Les coordonnées 3D dans DGPad

Les arêtes de la boite sont parallèles aux axes, l’origine du repère est le centre de la face du sol. Le point A est un point « du sol ». Ainsi en notant $A(x_A,y_A,0)$, les coordonnées des points du sol sont $D(x_A,-y_A,0), E(-x_A,y_A, 0)$ et $H(-x_A,-y_A,0)$.

On se propose, dans cet article, d’utiliser aussi les notations du logiciel. Les points sont des listes de trois nombres ou expressions algébriques. En pratique $x_A$ se note $A[0]$, $y_A$, $A[1]$ et $z_A$ se note $A[2]$ : on est, en interne, dans un langage de programmation, et c’est une des forces de DGPad que d’avoir ses fichiers écrit dans le même langage que le logiciel, en JavaScript... un JavaScript enrichi pour la géométrie bien entendu.

Ainsi le point $D$ est le point de coordonnées $[A[0],-A[1],0]$.

Le point $B$ est pris à la verticale de $A$, soit parallèlement à l’axe $(Oz)$. Et donc la hauteur de la boite est simplement $B[2]$.

Appropriation de la notation

Les autres sommets de la figure

Ainsi, le point $C$ a pour coordonnées $[B[0], -B[1], B[2]]$, mais c’est aussi $(x_A, -y_A, z_B)$, ou encore $(x(B), -y(B), z(B))$

Le point $F$ a pour coordonnées $[-A[0], A[1], B[2]]$, car c’est $(-x_A, y_A, z_B)$

Le point $G$ s’écrit aussi bien $[-B[0], -A[1], B[2]]$ que $[-A[0], -B[1], B[2]]$ car c’est $(-x_A, -y_A, z_B)$

Géométrie repérée 2.0 — Écriture formelle des points

On s’intéresse maintenant aux coordonnées des points du sol dans le cas du dépliage des différents patrons. Plions la « face avant », soit le rectangle $ABCD$ sur le sol : $ADPt_{11}Pt_{12}$. Le premier réflexe est d’utiliser des propriétés géométriques de l’agrandissement (Thalès) : la parallèle à la droite $(XZ)$ passant par $C$ coupe la droite $(HD)$ au point $Pt_{11}$. Il faut deux droites pour construire ce point.

On peut économiser les deux droites et construire $Pt_{11}$ par un calcul direct. Le triangle $CPt_{11}D$ est un agrandissement de $ZXO$ : les deux triangles sont rectangles — respectivement en $D$ et en $O$ — et sont isocèles l’un est un grandissement de l’autre, d’un rapport la hauteur de la boite, soit $B[2]$. Donc il faut ajouter la longueur $B[2]$ à partir de $D$ dans la direction $\overrightarrow{HD}$. Comme $\overrightarrow{OX}$ est l’unité dans cette direction, mathématiquement $Pt_{11}=D+B[2]\overrightarrow{OX}$, ce qui s’écrit dans le logiciel tout simplement Pt11=D+B[2](X-O).
Par ailleurs, par la propriété de Thalès on peut aussi écrire $\overrightarrow{CPt_{11}} = B[2]\overrightarrow{ZX}$ soit encore $Pt_{11}=C+B[2]\overrightarrow{ZX}$, ce qui se traduit dans le logiciel par cette relation algébrique formelle : Pt11=C+B[2](X-Z).

Bien entendu, ce n’est pas de la géométrie repérée usuelle, mais de la géométrie repérée dans un logiciel contemporain, d’où ce titre de Géométrie repérée 2.0 en relation avec les écritures proches du calcul formel et assez proche de ce que l’on pourrait faire dans wxMaxima par exemple.

Dans le même ordre d’idée, le rabattement de la face $ABCD$ sur le sol donne un rectangle, et donc en particulier un parallélogramme $APt_{12}Pt_{11}D$, et donc $\overrightarrow{Pt_{11}Pt_{12}}=\overrightarrow{DA}$, ce qui s’écrit dans DGPad par cette expression formelle Pt12=Pt11+A-D.
On remarquera que cela correspond aussi à la relation $\overrightarrow{APt_{12}}=\overrightarrow{DPt_{11}}$ soit Pt12=A+Pt11-D.

Écriture formelle et écriture de Grassmann. (Pour l’enseignant)

On sait que si la somme des coefficients $(a_i)$ est égale à 1, l’égalité qui définit $G$ comme barycentre des points pondérés $(A_i, a_i)$ : $\sum_{i=1}^{n}a_i\overrightarrow{GA_i}=\overrightarrow{0}$ s’écrit aussi (notation de Grassmann) $G = \sum_{i=1}^{n}a_iA_i$.
C’est en particulier le cas quand on écrit $Pt_{12}=Pt_{11}+A-D$.

De même, on sait que la fonction vectorielle lde Leibnitz associée à des points pondérés est un vecteur constant quand la somme des coefficients est nulle d’où cette notation $N-M$ pour le vecteur $\overrightarrow{MN}$

Par contre, une écriture comme $Pt_{11}=D+B[2](X-O)$ ne relève pas de la notation de Grassmann (pour $B[2]$ ≠ 1). On peut choisir de dire qu’elle n’est pas mathématiquement justifiée, mais on peut aussi décider de lui donner du sens, celle de l’écriture mathématique (dans un espace affine) $Pt_{11}=D+B[2]\overrightarrow{OX}$. Notation seulement (abus de notation en quelque sorte), car avec cette écriture, certaines règles usuelles de calcul ne fonctionnent pas.
L’important est qu’il s’agit d’une écriture acceptée par le logiciel de calcul formel, et une écriture informatique tout à fait standard pour le « calcul de points ».

