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Les courbes de Bézier : un outil au service des enseignants du secondaire [1]
Hédi Abderrahim
1.1 N.B :
1.2 La problématique
Pour illustrer une certaine notion d’analyse du programme de la $3^{\text{ème}}$ (c’est l’équivalent de la 1ère S) ou de la $4^{\text{ème}}$ (c’est l’équivalent de la Ter S), il arrive souvent à l’enseignant d’avoir recours à un graphique.
Encore plus, dans le fascicule des programmes officiels tunisiens des $3^{\text{ème}}$ (1ère S) et des $4^{\text{ème}}$ (Ter S) et plus précisément dans les paragraphes à développer, on lit :
Le problème ne serait pas posé si le professeur avait à présenter son exemple au tableau : il pourrait, à main levée, tracer facilement la courbe qui lui convient tout en tenant compte des contraintes qui lui sont imposées. Mais dès qu’il a à présenter un graphique lisible et bien soigné sur papier, à titre d’exemple : qui lui permettra d’évaluer les compétences de ses élèves à traduire certaines caractéristiques d’une courbe en termes de propriétés de la fonction qu’elle représente, sa tâche sera délicate et “laborieuse” !
Pour ce faire, les logiciels grapheurs nous garantissent un travail de qualité de point de vue soin, mais ces outils ne fonctionnent pas de leurs bons grès, il faut que l’opérateur leur fournisse les expressions algébriques des fonctions qu’il veut représenter : trouver la fonction adéquate n’est pas toujours une affaire aisée.
Ci-dessous, je vous propose deux exemples de graphiques que j’ai pris de deux devoirs publiés par leurs rédacteurs sur internet et je vous laisse le soin d’imaginer les efforts et le temps qu’il a fallu pour élaborer chacun d’eux :
Exemple 1 | Exemple 2 |
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1.3 La question et un outil-solution
Peut-on trouver un outil qui nous permettra de confectionner des graphiques aussi soignés mais sans qu’on soit obligé de rechercher des expressions algébriques des fonctions qui tiennent compte des caractéristiques qu’on veut assigner à la courbe ?
En réalité les moyens ne manquent pas, on peut, à titre indicatif, citer les B - Splines, l’interpolation de Lagrange, l’interpolation d’Hermite $\ldots$
Dans ce document, nous avons opté pour les courbes de Bézier. Dans la suite de ce document, on va voir comment elles peuvent faire l’affaire : regrouper le soin des grapheurs et l’aisance du travail à main levée .
2.1 Aspect pratique
L’idée directrice est de tracer une courbe en déplaçant le barycentre d’un certain nombre de points affectés de coefficients dépendants d’une variable, appelés points de contrôle. On peut déformer la courbe jusqu’à l’obtention du tracé désiré : ça nous permet, entre autres, de :
Cet outil a été mis au point, vers 1962 par Pierre Bézier, ingénieur chez Renault, pour obtenir le tracé de courbes planes (ou de l’espace) soumises à certaines conditions. [2]
2.2 Exemple d’illustration
On se donne :
Remarque : Pour chaque système, la somme des coefficients est toujours :
$$\left( 1-t\right) + t=1$$
ainsi :
$M = (1-t)B_{0} + tB_{1}$
$ = (1-t)\left[(1-t)A_{0} + tA_{1}\right] + t\left[(1-t)A_{1} + tA_{2}\right]$
$ = (1-t)^{2}A_{0}+ 2t(1-t)A_{1} +t^{2}A_{2}$
$ = (1-t)^{2}\left[(1-t)C_{0} + tC_{1}\right]+ 2t(1-t)\left[(1-t)C_{1} + tC_{2}\right] +t^{2}\left[(1-t)C_{2} + tC_{3}\right]$
$ = (1-t)^{3}C_{0} + 3t(1-t)^{2}C_{1} + 3t^{2}(1-t)C_{2} + t^{3}C_{3}$
$ = \sum_{k=0}^{3} \begin{pmatrix} k\\3 \end{pmatrix} (1-t)^{3-k}t^{k}C_{k}$
Animation : sous formats .ggb et .html
Animation : sous format .mp4 (vidéo)
2.3 Types de courbes de Bézier utilisées
Dans ce document, on se limitera aux courbes planes de Bézier tracées dans un plan muni d’un repère orthonormé et en particulier, celles :
$M(t)=(1-t)^{2}.C_{0} +2(1-t).t.C_{1} +t^{2}.C_{2} \qquad t \in \left[ 0 , 1\right]$
$M(t)=(1-t)^{3}.C_{0} +3(1-t)^{2}.t.C_{1} + 3(1-t).t^{2}.C_{2} + t^{3}.C_{3} \qquad t \in \left[ 0 , 1\right] $
courbe de Bézier d’ordre 2 | courbe de Bézier d’ordre 3 |
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Points de contrôle $\left( A, B, C\right)$ ) |
Points de contrôle $\left( A, C, B, D\right)$) ) |
