3 Le hardware et le software

Dans cette section, on va voir comment peut-on traiter les courbes de Bézier avec le logiciel GeoGebra qui nous servira de grapheur pour régénérer les courbes des exemples 1 et 2 de la sous-section 1.2 La problématique (ci-dessus). En particulier, nous présenterons des macros constructions GeoGebra :

• d’une courbe de Bézier d’ordre 2
• d’une courbe de Bézier d’ordre 3
• d’une tangente à une courbe de Bézier d’ordre 2
• d’une tangente à une courbe de Bézier d’ordre 3
• d’un arc en l’une des extrémités d’une courbe pour indiquer qu’il s’agit d’un point exclu
• On a élaboré un fichier GeoGebra dont la barre d’outils est enrichie par ces différents outils.

3.1 Arc en une extrémité d’une courbe : point exclu

On commence par un outil qui sera utile dans différents cas de courbes (qu”il s’agisse d’une courbe de Bézier ou non)

$Soit \ f \ la fonction \ g \ définie \ par : g(x) =\left\{\begin{matrix} x^{2}+1 \ \ \ si \ \ -2\leq x\leq 1\\3x-4 \ \ si\ \ \ \ 1\leq x\leq 3 \end{matrix}\right.$

Soit les points $G_{v}(1,1^{2}+1=2)$ dont l’ordonnée est l’image de $1$ par la $1^{\text{ère}}$ expression de $g$ et $ G_{r}(1,3 \times 1-4=-1)$ dont l’ordonnée est l’image de $1$ par la $2^{\text{ème}}$ expression de $g$.

On note que $g$ n’est pas continue à gauche en 1 mais elle est continue à sa droite
donc $C_{g}$ présentera une rupture au niveau de $x=1$ : $C_{g}$ sera la réunion de deux “morceaux” séparés. (On désigne par $ C_{g}$ la courbe représentative de $g$)
Pour traduire graphiquement que l’image de $1$ par $g$ se calcule à l’aide de la $2^{\text{ème}}$ expression et non pas la $1^{\text{ère}}$, c’est à dire que $G_{v} \notin C_{g} $ et $G_{r} \in C_{g} $, on fait coller à la partie de $C_{g}$ qui correspond à l’intervalle $\left[ -2, 1 \right[$ et de son côté droit un petit arc de cercle qui passe par $G_{v}$ et ayant pour extrémités deux points n’appartenant pas à $C_{g}$ comme l’illustre la figure suivante :

Mais comment y parvenir ? : Un fichier .ggt qui contient la macro arc_born est préparé au préalable. Il est accessible via ce lien. Ce fichier est aussi proposé sous format .html

Les étapes à suivre :

• on saisit les expressions algébriques de la fonction puis on valide, alors la courbe de la fonction se trace
• on crée le point auquel on va attacher l’arc (l’équivalent de $G_{v}$ dans notre exemple. Ce point sera caché une fois l’arc est tracé)
• on active la macro arc_born par le biais de son icône à l’extrémité droite de la barre d’outils
• on clique sur $G_{v}$ puis on s’en éloigne un peu dans le sens rétrograde et on fait un $2^{\text{ème}}$ clic : un nouveau point s’affiche
• on manie ce nouveau point avec la souris afin de donner à l’arc le rayon et l’orientation désirés
• une fois les apparences souhaitées sont atteintes, ce point sera caché.

Le lien suivant vous mènera à une vidéo où nous appliquons la démarche décrite par les étapes ci-dessus :

3.2 courbe de Bézier d’ordre 2

3.2.1 Traçage : Méthode 1

Cette méthode consiste à :

• fixer 3 points non alignés $A, B$ et $C$ dans la zone du travail
• créer un curseur t qui varie de $0$ à $1$
• dans la zone de saisie, écrire : $ M = (1-t)^2A + 2t(1-t)B + t^2C$.

Un point $M$ apparaîtra dans la zone de travail. Pour avoir le tracé continu du lieu de point $M$, on cliquera dessus puis sur le curseur t après avoir activé l’outil “Lieu”. Ci-dessous un exemple du résultat obtenu :

Commentaire : l’inconvénient majeur de cette méthode est que le graphique obtenu comme étant un lieu n’est pas exploitable en vue d’autres illustrations. Pour cela, on préfère à cette $\text{méthode}\, 1$ la $\text{méthode}\, 2$ que nous présentons ci-dessous.

