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Découvrez votre ville avec MathCityMap !

Maths en plein air au Cycle 4 avec MathCityMap
Moteur de recherche
Mis en ligne le 13 décembre 2019, par Alexandre Franquet

Voici les noms des collègues du groupe Numatécol de l’IREM de Lyon, qui ont contribué au travail de recherche, avec cet article comme point d’orgue :
Camille Gibert [1], Vincent Montagnon [2], Cécile Nigon [3], Anthony Simand [4], René Thomas [5] et Alexandre Franquet [6]

Cet article peut être librement diffusé et son contenu réutilisé pour une utilisation non commerciale (contacter l’auteur pour une utilisation commerciale) suivant la licence CC-by-nc-sa

1/ Introduction

Notre groupe de travail de l’IREM de Lyon, Numatécol, travaille depuis plusieurs années sur l’intégration du numérique dans l’enseignement des mathématiques à l’école et au collège. Nous nous sommes tout d’abord intéressés à l’intégration des robots pour l’apprentissage de la programmation. Nous expérimentons actuellement l’application MathCityMap qui nous a semblé propice à l’activité mathématique.

En effet, la salle de classe n’est pas le seul lieu pour faire des mathématiques. L’environnement proche des élèves est également un lieu favorable pour développer des compétences pratiques sur les savoirs théoriques étudiés. Le projet MoMaTrE (mobile math trails in Europe, Erasmus +) permet, grâce à son application MathCityMap, de mettre en place très facilement un math trail (parcours d’énigmes mathématiques en plein air) en utilisant les smartphones des élèves. Notre groupe IREM a mis en place à Saint-Étienne, France, un parcours en centre-ville à destination des élèves de cycle 4.

Mots clefs : MathCityMap ; maths trail ; application ; maths en extérieur ; résolution de problèmes ; smartphone. 

Après une présentation des points du programme que MathCityMap permet de travailler, nous vous présentons le parcours que nous avons créé et l’expérimentation qui en a été faite avec des élèves de 4ème et 3ème de collège de zone d’éducation prioritaire. La présentation de l’application ne sera pas reprise, car déjà fort bien développée dans l’article de Nicolas Hulot, qui a expérimenté l’application dans plusieurs classes au collège Flora Tristan de Carrières sous Poissy (Académie de Versailles).

2/ Méthodes

2.1/ La place dans les programmes

Les parcours MathCityMap peuvent être l’occasion d’un croisement des disciplines. Ici, des éléments du programme de mathématiques, d’éducation physique et sportive, l’histoire-géographie et des éléments du socle commun sont pris en compte dans la conception du parcours.

Dans les nouveaux programmes de mathématiques (BO n°30 du 26-7-2018) on peut lire : 
«  Pour certains élèves, l’accès à l’abstraction ne peut se faire que s’il est précédé par deux phases intermédiaires : celle de la manipulation, puis celle de la verbalisation (mise en mots) ou de la représentation (mise en images). De nombreux objets réels (carreaux de mosaïque, morceaux de ficelle, balances et autres instruments de mesure, solides, etc.) permettent d’approcher certaines notions abstraites (numération, fractions, équations, aires et volumes, etc.) de manière tactile, sensorielle. Il ne faut pas se priver d’y recourir lorsque cela s’avère nécessaire, même au collège. » .

C’est cette idée de manipulation et d’utilisation d’objets réels associée à l’idée de résolution de problèmes qui nous a incités à nous intéresser au projet MoMaTrE .

Les programmes publiés au mois de juillet 2018 confirment la place centrale des six compétences mathématiques : chercher ; modéliser ; représenter ; raisonner ; calculer ; communiquer. Les détails de la manière dont les élèves mobilisent ces compétences mathématiques à travers l’activité seront précisés dans le corps de l’article.