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2.4 Quelques propriétés
Dans cette section, on va voir comment peut-on traiter les courbes de Bézier avec le logiciel GeoGebra qui nous servira de grapheur pour régénérer les courbes des exemples 1 et 2 de la sous-section 1.2 La problématique (ci-dessus). En particulier, nous présenterons des macros constructions GeoGebra :
3.1 Arc en une extrémité d’une courbe : point exclu
On commence par un outil qui sera utile dans différents cas de courbes (qu”il s’agisse d’une courbe de Bézier ou non)
$Soit \ f \ la fonction \ g \ définie \ par : g(x) =\left\{\begin{matrix} x^{2}+1 \ \ \ si \ \ -2\leq x\leq 1\\3x-4 \ \ si\ \ \ \ 1\leq x\leq 3 \end{matrix}\right.$
Soit les points $G_{v}(1,1^{2}+1=2)$ dont l’ordonnée est l’image de $1$ par la $1^{\text{ère}}$ expression de $g$ et $ G_{r}(1,3 \times 1-4=-1)$ dont l’ordonnée est l’image de $1$ par la $2^{\text{ème}}$ expression de $g$.
On note que $g$ n’est pas continue à gauche en 1 mais elle est continue à sa droite
donc $C_{g}$ présentera une rupture au niveau de $x=1$ : $C_{g}$ sera la réunion de deux “morceaux” séparés. (On désigne par $ C_{g}$ la courbe représentative de $g$)
Pour traduire graphiquement que l’image de $1$ par $g$ se calcule à l’aide de la $2^{\text{ème}}$ expression et non pas la $1^{\text{ère}}$, c’est à dire que $G_{v} \notin C_{g} $ et $G_{r} \in C_{g} $, on fait coller à la partie de $C_{g}$ qui correspond à l’intervalle $\left[ -2, 1 \right[$ et de son côté droit un petit arc de cercle qui passe par $G_{v}$ et ayant pour extrémités deux points n’appartenant pas à $C_{g}$ comme l’illustre la figure suivante :
Mais comment y parvenir ? : Un fichier .ggt qui contient la macro arc_born est préparé au préalable. Il est accessible via ce lien. Ce fichier est aussi proposé sous format .html
Les étapes à suivre :
Le lien suivant vous mènera à une vidéo où nous appliquons la démarche décrite par les étapes ci-dessus :
3.2 courbe de Bézier d’ordre 2
3.2.1 Traçage : Méthode 1
Cette méthode consiste à :
Un point $M$ apparaîtra dans la zone de travail. Pour avoir le tracé continu du lieu de point $M$, on cliquera dessus puis sur le curseur t après avoir activé l’outil “Lieu”. Ci-dessous un exemple du résultat obtenu :
Commentaire : l’inconvénient majeur de cette méthode est que le graphique obtenu comme étant un lieu n’est pas exploitable en vue d’autres illustrations. Pour cela, on préfère à cette $\text{méthode}\, 1$ la $\text{méthode}\, 2$ que nous présentons ci-dessous.
3.2.2 Traçage : Méthode 2
Idée de la méthode : cette $2^{\text{ème}}$ méthode est le résultat de l’application de la commande Courbe(<Expression $e_1 $>, <Expression $e_2$>, <Variable t >, <de a>, <à b>) qui permet de représenter une courbe plane paramétrée.
Une telle courbe est considérée comme étant un ensemble de points dont l’abscisse et l’ordonnée sont deux fonctions du paramètre t.
Étapes à suivre
Une macro construction sous formats .ggt et .html clés en main
Travail à faire | Icône |
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* activer l’icône qui se trouve à l’extrémité droite de la barre d’outils (image ci-contre) * faire 3 clics dans la zone du travail (pour régénérer les 3 points de contrôle) |
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Ci-dessous une image du graphique obtenu à partir du fichier .html :
3.2.3 Tangente à une courbe de Bézier d’ordre 2 en l’un de ces points
$1^{\text{er}}$cas : le point de tangence est l’une des extrémités
Autres procédés : pour tracer la tangente en l’une des extrémités, il est aussi possible
$2^{\text{ème}}$ cas : le point de tangence n’est pas l’une des extrémités
Le lien suivant vous mènera à une vidéo qui illustre les étapes à suivre pour construire une tangente à partir du fichier .ggt élaboré :
Le fichier .ggt qui contient les outils de construction de la courbe de Bézier d’ordre 2 ainsi que la tangente en l’un de ses points est accessible via ce lien :
Remarque : En plus de son format .ggt, ce fichier s’y trouve sous format .html. À ces deux fichiers est ajoutée une vidéo où nous avons détaillé les étapes de la construction.
