| |
Les nouvelles technologies pour l’enseignement des mathématiques
Intégration des TICE dans l’enseignement des mathématiques

MathémaTICE, première revue en ligne destinée à promouvoir les TICE à travers l’enseignement des mathématiques.

Variations sur le thème d’une construction
Article mis en ligne le 11 octobre 2014
dernière modification le 31 octobre 2015

par Christophe Hérault, Nordine Bernard Toumache

Autres articles de Nordine Bernard TOUMACHE

Autres articles de Christophe HERAULT

Cet article est à l’origine le fruit du travail conséquent de Nordine Bernard TOUMACHE. Pour illustrer son propos, la rédaction de MathémaTICE a eu l’idée de le mettre en lien avec Christophe HERAULT, le créateur du logiciel GeoDyn qui a réalisé les figures dynamiques. Merci à eux pour leur enthousiasme et leur efficacité.

toumachebernart@yahoo.fr


Plan

Pour un retour direct au plan, cliquer sur ce symbole :




Introduction

Figure 1

La configuration de la figure 1 est parue en 1997 (approximativement) dans une brochure de l’IREM d’Orléans-Tours. Voici le protocole de construction :

  • A et B sont deux points donnés et P un point de la droite (AB) ;
  • [CD] est un segment donné de longueur c et [EG] un segment de longueur $ \sqrt c$ (Je crois qu’à l’origine seul un segment de longueur prise comme $\sqrt c$ était donné) ;
  • Tracer le cercle de centre P et de rayon $\sqrt c$ ;
  • La droite perpendiculaire à (AB) passant par A coupe le cercle précédent en Q ;
  • Le cercle de centre A passant par Q coupe celui de centre B et de rayon [AP] en deux points M et M’ qui vérifient : $MA^2 + MB^2 = c$.

Cette construction avait attirée mon attention parce que, à cette date, venaient d’apparaitre les premières machines à calcul formel ainsi que les premiers logiciels de géométrie dynamique. Je venais d’acquérir la « TI92 » de chez « Texas Instrument » équipée du logiciel de géométrie « Cabri » et j’étais en phase d’initiation. J’ai vu alors, dans la configuration de l’écran, plusieurs possibilités :

1) Une utilisation possible de l’outil « Lieu » de « Cabri », puisque les points dépendent du point variable P sur (AB).

2) Y aurait-il la possibilité, en modifiant la construction, de trouver deux points analogues qui vérifient cette fois $aMA^2 + bMB^2 = c$ pour deux valeurs de $a$ et $b$ positives données ?

3) Et, pourquoi pas, deux points qui vérifient, cette fois, $aMA^2 - bMB^2 = c$, avec $a>0$, $b>0$ ?

La réponse à la première question est sur la figure 2 :

Figure 2

Les deux autres questions vont servir de mobiles à cet article qui s’articule autour de plusieurs thèmes :

1) Les constructions à la règle et au compas, qu’il n’est pas difficile de voir comme étant des algorithmes selon la définition proposée dans Wikipédia : Un algorithme est une suite finie et non ambigüe d’opérations ou d’instructions permettant de résoudre un problème.

« Le problème à résoudre » est la construction effective de « l’objet » à construire et « la suite finie » le protocole de construction. Ce point de vue, qui m’avait échappé, m’a été suggéré par Alain BUSSER dans un commentaire qu’il a fait sur un travail analogue et dont je donne un extrait : « À l’heure où les constructions à la règle et au compas disparaissent des programmes (ce qui est paradoxal en pleine fusion algorithmique)……. ».

2) L’histoire des mathématiques dans laquelle le thème précédent va me permettre de faire aisément des incursions et dont, j’espère, les parties abordées susciteront un regain d’intérêt chez les élèves.

3) Je me place, virtuellement, devant une classe de seconde du lycée, dans certains cas ce sera des élèves de première S ou de terminale S quand, par exemple, le problème de la trisection de l’angle nécessitera l’emploi d’une formule de trigonométrie issue du programme de première S. Un des buts recherchés est d’initier les élèves à ce genre de problème de constructions à la règle et au compas, qui a passionné les mathématiciens depuis l’antiquité. Les constructions peuvent être simples, comme c’est le cas ici, ou plus compliquées, comme c’est le cas, par exemple, dans certaines constructions de Baptiste GORIN [1], mais dans beaucoup de cas elles suggèrent quantité d’exercices pour les élèves qui permettent de « balayer », de façon exhaustive il me semble, tous les sujets devant être abordés dans la partie du programme de seconde figurant sous l’intitulé « configurations du plan ». A chaque fois qu’une construction peut être le sujet d’un exercice posé aux élèves, je le ferai. Voici par exemple :

Exercice :

Dans la configuration de la figure 1, justifier que les points M et M’ vérifient l’égalité « $MA^2 + MB^2 = c$ ».