Utilisation comme changement de cadre en classe

Dans l’utilisation d’un logiciel de géométrie dynamique, on peut naturellement présenter cette notation comme changement de cadre mathématique/informatique dans lequel on apprend la syntaxe d’un logiciel, comme on le ferait de celle d’un logiciel de programmation. La notation $U+N-M$ pour écrire $U+ \overrightarrow{MN}$ peut être l’occasion de faire vivre autrement l’écriture standard $(x(N)-x(M), y(N)-y(M))$, qui s’écrit simplement, dans un contexte informatique (ou formel) $N-M$.

Choix d’une activité plus conforme à la géométrie repérée classique

Comme les directions de la boite sont les directions du repère, on peut tout aussi bien rester dans une notation mathématiquement plus standard et ajouter les vecteurs directement sur les coordonnées. Par exemple dans ce cas, on écrirait pour $Pt_{11} : [D[0]+B[2], D[1], 0]$ et pour $Pt_{12}$ soit $[A[0]+B[2], A[1], 0]$ ou encore $[Pt_{11}[0], A[1], 0]$.

C’est moins dynamique comme approche. Autant la notation formelle donne une impulsion de programmation, une écriture simple quasi visuelle, plus conceptuelle, car on ne va pas au bout de l’écriture, autant avec les coordonnées, on reste dans le champ des configurations, avec la nécessité — et l’effort — du calcul final.

Pourtant, si l’on veut les construire de manière optimisée sans objet intermédiaire, cette option sera de toute façon nettement plus efficace pour les images des points M et N sur ces faces au sol.

Dans le cadre d’une utilisation scolaire, on suppose que chacun a un peu manipulé la figure pour comprendre (illustration ci-dessous) que $APt_{21}Pt_{22}E$ est le rabattement de $AEFB$ sur sol et que $APt_{23}Pt_{24}Pt_{21}$ est celui de la face $ABCD$ dans un rabattement selon l’axe (AB) lui-même rabattu sur le sol. De même pour les autres faces. Toutes les faces au sol sont donc des rectangles, et, en particulier des parallélogrammes.

Exercice sur les écritures et coordonnées des points de la boite du sol

Ici on envisage de faire chercher - sur la base de ce qui précède - quelques points du sol.

On peut visualiser cette figure en ligne https://lc.cx/Boite_CoordSol : (s’ouvre dans un nouvel onglet)

$$

Écriture de coordonnées du point $Pt_{21}$ : $A+B[2](Y-O)$,
mais aussi $B+B[2](Y-Z)$, (BR>ou encore $[A[0], A[1]+B[2], 0]$

De même, le point $Pt_{23}$ peut s’écrire (ou a pour coordonnées) $Pt_{34}+A-D$,
mais aussi $A+(A[1]-D[1])(X-O)$
et même $[A[0]+2*A[1], A[1], 0]$

Le point $Pt_{14}$ peut s’écrire (ou a pour coordonnées) $H+B[2](O-X)$
ou encore $[-A[0]-B[2], -A[1], 0]$
et plus simplement $H+A-Pt_{12}$

Enfin, le point $Pt_{33}$ peut s’écrire (ou a pour coordonnées) simplement $Pt_{23}+Pt_{31}-A$
mais aussi $[A[0]+2A[1], -A[1]-B[2], 0]$
ou encore $Pt_{31} +(A[1]-D[1])(X-O)$

Les coordonnées des points Mi et Nj

Voici une illustration avec ces nouveaux points, on peut à nouveau utiliser la figure en ligne proposée plus haut : https://lc.cx/Boite_CoordSol

Écriture des coordonnées des points en fonction de A, B, M et N

$M_1$ : $(x_A+z_M, y_M, 0)$
$M_2$ : $(x_A+y_A-y_M,y_A+z_M,0)$
$M_3$ : $(x_A+y_A+y_M, -y_A-z_M,0)$

$N_1$ : $(-x_A-z_N, y_N, 0)$
$N_2$ : $(-x_A-y_A+y_N, y_A+z_N, 0)$
$N_3$ : $(-x_A-y_A-y_N, -y_A-z_N, 0)$

Avec l’écriture des coordonnées 3D de DGPad :

Les coordonnées de $M_1$ sont $[M[0]+M[1],M[1], 0]$.
Celles de $M_2$ sont $[A[0]+A[1]-M[1], A[1]+M[1], 0]$ et
celles de $M_3$ sont $[D[0]+M[1]-D[1], D[1]-M[2], 0]$

De même, les coordonnées de $N_1$ sont $[N[0]-N[2], N[1], 0]$,
celles de $N_2$ sont $[E[0]-E[1]+N[1], E[1]+N[1],0]$ et
celles de $N_3$ sont $[H[0]-N[1]+H[1], H[1]-N[2],0]$

Bilan de cet onglet

Dans ce premier onglet, on a vu
• D’une part la notation 3D dans DGPad, et son approche assez formelle
• D’autre part qu’il est pratique et efficace de chercher directement les coordonnées des points sans constructions intermédiaires (typiquement des barycentres qui utiliseraient beaucoup d’objets).
• On a mis en évidence qu’un simple calcul permet de trouver les coordonnées des points $M_1, M_2, M_3$, et $N_1, N_2, N_3$ sans aucune construction géométrique.