Par ailleurs, l’utilisation de MathCityMap permet d’aborder des points liés au socle commun et en Éducation Physique et Sportive :

  • Programme d’EPS :
    • Course d’orientation : Être autant vigilant à sa sécurité qu’à celle de son partenaire : communiquer avec son partenaire, maîtriser les protocoles techniques de sécurité avant et pendant le déplacement.
    • Devenir écocitoyen en veillant à ne pas dégrader le support et en le laissant vierge après leur passage. Prévoir une tenue adaptée à l’épreuve et aux conditions météorologiques.
  • Socle commun :
    • DOMAINE 5 : Représentation du monde et l’activité humaine
      Situer et se situer dans le temps et l’espace :
      • Contextualiser un document, un texte, une œuvre, un artiste, un personnage, une découverte scientifique, un fait artistique ou une notion dans le temps et dans une ou plusieurs aires géographiques et culturelle.
      • Connaître et localiser des repères spatiaux aux différentes échelles et sur des projections cartographiques variées
      • Se repérer et et repérer des lieux dans l’espace en utilisant des plans, des cartes, et des outils de géolocalisation
      • Élaborer un projet de déplacement en mobilisant la notion de distance
    • DOMAINE 2 : Des méthodes et outils pour apprendre
      • Coopérer et réaliser des projets
      • Définir et respecter une organisation et un partage des tâches dans le cadre d’un travail de groupe.

Ainsi, au-delà de l’intérêt de l’utilisation de l’application pour améliorer les compétences mathématiques des élèves, c’est également l’occasion potentielle de créer des projets pluridisciplinaires avec les autres enseignants.

2.2/ Conseils organisationnels et matériels

Pour le lancement de l’activité, il faut prévoir de réunir les élèves dans un lieu assez grand, calme, à proximité de la première épreuve, afin de prendre le temps d’expliquer précisément le déroulement, les attentes et de distribuer ou de vérifier le matériel nécessaire (double décamètre ; mètre pliant ; téléphone ; calculatrice ; brouillon...). Pour la dernière épreuve, il est préférable de trouver un lieu sécurisé pour permettre aux élèves les plus rapides d’attendre sans danger ceux qui ont mis plus de temps.

Enfin, il faut prévoir au moins deux accompagnateurs, un qui suit le groupe le plus rapide et le deuxième qui suit le groupe le moins rapide.

Dans notre cas, il a été demandé aux élèves d’utiliser leurs propres téléphones portables afin de réaliser l’activité. L’utilisation de tablettes peut être envisagée. Il faut au préalable penser à télécharger le parcours sur la tablette ou proposer une connexion Internet permanente (partage de connexion ou Wi-Fi de la ville).

2.3/ Conseils pour l’élaboration des questions

Chaque parcours est constitué de plusieurs épreuves. Chaque épreuve nécessite une question. Chaque question comporte une réponse, des éléments de solution (explication de la solution/du problème ; apparait une fois que l’élève a répondu), des indices éventuels. Dans notre cas, les indices ont systématiquement été prévus.

Concernant les questions, il ne faut pas oublier de préciser l’unité de mesure attendue. Sur les problèmes impliquant des mesures, il faut prévoir un intervalle assez large dans lequel toutes les réponses sont considérées comme étant correctes, car les mesures sont imprécises : pour le calcul d’un volume par exemple, les écarts sont importants. Pour la réponse à l’énigme, l’application permet de rentrer un intervalle dans lequel toutes les réponses sont considérées comme étant justes et un intervalle dans lequel les réponses sont acceptables. Le nombre de points attribués est différent : 100 points pour une bonne réponse et 50 points pour une réponse acceptable.

2.4/ Conception du parcours

Le parcours est disponible sur le site MathCityMap à l’adresse que voici
Code du parcours sur l’application : 49506

Un premier parcours de sept énigmes en centre-ville de Saint-Étienne a été conçu. Nous avons proposé un parcours d’une durée d’environ deux heures en comptant le temps de déplacement pour se rendre sur place à partir d’un établissement de la ville. Le centre-ville se prête tout particulièrement à la création d’un parcours, car la concentration des lieux permet de générer un parcours d’une longueur raisonnable pour des adolescents. De plus il est riche en éléments remarquables du point de vue historique ou architectural.