La figure 2 suggère aussi un exercice réalisé à l’aide de cette figure interactive (utiliser le menu affichage pour cacher la fenêtre algèbre et visualiser le protocole de construction) :

<geogebra|doc=9323|barre_outils= oui|barre_menu=oui>

Pour télécharger le fichier GeoGebra :

MA²+MB²=c

Exercice :

Dans la figure 2, le « lieu » semble être un cercle.

  • Si c’est le cas, trouver son centre.
  • Proposer alors une animation de la figure qui confirme que c’est un cercle.


Quelques éléments d’histoire des mathématiques.

« Dans les treize livres des éléments, les constructions géométriques étudiées par Euclide sont effectuées à la règle et au compas uniquement [1] ». Dans la suite, quand je parlerai de construction il s’agira, donc, uniquement de construction à la règle et au compas, la règle n’étant pas graduée et ne servant qu’à tracer des droites.
Les images qui suivent sont des copies d’écran tirées de APMEP : « Les quatre grands problèmes de la géométrie ».

Figure 3
Figure 4

Parmi la multitude des problèmes abordés par les mathématiciens Grecs de l’antiquité, je choisis d’en présenter deux :

  • La quadrature des lunules d’Hippocrate de Chios parce que il est lié au problème de la quadrature du cercle.
  • La duplication du carré car :

a) Il est vraisemblablement à l’origine du problème de la duplication du cube ;

b) il est cité comme étant la première démonstration rapportée comme provenant des pythagoriciens [2] ;

c) le contexte de sa présentation présente un intérêt pédagogique certain.

Les lunules d’Hippocrate sont les parties du plan en bleu comme indiqué sur la figure 5, elles ont été construites de la manière suivante :

ABC est un triangle rectangle en B, la lunule délimitée par A et B est le complémentaire de l’intersection du demi-disque de diamètre [AB ] et du demi-disque de diamètre [AC] dans le demi-disque de diamètre [AB ] (voir la figure 5), l’autre lunule est déterminée selon le même protocole.

Figure 5

Théorème :

La somme des aires des deux lunules est égale à l’aire du triangle ABC.

Preuve :

Notons $L_1$ l’aire de la lunule délimitée par les points A et B et $L_2$ l’aire de l’autre lunule.
Notons $A_1, A_2$ et $A_3$ les aires respectives des demi-cercles de diamètres [AB], [BC] et [AC], puis $A$ l’aire du triangle ABC. On a :

$A_3 – A = A_1 - L_1 + A_2 - L_2$, d’où :

$L_1 + L_2 = A_1 + A_2 – A_3 + A = \Pi \times ({AB^2 \over 8} + {BC^2 \over 8} – {AC^2 \over 8}) + A = A$, d’après le théorème de Pythagore.

Hippocrate avait donc résolu la quadrature de ses lunules, c’est-à-dire : construire un carré dont l’aire est égale à la somme des aires de ses lunules, ce qui revient à construire la quadrature d’un triangle, ce qu’il savait faire. La figure 6 montre la construction finale de la quadrature d’un triangle :

Figure 6

La figure 7 donne la construction de $FI_1$ qui est la « moyenne proportionnelle » de AH et BC ou encore la « moyenne géométrique » de AH et BC, c’est à dire tel que $FI_1^2=AH \times BC$, puis la construction du carré de côté $FI_1 \over 2$., donc d’aire ${AH \times BC} \over 4$, c’est-à-dire la moitié de l’aire du triangle.

Figure 7

La question qui se pose alors est : comment dupliquer ce carré ? C’est-à-dire : comment construire un carré dont l’aire est le double de l’aire du carré précédent ?
La question est posée aux élèves.

La réponse est montrée sur la figure 8 :

Figure 8

Il avait résolu ce problème en cherchant la quadrature du cercle et pensait qu’il avait avancé d’un pas vers la solution de ce problème.
Dans le problème de la quadrature des lunules d’Hippocrate ont été utilisées deux constructions :

  • Une construction du nombre positif x tel que $x^2=ab$, $a$ et $b$ étant deux nombres positifs donnés ;
  • Une construction du carré dont l’aire est le double de l’aire d’un carré donné (duplication du carré).

