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L’héritage astronomique des mathématiques

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Mis en ligne le 27 avril 2021, par Bernard Ycart

Raconter l’histoire de l’utilisation des mathématiques en astronomie c’est pratiquement raconter l’histoire de l’astronomie elle-même. Réciproquement, une grande partie des mathématiques est issue de l’interaction entre les deux disciplines. Les domaines mathématiques dans lesquels l’inspiration astronomique s’est révélée particulièrement fertile, sont décrits ici. Plus de détails sont donnés dans le chapitre Astronomie du site Histoires de Mathématiques. Pour l’utilisation de l’astronomie dans l’enseignement, voir l’excellente série d’articles de David Crespil.

N.D.L.R L’article qui suit est une seconde partie de l’article Astrologie, astronomie et mathématiques : l’histoire partagée

Introduction

Le fait que les mathématiques soient nécessaires à la pratique de l’astronomie, n’était pas perçu comme une évidence par Socrate, qui est pourtant contemporain de l’explosion des mathématiques grecques. Le témoignage qui suit n’est pas rapporté par Platon, mais par un autre de ses élèves, Xénophon.

[Socrate] recommandait d’apprendre assez d’astrologie, pour reconnaître les divisions de la nuit, du mois et de l’année, en cas de voyage, de navigation ou de garde, et afin d’avoir des points de repère pour tout ce qui se fait la nuit, dans le mois ou dans l’année, grâce à la connaissance du temps affecté à ces divisions ; il ajoutait qu’il était facile d’apprendre ces points auprès des chasseurs de nuit, des pilotes, de tous les gens enfin qui ont intérêt à le savoir. Quant à l’astronomie et aux recherches qui concernent les globes placés en dehors de la rotation de notre ciel, à savoir les astres errants et sans règle, leur distance de la Terre, leurs révolutions et les causes de leur formation, il en dissuadait fortement, disant qu’il n’y voyait aucune utilité. Cependant il n’était point étranger à ces connaissances ; mais il répétait qu’elles étaient faites pour consumer la vie de l’homme et le détourner d’une foule d’études utiles.

Pour une fois, l’histoire a donné tort à Socrate. Son héritier Platon a fortement incité ses contemporains à la mathématisation de l’astronomie qu’il a incluse dans le quadrivium. Son programme était même, à l’opposé de celui de Socrate, résolument théorique.

Nous étudierons l’astronomie comme la géométrie, à l’aide de problèmes, et nous laisserons les phénomènes du ciel, si nous voulons saisir vraiment cette science, et rendre utile la partie intelligente de notre âme, d’inutile qu’elle était auparavant.

Pendant plus de vingt siècles, les successeurs de Platon ont développé, et surtout enseigné, l’astronomie en même temps que les mathématiques. Bien sûr, on en retrouve les traces dans l’histoire de chacune des deux disciplines. En un sens, les deux histoires sont même indissociables, puisque les acteurs étaient les mêmes ; et il serait passablement vain de prétendre recenser les apports mathématiques en astronomie, comme à l’inverse les intrusions de l’astronomie en mathématique. À ma connaissance, dans tous les domaines des mathématiques, à un moment ou un autre, des applications ont pu être trouvées à l’astronomie, ne fût-ce que de manière marginale.

Nous allons plutôt nous intéresser à l’héritage durable, légué par l’astronomie aux mathématiques : de quels domaines actuels peut-on dire qu’ils sont nés ou au moins ont été en grande partie développés, pour, ou à cause de l’astronomie ? Nous parcourrons successivement l’arithmétique, la géométrie, l’algèbre, l’analyse, le calcul numérique et la statistique, non sans rappeler que ce découpage en sous-disciplines est totalement anachronique. Il n’aurait eu aucun sens pour nos prédécesseurs qui, jusqu’au dix-neuvième siècle s’intitulaient « Philosophes » ou « Géomètres », ce qui incluait le plus souvent leur activité d’astronome. Écoutez Jean-Sylvain Bailly, dans son Histoire de l’astronomie (1785).

Un astronome, pour être habile, a besoin d’être géomètre ; un géomètre, pour s’exercer sur de grands objets, doit avoir les connaissances d’un astronome […] Astronome dans l’observatoire, géomètre dans le cabinet, c’est toujours le même homme qui observe et qui médite, qui applique au ciel ou ses sens ou sa pensée.

