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Plaidoyer pour l’activité mentale
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Mis en ligne le 14 avril 2012, par Eric Trouillot

Cet article n’est pas sans relations avec ceux d’Eric Gaspar et de Nathalie Carrié, parus dans le numéro précédent

Placer l’activité mentale au centre (donc au départ) de toute activité mathématique

Résumé :
Cet article est un questionnement sur la place de l’activité mentale dans l’activité mathématique au sein d’une classe. J’essaye de mettre en avant les nombreux atouts et le caractère incontournable de cette dimension mentale. Une place importante est consacrée au calcul mental et aux dernières découvertes en imagerie médicale.

L’activité mentale a-t-elle toute la place qu’elle devrait avoir dans nos pratiques de classe ? A-t-on trouvé un bon point d’équilibre entre activité mentale et activité écrite dans nos classes ? L’exigence de la trace écrite ne nous pousse-t-elle pas naturellement vers l’écrit au détriment du mental ?
Evidemment la ligne de partage entre activité mentale et activité écrite n’est pas simple à définir puisque l’écrit nécessite souvent le mental. Pourtant l’exercice exclusivement mental, c’est-à-dire avec absence de stylo et de cahier, présente de nombreux avantages.
Après une recherche mentale individuelle, l’analyse orale collective mutualise les visions. Elle permet de travailler le langage spécifique. Par l’écoute des propositions, des analyses, des solutions, elle permet à chacun de s’enrichir. A la différence de l’écrit, et grâce à l’interactivité naturelle que suscite l’échange, elle incite l’élève « spectateur » à s’impliquer davantage et à se poser des questions.
Ensuite, et seulement après cette recherche mentale, l’écrit devrait intervenir et prolonger le travail de la pensée par la trace sur la feuille. Lors d’une activité de recherche, certains élèves se disent au travail à partir du moment où un cahier est ouvert et qu’un stylo est à portée de main. Est-ce réellement une situation de travail ? Même si c’est très difficile à mesurer, je crains qu’il s’agisse parfois d’une posture fabriquée mais qui n’est qu’apparence et vide de sens. Dans un tel cas, la posture devient imposture. L’écrit donne plus d’outils à l’élève pour fabriquer cette fausse attitude de travail. L’activité mentale est plus exigeante, il y a moins d’échappatoires. Une idée simple à tester, instaurer la pratique du démarrage de toute activité par la posture mentale, c’est-à-dire analyse personnelle sans la présence du stylo et du cahier, suivi d’une analyse collective.
Le nombre d’élèves est de toute évidence un frein à la mise en place de cette analyse collective. La difficulté majeure réside dans la gestion du groupe. Le dialogue, l’écoute et l’argumentation se pratiquent d’autant mieux que la taille du groupe est plus proche de 20 que de 30 !

On associe trop souvent mental à calcul. De toute évidence, le calcul mental sur lequel je reviens ci-dessous n’a pas le monopole des pratiques mentales. La géométrie se prête remarquablement bien à cet exercice. L’analyse d’une figure devrait toujours commencer par une approche visuelle et mentale, avant d’être instrumentée et éventuellement déductive. Analyser une figure, c’est l’observer et se questionner, sur les angles, les symétries, le périmètre ou l’aire, le parallélisme. C’est essayer de voir et de lire des informations. Ce sont les premières étapes de la démarche scientifique. Encore une fois l’analyse orale et collective qui suit cette recherche individuelle et mentale, est intéressante par la mutualisation des approches et l’enrichissement pour chacun qui en découle.

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Les nouvelles technologies (TBI et vidéo-projecteur) dans la salle de classe sont des outils performants qui permettent de proposer des situations mentales plus variées. La visualisation en grand format et la rapidité du défilement des images aident à mieux appréhender la vision géométrique aussi bien plane que spatiale.
Il est impossible de passer sous silence les brochures sur les activités mentales de l’APMEP de la régionale de Clermont. La plus récente pour le collège est une véritable mine. Les présentations sur un CD proposent des séries de questions qui dépassent le champ numérique avec de nombreuses séries géométriques ainsi que sur les fonctions. L’étude des représentations graphiques se prête parfaitement à une approche mentale.