3.2.2 Traçage : Méthode 2

Idée de la méthode : cette $2^{\text{ème}}$ méthode est le résultat de l’application de la commande Courbe(<Expression $e_1 $>, <Expression $e_2$>, <Variable t >, <de a>, <à b>) qui permet de représenter une courbe plane paramétrée.
Une telle courbe est considérée comme étant un ensemble de points dont l’abscisse et l’ordonnée sont deux fonctions du paramètre t.

• l’expression $e_{1}$ est celle de l’abscisse (x(t)) en fonction de la variable t, (dans notre cas)
• l’expression $e_{2}$ est celle de l’ordonnée (y(t)) en fonction de la variable t, (dans notre cas)
• $<$Variable t$>$ : à remplacer par t dans notre cas
• $<$de a$>$ : a est la valeur minimale permise à la variable (c’est 0 dans notre cas)
• $<$à b$>$ : b est la valeur maximale permise à la variable (c’est 1 dans notre cas)

Étapes à suivre

• fixer 3 points non alignés $A, B$ et $C$ dans la zone de travail
• écrire dans la zone de saisie :
  $Courbe((1-t)^2x(A) + 2t(1-t)x(B) + t^2x(C)\, ,\\ (1-t)^2y(A) + 2t(1-t)y(B) + t^2y(C)\, , \, t \, , \, 0 \, , \,1)$

Une macro construction sous formats .ggt et .html clés en main

Travail à faire	Icône
* activer l’icône qui se trouve à l’extrémité droite de la barre d’outils (image ci-contre) * faire 3 clics dans la zone du travail (pour régénérer les 3 points de contrôle)

Ci-dessous une image du graphique obtenu à partir du fichier .html :

3.2.3 Tangente à une courbe de Bézier d’ordre 2 en l’un de ces points

$1^{\text{er}}$cas : le point de tangence est l’une des extrémités

• Si le point concerné est le $1^{\text{er}}$ de la liste de points de contrôle alors il suffit de tracer la droite qui passe par ce point et celui qui lui succède dans la liste (le $2^{\text{ème}}$ dans ce cas).
• Si le point concerné est le dernier de la liste de points de contrôle alors il suffit de tracer la droite qui passe par ce point et celui qui le précède dans la liste (c’est encore le $2^{\text{ème}}$ dans ce cas).

Autres procédés : pour tracer la tangente en l’une des extrémités, il est aussi possible

• d’activer l’outil Tangentes puis sélectionner l’extrémité concernée puis le $2^{\text{ème}}$ de la liste de points de contrôle (Exemple : dans la figure ci-dessous, la droite $T_{A}$est la tangente à la courbe $a$ en $A$)
• tracer un vecteur directeur de la tangente (Exemple : dans la figure ci-dessous, le vecteur $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{CB}$ est un vecteur directeur de la tangente à la courbe $a$ en $C$. On se contentera de ce vecteur surtout que la fonction n’est pas définie donc on ne peut pas parler de sa dérivabilité à droite en $x(C)$

$2^{\text{ème}}$ cas : le point de tangence n’est pas l’une des extrémités
Le lien suivant vous mènera à une vidéo qui illustre les étapes à suivre pour construire une tangente à partir du fichier .ggt élaboré :

Le fichier .ggt qui contient les outils de construction de la courbe de Bézier d’ordre 2 ainsi que la tangente en l’un de ses points est accessible via ce lien :

Remarque : En plus de son format .ggt, ce fichier s’y trouve sous format .html. À ces deux fichiers est ajoutée une vidéo où nous avons détaillé les étapes de la construction.

3.3 courbe de Bézier d’ordre 3

3.3.1 Traçage : Méthode 1

Cette méthode consiste à :

• fixer 4 points non alignés $A, B, C$ et $D$ dans la zone du travail
• créer un curseur t qui varie de $0$ à $1$

• dans la zone de saisie, écrire : $ M = (1-t)^{3}A + 3(1-t)^{2}tB + 3(1-t)t^{2}C +t^{3}D$

Un point $M$ apparaîtra dans la zone de travail. Pour avoir le tracé continu du lieu de point $M$, on cliquera dessus puis sur le curseur t après avoir activé l’outil “Lieu”. Ci-dessous un exemple du résultat obtenu :