Arithmétique

Le jour, le mois lunaire, l’année, autant d’unités qui, sous toutes les civilisations, ont servi de base pour des cycles calendaires, cycles à partir desquels la notion de congruence émerge tout naturellement. Plus de mille ans avant notre ère, les Mésopotamiens disposaient de suffisamment d’observations enregistrées, pour y avoir remarqué l’apparition de configurations récurrentes de la Lune et du Soleil, tous les 223 mois. C’est le cycle du Saros, qui leur permettait de prévoir les éclipses, une compétence cruciale pour leur astrologie. Depuis très longtemps, les Chinois basent leur calendrier sur des cycles emboîtés de 10 et 12 jours, de 235 mois, 76 ans, et tout à l’avenant. Ce sont les Indiens qui ont poussé le plus loin la logique arithmétique en astronomie.

Les mathématiques indiennes vivaient, depuis plusieurs siècles avant notre ère, sous un double impératif. D’une part, la religion prescrivait quantité de cérémonies dont l’exécution, aussi bien que la date, répondaient à des règles extrêmement précises. D’autre part, la croyance en l’influence des astres sur la vie courante était profondément ancrée. Il ne serait venu à l’idée de personne de programmer un mariage, un voyage, ou n’importe quelle action de la vie courante, sans consulter auparavant les augures, eux-mêmes calculés en fonction de la position des astres. Un des outils fondamentaux de l’astronomie indienne est la réduction des mouvements des planètes à une mesure commune de temps. L’idée est de fixer une période telle qu’à l’instant zéro, les cinq planètes, le Soleil et la Lune se soient trouvés au même endroit par rapport à la Terre. La période choisie par Aryabhata (476—550) est le mahayuga, qui vaut quatre millions trois cent vingt mille années sidérales solaires. Un siècle plus tard, Brahmagupta (598—670) estime que les calculs d’Aryabhata ne sont pas assez précis. Il ajoute trois chiffres, pour une unité de mille mahayugas qu’il appelle le kalpa ; quatre milliards trois cent vingt millions d’années. Il faut croire que les calculs de Brahmagupta étaient satisfaisants, puisque Bhaskaracharya (1114—1185) les valide encore cinq siècles plus tard. Juste pour vous en donner une idée, le nombre de révolutions de Mercure dans un kalpa, pour Brahmagupta et ses successeurs, est de 17 936 998 984. Ayant ainsi ramené toutes les positions d’astres à des nombres entiers, si grands soient-ils, n’importe quel problème d’astronomie impliquait la résolution de ce que nous appelons une équation diophantienne. L’outil de base était le kuttaka, que l’on traduit par « pulvérisateur ». Il s’agit d’un algorithme de résolution pour les équations diophantiennes linéaires. L’équivalent pour nous est l’algorithme d’Euclide (étendu) par lequel nous calculons les coefficients d’une identité de Bézout. Voici trois énoncés extraits du Brahma-sphuta-siddhanta (628) par Brahmagupta.

Déduis le nombre de jours du résidu des révolutions du Soleil et des autres, en donnant le pulvérisateur constant, toi mathématicien habile qui as traversé l’océan du pulvérisateur.

Celui qui dit quand un reste donné de révolutions du Soleil se produit un lundi, ou un mardi, ou un mercredi, a la connaissance du pulvérisateur.

Une personne, qui peut dire quand un reste en degrés ou en secondes, qui se produit un mercredi, se produira aussi un lundi, s’y connaît en pulvérisateur.

Il va sans dire que résoudre des équations diophantiennes avec des nombres aussi énormes que les nombres de révolution dans un kalpa, nécessite des capacités de calcul qui ne sont pas à la portée d’un débutant. En bons pédagogues, les mathématiciens indiens commencent toujours par présenter dans leurs manuels, des équations en nombres entiers beaucoup plus petits, avec des motivations moins austères que les positions de planètes. Voici une situation bucolique, proposée par Mahavira (neuvième siècle).

À l’orée lumineuse et rafraichissante d’une forêt, il y avait de nombreux arbres, dont les branches ployaient sous le poids des fleurs et des fruits ; des arbres tels que des jambus, des bananiers plantains, des grenadiers et des manguiers. Les différentes parties de la forêt bruissaient des chants des perroquets et des coucous que l’on trouvait près de sources ornées de lotus environnés d’abeilles vrombissantes.

