annulation de ce polynôme :
On remarque qu’il est de degré 3 en $y_N, ~; z_N, ~; et ~; y_A$ mais seulement du second degré en $x_A$
On aurait pu traiter le problème en $x_A$ mais cela obligerait de retravailler la figure en profondeur. Et surtout on ne pourrai pas avoir une manipulation directe sur N mais dans une manipulation "semi-directe".
On cherche alors $y_N$ en fonction de $z_N$ (l’inverse n’est en fait pas fonctionnel même si cela n’apparaît pas immédiatement). On trouve ainsi pour $y_N$ l’expression suivante :
Mais en réalité cela n’aboutit pas (la partie sous la racine carrée est généralement négative).
En reprenant le polynôme de degré 3 et en utilisant la résolution trigonométrique (ici on est dans le cas "cosinus"), on arrive à construire le lieu de $y_N$ en fonction de $z_N$. On construit ce lieu et on redéfini (dans le fichier texte qu’il faut réorganiser sur quelques lignes) N sur ce lieu, ce qui donne l’illustration suivante.
En pratique on trouve de nombreuses solutions avec des formes différentes de boites (et de lieu de N) comme par exemple :
Il ne semble pas qu’on puisse atteindre le trajet de longueur minimale avec cette configuration bien spécifique.
Manipuler la figure en ligne : http://goo.gl/p48332
Bilan et perspectives de cet onglet :
Nous avons vu un exemple abordable de situation dans laquelle on peut avoir trois patrons dont les longueurs de trajets soient identiques et même réalisent le trajet minimal sur l’ensemble des patrons.
Nous avons poursuivi, pour explorer plus avant cette figure, le cas de 4 patrons réalisant des trajets de même longueur. On en trouve, même s’il faut résoudre une équation du 3° degré.
Superposition de lieux
Réaliser la superposition de deux segments lieux
L’activité suivante est l’occasion de montrer combien cette situation très ouverte révèle des cas particuliers un peu surprenants. Ici, nous allons mettre en évidence un lieu de M qui réalise à la fois une égalité de longueur des trajets pour deux patrons et en même temps une autre égalité de longueur pour deux autres patrons. Ces deux longueurs ne pouvant toutefois pas être égales, sauf cas particulier peu intéressant.
Nous reprenons cette situation où nous avions réalisé « un premier segment oblique », la situation d12=d21.
On a vu que la pente du segment est -1 dans le repère (O, Y, Z).
Regardons maintenant une autre égalité de longueurs de trajets.
Cas d11=d22
C’est même un des premiers cas qu’il aurait été naturel de regarder, si l’on ne s’intéressait pas, comme on l’a fait, aux simplifications algébriques. On a donc :
On a ajouté la pente du segment associé à $d_{11}=d_{22}$. En effet, en faisant varier N, on peut observer que la pente passe d’une valeur inférieure à -1 à une valeur, toujours négative mais supérieure à -1. Et surtout, quand elle passe par la valeur -1 alors les deux segments se superposent (et, expérimentalement, c’est une équivalence). Voici une copie d’écran de la manipulation :
:
Manipuler cette figure finalisée en ligne : http://goo.gl/pWxURW
Lieu de N pour que les deux lieux coïncident
Les calculs associés à cette manipulation sont élémentaires. On vérifie que les deux segments se superposent si et seulement s’ils ont tous les deux le point A comme extrémité, en z=0. Une conséquence immédiate est le lieu de N qui réalise la superposition : $y_N+z_N=y_A$
Manipuler cette figure finalisée en ligne : http://goo.gl/16s9IW
Possibilité d’égalité des longueurs des 4 trajets
Pour que les 4 trajets soient de même longueur, il faut que l’on ait de plus, par exemple, $d_{11}=d_{21}$
Cette égalité correspond à un segment d’origine le point A. Dans l’illustration suivante, N est sur le lieu où les deux segments précédents sont confondus (segment marron) et on a construit (en cyan) ce nouveau segment qui correspond à l’égalité $d_{11}=d_{21}$. Il est a priori distinct. Donc on ne peut avoir l’égalité des 4 longueurs.