Dans la construction sur le sol, à part les polygones pour que M et N soient des points à l’intérieur d’un polygone, il n’y a aucune construction intermédiaire particulière, tous les points ont été calculés directement.
Dans le cadre d’une figure finale optimisée, c’est une grande économie de moyens (en objets intermédiaires) par rapport à des méthodes plus automatiques, par macros.

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Réalisations de distances égales sur deux patrons différents

Chacun a pu observer, en manipulant la figure initiale que parfois en déplaçant un point de quelques pixels, on change de « patron minimal », il est donc clair qu’il existe de nombreux couples (M, N) qui produisent des longueurs optimales de parcours égales sur deux patrons.

Compte tenu des calculs effectués à l’onglet précédent, le calcul des distances $d_{i,j}=d(M_i,N_j)$ se fait sans difficulté (attention ici $d_{i,j} \not= d_{j,i}$)

Les calculs pourraient faire l’objet d’une activité de groupe (calcul réparti), mais les résultats peuvent aussi être donnés aux élèves pour se centrer sur la suite de l’activité). On a donc :

$d_{11}^2 = (2x_A+z_M+z_N)^2+(y_M-y_N)^2$

$d_{12}^2 = (2x_A+y_A+z_M-y_N)^2+(y_M-y_A-z_N)^2$

$d_{13}^2 = (2x_A+y_A+z_M+y_N)^2+(y_A+y_M+z_N)^2$

$d_{21}^2 = (2x_A+y_A-y_M+z_N)^2+(y_A+z_M-y_N)^2$

$d_{22}^2 = (2x_A+2y_A-y_M-y_N)^2+(z_M-z_N)^2$

$d_{23}^2 = (2x_A+2y_A-y_M+y_N)^2+(2y_A+z_M+z_N)^2$

$d_{31}^2 = (2x_A+y_A+y_M+z_N)^2+(y_A+z_M+y_N)^2$

$d_{32}^2 = (2x_A+2y_A+y_M-y_N)^2+(2y_A+z_M+z_N)^2$

$d_{33}^2 = (2x_A+2y_A+y_M+y_N)^2+(z_N-z_M)^2$

Puisqu’il y a 9 expressions différentes pour la longueur des trajets minimaux pour chaque patron, une étude exhaustive nécessiterait d’étudier 9x8/2 = 36 cas d’égalités de longueurs... ce qui fait beaucoup...

On se contentera de quelques cas, soit algébriquement élémentaires, soit aboutissant à des résultats intéressants.

Interprétation de l’égalité de deux expressions

Tout d’abord, précisons les objectifs. On se propose de chercher, quand cela existe, le lieu des points M qui réalisent $d_{ij} =d_{rs}$ ce qui est équivalent à l’égalité de leurs carrés. Donc, au moins dans un premier temps, les coordonnées des points A, B et N sont des paramètres. Ce sera notre premier objectif.

Puisque M est dans le plan $x=x_A$, le lieu des points M est une relation algébrique entre $y_M$ et $z_M$ tous les autres termes étant des paramètres.

En regardant les expressions des longueurs $d_{ij}$ on s’aperçoit de ces deux termes $y_M$ et $z_M$ ’interviennent tous les deux, dans chacune des expressions, dans des carrés, ce qui fait que l’égalité de deux longueurs quelconques éliminera les termes du second degré en $y_M$ et $z_M$ et donnera toujours une expression linéaire entre eux.

Autrement dit, le lieu des points M qui réalise $d_{ij} =d_{rs}$ sera toujours un segment. Reste ensuite à évaluer — ou plus simplement à tester sur une figure — quand ce segment est bien à l’intérieur de la face.

On pourrait éventuellement chercher — au niveau enseignant pour peaufiner des figures de présentation par exemple — des contraintes sur A, B ou N pour que le segment lieu soit dans la face ABCD. En fait, il est plus intéressant de tracer le segment pour la côte $z$ allant de 0 à $B[2]$ et d’ajuster la figure (avec les points N, A ou B) pour que ce segment soit, au moins partiellement dans la face ABCD.

Un second objectif serait de réaliser — heuristiquement, en déplaçant N — des patrons de parcours de même longueur qui réalise aussi la longueur minimale pour les 9 patrons. Pour certains cas, on pourra avoir trois patrons différents qui réalisent un trajet de longueur minimale.

On commence par deux cas éléméntaires

Cas 1. Cas d22=d33

En regardant les écritures de chaque expression algébrique, on voit tout de suite des situations élémentaires à traiter. Il n’est pas certain que cela aboutisse à des situations réellement intéressantes, mais au moins dispose-t-on de cas simples sur lesquels on peut construire une activité algébrique en classe.