Une fois planté ce décor idyllique, Mahavira le rentabilise par une bonne vingtaine d’exercices. Par exemple :

Sur le chemin, les voyageurs virent des tas de jambus. Deux de ces tas furent partagés entre neuf ascètes en laissant trois fruits de reste. À nouveau trois tas furent partagés entre onze personnes et le reste fut cinq fruits ; ensuite cinq de ces tas furent partagés entre sept et il resta quatre fruits. Ô toi, arithméticien qui connais la signification de la procédure de distribution du pulvérisateur, dis-moi le compte d’un de ces tas.

Vous avez reconnu un problème de restes chinois. Comme pour les autres questions célèbres qui ont accompagné le développement de l’arithmétique, par exemple les cent volailles, et même les équations de Pell-Fermat, la lointaine origine astronomique des problèmes de restes chinois s’est perdue, au fil des siècles et des enseignements. Les énoncés sont passés des Indiens aux Arabes, puis nous ont été transmis par les traductions en latin.

Bien avant ces traductions, des problèmes de congruence se posaient dans la chrétienté, même au temps où les mathématiques traversaient en Europe leur long purgatoire moyen-âgeux. Je veux parler du comput pascal. La date de Pâques est, par définition, « le dimanche qui suit le quatorzième jour de la Lune qui atteint cet âge à l’équinoxe de printemps ou après ». Cette définition implique trois cycles : hebdomadaire (dimanche), lunaire (quatorzième jour), solaire (équinoxe de printemps). Pendant longtemps, le calcul de la date de Pâques pour une année donnée a posé des problèmes difficiles, devenus encore plus ardus après le passage au calendrier grégorien, en 1582. Jusqu’à ce que Gauss note dans son journal, à la date du 16 mai 1800 : « Nous avons fort élégamment résolu le problème de la chronologie de la fête de Pâques ». Effectivement, le calcul arithmétique inventé par Gauss, est un bijou de concision et d’astuce, qui peut encore servir de modèle d’algorithme.

Géométrie

Que la géométrie sphérique soit directement issue de l’astronomie, ne surprendra personne. Les Grecs ont commencé à la développer systématiquement à partir d’Eudoxe. Euclide lui-même, a écrit un livre d’astronomie basé sur la géométrie de la sphère, les Phénomènes. Voici l’illustration, dans un magnifique manuscrit du dixième siècle (Vat. Gr. 204), d’un des théorèmes du livre.

C’est le théorème des cercles tangents. Il affirme que, étant donné un point P entre deux cercles parallèles égaux sur la sphère, il est possible de tracer deux grands cercles tangents aux cercles parallèles et passant par ce point P. Certes, mais pour faire de ce genre de résultat un véritable outil astronomique, il y manquait une quantification. Bien après Euclide, Ératosthène, puis Posidonios proposent des mesures du rayon terrestre, à base de triangles semblables, utilisant des observations astronomiques. C’est probablement à Hipparque qu’est due la première table de cordes, même si la plus ancienne qui nous soit parvenue figure dans l’Almageste de Ptolémée. Le passage de la corde au sinus, qui est la moitié de la corde de l’angle double, a été effectué par les Indiens. Aryabhata disposait déjà d’un moyen très simple de construire une table de sinus de 24 valeurs, qui n’utilise guère que le Théorème de Pythagore.

Ce sont les Arabes qui ont fait de la trigonométrie une science mathématique à part entière. L’outil de base dans les calculs de Ptolémée était le théorème de Ménélaos, illustré ci-dessous dans une traduction du treizième siècle.

À cette époque, la trigonométrie, dont l’élaboration avait commencé à la Maison de la Sagesse avec Ibn Qurra, était pratiquement achevée. Le théorème de Ménélaos avait été supplanté par la formule des sinus, et les principales formules de trigonométrie avaient été trouvées. Écoutez al-Tusi, dans son Livre sur la figure secteur. Il ne semble pas accorder beaucoup d’importance aux listes de formules.

En définitive, la personne intelligente qui se sera bien pénétrée des démonstrations saura toujours beaucoup plus facilement retrouver les procédés de ce calcul qu’elle ne saurait servilement retenir ces formules.