Manipuler cette figure finalisée en ligne : http://goo.gl/GjMekV
Toutefois, en déplaçant N sur le segment par lequel il est aimanté, on voit que ce nouveau se rapproche du segment commun quand N se rapproche de E. Et il y a égalité des segments — et donc des longueurs — quand N est en E.
Toutefois ce cas, ou N est un sommet du parallélépipède — est un cas bien trop particulier pour être réellement intéressant. Disons plutôt qu’il montre surtout que, sauf cas très particulier, les quatre longueurs ne peuvent être simultanément égales.
Bilan de cet onglet
On a pu voir une situation intéressante où deux couples de distances pouvaient être égaux deux à deux sur un même lieu sans être égales entre elles.
Il serait intéressant de rechercher d’autres situations de ce genre.
Le dernier onglet traite d’un tout autre sujet : la construction des trajets sur les faces en déploiement.
Trajets sur les faces
Construction des trajets sur les faces en cours de pliage
Un autre type d’activité, loin des distances, plus proche des coordonnées des points du premier onglet consiste à s’intéresser à la construction des points sur les faces pendant qu’on les plie, c’est-à-dire d’une part les images des points $M_i$ et $N_j$ mais aussi des points à l’intersection des arêtes sur les trajets.
Typiquement, on peut proposer de chercher les coordonnées des deux points $M_{2v}$ et $P_{32}$ dans l’illustration ci-dessous.
Une première remarque significative est d’observer que le point $M_{2v}$ est propre à la face est indépendant du trajet retenu (du patron) alors que le point $P_{32}$ dépend, lui, du trajet, donc qu’il va y avoir deux procédures différentes pour construire ces points.
Chacun voit dans le pliage de la face d’arête [AE] une simple configuration de Thalès dans le triangle $APt_{21}v_{21}$, c’est donc l’occasion de travailler Thalès dans le champ de la géométrie repérée pour construire le point de pliage $P_{32}$ sans aucun ajout de segment, juste à partir des points en jeu, et de $P_5$.
Dans un contexte d’une activité scolaire, la construction des points $v_{ij}$ étant hors de portée, il est clair que la figure de travail comporte les faces pliées. Ainsi les élèves utiliseront les points $v_{21}, ~; v_{23} ~; et ~; v_{24}$ comme des données initiales de la figure de travail.
Dans le bloc suivant, à l’attention des collègues curieux, on présente les grandes lignes de ces constructions.
Rendons à César...
Je dois cette technique des parallélogrammes et cette idée de tout centrer en l’origine pour simplifier les calculs et les constructions à Monique Gironce de l’IREM de Toulouse qui a utilisé cette méthode fin novembre 2013 juste après une réécriture des outils internes 3D de DGPad, avec cette figure (à ouvrir dans un nouvel onglet).
Le pliage de la face du sol $APt_{21}Pt_{22}E$ en $Av_{21}v_{22}E$ correspond à une rotation de la face dans une rotation d’axe (AE) et d’angle ouvre (nom interne de la variable associée au curseur Ouvrir).
Aux coefficients près associés à la taille de la boite, cela revient à s’intéresser à la rotation du vecteur $\overrightarrow{OY}$ dans une rotation d’axe $\overrightarrow{OX}$ : autrement dit, tout se passe dans le plan (OYZ) et cette rotation correspond au point $p_{2g}$ de coordonnées $[0, cos(ouvre), sin(ouvre)]$ soit l’image de Y dans la rotation d’angle ouvre de centre O dans le plan (OYZ).
D’une manière générale, il est plus simple de travailler sur des rotations vectorielles (tout est centré en O) et de faire ensuite des parallélogrammes de manière algébrique. En pratique, il va y avoir plusieurs vecteurs de rotation il faudra bien suivre ses petits....
Ensuite il faut adapter à la taille de la boite. Voici par exemple l’écriture algébrique de $v_{21}$
Le seul point un peu délicat à construire est le point $v_{24}$. En termes vectoriels, il s’agit d’une rotation de $\overrightarrow{OX}$ cette fois, dans une rotation d’axe $\overrightarrow{Av_{21}}$ soit $\overrightarrow{Op_{2g}}$ (toujours aux coefficients prés de la taille de la boite). Plus précisément, c’est une rotation d’angle -ouvre car choisir ouvre sur l’axe précédent oriente l’espace.