Le commentaire déjà signalé concernant la méthode1 de la courbe d’ordre 2 reste valable. (sous-sous-section 3.1.1)

3.3.2 Traçage : Méthode 2 : cette méthode repose sur la même idée que la méthode 2 de la courbe d’ordre 2 (sous-sous-section 3.1.2)

Étapes à suivre

• fixer 4 points non alignés $A, B, C$ et $D$ dans la zone du travail
• écrire dans la zone de saisie :

$Courbe((1-t)^{3}x(A) + 3(1-t)^{2}tx(B) + 3(1-t)t^{2}x(C) +t^{3}x(D)\, ,\\ (1-t)^{3}y(A) + 3(1-t)^{2}ty(B) + 3(1-t)t^{2}y(C) +t^{3}y(D)\, , \, t \, , \, 0 \, , \,1)$

Une macro construction sous formats .ggt et .html clés en main

Travail à faire	Icône
* activer l’icône qui se trouve à l’extrémité droite de la barre d’outils (Image ci-contre) * faire 4 clics dans la zone du travail (pour régénérer les 4 points de contrôle)

Ci-dessous une image du graphique obtenu à partir du fichier .html :

3.3.3 Tangente à une courbe de Bézier d’ordre 3 en l’un de ces points

$1^{\text{er}}$ cas : le point de tangence est l’une des extrémités
On adoptera les mêmes étapes fixées à la sous-sous-section 3.1.3 à propos de la courbe d’ordre 2 ($1^{\text{er}}$ cas). On tiendra compte du fait que dans cette situation, on a quatre points de contrôle et non plus trois.

$2^{\text{ème}}$ cas : le point de tangence n’est pas l’une des extrémités
Le lien suivant vous mènera à une vidéo qui illustre les étapes à suivre pour construire une tangente à partir du fichier .ggt élaboré d’avance :

Le fichier .ggt qui contient les outils de construction de la courbe de Bézier d’ordre 3 ainsi que la tangente en l’un de ses points est accessible via ce lien :

Remarque : En plus de son format .ggt, ce fichier s’y trouve sous format .html. À ces deux fichiers est ajoutée une vidéo où nous avons détaillé les étapes de la construction.

3.3.4 Arc en une extrémité d’une courbe : point exclu

À ce propos, nous n’avons rien à ajouter à ce qui était dit à la sous-sous-section 3.1.4 concernant la courbe d’ordre 2 : c’est seulement la nature de la courbe qui change. On rappelle juste les adresses des liens qui s’y rapportent :
http://mongeogebra.com/ggbg/2018/12/10/macro-arc-extrem-courbe-pnt-exclu/
et
https://youtu.be/7KykYdJNStE

3.4 Barre d’outils personnalisée pour GeoGebra

Dans cette sous-section, on présente un fichier GeoGebra dans lequel on a intégré les quatre outils qu’on a précédemment confectionnés. Chacun de ces outils est directement accessibles via une icône figurant sur la barre d’outils de ce fichier (du côté droit) (voir l’image ci-dessous) :

• traçage d’une courbe de Bézier d’ordre 2 et d’une tangente en l’un de ses points
• traçage d’une courbe de Bézier d’ordre 3 et d’une tangente en l’un de ses points
• point exclu : traçage d’un arc en l’une des extrémités d’une courbe (qu’elle soit de Bézier ou non)
• traçage d’une tangente (plus précisément : de deux vecteurs de cette tangente) à une courbe en l’un de ses points
• 

Une vidéo qui explique la manière de profiter de ce fichier :

Ce fichier est proposé sous formats .ggb et .html à cette adresse :