Bien avant que ne se développent la géométrie sphérique et la trigonométrie, Platon avait déjà proposé les cinq polyèdres réguliers comme modèle cosmologique, en associant le feu, la terre, l’air, le cosmos, et l’eau, au tétraèdre, au cube, à l’octaèdre, au dodécaèdre et à l’icosaèdre respectivement. Son respect immense pour l’œuvre de Platon a sans doute poussé Kepler, vingt siècles plus tard, à proposer un modèle expliquant les dimensions et les distances des planètes par des polyèdres emboîtés. L’illustration ci-dessous est extraite de sa Cosmographie, datée de 1596, alors qu’il avait 25 ans.

Vingt-trois ans plus tard, après avoir trouvé ses fameuses lois, que nous considérons toujours comme un exploit majeur, Kepler persiste et signe. Le cinquième livre des Harmonies du monde (1619) commence par un chapitre sur les polyèdres réguliers, où il reprend sa théorie sur les orbites planétaires. Pour farfelue qu’elle nous paraisse désormais, il n’est pas exclu qu’elle l’ait guidé sur la bonne voie. Cela ne constitue pas vraiment un héritage astronomique en mathématiques. Pourtant, grâce à Platon, Kepler et d’autres, les polyèdres réguliers ont participé à l’émergence de deux domaines des mathématiques, nés au dix-neuvième : la topologie et la théorie des groupes.

Même si elle en est la conséquence la plus voyante, la géométrie sphérique n’est pas le seul héritage de l’astronomie en géométrie. Des notions de projection sont évidemment à l’œuvre, tant dans la conception d’un astrolabe que d’un cadran solaire. Sous le nom de gnomonique, la théorie des cadrans solaires a été un domaine mathématique, enseigné au moins jusqu’au dix-huitième siècle. Elle est une des premières applications que Desargues a donné de sa géométrie projective.

Les expéditions géodésiques du dix-huitième siècle, ont définitivement validé la conjecture de Newton : la Terre n’est pas une sphère, mais un ellipsoïde aplati au pôle. Il convenait donc d’en tirer les conséquences dans les calculs de triangulations. La géométrie des surfaces courbes, initiée par Legendre, puis Gauss, et développée par Riemann, en est issue. Rappelons que Gauss, en tant que directeur de l’observatoire de Göttingen, a lui-même mené à bien des opérations de triangulation. Il ne fait pas de doute que son expérience a alimenté sa réflexion sur la somme des angles d’un triangle, qui l’a conduit à envisager avant tout le monde l’existence des géométries non-euclidiennes. Il est probable également que Lobatchevski, qui a dirigé l’observatoire de Kazan, a mobilisé ses connaissances astronomiques, lors de l’élaboration de sa géométrie hyperbolique.

Algèbre

La théorie des équations a deux sources clairement identifiées. D’une part les équations diophantiennes, dont nous avons déjà évoqué l’origine astronomique, d’autre part les découpages de figures. Ces derniers sont probablement issus des partages de terres agricoles, et non de l’astronomie. Pourtant, une autre composante de l’algèbre moderne a une connexion historique avec l’astronomie. Il s’agit de l’algèbre linéaire.

Le calcul vectoriel a deux origines historiques : la notion de force en mécanique, et la représentation géométrique des nombres complexes. Certes, on retrouve la règle du parallélogramme pour la composition des forces dans les Principia de Newton. Il ne faut pas en conclure qu’elle découle de l’astronomie. Un siècle avant Newton, Stevin manipulait déjà des équilibres de forces, sans les relier à la mécanique céleste. La représentation géométrique des complexes provient, entre autres, de l’interprétation d’une moyenne géométrique, qui a permis de comprendre le rapport entre la racine carrée d’un nombre négatif et l’orthogonalité. Reste que le premier mémoire décrivant la représentation géométrique des complexes, celui de Caspar Wessel (1745—1818), a pour titre complet : « Essai sur la représentation analytique de la direction, avec des applications, en particulier à la détermination des polygones plans et des polygones sphériques ». Que Wessel ait accordé une telle importance aux applications géodésiques n’est pas étonnant, compte tenu de sa profession : il était qualifié d’« arpenteur », et employé à la triangulation et à la cartographie du Danemark.

S’agissant de profession, nous avons évoqué précédemment deux directeurs d’observatoires : Gauss et Lobatchevski. D’autres ont laissé un nom en mathématiques : Bessel (1784—1846) à l’observatoire de Königsberg, Airy (1801—1892) à celui de Greenwich, Le Verrier (1811—1877) à celui de Paris… Celui que nous évoquons maintenant est William Rowan Hamilton (1805—1865). À 21 ans, avant même d’avoir terminé ses études, il avait été nommé Professeur d’Astronomie au Trinity College de Dublin, poste qui allait de pair avec le titre de Royal Astronomer of Ireland et une résidence de fonction à l’observatoire de Dunsink, dans la banlieue de Dublin. Il a occupé ce poste et ce logement jusqu’à son décès, 39 ans plus tard.