3/ Résultat et discussion

Dans le parcours, cinq énigmes nous ont semblé particulièrement intéressantes à présenter dans le cadre de cet article. Leur numérotation, de 3.1 à 3.5 est seule à prendre en compte. La numérotation des images est celle des épreuves passées par les élèves lors du parcours MathCityMap.

3.1/ Première énigme

Pour cette première épreuve, il a fallu aux élèves un temps d’adaptation. Ils se sont retrouvés déstabilisés par l’énigme posée. Les gestes pour répondre à la question posée sont complètement différents des gestes de la classe (compétence mobilisée : chercher : s’engager dans une démarche scientifique, observer, questionner, émettre des hypothèses).
Les pierres de l’arche ne pouvant pas être mesurées directement, les élèves ont observé un moment la façade, puis ils ont commencé à se concerter sur ce qu’ils devaient faire. Le premier obstacle pour deux des groupes a été le mot « arche »  : ils ne connaissaient pas ce mot. Un groupe a essayé de déplier entièrement le mètre dérouleur et à bout de bras les élèves ont essayé de mesurer une pierre. Lorsqu’un groupe a compris que l’arche avait la forme d’un demi-cercle (compétence mobilisée : modéliser : traduire en langage mathématique une situation réelle, par exemple à l’aide de configuration géométrique) et qu’ils pouvaient mesurer le diamètre à leur hauteur, les autres groupes ont fait de même.

Cet effet domino a été constaté essentiellement sur cette épreuve, car pour les épreuves suivantes, les groupes se sont dispersés et ne sont pas arrivés en même temps aux énigmes. Il leur était donc plus difficile de s’inspirer des autres groupes.

Pour cette épreuve, le premier indice que nous avons choisi fut de rappeler la formule du périmètre du cercle (afin de guider les élèves sur la méthode experte qu’ils pouvaient employer), et comme second indice le nombre de pierres de l’arche.

3.2/ Hôtel de la Martre de France


Deux procédures ont été observées. Deux groupes ont fait une estimation de la hauteur en réutilisant la réponse de l’énigme précédente (non présentée dans cet article). En effet dans cette dernière, les élèves devaient mesurer la hauteur du rez-de-chaussée d’un autre immeuble. Ils ont supposé que le rez-de-chaussée de cet immeuble avait la même hauteur. Ils ont ensuite estimé que l’on pouvait reporter quatre fois cette hauteur jusqu’en haut de l’immeuble et ont donc multiplié par cinq la réponse précédente, ce qui donnait la bonne réponse ! Nous n’avions pas anticipé cette procédure, et avons pu noter par cette expérimentation que ces élèves, qui ont bien souvent d’énormes difficultés avec la notion d’estimation en classe, ont réussi ici à évaluer correctement la hauteur de l’immeuble.

Les autres groupes ont repris la procédure de l’énigme précédente en mesurant la hauteur d’une pierre sur la façade de l’immeuble, puis ont procédé comme les deux premiers groupes en évaluant à partir de cette longueur le reste de la hauteur de l’immeuble (compétence mobilisée : chercher, essayer plusieurs pistes de résolution).

Concernant la procédure prévue lors de la conception, un pupitre sur lequel on peut voir une photo de l’immeuble avec une explication historique se dresse en face de cet immeuble. Nous avons pensé que les élèves pourraient se servir de cette photo pour utiliser la notion d’échelle afin de trouver la hauteur. Nous avions formulé nos indices afin de faire émerger cette procédure, mais aucun groupe n’a procédé ainsi.

La difficulté de mise en œuvre d’une procédure a été beaucoup moins présente lors de cette épreuve, les élèves ayant déjà acquis de l’expérience avec les deux précédentes. 