On commence par les patrons 2 et 3. Les deux expressions algébriques ont (au carré) les seconds termes égaux, il reste donc les deux premiers termes à égaler.

$d_{22}^2 = (2x_A+2y_A-y_M-y_N)^2+(z_M-z_N)^2$

$d_{33}^2 = (2x_A+2y_A+y_M+y_N)^2+(z_N-z_M)^2$

Illustration du terme commun $z_M-z_N$ en ordonnées

En posant $u = 2x_A+2y_A$ et $v = y_M+y_N$, l’égalité $d_{22}=d_{33}$ s’écrit $(u+v)^2=(u-v)^2$, soit $4uv=0$.
Comme $u$ est non nul (car $x_A$ et $y_A$ sont positifs) on doit avoir $v=0$ c’est-à-dire $y_M+y_N=0$

Ainsi, les patrons 2 et 3 donnent la même longueur ssi $y_M=-y_N$. Le segment lieu dont il était question plus haut est simplement un segment parallèle à [AB].

Sur l’illustration suivante on a construit le segment « lieu de M », en fonction de N, et affiché les longueurs $d_{22}$ et $d_{33}$ à 11 décimales.

Manipuler cette figure en ligne :https://lc.cx/Boite_d22_d33

Si cette activité devait être proposée en classe, éventuellement de manière guidée, cette symétrie obtenue ($y_M=-y_N$) pourrait être réexploitée en terme de positionnement des points M et N sur le sol pour voir que la différence des abscisses et la même dans les deux patrons (celle des ordonnées est acquise par l’écriture algébrique).

Enfin, on peut chercher si cette situation élémentaire peut quand même réaliser le trajet minimal des 9 patrons. On s’aperçoit rapidement que oui, dans certaines conditions pour la boite :

Ce minimum n’est bien entendu pas atteint pour tous les points M du segment auquel il appartient.

2. Cas d32=d23

Algébriquement, ce cas est une variante du précédent. On s’intéresse aux patrons 7 et 9, ceux qui utilisent les 5 faces pour leurs trajets, fortement en diagonale.

$d_{23}^2 = (2x_A+2y_A-y_M+y_N)^2+(2y_A+z_M+z_N)^2$

$d_{32}^2 = (2x_A+2y_A+y_M-y_N)^2+(2y_A+z_M+z_N)^2$

Illustration du terme commun $2y_A+z_M+z_N$ en ordonnées

Là encore, les deux seconds termes sont égaux. Donc l’égalité des carrés revient à l’égalité des premiers termes. En posant à nouveau $u = 2x_A+2y_A$ et $v = y_N-y_M$, on se retrouve encore avec une relation du type $(u+v)^2=(u-v)^2$ qui aboutit à nouveau à $v=0$ soit cette fois $y_M=y_N$.

Les patrons 7 et 9, ceux qui utilisent les 5 faces, donnent des trajets de même longueur ssi $M$ et $N$ ont même ordonnée. Le lieu de $M$ qui réalise cela est donc encore un segment « vertical » (parallèle à $[AB]$). C’est le symétrique du segment solution de l’égalité précédente par rapport au centre de la face.

En fait, les longueurs obtenues ne sont pas toujours des trajets : il faut que le segment au sol, pour chaque patron, coupe les arêtes du sol qui correspondent à ce patron. Donc il faut bien vérifier que cette égalité des distances — et donc des ordonnées de $M$ et $N$ — produisent bien deux trajets conformes à la réalisation d’un trajet selon ces deux patrons. Cela s’obtient facilement en manipulant la figure, même s’il serait un peu délicat de bien préciser les contraintes exactes.

Manipuler cette figure en ligne : https://lc.cx/Boite_d23_d32

Dans le cas très particulier où $N$ et $M$ sont d’ordonnées nulles ($yN=y_M=0$) alors on a les égalités deux à deux, $d_{23}=d_{32}$ et $d_{22}=d_{33}$, mais ces valeurs ne sont pas égales entre elles.

3. Cas d12=d21

Poursuivons cette première approche des égalités de longueur par un cas moins trivial, mais qui reste facilement abordable. Cette fois-ci nous allons avoir une vraie relation linéaire entre $y_M$ et $z_M$, c’est-à-dire que le segment lieu ne sera plus vertical.

$d_{12}^2 = (2x_A+y_A+z_M-y_N)^2+(y_M-y_A-z_N)^2$

$d_{21}^2 = (2x_A+y_A-y_M+z_N)^2+(y_A+z_M-y_N)^2$

Posons alors $u=2x_A+y_A, v=y_M-z_N, w=z_M-y_N$. L’égalité des (carrés des) deux distances peut s’écrire :
$(u-v)^2+y_A+w)^2 =(u+w)^2+(v-y_A)^2$

Tous les termes carrés disparaissent en développant, il ne reste que les doubles produits : $-2uv-2y_Aw=2uw-3vy_A$ soit encore $(y_A-u)(w+v)=0$.

Or $y_A-u=0$ est équivalent à $x_A=0$ ce qui est exclu. Il reste donc $w+v=0$ soit encore $y_M=-z_M+z_N+y_N$.