Quelques mots sur les jeux mathématiques qui doivent trouver une place de choix dans la panoplie des applications mentales. Au-delà de la touche attrayante et motivante que le jeu suscite, c’est aussi un véritable outil pédagogique. Dans le domaine numérique, il développe, dans un premier temps, l’intuition des quantités puis le sens des nombres et des opérations. C’est un bon support pour travailler les gammes et les automatismes. Dans le domaine géométrique, la manipulation des formes planes ou spatiales conjuguée parfois avec les concepts de périmètre ou d’aire donne du sens tout simplement par le contact tactile.

Dans cette perspective, les brochures Jeux de l’APMEP sont particulièrement éclairantes.

Voici quelques références d’activités mentales en ligne concernant le domaine numérique :

  • Le site Refraction où le calcul mental avec des fractions est nécessaire !

D’autres références peuvent être trouvées sur la page jeux du site de l’APMEP.

Nos élèves de ce début de XXI ème siècle forment les premiers bataillons des générations « tout image », les écrans ont envahi le paysage. L’analyse visuelle avec son prolongement mental est en phase avec cet environnement quotidien. Donner plus de place au mental, c’est peut-être donner davantage de sens aux activités mathématiques de la classe, car plus en lien avec le vécu de l’élève. Par la même occasion, c’est peut-être redonner à l’écrit sa véritable place, celle du prolongement de la pensée. D’autre part, par les échanges dans la classe, c’est aussi trouver un meilleur équilibre entre l’individu et le collectif, problème qui reste majeur pour l’enseignant dans la gestion du groupe.

Et le calcul mental…

Le calcul mental est désormais clairement identifié comme une des clés de la réussite en mathématiques. La corrélation est pointée mais est-ce vraiment le calcul mental qui est la cause principale de cette réussite. J’ai le sentiment que la clé se situe plutôt en deuxième rideau dans la relation aux nombres et aux opérations qu’il induit. L’aisance en calcul mental est un atout mais il donne surtout une assurance dans la fréquentation avec les nombres : le ressenti, l’interaction entre les nombres, les multiples décompositions d’un nombre, en fait la relation intime que chacun d’entre nous construit avec ces êtres numériques. Et ils sont partout ! A y regarder de près, peu de domaines mathématiques échappent aux nombres. Même les « grands théorèmes » du collège, Pythagore et Thalès, sont numériques ! L’application que l’on fait du théorème de Pythagore dans nos classes, renvoit plus à une vision calculatoire que géométrique avec l’aire des carrés associés. Un élève en délicatesse avec le concept de puissance est déjà en situation de fragilité avec la formule de Pythagore, et je ne parle pas du théorème de Thalès où le concept de proportionnalité dans le rapport des longueurs nécessite déjà une bonne gymnastique numérique.

Au-delà de l’argument scolaire, il faut régulièrement rappeler que la formation du futur citoyen est en jeu. Comment comprendre le monde qui nous entoure sans un minimum d’aisance avec les nombres ? Les ordres de grandeur et les données macro-économiques, les pourcentages dans l’économie, la politique, le sportEt les premiers prêts bancaires !

Nos connaissances sur le fonctionnement du cerveau lors d’activités numériques, ont fait un bond ces dernières années avec le développement de l’imagerie médicale. Stanislas Dehaene dans son récent « La bosse des maths » 2ème édition, l’explique bien, nous découvrons des territoires nouveaux qui vont nous permettent de mieux comprendre notre propre fonctionnement. Une des grandes découvertes de ces dernières années est la mise en évidence de deux zones distinctes du cerveau lorsque nous sommes en relation avec les nombres. Toutes les expériences concordent et convergent vers l’idée qu’une zone, appelée hIPS et située dans les lobes droits et gauches pariétaux du cerveau, est activée systématiquement pour toute sollicitation numérique. Stanislas Dehaene la qualifie de zone de la « numérosité », sorte de noyau universel de représentation des quantités qui est commune à tous les individus, toutes les cultures. C’est la zone du sens des nombres. Elle semble fonctionner sur un modèle continu et non discret, idée que l’on peut comprendre lorsque l’on cherche à déterminer un ordre de grandeur d’une collection importante d’objets. L’exemple classique de la boîte d’allumettes qui tombe, l’illustre bien : sans compter, tout individu est capable d’évaluer si il y a environ 20 ou 50 ou 100 allumettes devant lui. Le discret, bien caractérisé par l’allumette, s’efface derrière le continu symbolisé par la vision globale. C’est dans cette région du cerveau que se construit notre relation aux nombres avec la perception des quantités, des ordres de grandeur, la comparaison, le rangement.