Il n’est donc pas surprenant de retrouver des traces astronomiques dans l’œuvre mathématique de Hamilton. Mais peut-on dire pour autant que l’astronomie en ait été la principale source d’inspiration ? Du propre aveu de Hamilton, les quaternions sont issus de sa tentative d’étendre aux triplets de réels, la représentation géométrique des complexes. Cependant, on retrouve dans ses Lectures on Quaternions (1853), de nombreuses références à l’astronomie. En fait, dès 1845, Hamilton décrivait « des méthodes pour exprimer par les quaternions, l’attraction du Soleil sur la Terre, et la force perturbatrice du Soleil sur la Lune, ou bien une planète supérieure ou inférieure ». Mais il s’agissait plus d’appliquer sa théorie à l’astronomie, que d’en revendiquer l’inspiration.

La théorie qui, plutôt que les quaternions, est finalement passée à la postérité, est celle de Hermann Grassmann (1809—1877). Son Ausdehnungslehre (Théorie de l’extension) est parue en 1844, dans l’indifférence générale. Elle avait un antécédent. Le 28 février 1839, Grassmann écrivait à la commission d’examen de Berlin pour que soient évaluées ses connaissances, afin qu’il puisse « candidater sur un poste d’enseignant en mathématiques et physique ». Le 4 mars, le professeur chargé des mathématiques dans la commission transmettait la candidature avec une note : « sujet pour mathématiques et physique : la théorie des marées ». Le 20 avril 1840, Grassmann rendait sa copie : Theorie der Ebbe und Flut (Théorie du flux et du reflux). Après un historique du sujet, Grassmann décrit ses outils, en commençant par la somme de deux vecteurs.

Pour exprimer de manière plus simple les calculs de Laplace dans sa Mécanique céleste, Grassmann avait développé sa propre technique, qui allait devenir notre calcul vectoriel.

Analyse

Les antécédents de la notion de fonction sont souvent liés à l’astronomie. Dans beaucoup de civilisations, et en particulier pour les Mésopotamiens, les mouvements apparents des astres ont fourni le premier exemple de correspondance entre grandeurs continues. Pour décrire ces correspondances, les astronomes de Babylone avaient déjà mis au point un outil, que l’on peut voir comme l’ancêtre de l’interpolation. Nous avons précédemment évoqué la trigonométrie, qui a longtemps fourni au travers des tables, la concrétisation d’une correspondance fonctionnelle. Pour autant, notre notion de fonction trigonométrique ne date guère que du dix-neuvième siècle. Reste que le sinus, la tangente, leurs réciproques, sont les premières fonctions avec l’exponentielle et le logarithme a avoir été développées en série entière. Deux siècles avant les européens, Madhava de Sangramagrama avait fondé une école d’astronomie dans l’état du Kerala, au sud de l’Inde. On doit à cette école des approximations du sinus et du cosinus qui correspondent à nos développements limités, ainsi que la description du développement en série de arc tangente.

La genèse de l’analyse infinitésimale en Europe a occupé les mathématiciens pendant presque tout le dix-septième siècle. Elle se rattache aux héritages grec et arabe par les quadratures d’Archimède et les coniques d’Apollonius. Mais on ne peut pas dire qu’elle ait été directement motivée par l’astronomie. Les Philosophiæ naturalis Principia mathematica de Newton, en 1687, provoquent un changement de paradigme. Il suffit de citer le début de l’épitaphe gravée sur le tombeau de Newton à l’abbaye de Westminster, pour mesurer sa prouesse.

Ci-gît Isaac Newton, chevalier, qui par une force d’esprit proprement divine, éclairé par ses mathématiques, a démontré le premier le cours et la forme des planètes, la trajectoire des comètes et les marées de l’océan.