Le vecteur obtenu est le vecteur $\overrightarrow{Op_{2gAv}}$ dont le calcul peut se faire à partir de la matrice générale d’une rotation dans l’espace que l’on trouve par exemple à cette page.
Les coordonnées du point $p_{2gAv}$ sont alors :
Ce qui achève la construction de la face avant... droite (désolé, le $g$ est une — vraie — erreur de notation cela aurait dû être un $r$... ;-)
On fait de même pour la face arrière droite et les faces avant et arrière gauche. Les quatre autres faces sont plus simples à calculer bien entendu.
(fin du bloc sur le pliage des faces)
Voici deux figures en ligne pour travailler dessus, et valider des expressions :
Première figure AVEC les points solutions, pour validation.
Seconde figure SANS les points solutions, dans les deux cas sur le patron 2.
La construction du point de pliage $\textbf{P}_{\textbf{32}}$
On commence par construire le point $P_5$ intersection de l’arête au sol $[APt_{21}]$ avec le segment correspondant au patron 2, $[M_2N_2]$.
Alors plusieurs écritures sont possibles, on peut laisser chercher les élèves. Selon le contexte, on peut aussi accélérer la réflexion ou les calculs en proposant un nouveau QRM (questionnaire à réponses multiples) à partir d’une illustration comme celle-ci :
Plusieurs réponses peuvent être possibles (si vous voulez « jouer »), vous êtes invité à cocher toutes les réponses exactes.
[titre]Relation vectorielle définissant $P_{32}$
[qrm]
Q 1. Le point $Pt_{32}$ vérifie la relation
P1 $\overrightarrow{P_5P_{32}}=\displaystyle \frac{x(P_5)-x(A)}{x(Pt_{21}-x(A)}\overrightarrow{Pt_{21}v_{21}}$
P2 $\overrightarrow{P_5P_{32}}=\displaystyle \frac{y(P_5)-y(A)}{y(Pt_{21}-y(A)}\overrightarrow{Pt_{21}v_{21}}$
P3 $\overrightarrow{AP_{32}}=\displaystyle \frac{x(P_5)-x(A)}{x(Pt_{21}-x(A)}\overrightarrow{Av_{21}}$
P4 $\overrightarrow{P_5P_{32}}=\displaystyle \frac{y(P_5)-y(A)}{y(Pt_{21}-y(A)}\overrightarrow{Av_{21}}$
R2 R4
[qrm]
Q 2. Le point Pt32 peut donc s’écrire dans DGPad
P1 A+((P5[1]-A[1])/(Pt21[1]-A[1]))*(v21-A)
P2 P5+((P5[2]-A[2])/(Pt21[2]-A[2]))*(v21-Pt21)
P3 A+((P5[0]-A[0])/(Pt21[0]-A[0]))*(v21-A)
P4 P5+((P5[0]-A[0])/(Pt21[0]-A[0]))*(v21-Pt21)
P5 P5+((P5[1]-A[1])/(Pt21[1]-A[1]))*(v21-Pt21)
R1 R5
La construction du point $M_{2v}$
La construction du point sur la face est mathématiquement plus intéressante, car elle nécessite, pour les élèves, de faire preuve d’initiative. On a déjà fait remarquer que cette question est indépendante du trajet étudié, mais seulement propre à la face, d’où un nouveau regard à poser, sur une page quasiment vide :
Et l’interroger ...
Selon le type d’activité, l’interrogation peut être, dans un premier temps individuelle, pour appropriation de la question, mais il faut assez rapidement faire circuler les idées par des échanges, dans un débat. On peut ainsi faire émerger des pistes de réflexion comme :
• Il y a de triangle $APt_{21}v_{21}$ qui a déjà été utilisé avec Thalès. On peut chercher des parallèles.
• On utilisera probablement encore une parallèle à $(Pt_{21}v_{21}$
• Le parallélogramme $APt_{23}Pt_{24}Pt_{21}$ se transforme en le parallélogramme $Av_{23}v_{24}v_{21}$...
• ... et chacun des deux représente la face ABCD dans des positions différentes.
