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Des fonctions d’origine géométrique : Changements de cadres et de registres.
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Mis en ligne le 3 février 2008, par Gérard Kuntz

L’exercice qui suit a été proposé par Michelle Kittel aux élèves de Seconde du Lycée Couffignal à Strasbourg. Il a été ensuite utilisé en formation par Gérard Kuntz. Il en est sorti modifié et enrichi. Il offre d’innombrables changements de cadres et de registres dans l’étude de fonctions d’origine géométriques, définies sans la formulation habituelle f(x)=expression algébrique. L’article cherche à attirer l’attention des lecteurs sur la complexité des images produites. Une forme plus complète, proposée à la fin du texte, démontre ce que l’observation constate et élargit le propos.
Voici l’énoncé du problème :

TROIS DISQUES DANS UN RECTANGLE.

1) Quel est le problème posé ?

ABCD est un rectangle ayant un côté fixe AD=3 cm et un côté variable AB=x cm.

On veut placer trois disques isométriques à l’intérieur de ce rectangle comme sur les deux dessins ci-dessous :

Le but est d’étudier et de comparer l’aire des 3 disques et l’aire restante du rectangle lorsque le côté AB varie.

Expliquez ce qu’on peut trouver à l’aide de Cabri.

REMARQUE.

C’est VOUS qui posez les questions et qui donnez les réponses pour arriver au but !!

Et si les disques n’étaient plus centrés sur la médiatrice de [AB] ?

Un énoncé ramassé.

Le texte est bref. Il n’est pas découpé en questions et sous-questions. Il décrit la situation à l’aide de figures, sans préciser ce qui est évident visuellement. Aucune indication de méthode. Les résultats ne sont pas suggérés. Cette forme d’énoncé est possible car l’outil informatique intelligemment mis en œuvre, fait naître dans l’esprit des élèves des images mentales, des interrogations et des conjectures qui remplacent avantageusement le guidage tatillon des énoncés classiques.

L’élaboration d’une figure est complexe et demande de réelles compétences géométriques. Voici une des constructions possibles, utilisant le théorème de Thalès (les étapes de la construction seront cachées) :

Pour toute la suite, A3D représente l’aire des trois disques (en rouge sur les figures dynamiques à suivre), AR représente l’aire restante (différence entre l’aire du rectangle et de celle des trois disques, en gris). La variable AB du problème évolue sur l’intervalle [0,9]. Le problème revient à résoudre l’équation A3D=AR.

Nous nous contenterons ici d’afficher les figures dynamiques correspondant aux différentes appréhensions du problème, en les commentant.

1°) Cadres géométrique et numérique.

On affiche la variable numérique AB et les « valeurs » de A3D et AR (les commandes longueur et aire des figures élémentaires sont disponibles dans Cabri). En faisant varier I sur le segment [OL], on observe les évolutions relatives de A3D et de AR. Cabri prend en charge le calcul approché des quantités à comparer : nous avons ici des fonctions sans « formules explicites ». Cette approche minimale rend peu commode le travail sur l’équation A3D=AR…

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2°) Tableau et courbes représentatives.

On ajoute alors à ces représentations un tableau de valeurs généré par Cabri et les courbes représentatives de A3D et AR en fonction de AB (par « report de longueurs » sur les axes). On passe alors de l’observation de valeurs numériques à l’intersection de deux courbes. On change de cadre. La densité d’informations liées est considérable sur la figure 2 : son interprétation est très complexe pour les élèves.

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3°) Une restructuration des formes.

L’idée de la figure 3 est simple : on remplace la figure initiale par celle de deux rectangles ayant même aire que celles de la figure initiale. L’usage de la calculatrice de Cabri rend ce remplacement (calcul approché ) très simple à réaliser. Le tracé de la médiatrice de [AB] facilite beaucoup l’observation. Cette idée eut bien du mal à émerger, même avec des collègues aguerris.

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4°) Différence et quotient

Pour comparer deux quantités, on peut étudier leur différence et leur quotient. On trouve une figure qui rappelle la figure 2, mais qui en diffère profondément. Ici, on ne porte pas le regard sur l’intersection des deux courbes, mais sur celle de chacune, respectivement avec l’axe Ox ou la droite (y=1). Nouveau changement de regard complexe et très formateur. On note qu’on a une première approche expérimentale d’une … forme indéterminée « 0/0 »

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5°) Pourquoi trois disques ?

Autre idée simple, donc longue à émerger, le remplacement de la figure par celle d’un rectangle et d’un cercle uniques. On peut alors ramener le problème à la résolution de A1D=AR1 (voir figure dynamique). On peut aussi tracer les courbes de A1D et AR1 (par rapport à AR), puis restituer les courbes de la figure 2 par une homothétie de centre l’origine des axes et de rapport 3 (courbes noires)

figure Cabri - 6.5 ko
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6°) Et si les disques n’étaient plus centrés sur la médiatrice de [AB] ?

On place M sur le segment [OA]. I décrit [ML], dont la longueur dépend de la position de M (pour satisfaire aux hypothèses).

On a donc deux points mobiles, M et I. En les déplaçant, les courbes représentatives de AR et A3D sont recalculées par Cabri. On voit qu’elles ne se coupent plus systématiquement en dehors de l’origine des axes. Il y a bien des choses à observer, à interpréter, à démontrer…

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7°) Et si de plus on faisait varier AB ?

On a la même figure que la précédente, avec les fonctions quotient et différence, mais où A, M, I variables. La construction se complexifie. L’observation devient délicate. C’est une figure à proposer aux élèves les plus vifs et les plus toniques…

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8°) Le partage du plan en régions.

Pour finir, on fait varier A et B et on introduit ainsi deux variables a=AB et b=AD. On étudie les variations de M(a,b) dans le plan. Nous avons choisi de permettre aux 3 disques de sortir du cercle dans cette séquence. On est amené à introduire deux droites qui partagent le plan en 3 régions. Nous laissons au lecteur le soin de prolonger ces lignes (que représentent ces droites ? Comment définir les régions ?)…

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La géométrie dynamique offre des images qui obligent les élèves à faire d’importants efforts d’interprétation pour décrire et comprendre la situation.

Les lecteurs qui souhaitent un texte moins elliptique (avec de nombreuses extensions et les indispensables démonstrations) peuvent prendre connaissance d’un article très détaillé sur cette situation-problème.


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