L’exploit de Newton était donc principalement astronomique, et accessoirement mathématique. Après les Principia, l’analyse mathématique sera guidée, pour au moins deux siècles, par l’astronomie. Son histoire se confond désormais avec celle des équations différentielles, magnifiquement retracée par Dominique Tournès dans sa thèse. Outre l’astronomie, on ne peut pas oublier le rôle des autres grands problèmes de physique qui ont accompagné le développement des équations différentielles, en particulier au dix-huitième siècle : cordes vibrantes, mécanique des fluides, propagation de la chaleur. Reste que la grande affaire des successeurs de Newton a été le Système du Monde. Comme l’a dit Poincaré : « Le but final de la Mécanique céleste est de résoudre cette grande question de savoir si la loi de Newton explique à elle seule tous les phénomènes astronomiques ». La difficulté principale est appelée problème des trois corps. Écoutez Laplace le décrire dans Le Système du monde, en 1796.

Si les planètes n’obéissaient qu’à l’action du soleil, elles décriraient autour de lui, des orbes elliptiques ; mais elles agissent les unes sur les autres ; elles agissent également sur le Soleil, et de ces attractions diverses, il résulte dans leurs mouvements elliptiques, des perturbations que les observations font entrevoir, et qu’il est nécessaire de déterminer, pour avoir des tables exactes des mouvements planétaires. La solution rigoureuse de ce problème, surpasse les moyens actuels de l’analyse, et nous sommes forcés de recourir aux approximations.

Un siècle plus tard, Poincaré ne pouvait que répéter le même constat, dans Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste (1892).

Le problème des trois corps a une telle importance pour l’Astronomie, et il est en même temps si difficile, que tous les efforts des géomètres ont été depuis longtemps dirigés de ce côté. Une intégration complète et rigoureuse étant manifestement impossible, c’est aux procédés d’approximation que l’on a dû faire appel.

Le problème a été identifié dans les années 1740, quand une intense compétition a opposé Euler, d’Alembert et Clairaut. Plus tard, Lagrange, et surtout Laplace ont pris la relève. La prédiction correcte du retour de la comète de Halley en 1759 a couronné les travaux de Clairaut, aidé de Lalande et Nicole-Reine Lepaute. Les autres grands thèmes de recherche étaient la prédiction du mouvement de la Lune et des satellites de Jupiter, ainsi que la stabilité du système solaire. Ce dernier problème a été l’occasion d’une des premières occurrences de la notion de valeur propre, longtemps avant que l’on ne parle de matrice ou d’endomorphisme.

Des efforts répétés pour comprendre le problème des trois corps, nous avons hérité d’une part les systèmes dynamiques et la théorie du chaos, issue des travaux de Poincaré, d’autre part les méthodes d’approximation, en analyse numérique.

Calcul numérique

Écoutez John Napier en 1614. Ce sont les premières lignes de sa Mirifici logarithmorum canonis descriptio. Il s’adresse à nous tous.

Mes très chers étudiants en mathématiques. Il n’y a rien de plus problématique pour la pratique des mathématiques, rien qui n’ennuie et n’entrave plus les calculateurs, que les multiplications, les divisions, les extractions de racines carrées ou cubiques de grand nombres, qui à part la perte de temps fastidieuse, sont sujettes à de multiples erreurs insaisissables. En constatant cela, je commençai à contempler dans mon esprit, par quelle méthode certaine et facile je pourrais supprimer ces entraves.

Ce que Napier exprime là, a motivé l’invention de chaque outil de calcul, qu’il soit mécanique ou algorithmique. Le calcul humain est chronophage et peu fiable. Il faut donc l’automatiser. Quel rapport avec l’astronomie ? Ce n’est pas d’aujourd’hui que l’adjectif astronomique, est synonyme de gigantesque quand il s’applique aux calculs. Napier avait parfaitement compris que l’usage de ses logarithmes pouvait accélérer les calculs en astronomie, et les rendre plus exacts. Il le dit dans le sous-titre, par l’« usage en trigonométrie », et y revient longuement dans le texte.

De fait, dès 1619, Kepler exprimait sa reconnaissance à « l’illustre et généreux John Napier, Baron de Merchiston, écossais ». Dans son Système du monde, Laplace dira de Kepler :

Il eut, dans ses dernières années, l’avantage de voir naître et de profiter de la découverte des logarithmes, artifice admirable, dû à Neper, baron écossais ; et qui, en réduisant à quelques heures le travail de plusieurs mois, double, si l’on peut ainsi dire, la vie des astronomes, et leur épargne les erreurs et les dégoûts inséparables des longs calculs.