• Il y a donc des parallèles qui peuvent être utilisées...
Mais a priori sans donnée supplémentaire on n’aboutit à rien pour démarrer vraiment. Il faut une donnée de plus, une réflexion supplémentaire.
Il s’agit de faire émerger la conservation des positions. À partir de la réflexion que chaque parallélogramme représente la face ABCD, on peut — si nécessaire — lancer cette piste qu’ils représentent la face ABCD et le point M. Or ce point M, on a su le placer sur la face du sol, directement à partir de la position de M dans la face. L’idée est de transformer mathématiquement cette conservation de la position (de $M_2$ sur le sol) dans le pliage de la face.
Comment transférer la position de $M_2$ dans $APt_{23}Pt_{24}Pt_{21}$ dans le parallélogramme $Av_{23}v_{24}$ ?
Une solution géométrique
Voici ce qui est attendu en définitive : faire une parallèle à $(APt_{23})$ passant par $M_2$. Cette droite coupe l’arête au sol $[APt_{21}]$ en un point $I_{21}$. Le reste étant alors une réplique de l’activité précédente avec un autre point que $P_5$ : ce qui a été fait avec ce point se fait simplement par transposition avec $I_{21}$.
Cette figure étant faite, comme illustration de la démarche à effectuer, avec une prise en charge de la difficulté plus ou moins grande : on peut organiser la fiche pour arriver assez rapidement à ce résultat afin de se centrer sur la suite...
Un chalenge algébrique de géométrie repérée
L’idée d’une activité de géométrie repérée dans ce contexte est alors de calculer directement les coordonnées successivement :
• du point $M_{21}$ de l’arête $[Av_{21}]$ sans construire le point $I_{21}$.
• puis du point $M_{2v}$ de la face.
Un des intérêts de l’activité est de tester les expressions que l’on pense être correcte, soit individuellement soit collectivement. Les points $I_{21}$ $M_{21}$ étant construit géométriquement, on cherche à recouvrir ces points de points construits algébriquement, tout d’abord $I_{21}$ (très abordable) et ensuite le point de référence $M_{21}$ sur la base de ce qui a été fait sur le point $P_{32}$
Pour une validation en ligne, on utilisera les mêmes liens des deux figures précédentes.
Expression algébrique de $M_{21}$
En effet, une fois définies les coordonnées de $I_{21}$, celles de $M_{21}$ se font comme dans le cas du point précédent : il suffit de remplacer $P_5$ par $I_{21}$... oui, mais pas tout à fait, car on s’est donné comme consigne de ne pas créer ce point supplémentaire $I_{21}$ : donc ce n’est pas le point qu’il faut remplacer, mais ses coordonnées.
Remarque : on ne l’a pas fait à l’activité précédente, car le calcul aurait été inutilement complexe, ce qui n’est pas le cas ici.
En effet, par parallélisme, les coordonnées de $I_{21}$ sont trivialement [A[0], M2[1], 0].
En reprenant la formule donnant le point $P_{32}$ à partir du point A, on voit tout d’abord que seule l’ordonnée nous intéresse ici, ce qui donne pour le point $M_{21}$ l’expression algébrique suivante :
Expression algébrique de $M_{2v}$
Dans le calcul de l’expression de $M_{21}$, on peut mettre en relief qu’on a utilisé seulement l’ordonnée de $M_2$. Pour la position de $M_{2v}$ on peut mettre en évidence, dans une situation de classe, que c’est l’abscisse de $M_2$ qui va déterminer la position de $M_{2v}$
Reste que si les élèves essaient d’utiliser à nouveau directement la propriété de Thalès, cela ne va pas aboutir. Car fondamentalement c’est une question de conservation d’un rapport de grandeur : ce rapport est le même dans les différentes situations (car dans tous les cas on représente toujours le point M qui est à la même place dans les différentes représentations (face initiale, sol, face du patron). De quel rapport parle-t-on ?
Dans la face du sol $APt_{23}Pt_{24}Pt_{21}$, on a vu que les segments $[M_2I_{21}]$ et $[Pt_{24}Pt_{21}]$ sont parallèles, de même pour $[M_{2v}M_{21}]$ et $[v_{24}v_{21}]$ et surtout leurs rapports sont égaux puisque c’est la distance de M à l’arête [AB] sur la face ABCD par rapport à la longueur DA de la face.