La première construction sera traitée en détail dans la partie suivante, x s’appelle la « moyenne proportionnelle de $a$ et $b$ » ou « moyenne géométrique de $a$ et $b$ ». Par contre je vais m’attarder sur la deuxième construction pour deux raisons :

  • Son intérêt pédagogique.
  • Le problème de la duplication du cube (voir plus loin) qui trouve plutôt là son origine que dans la légende du « problème de Délos », c’est mon avis, et il m’a été inspiré par des commentaires de Jean Dieudonné [2]. Je reviendrais sur ce point quand je parlerais du problème de la duplication du cube.

Quel est son intérêt pédagogique ?

Chronologiquement il y a : les pythagoriciens (école philosophique fondée par Pythagore vers 500 avant notre ère), Socrate et Euclide, Platon qui est un disciple de Socrate et d’Euclide, Aristote qui est un disciple de Platon.

Je cite, presque textuellement, ce que dit Jean Dieudonné [2] à propos de la figure qui donne la duplication du carré (figure 8) :
Il est admis que les théorèmes des pythagoriciens étaient accompagnés de démonstrations dont on ignore la nature ; les premiers textes contenant des démonstrations se trouvent seulement chez Platon et Aristote. La première démonstration rapportée comme provenant des pythagoriciens apparait chez Socrate dans le dialogue de Ménon où il veut faire découvrir à un jeune esclave inculte le moyen de construire un carré dont l’aire est le double de celle d’un carré donné (voir figure 8) : « le garçon répond d’abord qu’il suffit de doubler les côtés, et Socrate lui montre que l’aire du carré n’est pas doublée mais quadruplée, ensuite il lui fait remarquer que le carré initial se décompose en quatre triangles égaux à LFJ et que chacun d’eux est égal à chacun des quatre nouveaux triangles qui composent le nouveau carré » (voir figure 8) ; ici Socrate s’assure seulement de ce que cette égalité (entre triangles) est admise par son interlocuteur. Il ne s’agit donc pas ici d’une démonstration au sens d’Euclide ou Platon, c’est dans la figure qu’il y a la démonstration qui consiste à dire « vois » [2] .

Trois problèmes résistent aux mathématiciens Grecs et aux autres par la suite :

1) La duplication du cube

2) La trisection de l’angle

3) La quadrature du cercle


La duplication du cube

Enoncé : construire un cube dont le volume soit le double de celui d’un cube donné.

Ce problème aurait une origine légendaire : « le problème de Délos » où il est question de construire un autel cubique de volume double de celui de l’autel cubique initial.

Je doute que l’origine du problème soit là car, à moins qu’il s’agisse d’une « injonction des Dieux » pourquoi rechercher les dimensions du nouvel autel de façon à ce que le volume soit exactement doublé ? On peut se contenter d’une approximation plus ou moins précise.

L’origine est plus vraisemblablement dans « l’insatiable curiosité des mathématiciens », l’expression est de Jean Dieudonné [2], qui est à l’origine de la plupart des problèmes que se sont posés les mathématiciens. Ici, le problème de la duplication du carré étant résolu, la question naturelle qui peut se poser ensuite est : peut-on trouver la solution avec un cube ?

Par analogie, on peut se dire que le phénomène est le même que celui de la découverte des nombres complexes comme étant des couples $(a,b)$ de nombres réels et des opérations qu’on connait, par Gauss (fin 18ème), qui a conduit presque naturellement à la découverte des Quaternions (Hamilton 1843) : « c’est le premier exemple historique et le prototype d’une théorie introduisant de nouveaux objets qui au moment où on les définit ne répondent à aucun besoin mais sont suscités par la seule curiosité, “pour voir” [2]. Ici, la curiosité a poussé les mathématiciens, après la découverte de Gauss, à se poser la question : y aurait-il un phénomène analogue avec des triplets ? La réponse est négative ; puis Hamilton, se posant la question avec les quadruplets, arriva à la découverte des quaternions. Rappelons que les quaternions constituent le premier exemple de corps non commutatif.

Revenons au problème de la duplication du cube qui revient à construire le nombre $\sqrt[3] {2}$, qui est racine du polynôme $x^3-2$, qui est irréductible sur Q, c’est-à-dire sans racine rationnelle, sinon dans le cas contraire on aurait $a^3=2b^3$ avec $a \over b$ fraction irréductible, on en déduit que $a^3$ est pair, ce qui n’est possible que si $a$ est pair. On en déduit que $2b^3$ est multiple de 8 donc $b^3$ est pair et donc $b$ aussi, ce qui est contradictoire. Le coefficient de $x^3$ dans $x^3-2$ étant 1, c’est ce qu’on appelle le polynôme minimal de $\sqrt[3] {2}$ sur Q. En conclusion, le polynôme minimal de $\sqrt[3] {2}$ est $P(x)= x^3-2$.