Les logarithmes ont permis à Kepler de découvrir sa troisième loi, et de calculer ses Tables rudolphines. Ils ont définitivement réorienté la trigonométrie, vers des formules adaptées au calcul logarithmique. Mais ils sont loin d’être le seul outil du genre.

Au vu des exploits « proprement divins » qu’ont été la gravitation universelle et l’analyse infinitésimale, on oublie parfois que Newton était avant tout, à ses propres yeux, un calculateur compulsif. « J’ai honte d’avouer jusqu’à combien de décimales j’ai poussé ces calculs quand j’en avais le loisir, car, en fait, je prenais trop de plaisir à ces recherches en ce temps-là » a-t-il écrit. Il avait inventé pour cela ses propres méthodes, tellement efficaces d’ailleurs, que nous les utilisons toujours. On ne peut certes pas dire que l’astronomie ait été la seule, ni même la principale, motivation de Newton pour inventer des algorithmes numériques. Prenons l’exemple de l’algorithme des différences divisées, optimal pour calculer un grand nombre de valeurs d’un polynôme. Pendant deux siècles et demi, il est resté la seule méthode de calcul des tables numériques. C’est ce qui a motivé Babbage pour concevoir sa Machine aux différences. Dès le 3 juillet 1822, Babbage rendait publique une lettre adressée à Sir Humphry Davy, président de la Royal Society, dans laquelle il décrivait « une machine pour calculer des tables astronomiques, nautiques, et autres, par le moyen de la méthode des différences ». À propos de machine, rappelons que le premier outil de calcul analogique a probablement été celui d’Archimède, dont il nous est resté la machine d’Anticythere. Elle reproduisait par des engrenages, un modèle du système solaire, et pouvait prédire les mouvements des planètes ainsi que les éclipses.

Nous l’avons déjà vu, les efforts pour résoudre le problème des trois corps ont débouché sur un constat d’échec : l’impossibilité d’espérer mieux que des solutions approchées des équations différentielles. Dès 1796, Laplace remarquait :

C’est principalement dans l’application de l’analyse au système du monde que l’on a besoin de méthodes simples et convergentes, pour intégrer par approximation les équations différentielles ; celles du mouvement des corps célestes se présentent en effet sous une forme si compliquée, qu’elles ne laissent aucun espoir de réussir jamais à les intégrer rigoureusement.

Pendant tout le dix-neuvième siècle, l’algorithme favori des astronomes, pour estimer les trajectoires des astres à partir d’observations est la méthode des moindres carrés. Sa paternité est partagée entre Gauss et Legendre, à la grande colère du second. Les titres des ouvrages disent assez quelle en était la motivation : « Théorie du mouvement des corps célestes parcourant des sections coniques autour du soleil » (Gauss, 1809), « Nouvelles méthodes pour la détermination des orbites des comètes » (Legendre, 1805). De ce genre de recherches, la plus grande partie de ce que nous qualifions d’analyse numérique matricielle est issue. Nous n’en donnerons que trois exemples. Le pivot de Gauss, connu des Chinois au début de notre ère, apparaît dans un article de Gauss en 1811 : Recherche sur les éléments de l’ellipse de Pallas. Le cas particulier d’un système dont la matrice est symétrique, avec la démonstration du fait que toutes les valeurs propres sont réelles, vient d’un article de Cauchy en 1829 : Sur l’équation à l’aide de laquelle on détermine des inégalités séculaires des mouvements des planètes. Quant à la méthode de Jacobi pour diagonaliser ces mêmes matrices symétriques, elle est décrite dans un article de 1845, publié dans Astronomische Nachrichten (les nouvelles astronomiques).

Statistique

Dans la « Théorie du mouvement des corps célestes parcourant des sections coniques autour du soleil », cet ouvrage magistral de Gauss que nous avons évoqué plus haut, on ne trouve pas que la méthode des moindres carrés. Raisonnant par condition nécessaire sur la loi de probabilité que doivent vérifier des erreurs de mesure, Gauss établit en quelques pages, non seulement le principe des moindres carrés, mais aussi les propriétés de la loi normale, celle pour laquelle la moyenne des mesures est la valeur la plus probable de la quantité mesurée. Voici ses propres termes.

Le système le plus probable des valeurs des inconnues sera celui dans lequel la somme des carrés des différences entre les valeurs observées et calculées des fonctions est un minimum. Ce principe, qui promet d’être d’un usage très fréquent dans toutes les applications des mathématiques à la philosophie naturelle, doit être considéré comme un axiome, du même droit que la moyenne arithmétique entre plusieurs valeurs observées d’une même quantité est adoptée comme la valeur la plus probable.