Donc le lieu des points $M$ qui réalisent l’égalité des longueurs des deux patrons est la partie de la face qui rencontre la droite $y=-z+y_N+z_N$. Pratiquement, on prend le segment pour $z$ entre 0 et $z_B$ ou $N[2]$, ce qui donne une illustration comme celle-ci :

Manipuler cette figure en ligne : https://lc.cx/Boite_d12_d21

4. Cas d13=d31

Sur la dernière figure, ajoutons la contrainte $d_{13}=d_{31}$, on a :

$d_{13}^2 = (2x_A+y_A+z_M+y_N)^2+(y_A+y_M+z_N)^2$

$d_{31}^2 = (2x_A+y_A+y_M+z_N)^2+(y_A+z_M+y_N)^2$

Comme dans le cas précédent, on peut noter $u=2x_A+y_A, v=z_M+y_N, w=y_M+z_N$. L’égalité des (carrés des) deux distances peut s’écrire :
$(u+v)^2+(y_A+w)^2=(u+w)^2+(y_A+v)^2$, soit, après simplification, $(u-y_A)(v-w)=0$. Comme $u-y_A$ ne peux pas être nul (sinon $x_A=0$ il n’y aurait pas de boite), on a $v-w=0$ soit $y_M = z_M+y_N-z_N$, on a un nouveau segment, cette fois de pente 1.

Manipuler cette figure en ligne : https://lc.cx/Boite_d12d21_d13d31
($M$ est aimanté aussi pat l’intersection des segments pour la figure suivante)

5. Cas d13=d31=d12=d21

A l’intersection des deux segments, on aura $d_{13}=d_{31}$ et $d_{12}=d_{21}$. Il est immédiat (et cela reste simple pour des élèves) de voir que ceci n’est possible que si $y_M=y_N$ et $z_M=z_N$, mais bien entendu les deux couples d’égalités de longueurs ne sont pas égales entre elles.

Il est facile de chercher à égaler ces deux valeurs différentes. Pour cela on s’intéresse à réaliser $d_{12}=d_{13}$ sur la base de cette double égalité préalable : $y_M=y_N$ et $z_M=z_N$.

Cela aboutit à $y_N(z_N+y_A+x_A)=0$. Or $z_N$>0 on ne peut donc avoir $z_N+y_A+x_A=0$. Il reste donc $y_N=0$.

Dans ce cas, comme on l’a vu dans les premiers paragraphe de cet onglet, on a d’autres égalités, ce qui donne :

(le segment vert correspond à la solution de $d_{12}=d_{13}$)

On a bien quatre patrons qui donnent des trajets de même longueur, mais c’est un cas tellement symétrique et spécifique $(y_M=y_N=0, ~; et ~; z_M=z_N)$ que ce n’est pas surprenant, et en définitive assez peu intéressant comme résultat (sauf le travail algébrique produit par les élèves si on leur fait faire cette étude).

Manipuler cette figure en ligne : https://lc.cx/Boite_4pat_egaux
(Glisser $N$ sur le segment bleur clair, le segment vert va sur $M$ et les 4 patrons donnent la même longueur.

En fait c’est cette activité scolaire - sans les patrons - qui avait été présentée par un étudiant pour l’oral du CAPLP et qui a motivé de faire ce travail sur les patrons.

Dans le prochain onglet, nous allons chercher d’autres situations pour trois (et même quatre) patrons produisant des trajets de même longueur, dans des situations moins triviales.

Bilan de l’onglet

Dans cet onglet, nous avons centré l’exploration des trajets de même longueur sur des situations algébriquement élémentaires, facile à traiter à la main. Mais à traiter des situations élémentaires on aboutit à des résultats eux aussi assez élémentaires.

Il reste que les traitement des cas 3 et 4 sont intéressants en soi.

Le cas 3 sera poursuivi à l’onglet « Coïncidences de lieux »

Dans le prochain onglet, nous explorons des exemples moins triviaux.

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Trois patrons pour trois trajets de même longueur

Fort de l’expérience de l’onglet précédent, on veut aller plus loin, en particulier pour avoir des situations finales moins triviales que ce que l’on a trouvé dans l’exploration précédente.

L’objectif de cet onglet est de dégager des situations où les trois longueurs suivantes sont égales, et donc des cas où les trajets sur les patrons 4, 8 et 9 sont de mêmes longueurs. On verra qu’ils peuvent même réaliser le trajet minimal. Rappelons les données de la situation :

$d_{12}^2 = (2x_A+y_A+z_M-y_N)^2+(y_M-y_A-z_N)^2$

$d_{31}^2 = (2x_A+y_A+y_M+z_N)^2+(y_A+z_M+y_N)^2$

$d_{32}^2 = (2x_A+2y_A+y_M-y_N)^2+(2y_A+z_M+z_N)^2$

La méthode...

On commence par traiter les équations deux à deux. On a déjà remarqué que, dans chaque cas, les termes $y_M$ et $z_M$ sont toujours dans des carrés, et donc s’éliminent dans l’égalité. Si l’on cherche une relation entre ces deux termes, elle est nécessairement du premier degré, toutes les autres données étant considérées comme des paramètres.