4 Reprise des exemples 1 et 2 de la sous-section “La problématique” avec les nouveaux outils

4.1 L’exemple 1

Étapes à suivre

• Enregistrer puis ouvrir le fichier .ggb où sont intégrés les nouveaux outils :
  http://mongeogebra.com/ggbg/2018/12/15/courbe-bezier-outils/
• Pour la branche de la restriction sur l’intervalle $\left[-3,0\right]$
  • marquer les points $A(-3,0), B$ tel que $-3\leq x(B)\leq 0$ et $C(0,2)$
  • avec l’outil “Bezdord2”, tracer la courbe de Bézier d’ordre 2 dont les 3 points de contrôle sont $A, B$ et $C$ comme c’est décrit plus haut.
  • manier le point $B$ jusqu’à l’obtention de la courbure souhaitée.
• Pour la branche de la restriction sur l’intervalle $\left[0,1\right[$
  • marquer les points $D$ tel que $0 < x(D) < 1$ et $E(1,4)$
  • avec l’outil “Bezdord2”, tracer la courbe de Bézier d’ordre 2 dont les 3 points de contrôle sont $C, D$ et $E$.
  • manier le point $D$ jusqu’à l’obtention de la courbure souhaitée.
  • sélectionner l’outil $’arc\_born’$, cliquer sur $E$, se déplacer de quelques $mm$ dans le sens rétrograde et marquer un point $F$ : un arc se trace
  • manier le point $F$ jusqu’à l’obtention d’un arc qui vous satisfait (il interprète le fait que $E$ est exclu de la courbe).
• Pour la branche de la restriction sur l’intervalle $\left[1,3\right[$
  • marquer les points $G(1,5), H$ tel que $1< x(H)<3$ et $I(3,5)$
  • avec l’outil “Bezdord2”, tracer la courbe de Bézier d’ordre 2 dont les 3 points de contrôle sont $G, H$ et $I$
  • manier le point $H$ jusqu’à l’obtention de la courbure souhaitée.
  • tracer un arc qui indique que $I$ ne fait pas partie de la courbe.
• Marquer le point $K(3,4)$
• Pour la branche de la restriction sur l’intervalle $\left]3 ,+ \infty\right[$
  • marquer les points $L(3,3), P$ tel que $3 < x(P)<6$ et $Q(6,-4)$
  • avec l’outil “Bezdord2”, tracer la courbe de Bézier d’ordre 2 dont les 3 points de contrôle sont $L, P$ et $Q$
  • manier le point $P$ jusqu’à l’obtention de la courbure souhaitée.
  • tracer un arc qui indique que $L$ n’appartient pas à la courbe.
• Cacher tous les points auxquels on a fait appel sauf le point $K$ pour lequel on cachera le nom.

Résultat obtenu :

Vidéo d’illustration :