Sans doute, Adolphe Quetelet (1796—1874) avait-il le chef-d’œuvre de Gauss à l’esprit, au cours de ses propres recherches. Directeur de l’observatoire de Bruxelles, qu’il avait lui-même organisé, il est surtout connu pour avoir été l’un des premiers à structurer la statistique naissante. Pionnier des méthodes quantitatives pour les sciences humaines, il se laisse aller à un enthousiasme quelque peu optimiste, dans une lettre du 22 août 1834.

On pourra résoudre les grands problèmes des mouvements de population comme ceux des mouvements des corps célestes ; et ce qu’il y a de plus remarquable, c’est l’étonnante analogie qui existe entre les formules qui servent à ces calculs. Je crois avoir réalisé en partie ce que j’ai dit depuis longtemps sur la possibilité de faire une mécanique sociale comme on a une mécanique céleste.

D’autres mathématiciens ont eu pour particularité de partager leur activité entre l’astronomie et les probabilités ou les statistiques. Les deux plus célèbres, sont Laplace (1749—1827) et Poincaré (1854—1912), que nous avons déjà cités. Ils s’opposent radicalement dans les analogies statistiques qu’ils tirent de leur connaissance de la mécanique céleste. Pour Laplace, dans son Essai philosophique sur les probabilités :

La régularité que l’astronomie nous montre dans le mouvement des comètes, a lieu sans aucun doute, dans tous les phénomènes. La courbe décrite par une simple molécule d’air ou de vapeur, est réglée d’une manière aussi certaine, que les orbites planétaires : il n’y a de différences entre elles, que celle qu’y met notre ignorance.

Pour Poincaré au contraire :

Lors même que les lois naturelles n’auraient plus de secret pour nous, nous ne pourrions connaître la situation qu’approximativement. Si cela nous permet de prévoir la situation ultérieure avec la même approximation, c’est tout ce qu’il nous faut, nous disons que le phénomène a été prévu, qu’il est régi par des lois ; mais il n’en est pas toujours ainsi, il peut arriver que de petites différences dans les conditions initiales en engendrent de très grandes dans les phénomènes finaux ; une petite erreur sur les premières produirait une erreur énorme sur les derniers.

À plusieurs reprises, dans son cours de probabilités, Poincaré prend un même exemple : la distribution des petites planètes sur le zodiaque.

Le zodiaque peut être regardé comme une immense roulette sur laquelle le Créateur a lancé un très grand nombre de petites boules, auxquelles il a communiqué des impulsions initiales diverses, variant suivant une loi d’ailleurs quelconque. Leur distribution actuelle est uniforme et indépendante de cette loi.

Dans Science et Méthode en 1908, Poincaré décrit comment, selon lui, astronomie et physique statistique doivent se fertiliser l’une l’autre. Il commence par expliquer comment « la loi des grands nombres, cette loi suprême du hasard […] rétablit une sorte d’ordre moyen où l’esprit peut se reprendre. C’est l’étude de cet ordre moyen qui constitue la théorie cinétique des gaz ». Il étend aussitôt l’analogie.

Aux yeux d’un géant pour qui nos Soleils seraient pour nous nos atomes, la Voie lactée ne semblerait qu’une bulle de gaz. […] Jusqu’à présent, la mécanique céleste ne s’est attaquée qu’au système solaire, ou à quelques systèmes d’étoiles doubles. Devant cet ensemble présenté par la Voie Lactée, ou les amas d’étoiles, ou les nébuleuses résolubles, elle reculait, parce qu’elle n’y voyait que le chaos. Mais la Voie Lactée n’est pas plus compliquée qu’un gaz ; les méthodes statistiques fondées sur le calcul des probabilités applicables à celui-ci, le sont aussi à celle-là.

Certes, mais si les méthodes statistiques se sont avérées utiles aux astronomes, comme le pressentait Poincaré, ce n’est pas un exemple de cet héritage astronomique en mathématiques que nous avons traqué tout au long de cet article. La véritable utilité de l’astronomie, Poincaré l’a trouvée.

L’astronomie est utile, parce qu’elle nous élève au-dessus de nous-mêmes ; elle est utile, parce qu’elle est grande ; elle est utile parce qu’elle est belle.

Que voudriez-vous ajouter à cela ?


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