On choisit ensuite de représenter $y$ en fonction de $z$ : c’est une droite, et ce qui nous intéresse est la partie qui est éventuellement sur la face $ABCD$. Il suffit de chercher $y(0)$ et $y(z_B)$ et de construire le segment dont les extrémités sont les points $(x_A, y(0), 0)$ et $(x_A, y(z_B), z_B)$.

On se situe ensuite d’un point de vue heuristique : on peut déplacer N, éventuellement déformer la boite en déplaçant $A$ et/ou $B$ pour que ce segment coupe la face $ABCD$. On aimante alors $M$ sur ce segment. Pour ces points $M$ de la face, les trajets de $M$ à $N$ sur les deux patrons sont de même longueur.

On peut tenter de trouver trois patrons qui réalisent le même trajet si l’on arrive à faire se couper « deux segments-lieu » qui sont issus d’une distance commune. C’est ce que nous allons faire ici.

Cas d32=d12

On a choisi de noter $y_{3212}(z)$ la relation fonctionnelle pour ce cas-là. On voit que le segment part du point D par la relation $y_{3212}(0)=-y_A$, il n’y a donc en fait qu’un point à construire pour ce premier cas, le point correspondant à $y_{3212}(z_B)$

Soit $y_{3212}(z_B) = \displaystyle -\frac{B[2]*(-2*A[0]+N[1]+A[1]+N[2])+A[1]*N[2]-A[1]*N[1]+3*A[1]^2+2*A[0]*A[1]}{2*A[0]+3*A[1]+N[2]-N[1]}$

Sur l’illustration précédente, on voit bien le segment marron « lieu de M pour l’égalité des longueurs » et son extrémité qui correspond au point calculé ci-dessus.

Réaliser le trajet minimal des 9 patrons sur cette égalité est délicat à obtenir, on voit bien ci-dessus que la longueur $d_{31}$ du patron 8 est proche. En fait, elle est souvent plus petite. D’où l’idée de chercher une autre égalité de longueur avec elle et de chercher quand les trois vont être égales.

Manipuler une figure de cette première étape : https://lc.cx/Boite_d32_d12

Cas d31=d12

Le segment à construire est un peu plus technique.

En voici la réalisation, ici avec égalité des trois trajets, et trajet minimal sur les 9 patrons (avec aimantation de $M$ sur l’intersection des deux segments.

Ainsi on réalise trois trajets de même longueur - qui plus est minimal dans cette illustration - sur des patrons ayant 4 faces (patrons 4 et 8) ou 5 faces (patron 9)

Manipuler cette figure en ligne : https://lc.cx/Boite_d32d31d12_Aimant

Cas d31=d12=d32 - M calculé

Il reste que, dans la figure précédente, la position de $M$, aimanté à l’intersection reste fragile quand on déplace $N$, - il faut le replacer systématiquement. Cela est dû au statut de $M$ qui est à la fois dans la face (donc, en interne un "PointOn") et aimanté à la fois par les deux segments et leur intersection ...

Plutôt qu’une aimantation, pour une figure plus stable quand on manipule $N$, on peut choisir de calculer les coordonnées de l’intersection et donner à $M$ les coordonnées de ce point-là, hors de toutes les contraintes précédentes.

En notant zSol la solution en z (la côte) de l’intersection des deux segments, et ySol l’ordonnée du point, on a :

Voici une illustration de la figure dans le cas où les trajets égaux réalisent aussi le trajet minimal sur les 9 patrons.

Manipuler la figure en ligne : https://lc.cx/Boite_d12d31d32_Calc

Le cas de 4 patrons

On poursuit ici, hors de tout contexte scolaire, l’exploration de cette situation car on voit bien, en manipulant la figure précédente que l’on peut avoir $d_{21}$ proche de $d_{12}$.

Or cette égalité $d_{21}=d_{12}$ a été traitée à la fin de l’onglet précédent, on a vu que la solution en M est régit par cette équation : $y_M+z_M=y_N+z_N$/.

On peut donc ici envisager de calculer des solutions en N pour que le segment solution de $d_{21}=d_{12}$ passe déjà par le point M solution de trois patrons de même longueur de trajet : on aurait ainsi un quatrième patron.

La situation est moins simple qu’il n’y paraît car M intersection des deux premiers segment dépend des coordonnées de N. Il en résulte que les coordonnées de N doivent vérifier cette équation polynomiale de degré 3

Quelques éléments du calcul

On aura $d_{12}=d_{21}=d_{31}=d_{32}$ ssi on réalise l’annulation de ce polynôme :

On remarque qu’il est de degré 3 en $y_N, ~; z_N, ~; et ~; y_A$ mais seulement du second degré en $x_A$

On aurait pu traiter le problème en $x_A$ mais cela obligerait de retravailler la figure en profondeur. Et surtout on ne pourrai pas avoir une manipulation directe sur N mais dans une manipulation "semi-directe".

On cherche alors $y_N$ en fonction de $z_N$ (l’inverse n’est en fait pas fonctionnel même si cela n’apparaît pas immédiatement). On trouve ainsi pour $y_N$ l’expression suivante :

Mais en réalité cela n’aboutit pas (la partie sous la racine carrée est généralement négative).