3.3 courbe de Bézier d’ordre 3
3.3.1 Traçage : Méthode 1
Cette méthode consiste à :
Un point $M$ apparaîtra dans la zone de travail. Pour avoir le tracé continu du lieu de point $M$, on cliquera dessus puis sur le curseur t après avoir activé l’outil “Lieu”. Ci-dessous un exemple du résultat obtenu :
Le commentaire déjà signalé concernant la méthode1 de la courbe d’ordre 2 reste valable. (sous-sous-section 3.1.1)
3.3.2 Traçage : Méthode 2 : cette méthode repose sur la même idée que la méthode 2 de la courbe d’ordre 2 (sous-sous-section 3.1.2)
Étapes à suivre
$Courbe((1-t)^{3}x(A) + 3(1-t)^{2}tx(B) + 3(1-t)t^{2}x(C) +t^{3}x(D)\, ,\\ (1-t)^{3}y(A) + 3(1-t)^{2}ty(B) + 3(1-t)t^{2}y(C) +t^{3}y(D)\, , \, t \, , \, 0 \, , \,1)$
Une macro construction sous formats .ggt et .html clés en main
Travail à faire | Icône |
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* activer l’icône qui se trouve à l’extrémité droite de la barre d’outils (Image ci-contre) * faire 4 clics dans la zone du travail (pour régénérer les 4 points de contrôle) |
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Ci-dessous une image du graphique obtenu à partir du fichier .html :
3.3.3 Tangente à une courbe de Bézier d’ordre 3 en l’un de ces points
$1^{\text{er}}$ cas : le point de tangence est l’une des extrémités
On adoptera les mêmes étapes fixées à la sous-sous-section 3.1.3 à propos de la courbe d’ordre 2 ($1^{\text{er}}$ cas). On tiendra compte du fait que dans cette situation, on a quatre points de contrôle et non plus trois.
$2^{\text{ème}}$ cas : le point de tangence n’est pas l’une des extrémités
Le lien suivant vous mènera à une vidéo qui illustre les étapes à suivre pour construire une tangente à partir du fichier .ggt élaboré d’avance :
Le fichier .ggt qui contient les outils de construction de la courbe de Bézier d’ordre 3 ainsi que la tangente en l’un de ses points est accessible via ce lien :
Remarque : En plus de son format .ggt, ce fichier s’y trouve sous format .html. À ces deux fichiers est ajoutée une vidéo où nous avons détaillé les étapes de la construction.
3.3.4 Arc en une extrémité d’une courbe : point exclu
À ce propos, nous n’avons rien à ajouter à ce qui était dit à la sous-sous-section 3.1.4 concernant la courbe d’ordre 2 : c’est seulement la nature de la courbe qui change. On rappelle juste les adresses des liens qui s’y rapportent :
http://mongeogebra.com/ggbg/2018/12/10/macro-arc-extrem-courbe-pnt-exclu/
et
https://youtu.be/7KykYdJNStE
3.4 Barre d’outils personnalisée pour GeoGebra
Dans cette sous-section, on présente un fichier GeoGebra dans lequel on a intégré les quatre outils qu’on a précédemment confectionnés. Chacun de ces outils est directement accessibles via une icône figurant sur la barre d’outils de ce fichier (du côté droit) (voir l’image ci-dessous) :
Une vidéo qui explique la manière de profiter de ce fichier :
Ce fichier est proposé sous formats .ggb et .html à cette adresse :
4.1 L’exemple 1
Étapes à suivre
Résultat obtenu :
L’exemple 2
Étapes à suivre
Résultat obtenu :
Commentaires
[1] Cet article tient compte des programmes tunisiens, du profil de l’enseignant (des mathématiques) tunisien et des compétences d’un élève tunisien en TICE, en algorithmie et programmation sans que cela signifie que les enseignants français ne peuvent pas en tirer parti (ne serait-ce qu’au niveau BTS).
[2] page 42, Term S Spécialité, NATHAN, Août 1994