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Sommaire > N°42 - novembre 2014 > Variations sur le thème d’une construction

Variations sur le thème d’une construction
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Mis en ligne le 11 octobre 2014, par Christophe Hérault, Nordine Bernard Toumache

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Cet article est à l’origine le fruit du travail conséquent de Nordine Bernard TOUMACHE. Pour illustrer son propos, la rédaction de MathémaTICE a eu l’idée de le mettre en lien avec Christophe HERAULT, le créateur du logiciel GeoDyn qui a réalisé les figures dynamiques. Merci à eux pour leur enthousiasme et leur efficacité.

toumachebernart@yahoo.fr


Plan

Pour un retour direct au plan, cliquer sur ce symbole :
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Introduction

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Figure 1

La configuration de la figure 1 est parue en 1997 (approximativement) dans une brochure de l’IREM d’Orléans-Tours. Voici le protocole de construction :

  • A et B sont deux points donnés et P un point de la droite (AB) ;
  • [CD] est un segment donné de longueur c et [EG] un segment de longueur $ \sqrt c$ (Je crois qu’à l’origine seul un segment de longueur prise comme $\sqrt c$ était donné) ;
  • Tracer le cercle de centre P et de rayon $\sqrt c$ ;
  • La droite perpendiculaire à (AB) passant par A coupe le cercle précédent en Q ;
  • Le cercle de centre A passant par Q coupe celui de centre B et de rayon [AP] en deux points M et M’ qui vérifient : $MA^2 + MB^2 = c$.

Cette construction avait attirée mon attention parce que, à cette date, venaient d’apparaitre les premières machines à calcul formel ainsi que les premiers logiciels de géométrie dynamique. Je venais d’acquérir la « TI92 » de chez « Texas Instrument » équipée du logiciel de géométrie « Cabri » et j’étais en phase d’initiation. J’ai vu alors, dans la configuration de l’écran, plusieurs possibilités :

1) Une utilisation possible de l’outil « Lieu » de « Cabri », puisque les points dépendent du point variable P sur (AB).

2) Y aurait-il la possibilité, en modifiant la construction, de trouver deux points analogues qui vérifient cette fois $aMA^2 + bMB^2 = c$ pour deux valeurs de $a$ et $b$ positives données ?

3) Et, pourquoi pas, deux points qui vérifient, cette fois, $aMA^2 - bMB^2 = c$, avec $a>0$, $b>0$ ?

La réponse à la première question est sur la figure 2 :

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Figure 2

Les deux autres questions vont servir de mobiles à cet article qui s’articule autour de plusieurs thèmes :

1) Les constructions à la règle et au compas, qu’il n’est pas difficile de voir comme étant des algorithmes selon la définition proposée dans Wikipédia : Un algorithme est une suite finie et non ambigüe d’opérations ou d’instructions permettant de résoudre un problème.

« Le problème à résoudre » est la construction effective de « l’objet » à construire et « la suite finie » le protocole de construction. Ce point de vue, qui m’avait échappé, m’a été suggéré par Alain BUSSER dans un commentaire qu’il a fait sur un travail analogue et dont je donne un extrait : « À l’heure où les constructions à la règle et au compas disparaissent des programmes (ce qui est paradoxal en pleine fusion algorithmique)……. ».

2) L’histoire des mathématiques dans laquelle le thème précédent va me permettre de faire aisément des incursions et dont, j’espère, les parties abordées susciteront un regain d’intérêt chez les élèves.

3) Je me place, virtuellement, devant une classe de seconde du lycée, dans certains cas ce sera des élèves de première S ou de terminale S quand, par exemple, le problème de la trisection de l’angle nécessitera l’emploi d’une formule de trigonométrie issue du programme de première S. Un des buts recherchés est d’initier les élèves à ce genre de problème de constructions à la règle et au compas, qui a passionné les mathématiciens depuis l’antiquité. Les constructions peuvent être simples, comme c’est le cas ici, ou plus compliquées, comme c’est le cas, par exemple, dans certaines constructions de Baptiste GORIN [1], mais dans beaucoup de cas elles suggèrent quantité d’exercices pour les élèves qui permettent de « balayer », de façon exhaustive il me semble, tous les sujets devant être abordés dans la partie du programme de seconde figurant sous l’intitulé « configurations du plan ». A chaque fois qu’une construction peut être le sujet d’un exercice posé aux élèves, je le ferai. Voici par exemple :

Exercice :

Dans la configuration de la figure 1, justifier que les points M et M’ vérifient l’égalité « $MA^2 + MB^2 = c$ ».


La figure 2 suggère aussi un exercice réalisé à l’aide de cette figure interactive (utiliser le menu affichage pour cacher la fenêtre algèbre et visualiser le protocole de construction) :

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Pour télécharger le fichier GeoGebra :

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MA²+MB²=c

Exercice :

Dans la figure 2, le « lieu » semble être un cercle.

  • Si c’est le cas, trouver son centre.
  • Proposer alors une animation de la figure qui confirme que c’est un cercle.


Quelques éléments d’histoire des mathématiques.