En reprenant le polynôme de degré 3 et en utilisant la résolution trigonométrique (ici on est dans le cas "cosinus"), on arrive à construire le lieu de $y_N$ en fonction de $z_N$. On construit ce lieu et on redéfini (dans le fichier texte qu’il faut réorganiser sur quelques lignes) N sur ce lieu, ce qui donne l’illustration suivante.

En pratique on trouve de nombreuses solutions avec des formes différentes de boites (et de lieu de N) comme par exemple :

Il ne semble pas qu’on puisse atteindre le trajet de longueur minimale avec cette configuration bien spécifique.

Manipuler la figure en ligne : https://lc.cx/Boite_4trajets_egaux_Ndeg3

Bilan et perspectives de cet onglet :

Nous avons vu un exemple de situation dans laquelle on peut avoir trois patrons dont les longueurs de trajets soient identiques et même réalisent le trajet minimal sur l’ensemble des patrons.

Nous avons poursuivi, pour explorer plus avant cette figure, le cas de 4 patrons réalisant des trajets de même longueur. On en trouve, même s’il faut résoudre une équation du 3° degré.

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Réaliser la superposition de deux segments lieux

L’activité suivante est l’occasion de montrer combien cette situation très ouverte révèle des cas particuliers un peu surprenants. Ici, nous allons mettre en évidence un lieu de M qui réalise à la fois une égalité de longueur des trajets pour deux patrons et en même temps une autre égalité de longueur pour deux autres patrons. Ces deux longueurs ne pouvant toutefois pas être égales, sauf cas particulier peu intéressant.

Nous reprenons cette situation où nous avions réalisé « un premier segment oblique », la situation d12=d21.

On a vu que la pente du segment est -1 dans le repère (O, Y, Z).

Regardons maintenant une autre égalité de longueurs de trajets.

Cas d11=d22

C’est même un des premiers cas qu’il aurait été naturel de regarder, si l’on ne s’intéressait pas, comme on l’a fait, aux simplifications algébriques. On a donc :

On a ajouté la pente du segment associé à $d_{11}=d_{22}$. En effet, en faisant varier $N$, on peut observer que la pente passe d’une valeur inférieure à -1 à une valeur, toujours négative mais supérieure à -1. Et surtout, quand elle passe par la valeur -1 alors les deux segments se superposent (et, expérimentalement, c’est une équivalence). Voici une copie d’écran de la manipulation :

 :

Manipuler cette figure en ligne : https://lc.cx/Boite_Seg_Coincident_sansN
Il s’agit de déplacer $N$ pour que les deux segments coïncident. On voit que les deux segments ne coïncident pas complètement, se voit sur le fait que les distances ne sont pas tout à fait égales.

Lieu de N pour que les deux lieux coïncident

Les calculs associés à cette manipulation sont élémentaires. On vérifie que les deux segments se superposent si et seulement s’ils ont tous les deux le point $A$ comme extrémité, en $z=0$. Une conséquence immédiate est le lieu de $N$ qui réalise la superposition : $y_N+z_N=y_A$

Manipuler cette figure en ligne : https://lc.cx/Boite_seg_Coincident_avecN
$N$ est aimanté par le segment rouge, on peut le déplacer. La figure congient aussi le segment du paragraphe suivant.

Possibilité d’égalité des longueurs des 4 trajets

Pour que les 4 trajets soient de même longueur, il faut que l’on ait de plus, par exemple, $d_{11}=d_{21}$

Cette égalité correspond à un segment d’origine le point $A$. Dans l’illustration suivante, $N$ est sur le lieu où les deux segments précédents sont confondus (segment marron) et on a construit (en cyan) ce nouveau segment qui correspond à l’égalité $d_{11}=d_{21}$. Il est a priori distinct. Donc on ne peut avoir l’égalité des 4 longueurs.

Toutefois, en déplaçant $N$ sur le segment par lequel il est aimanté, on voit que ce nouveau se rapproche du segment commun quand $N$ se rapproche de $E$. Et il y a égalité des segments — et donc des longueurs — quand $N$ est en $E$.

Toutefois ce cas, où $N$ est un sommet du parallélépipède — est un cas bien trop particulier pour être réellement intéressant. Disons plutôt qu’il montre surtout que, sauf cas très particulier, les quatre longueurs ne peuvent être simultanément égales.

Bilan de cet onglet

On a pu voir une situation intéressante où deux couples de distances pouvaient être égaux deux à deux sur un même lieu sans être égales entre elles.

Il serait intéressant de rechercher d’autres situations de ce genre.

Le dernier onglet traite d’un tout autre sujet : la construction des trajets sur les faces en déploiement.

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Construction des trajets sur les faces en cours de pliage

On s’intéresse désormais à la construction des points sur les faces pendant qu’on les plie, c’est-à-dire d’une part les images des points $M_i$ et $N_j$ mais aussi des points à l’intersection des arêtes sur les trajets.

On commence par s’intéresser aux coordonnées des deux points $M_{2v}$ et $P_{32}$ dans l’illustration ci-dessous.

Une première remarque significative est d’observer que le point $M_{2v}$ est propre à la face et indépendant du trajet retenu (du patron) alors que le point $P_{32}$ dépend, lui, du trajet, donc qu’il va y avoir deux procédures différentes pour construire ces points.