La deuxième zone est localisée dans l’hémisphère gauche. Elle correspond aux apprentissages scolaires, aux stratégies arithmétiques apprises. C’est dans cette partie du cerveau que chacun développe sa partie automatisée et sa partie réfléchie de calcul mental.

Pour rappel, le calcul mental que l’on qualifie d’automatisé est celui que l’on a en mémoire, un peu à l’image de ce qui est stocké dans le disque dur d’un ordinateur. Ce sont des résultats à notre disposition immédiate, mais ce peut-être aussi des procédures que l’on automatise. Cette sollicitation est sans effort. Des études montrent une grande stabilité dans le temps. Cette partie automatisée se construit progressivement dans le temps, elle est la base du calcul mental réfléchi. Ce dernier nécessite des procédures et des stratégies dans lesquelles la partie automatisée pourra intervenir. Le calcul mental réfléchi est proche de la résolution de problème par la diversité des méthodes qu’il peut mettre en évidence.

Les deux réunis forment une partition personnelle correspondant à nos capacités en calcul mental direct : une opération, un résultat attendu. Cette partition est évolutive car elle est en construction dès les premières années et elle s’enrichit tout au long de la vie en fonction de la régularité et de l’intensité de notre relation avec les nombres. Plus la partie automatisée est développée, plus cela libère de l’énergie pour développer la partie réfléchie. Le calcul mental réfléchi du cycle 1 va progressivement devenir du calcul mental automatisé au cycle 2, le réfléchi du cycle 2 est supposé devenir de l’automatisé du cycle 3 et du collège…

S.Dehaene pense que ces deux zones du cerveau sont disponibles dès les premiers jours de la vie. Il formule l’hypothèse qu’un sens précoce du nombre favorise la compréhension en arithmétique qui à son tour renforce l’acuité numérique, une sorte de cercle vertueux. Ces deux zones sont donc en relation et en interaction permanentes. A l’inverse, des difficultés dès le départ sur le sens des nombres peuvent faire perdre pied en calcul rapidement. C’est alors un cercle vicieux.

L’idée selon laquelle le cerveau se mobilise de façon différente suivant la sollicitation numérique est très intéressante et pas vraiment surprenante. Dans notre relation intime avec les nombres, on sent bien intuitivement que le traitement d’un nombre par notre cerveau est totalement différent suivant que l’on aborde ce nombre sous son aspect ordinal ou cardinal. Le tri, le rangement, la comparaison n’ont pas grand-chose à voir avec les tables de multiplication ou un calcul de pourcentage. Cependant, la liaison entre ces deux zones existe ou plutôt, devrait exister. Par exemple, un pourcentage, une fois calculé, doit pouvoir être mis en perspective avec d’autres données pour lui donner du sens. On comprend bien que le calcul effectué, dans la deuxième zone, ne prend du sens et donc de l’intérêt que si il est rangé parmi d’autres données. C’est la première zone qui s’en charge, celle de la numérosité. Je suis toujours surpris par ces élèves, qui ont une maîtrise très correcte voir bonne de techniques opératoires, écrites et/ou mentales, mais qui ne donne pas de sens à ces techniques. La notion d’ordre de grandeur est un domaine où ce constat peut régulièrement s’effectuer. Je formule l’hypothèse que, pour ces élèves, la zone de la numérosité n’a pas été suffisamment sollicitée. L’innumérisme est peut-être la traduction d’une absence ou d’un défaut majeur de liaison entre ces deux zones. Notre enseignement est peut-être globalement trop porté sur l’attente d’un résultat, lui-même résultante d’une action attendue. C’est aussi ce que nous renvoit, dans les grandes lignes, les études PISA : une prédominance des techniques sur le sens des concepts appris.

Il me semble que le calcul mental traduit bien cette dichotomie entre sens et technique, qu’il ne faut évidemment pas opposer. Les « modes » pédagogiques ont parfois poussées plus fort dans un sens que dans l’autre. La lecture des études PISA nous incite à mettre l’accent sur le sens. Mais, attention, le sens, sans un minimum de technique, ça n’a pas de sens ! Restons donc vigilant. Mon analyse, conséquence de l’observation de mes pratiques, me pousse vers l’idée que, particulièrement dans le domaine numérique, le sens se construit sur les fondations de techniques bien maîtrisées et pratiquées dans le sens direct ou habituel mais aussi à l’envers. Par exemple, la pratique régulière de la décomposition d’entiers, de décimaux et de fractions avec les quatre opérations me paraît être une des clés de la construction du sens des nombres.