L’exemple 2

Étapes à suivre

• Enregistrer puis ouvrir le fichier .ggb où sont intégrés les nouveaux outils :
  http://mongeogebra.com/ggbg/2018/12/15/courbe-bezier-outils/
• Pour la branche de la restriction sur l’intervalle $\left]-\infty,0\right[$
  • marquer quatre points $A’, B’, C$ et $D$
  • avec l’outil “Bez3”, tracer la courbe de Bézier d’ordre 3 ayant pour points de contrôle $A’, B’, C$ et $D$.
  • manier les points de contrôle jusqu’à l’obtention de l’allure désirée tout en respectant les critères :
    • (yy’) est une asymptote verticale
    • (xx’) est une asymptote horizontale
    • passage par le point $E(-1,1)$
  • dérouler le menu de l’outil “Bez3”
    • activer l’option “tanbez3”
    • sélectionner les quatre points de contrôle $A’, B’, C$ et $D$ puis le point $E$ : la tangente en $E$ se trace.
    • manier les points de contrôle $B’$ et $C$ pour affiner le traçage de la tangente (coefficient directeur égal à 1)
  • Cacher tous les points auxquels on a fait appel sauf le point $E$ pour lequel on cachera uniquement le nom.
• Pour la partie qui représente la restriction sur l’intervalle $\left]0,+\infty \right[$
  On va considérer cette partie comme étant le raccordement de trois courbes :
  • $(b)$ : la représentation de la restriction sur l’intervalle $\left]0,2 \right]$
  • $(c)$ : la représentation de la restriction sur l’intervalle $\left[2,4 \right]$.
  • $(d)$ : la représentation de la restriction sur l’intervalle $\left[4,+ \infty \right[$
• Pour la représentation de la restriction sur l’intervalle $\left]0,2 \right] : (b)$
  • marquer quatre points $F, G, H(1,3)$ et $A(2,1)$
  • avec l’outil “Bez3”, tracer la courbe de Bézier d’ordre 3 ayant pour points de contrôle $F, G, H$ et $A$.
  • manier les points de contrôle jusqu’à l’obtention de l’allure désirée tout en respectant les critères :
    • (yy’) est une asymptote verticale
    • un sommet en un point $S$ tel que $x(S)\approx 1.2$ et $y(S)\approx 2.3$
  • tracer le vecteur $\overrightarrow{AH}$ : c’est un vecteur directeur de la demi-tangente à la courbe à gauche en $A$.
  • Cacher tous les points auxquels on a fait appel sauf le point $A$.
• Pour la représentation de la restriction sur l’intervalle $\left[2,4 \right] : (c)$
  • marquer trois points $I, J$ et $B(4,3)$
  • avec l’outil “Bez3”, tracer la courbe de Bézier d’ordre 3 ayant pour points de contrôle $A, I, J$ et $B$.
  • manier les points de contrôle jusqu’à l’obtention de l’allure désirée tout en respectant les critères :
    • une demi-tangente verticale à droite en $A$ ce qui nécessite que $x(A)=x(I)=2$
      (car cette demi-tangente est portée par la droite $(AI)$.)
      Rappel : si $(c)$ est une courbe de Bézier d’ordre $n$ de points de contrôle
      $C_{0}, C_{1},.., C_{n-1}, C_{n}$ alors sa demi-tangente en $C_{0}$ est $\left[ C_{0}C_{1}\right)$
    • une demi-tangente horizontale à gauche en $B$ ce qui nécessite que $y(B)=y(J)=3$ (car cette demi-tangente est portée par la droite $(BJ)$ : voir plus pour la justification)
      Rappel : si $(c)$ est une courbe de Bézier d’ordre $n$ de points de contrôle $C_{0}, C_{1},.., C_{n-1}, C_{n}$ alors sa demi-tangente en $C_{n}$ est $\left[ C_{n}C_{n-1}\right)$
  • tracer les vecteurs $\overrightarrow{AI}$ et $\overrightarrow{BJ}$
  • Cacher tous les points auxquels on a fait appel sauf les points $A$ et $B$.
• Pour la représentation de la restriction sur l’intervalle $\left[4,+ \infty \right[ : (d)$
  • marquer trois points $K(5,3), L$ et $P$ tel que $x(P)>6$
  • avec l’outil “Bez3”, tracer la courbe de Bézier d’ordre 3 ayant pour points de contrôle $B, K, L$ et $P$.
  • manier les points de contrôle jusqu’à l’obtention de l’allure désirée tout en respectant les critères :
    • une demi-tangente horizontale à gauche en $B$ ce qui nécessite que $y(B)=y(K)=3$ (car cette demi-tangente est $\left[ BK\right)$.)
      Remarque : on note ainsi que $y(J)=y(B)=y(K)=3$ alors les points $J, B$ et $K$ sont alignés donc les deux demi-tangentes (à gauche et à droite en $B$) sont portées par la même droite : ce qui traduit que la fonction est dérivable en $x(B)$ et de plus, cette tangente étant horizontale, indique que la dérivée s’annule en $x(B)$.
    • cette courbe admet, au voisinage de $+\infty$, une branche parabolique dans la direction de l’axe des ordonnées
  • tracer les vecteurs $\overrightarrow{BK}$
  • Cacher tous les points auxquels on a fait appel sauf le point $B$.

Résultat obtenu :

Vidéo d’illustration :

Commentaires

1. Le raccordement de deux courbes se fait en leur prenant un point de contrôle en commun : le dernier point de la $1^{\text{ère}}$ courbe est lui-même le $1^{\text{er}}$ point de la $2^{\text{ème}}$ courbe.
2. Pour traduire graphiquement que la fonction est dérivable en l’abscisse du point de raccordement, il faut que le point de raccordement, le dernier point de contrôle de la $1^{\text{ère}}$ courbe et le $1^{\text{er}}$ point de contrôle de la $2^{\text{ème}}$ courbe soient alignés car ainsi, on garantit que le nombre dérivée à gauche est égal au nombre dérivée à droite. (Exemple :le point $B$ dans notre cas, Contre-exemple : le point $A$ dans notre cas)
3. Le temps pris par la $2^{\text{ème}}$ vidéo est susceptible à être réduit de façon importante, en particulier en n’attachant aucune importance aux noms des points.
4. Dans nos deux exemples, on a parfois utilisé les courbes quadratiques (de degré 2) et souvent les courbes cubiques (de degré 3) car les dernières permettent d’obtenir l’allure souhaitée plus facilement (elles ont plus de points de contrôle), ceci sans évoquer d’autres raisons qu’on n’a pas rencontrées dans notre cas.