Autrement dit $\displaystyle \frac{d([M_{2v}, M_{21})}{d([v_{24}, v_{21})} = \frac{d([M_{2}, I_{21})}{d([Pt_{24}, Pt_{21})}$ ce qu’il convient de transformer en expression algébrique précise (en particulier pour le signe).
Mais même arrivé jusque là, il n’est pas évident que les élèves trouvent une écriture correcte pour $M_{2v}$. On peut alors envisager une autre fin de l’activité en proposant une première écriture (qui serait alors à justifier) et demander aux élèves de proposer d’autres écritures possibles comme dans le QRM ci-dessous :
Compte tenu de l’écriture de $M_{2v}$ ci-dessous, indiquer, dans le QRM suivant d’autres expressions de ce point.
[titre]Différentes écritures du point de la face
[qrm]
Q Cocher les autres écritures correctes pour $M_{2v}$
P1 M21+((M2[0]-Pt21[0])/(Pt24[0]-Pt21[0]))*(v24-v21)
P2 M21+((M2[0]-Pt21[0])/(Pt23[0]-Pt21[0]))*(v24-v21)
P3 M21+((M2[0]-Pt21[0])/(Pt24[0]-A[0]))*(v23-A)
P4 M21+((M2[0]-A[0])/(Pt24[0]-A[0]))*(v24-A)
P5 M21+((M2[0]-A[0])/(Pt24[0]-A[0]))*(v24-A)
R1 R2 R3 R4 R5
Autre méthode — complément
Ce complément peut avoir différentes utilisations (application, mise en œuvre, remédiation, évaluation...)
Au lieu de travailler en « ordonnée puis abscisse », on peut travailler en « abscisse puis ordonnée ». On ne construit pas le point de la figure $I_{23}$ mais on calcule directement les coordonnées du point $M_{23}$ de cette figure :
Et on en déduit celles de $M_{2v}$.
[titre]Autres écritures de $M_{2v}$
[qrm]
Q Cocher les autres écritures correctes pour $M_{2v}$
P1 M2+(M23[2]/v23[2])*(v23-Pt23)
P2 M23+((M2[1]-A[1])/(Pt24[10]-Pt23[0]))*(v24-v23)
P3 M23+((M2[1]-Pt21[1])/(Pt21[1]-A[1]))*(v21-A)
P4 M2+(M23[2]/v24[2])*(v24-Pt24)
P5 M23+((M2[1]-Pt23[1])/(Pt21[1]-A[1]))*(v24-v23)
R2 R3 R5
Bilan de cet onglet
Après les écritures algébriques et les coordonnées des points du sol de l’onglet 1, les activités de cet onglet réinvestissent la géométrie repérée et les écritures algébriques dans des écritures parfois moins élémentaires à formuler, car mélangeant coordonnées et écriture algébrique de points.
Plusieurs pistes ont été proposées pour construire des activités scolaires avec ce questionnement. (Elles seront testées dans un environnement de préparation au concours PE dans les prochains mois. Un retour sera ajouté à cet article.)
L’activité montre aussi l’intérêt de la géométrie repérée dans son économie de moyens : alors que géométriquement il faudrait tracer de deux à quatre objets supplémentaires par point à construire (face et arête), on arrive au même résultat avec, selon les cas un ou aucun objet intermédiaire.
Bilan et perspectives
Le thème initial de cet article, la longueur d’un trajet par les faces entre deux points d’une boite, est présent dans tous les manuels scolaires de lycée et de lycée professionnel, de manière arithmétique (avec des longueurs bien précises). En simulant le problème posé dans un logiciel de géométrie dynamique - à l’origine pour illustrer ces exemples arithmétiques en préparation à l’oral du CAPES et du CAPLP - il vient naturellement à l’esprit une analyse plus approfondie de cette figure, et la question de sa transformation en activités scolaires plus approfondies (tâches complexes, défis mathématiques ...)