Cette énigme est particulièrement liée au patrimoine et permettait de montrer aux élèves, jeunes citoyens, l’existence de bornes similaires à travers la ville. De plus, ce bel hôtel fait partie des bâtiments historiquement importants dans la ville de Saint-Étienne. Pour la classe de 4ème, située géographiquement à 200m de l’épreuve, plusieurs élèves nous ont indiqué avoir découvert complètement cet immeuble. Néanmoins, les procédures employées finalement par les élèves ont limité notre objectif initial de travail avec les pupitres historiques disséminés dans la ville. On pourra penser qu’une conception de parcours en collaboration avec les collègues d’histoire-géographie et/ou le service urbanisme et patrimoine de la ville nous aurait permis de développer davantage cet aspect.

3.3/ Pente d’accès « handicapés »


Cette épreuve a été celle qui a posé le plus de difficultés aux élèves. Le premier obstacle a été la notion de pente. Aucun élève ne connaissait la définition d’une pente, et donc comment elle se calculait. Nous n’avions pas interdit l’utilisation du smartphone pour chercher des informations, mais les élèves n’ont pas le réflexe, pour une connaissance scolaire, de chercher la définition sur Internet.

Un groupe d’élèves a essayé de mesurer l’angle avec un rapporteur de bureau, comme en témoigne la photo ci-contre. Les élèves avaient donc fait le lien entre pente et mesure d’angle (compétence mobilisée : modéliser : traduire en langage mathématique une situation réelle, par exemple à l’aide de configuration géométrique).

Dans ce groupe, un des élèves était cycliste, il avait donc une idée de la valeur de la pente mais les autres élèves n’avaient aucun ordre de grandeur. Certains ont proposé au hasard 15% (compétence engagée : communiquer : expliquer à l’oral son raisonnement et comprendre les explications d’un autre. Argumenter dans l’échange).

Nous avions proposé comme indice de mesurer la longueur des éléments de bordure et la différence de hauteur entre le début de l’élément et la fin de l’élément. Un groupe a fait ces mesures et à cherché comment calculer la pente avec celles-ci.

Cette pente se situant à proximité d’un parc pour enfants, les élèves pensaient intuitivement que la pente était prévue pour les poussettes. Cette question a permis d’initier, a posteriori, une discussion sur l’accès handicapés et globalement sur le handicap.

3.4/ La fontaine

Pour cette dernière épreuve, on retrouve la même difficulté que pour la première. Une partie des élèves n’a pas compris l’expression « couronne de la fontaine » car la couronne au sens mathématique du terme leur était inconnue. Nous avions tenté d’anticiper cette difficulté en mettant en évidence la dite couronne sur l’image. Plusieurs procédures ont pu être observées.

Un premier groupe à évalué avec son pas (voir image ci-contre) le diamètre de la fontaine pour trouver le diamètre extérieur. Il a ensuite essayé d’évaluer approximativement à partir de cette mesure le diamètre intérieur, afin de soustraire l’aire du disque intérieur à l’aire du grand disque.

D’autres groupes ont procédé avec la même démarche mais en mesurant avec le mètre les deux diamètres.

Un groupe a essayé de calculer l’aire d’une des pierres de la margelle afin de la multiplier par le nombre de pierres, mais il a supposé que la forme était rectangulaire et l’approximation était trop grande. C’est cette procédure que nous avions privilégiée dans les indices en donnant la formule de l’aire d’un trapèze (compétence mobilisée : modéliser : traduire en langage mathématique une situation réelle, par exemple à l’aide de configuration géométrique ; calculer : calculer avec des nombres rationnels de manière exacte ou approchée).

3.5/ Amphithéâtre

Les élèves cherchent à décomposer la scène en sous-figures usuelles et à réinvestir leurs connaissances sur les calculs d’aires. Les élèves identifient la scène à un hexagone régulier qu’ils peuvent partager en six triangles équilatéraux (compétence engagée : chercher : décomposer un problème en sous-problèmes).

