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Pavage des surfaces 3D
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Mis en ligne le 8 janvier 2013, par Dominique Ribault

Cet article est la suite de Mathématiques, pavages et création artistique paru précédemment dans MathémaTICE. Il est vivement conseillé d’en prendre connaissance pour profiter au mieux de ce qui suit.

PAVAGE DE LA SPHERE

Pour les pavages sur des réseaux de polygones réguliers concentriques ou de spirales logarithmiques, les éléphants se déplaçant dans une même direction sont semblables entre eux.

Par contre deux éléphants qui se déplaçaient dans des directions différentes dans le plan ne sont plus semblables sur les réseaux de polygones concentriques, au sens mathématique, mais sont seulement de forme particulièrement proche. Ils héritent, en quelque sorte, des propriétés qu’ils avaient dans le plan, par exemple les centres de rotations d’ordre 3 liés aux trompes semblent induire des similitudes, ce sont des trompe l’œil.

Le pavage de la sphère peut se faire de plusieurs façons qui n’auront pas toutes le même intérêt esthétique. La liste suivante n’est pas exhaustive mais correspond à ma démarche. Le premier point correspond à un pavage de la sphère a partir d’une partie d’aire finie du plan, les autres à partir d’une partie d’aire infinie.

  • Pavage régulier de la sphère en utilisant les polyèdres platoniciens.
  • Pavage de la sphère en utilisant les représentations cartographiques.
  • Pavage de la sphère en optimisant la similitude entre les éléphants.

1. Pavage Fini

Pavage régulier de la sphère à partir de l’icosaèdre.
Les polyèdres réguliers convexes peuvent être utilisés pour paver régulièrement la sphère. Pour des raisons esthétiques, il vaut mieux utiliser l’icosaèdre car il contient le plus grand nombre de faces et minimise les déformations dues au recouvrement de la sphère.
Il suffit de remplacer une face du polyèdre par un domaine fondamental convenable et de faire agir le groupe polyédrique correspondant. Pour l’icosaèdre, on peut utiliser un domaine fondamental associé au groupe cristallographique P6. Dans la pratique, il n’y a que peu de groupes cristallographiques qui peuvent s’associer à des groupes polyédriques.
Les 60 singes qui pavent la sphère sont tous isométriques. Les rotations d’ordre 6 dans le plan ont été remplacées par des rotations d’ordre 5 sur la sphère ce qui induit une coloration différente.

2. Pavage infini

La sphère qui a une aire finie va être recouverte par une partie d’aire infinie du plan et contiendra donc un nombre infini d’éléphants. Pour qu’ils logent tous sur la sphère sans qu’il y ai de vide ou de chevauchements, il faut que leur taille diminue régulièrement et que la somme de leurs aires converge vers l’aire de la sphère.
Les représentations cartographiques
La projection stéréographique est une bijection de la sphère privée d’un pôle avec le plan, elle a l’avantage de conserver les angles et est couramment utilisée pour représenter les cartes géographiques. Sa bijection réciproque conserve aussi les angles mais cela n’est pas suffisant pour paver la sphère, le problème est que les rapports de distances ne sont pas conservés et les éléphants s’aplatissent lorsqu’ils se rapprochent des pôles.

Paramétrage de la sphère pour optimiser la similitude entre les éléphants
L’idée est de recouvrir la sphère par des quadrilatères ressemblant à des carrés. Il ne s’agit pas de carrés au sens propre car les côtés ne sont pas des segments mais des arcs et seulement 3 sont de même longueur. Pour le paramétrage, on quadrille une partie du plan par des carrés et on les applique à la sphère.

Etape 1 on partage régulièrement l’équateur en n arcs.
Etape 2 On reporte la longueur d’un arc sur les méridiens. On obtient un premier parallèle. Les quadrilatères entre l’équateur et le premier parallèle sont d’autant plus proche de carré que n est grand.
Etape 3 On construit successivement les parallèles jusqu’à s’approcher du pôle nord puis on procède par symétrie pour le pôle sud.

Lorsque la partie du plan quadrillée est une bande verticale de 27 éléphants de large on obtient un pavage de la sphère par des cercles d’éléphants. Certains ont été effaces pour mieux visualiser les cercles et voir l’intérieur de la sphère.

Pour obtenir un pavage de la sphère par une ou plusieurs spirales il faut, comme pour le passage d’un réseau de polygones réguliers concentriques a un réseau de spirales logarithmiques, introduire un léger décalage des éléphants afin qu’ils se recollent après un ou plusieurs tours. Là aussi, certains éléphants ont été effaces pour mieux visualiser les cercles et voir l’intérieur de la sphère.

PAVAGE DES NOEUDS

La démarche consiste à paver un tube et à le courber selon un solénoïde torique. En infographie cela revient à faire un « loft » à partir d’un cercle sur un solénoïde torique.

Annexe : quelque informations complémentaires

- Pour les cours en ligne sur les pavages on peut utiliser http://xavier.hubaut.info/coursmath... ou encore http://xavier.hubaut.info/coursmath....
- Les cours sur les pavages en littérature française sont ( a mon sens) obsolètes du fait qu’ils utilisent seulement les groupes cristallographiques (algèbre) et pas les arcs frontières (topologie).
Les résultats de Heesch puis de Hubaut sont passés inaperçus depuis près de 50 ans alors qu’ils permettent de tracer tous les pavages réguliers du plan avec un algorithme très simple comme celui de l’éléphant. Et cela n’était pas possible dans le système cristallographique a cause des groupes PG et PGG. J’avais préparé (en 2006) un livre sur cette nouvelle approche des pavages avec les 19 algorithmes de tracés mais je n’ai pas trouvé d’éditeur...
- A propos de l’inversion, on pourra consulter http://xavier.hubaut.info/coursmath.... Les éléphants sont davantage déformés avec ce type de transformation, car elle conserve seulement les angles et pas les rapports de distances.
- Il y a un excellent logiciel canadien en anglais (gratuit pour l’utilisation mais payant pour les sauvegardes de fichiers) qui permet de tracer tous les pavages de Heesch (sauf ceux ayant un axe de symétrie). Le principe de classification de Heesch y est expliqué mais en anglais. http://www.peda.com/tess/
- A propos de Heesch voir aussi : http://www.math.unicaen.fr/~belling...


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