En complément d’une pratique classique du calcul mental direct, le calcul mental à l’envers est un très bon exercice pour donner du sens au calcul mental direct car ce dernier devient un outil. En quelques mots, le calcul mental à l’envers, c’est le concept universel du « Compte est bon » : un nombre cible et des nombres sur lesquels on opère avec les quatre opérations de façon à fabriquer cette cible. Cette gymnastique intellectuelle est une clé pour la perception des ordres de grandeur et du sens des nombres et des opérations. La cible à fabriquer est inconsciemment analysée avant de chercher à l’atteindre. Cette analyse peut être succincte voir inconsciente mais aussi très fine. Pour fabriquer 63, je peux solliciter du calcul automatisée comme 7x9 ou 3x21, semi-automatisée comme 6x10 + 3 ou 7x10 -7 mais je peux utiliser du calcul réfléchi comme 5x12 + 3 ou 5x13 - 2 ou 7x8 + 7 ou 8x8 – 1 etc… Les allers-retours entre sens et technique sont permanents et la décomposition des nombres, principe non naturel, devient un outil performant et très utile.

Les découvertes sur le fonctionnement de notre cerveau, que S.Dehaene met en évidence, apportent un nouvel éclairage sur ces différentes formes de calcul mental et leurs interactions. Je formule l’hypothèse que la pratique du calcul mental à l’envers sollicite dans un premier temps la zone de la numérosité. En effet, le questionnement sur cette cible à atteindre renvoit sur un problème de sens de ce nombre. Mon cerveau le connaît-il et si oui, comment ? C’est alors que l’on peut imaginer des échanges avec l’autre zone qui va solliciter les connaissances acquises sur ce nombre à fabriquer. Dès l’instant où cette mécanique est enclenchée, sens et technique s’entre-mêlent et se nourrissent l’un de l’autre.

Ces allers-retours, que le calcul à l’envers suscite, donnent de l’épaisseur aux nombres. Le travail sur la décomposition est alors créateur de sens du nombre.
Cette pratique peut se mettre en place dès les premières années. En effet, on peut établir un parallèle avec le comptage d’une collection d’objets chez les petits. A l’issue d’un comptage avec récitation de la comptine numérique, Brissiaud préconise de solliciter l’enfant en le questionnant sur des décompositions du cardinal obtenu de façon à donner du sens à ce principe cardinal. Il s’agit déjà d’une démarche de retour qui est proche du calcul mental à l’envers.

Conclusion

Tout commence dans notre cerveau. L’activité mentale est le ciment de l’activité mathématique, donnons lui toute la place qu’elle mérite. Ses atouts dépassent le cadre strictement pédagogique à travers le caractère fédérateur et social de la vie d’une classe.

L’étude du fonctionnement de notre cerveau s’apparente à la découverte d’un nouveau monde. Il va falloir, dans un premier temps, à l’image du travail de S.Dehaene, explorer et comprendre ce nouveau monde. Les traductions pédagogiques qui en découleront, sont certainement considérables. C’est une autre étape, il faudra certainement faire preuve de patiente : Christophe Colomb a découvert l’Amérique en 1492, la première constitution des Etats-Unis date du 17 septembre 1787…

Eric Trouillot

Bibliographie

  • Activités mentales – Automatismes au collège. Brochure APMEP n°191, IREM Clermont-Ferrand
  • Brochures Jeux 1 à 9 et Jeux-Ecole de l’APMEP
  • Calcul mental et automatismes. Niveau Lycée. De la Seconde à la Terminale. Brochure APMEP n°180, IREM Clermont-Ferrand
  • La Bosse des maths, nouvelle édition revue et corrigée. Stanislas Dehaene. Odile Jacob
  • Le calcul mental au collège : nostalgie ou innovation ? Bernard Anselmo, Stéphanie Evesque-Sagnard, Karine Fenoy, Paul Planchette, Hélène Zucchetta. IREM de Lyon
  • Le calcul mental entre sens et technique. Denis Butlen. Presses universitaires de Franche-Comté
  • Mathador Flash. Eric Trouillot. CRDP Franche-Comté et L2D
  • Mathématiques et jeux au collège. Eric Trouillot, Jocelyne Richard, Didier Faradji et Philippe Le Borgne. CRDP Franche-Comté et Hachette Education
  • Premiers pas vers les maths. Rémi Brissiaud. Retz

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