Cette épreuve est la dernière du parcours. Nous l’avons placée ainsi, car le square Jean Cocteau est un lieu fermé, permettant aux élèves de rester dans un endroit sécurisé, en attendant que tous les groupes aient achevé leur parcours. Il est aussi adapté pour faire une mise en commun et récolter les réactions des élèves sur cette activité mathématique hors de la classe (compétence engagée : communiquer : expliquer à l’oral sa démarche. Comprendre les explications d’un autre et argumenter dans l’échange.).

4/ Conclusion

Cette activité a permis de travailler sur les tâches à prise d’initiative (document ressource Cycle 4 RA16_C4_MATH Types_de_tâche ; tâche complexe dans les anciens programmes de 2008)

A la fin du parcours, nous leur avons demandé leurs impressions.

La première remarque a été de dire que cela changeait des mathématiques qu’ils faisaient en classe « avec leurs stylos et leur calculatrice ». Ils ont tous souligné qu’ils avaient apprécié de coopérer et de réfléchir pour faire des mathématiques.

L’utilisation d’instruments différents des instruments traditionnels de la classe , a été mentionné plusieurs fois. Ils ont également apprécié de faire des activités « qui sortent de l’ordinaire » et de leur « petit collège », en particulier dans leur environnement proche qu’ils ont appris à découvrir.

Enfin, ils ont apprécié de mettre en œuvre des technologies innovantes, d’une part pour la géolocalisation des épreuves, et d’autre part pour la possibilité d’avoir immédiatement un retour sur la réponse qu’ils ont trouvée.

Nous avons pu observer les mêmes attitudes et le même intérêt avec la classe de troisième (seconde classe testée sur ce parcours), ce qui conforte notre sentiment que les parcours d’énigmes avec MathCityMap sont des moments privilégiés de mathématiques où l’élève met en œuvre ses connaissances scolaires pour répondre à des défis dans l’espace réel. Il apprécie de sortir de sa classe, d’utiliser des technologies de son quotidien et de coopérer pour réussir. Chacun a trouvé sa place dans le groupe, en utilisant des compétences théoriques pour certains (les formules de maths), ou des compétences pratiques pour d’autres (recherche d’une stratégie, puis manipulation des instruments). Des élèves en difficulté en classe avec les savoirs théoriques se sont davantage investis et se sont sentis valorisés en étant capables de contribuer à la réussite du groupe.

De plus cette activité a permis de donner du sens aux notions abordées en classe. Les activités de résolution de problème sont souvent comprises par les élèves comme un simple exercice auquel il faut répondre (confer notion de contrat didactique de Guy Brousseau [7]). Ils ne se posent pas la question de la vraisemblance des résultats et des ordres de grandeurs. La résolution de ces énigmes permet de changer l’approche des élèves, qui, lors de notre expérimentation, se sont responsabilisés en résolvant leur problème, et non plus celui du maître. Progressivement tout au long du parcours, nous avons pu observer une reconnaissance plus rapide de la grandeur en jeu et de la formule associée.

Enfin, nous avons constaté une coopération entre les groupes afin d’expliquer les procédures et pas seulement de copier la réponse comme c’est souvent le cas en classe.

L’expérimentation de ce premier parcours, nous a amenés à nous interroger sur les améliorations que nous pourrions apporter. Toutes les épreuves proposées dans ce parcours relevaient des grandeurs et mesures. Lors de la mise en commun finale, les élèves ont souligné le manque de diversité des épreuves. C’est pourquoi, lors de la conception du parcours pour le cycle 3 (que nous présenterons dans un article à venir), nous avons abordé les thèmes de la géométrie et de la programmation.


notes

[7Guy Brousseau, Fondements et méthodes de la didactique des mathématiques. Recherche en didactique des mathématiques, La Pensée Sauvage, Grenoble, 1986

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