Algébrisation conceptualisante
Il en résulte que cet article propose un regard plus algébrique que d’ordinaire sur la géométrie repérée. Construites sur la base de coordonnées de plan à partir d’une position dans l’espace, les premières activités accompagnent, de fait, un regard conceptualisant sur l’espace et les relations entre positions spatiales et emplacement sur un patron.
Avec la géométrie dynamique, les résultats des élèves sont immédiatement testables sur les figures de travail, ce qui permet des corrections - d’élèves - ou des analyses d’erreur - de l’enseignant - en temps réel.
L’algèbre utilisée est élémentaire puisque l’on reste dans le premier degré, même avec l’utilisation du théorème de Pythagore. L’algèbre intervient ici comme outil de résolution de problème. Comme tel, elle s’installe dans un rapport d’opérationnalité, de compétences.
Le retour à la simulation est toujours présent. Même dans les activités sur les longueurs de trajets égales, on peut toujours tester ses résultats sur la figure en aimantant le point M sur les solutions trouvées.
Perspectives
Dans cet article, on a testé à peine le quart des possibilités des égalités de longueur pour les trajets sur les différents patrons. Cette situation initiale contient donc peut-être d’autres résultats intéressants, voire d’autres surprises. Merci de communiquer vos résultats à la revue par exemple dans les commentaires.
Documents attachés à l’article et apprentissage de DGPad
Téléchargement
Le dossier zip contient 19 figures intermédiaires, les fichiers wxmaxima associés, les fichiers textes de conversion des données (et le bonus proposé ci-dessous)
Il n’y a pas de « fiche élève ». Elles sont à construire selon des choix individuels tellement variés...
La webApp et les iApp DGPad
Comme vous l’avez vu dans cet article DGPad est une web App, donc nécessite une connexion internet pour une utilisation en classe. Il est conseillé de regarder les premières vidéos du site de l’auteur pour l’apprentissage de son interface.
DGPad est aussi une iApp sous Android et sous iOS. On peut donc la télécharger sur tablette et transférer les fichiers texte sur tablettes. Cela évite de travailler en ligne.
Utilisation du dossier
En pratique, les activités proposées ici sont conçues pour travailler sur ordinateur : les copier-coller en particulier y sont plus simples. Le fait de disposer de deux claviers est pratique aussi.
Sur ordinateur (en tout cas sous Mac OS) un simple glissé des fichiers .txt des figures dans la fenêtre du navigateur (quand DGPad est lancé bien entendu) suffit à ouvrir la figure.
Sinon il faut charger la figure en utilisant simplement le nuage descendant.
Apprentissage de DGPad
Il y a encore peu de documentation sur DGPad... mais l’IREM de Toulouse y travaille...
Un ancien article centré sur la géométrie, est paru pour accompagner la naissance de l’application. Mais celle-ci a bien progressé depuis. L’article est en partie obsolète. Et en particulier sa méthode de mise en ligne des figures. Bien entendu l’apprentissage de l’interface, son analyse, et la comparaison avec les choix de Sketchometry restent d’actualité.
Un complément sur les scripts a été écrit au même moment. Il peut être intéressant, mais reste un peu geek car on devrait pouvoir tout refaire, plus simplement, dans les expressions de DGPad, qui n’existaient pas au moment de sa rédaction.
Un article plus récent revient sur la gestion très originale de la 3D de DGPad. Il propose quelques figures 3D et rappelle, dans son dernier paragraphe, la façon d’enregistrer les figures mises en ligne.
Depuis quelques mois, plusieurs articles — même ceux sur Geogebra — de Alain Busser dans mathémaTICE peuvent être illustrés de figures DGPad car la webApp à télécharger ne fait que 800 Ko (au lieu des 6 Mo pour GGBW).
Un bonus
Et pour terminer en beauté, un joli bonus : http://goo.gl/ea8psJ (très fun sur tablette)
(cette figure ne nécessite que 170 lignes de code — au sens de programme de construction — ce qui montre une réelle efficacité de DGPad dans la gestion de la 3D.
Dans le même numéro
par Michel Vigier
par Hédi Abderrahim
par Guillaume Connan ,
Alain Busser ,
Pierre-Marc Mazat ,
Hubert Raymondaud ,
Stéphan Manganelli