On voit dans le pliage de la face d’arête [AE] une simple configuration de Thalès dans le triangle $APt_{21}v_{21}$, on peut donc construire le point de pliage $P_{32}$ sans aucun ajout de segment, juste à partir des points en jeu, et de $P_5$.

Réalisation du pliage des faces

Le pliage de la face du sol $APt_{21}Pt_{22}E$ en $Av_{21}v_{22}E$ correspond à une rotation de la face dans une rotation d’axe (AE) et d’angle ouvre (nom interne de la variable associée au curseur Ouvrir).

Aux coefficients près associés à la taille de la boite, cela revient à s’intéresser à la rotation du vecteur $\overrightarrow{OY}$ dans une rotation d’axe $\overrightarrow{OX}$ : autrement dit, tout se passe dans le plan (OYZ) et cette rotation correspond au point $p_{2g}$ de coordonnées $[0, cos(ouvre), sin(ouvre)]$ soit l’image de Y dans la rotation d’angle ouvre de centre O dans le plan (OYZ).

D’une manière générale, il est plus simple de travailler sur des rotations vectorielles (tout est centré en O) et de faire ensuite des parallélogrammes de manière algébrique. En pratique, il va y avoir plusieurs vecteurs de rotation il faudra bien suivre ses petits....

Ensuite il faut adapter à la taille de la boite. Voici par exemple l’écriture algébrique de $v_{21}$

Le seul point un peu délicat à construire est le point $v_{24}$. En termes vectoriels, il s’agit d’une rotation de $\overrightarrow{OX}$ cette fois, dans une rotation d’axe $\overrightarrow{Av_{21}}$ soit $\overrightarrow{Op_{2g}}$ (toujours aux coefficients prés de la taille de la boite). Plus précisément, c’est une rotation d’angle -ouvre car choisir ouvre sur l’axe précédent oriente l’espace.

Le vecteur obtenu est le vecteur $\overrightarrow{Op_{2gAv}}$ dont le calcul peut se faire à partir de la matrice générale d’une rotation dans l’espace que l’on trouve par exemple à cette page.

Les coordonnées du point $p_{2gAv}$ sont alors :

Ce qui achève la construction de la face avant... droite (désolé, le $g$ est une — vraie — erreur de notation cela aurait dû être un $d$... ;-)

On fait de même pour la face arrière droite et les faces avant et arrière gauche. Les quatre autres faces sont plus simples à calculer bien entendu.

La construction du point de pliage $\textbf{P}_{\textbf{32}}$

On commence par construire le point $P_5$ intersection de l’arête au sol $[APt_{21}]$ avec le segment correspondant au patron 2, $[M_2N_2]$.

On a $\overrightarrow{P_5P_{32}}=\displaystyle \frac{y(P_5)-y(A)}{y(Pt_{21})-y(A)}\overrightarrow{Pt_{21}v_{21}} $

Figure de construction de $P_{32}$ : https://lc.cx/Boite_Construire_P32

La construction du point $M_{2v}$

On a déjà fait remarquer que cette question est indépendante du trajet étudié, mais seulement propre à la face, d’où un nouveau regard à poser, sur une page quasiment vide :

Il s’agit de transférer la position de $M_2$ dans $APt_{23}Pt_{24}Pt_{21}$ dans le parallélogramme $Av_{23}v_{24}v_{21}$

Une solution géométrique

La parallèle à $(APt_{23})$ passant par $M_2$ coupe l’arête au sol $[APt_{21}]$ en un point $I_{21}$. Le reste étant alors une réplique de l’activité précédente avec un autre point que $P_5$ : ce qui a été fait avec ce point se fait simplement par transposition avec $I_{21}$.

Une version algébrique

On peut plus simplement calculer les coordonnées

• du point $M_{21}$ de l’arête $[Av_{21}]$ sans construire le point $I_{21}$.
• puis du point $M_{2v}$ de la face.

Expression algébrique de $M_{21}$

Par parallélisme, les coordonnées de $I_{21}$ sont trivialement $(x(A), y(M_2), 0)$

En reprenant la formule donnant le point $P_{32}$ à partir du point $A$, on voit tout d’abord que seule l’ordonnée nous intéresse ici, ce qui donne pour le point $M_{21}$ l’expression algébrique suivante :

Expression algébrique de $M_{2v}$

Dans la face du sol $APt_{23}Pt_{24}Pt_{21}$, on a vu que les segments $[M_2I_{21}]$ et $[Pt_{24}Pt_{21}]$ sont parallèles, de même pour $[M_{2v}M_{21}]$ et $[v_{24}v_{21}]$ et surtout leurs rapports sont égaux puisque c’est la distance de $M$ à l’arête $[AB]$ sur la face $ABCD$ par rapport à la longueur $DA$ de la face.

Autrement dit $\displaystyle \frac{d([M_{2v}, M_{21})}{d([v_{24}, v_{21})} = \frac{d([M_{2}, I_{21})}{d([Pt_{24}, Pt_{21})}$

Bilan de cet onglet

Ces démarches montrent l’intérêt de la géométrie repérée dans son économie de moyens : alors que géométriquement il faudrait tracer de deux à quatre objets supplémentaires par point à construire (face et arête), on arrive au même résultat avec, selon les cas un ou aucun objet intermédiaire.

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