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« Dans les treize livres des éléments, les constructions géométriques étudiées par Euclide sont effectuées à la règle et au compas uniquement [1] ». Dans la suite, quand je parlerai de construction il s’agira, donc, uniquement de construction à la règle et au compas, la règle n’étant pas graduée et ne servant qu’à tracer des droites.
Les images qui suivent sont des copies d’écran tirées de APMEP : « Les quatre grands problèmes de la géométrie ».

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Figure 3
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Figure 4

Parmi la multitude des problèmes abordés par les mathématiciens Grecs de l’antiquité, je choisis d’en présenter deux :

  • La quadrature des lunules d’Hippocrate de Chios parce que il est lié au problème de la quadrature du cercle.
  • La duplication du carré car :

a) Il est vraisemblablement à l’origine du problème de la duplication du cube ;

b) il est cité comme étant la première démonstration rapportée comme provenant des pythagoriciens [2] ;

c) le contexte de sa présentation présente un intérêt pédagogique certain.

Les lunules d’Hippocrate sont les parties du plan en bleu comme indiqué sur la figure 5, elles ont été construites de la manière suivante :

ABC est un triangle rectangle en B, la lunule délimitée par A et B est le complémentaire de l’intersection du demi-disque de diamètre [AB ] et du demi-disque de diamètre [AC] dans le demi-disque de diamètre [AB ] (voir la figure 5), l’autre lunule est déterminée selon le même protocole.

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Figure 5

Théorème :

La somme des aires des deux lunules est égale à l’aire du triangle ABC.

Preuve :

Notons $L_1$ l’aire de la lunule délimitée par les points A et B et $L_2$ l’aire de l’autre lunule.
Notons $A_1, A_2$ et $A_3$ les aires respectives des demi-cercles de diamètres [AB], [BC] et [AC], puis $A$ l’aire du triangle ABC. On a :

$A_3 – A = A_1 - L_1 + A_2 - L_2$, d’où :

$L_1 + L_2 = A_1 + A_2 – A_3 + A = \Pi \times ({AB^2 \over 8} + {BC^2 \over 8} – {AC^2 \over 8}) + A = A$, d’après le théorème de Pythagore.

Hippocrate avait donc résolu la quadrature de ses lunules, c’est-à-dire : construire un carré dont l’aire est égale à la somme des aires de ses lunules, ce qui revient à construire la quadrature d’un triangle, ce qu’il savait faire. La figure 6 montre la construction finale de la quadrature d’un triangle :

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Figure 6

La figure 7 donne la construction de $FI_1$ qui est la « moyenne proportionnelle » de AH et BC ou encore la « moyenne géométrique » de AH et BC, c’est à dire tel que $FI_1^2=AH \times BC$, puis la construction du carré de côté $FI_1 \over 2$., donc d’aire ${AH \times BC} \over 4$, c’est-à-dire la moitié de l’aire du triangle.

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Figure 7

La question qui se pose alors est : comment dupliquer ce carré ? C’est-à-dire : comment construire un carré dont l’aire est le double de l’aire du carré précédent ?
La question est posée aux élèves.

La réponse est montrée sur la figure 8 :

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Figure 8

Il avait résolu ce problème en cherchant la quadrature du cercle et pensait qu’il avait avancé d’un pas vers la solution de ce problème.
Dans le problème de la quadrature des lunules d’Hippocrate ont été utilisées deux constructions :

  • Une construction du nombre positif x tel que $x^2=ab$, $a$ et $b$ étant deux nombres positifs donnés ;
  • Une construction du carré dont l’aire est le double de l’aire d’un carré donné (duplication du carré).

La première construction sera traitée en détail dans la partie suivante, x s’appelle la « moyenne proportionnelle de $a$ et $b$ » ou « moyenne géométrique de $a$ et $b$ ». Par contre je vais m’attarder sur la deuxième construction pour deux raisons :

  • Son intérêt pédagogique.
  • Le problème de la duplication du cube (voir plus loin) qui trouve plutôt là son origine que dans la légende du « problème de Délos », c’est mon avis, et il m’a été inspiré par des commentaires de Jean Dieudonné [2]. Je reviendrais sur ce point quand je parlerais du problème de la duplication du cube.

Quel est son intérêt pédagogique ?

Chronologiquement il y a : les pythagoriciens (école philosophique fondée par Pythagore vers 500 avant notre ère), Socrate et Euclide, Platon qui est un disciple de Socrate et d’Euclide, Aristote qui est un disciple de Platon.

Je cite, presque textuellement, ce que dit Jean Dieudonné [2] à propos de la figure qui donne la duplication du carré (figure 8) :
Il est admis que les théorèmes des pythagoriciens étaient accompagnés de démonstrations dont on ignore la nature ; les premiers textes contenant des démonstrations se trouvent seulement chez Platon et Aristote. La première démonstration rapportée comme provenant des pythagoriciens apparait chez Socrate dans le dialogue de Ménon où il veut faire découvrir à un jeune esclave inculte le moyen de construire un carré dont l’aire est le double de celle d’un carré donné (voir figure 8) : « le garçon répond d’abord qu’il suffit de doubler les côtés, et Socrate lui montre que l’aire du carré n’est pas doublée mais quadruplée, ensuite il lui fait remarquer que le carré initial se décompose en quatre triangles égaux à LFJ et que chacun d’eux est égal à chacun des quatre nouveaux triangles qui composent le nouveau carré » (voir figure 8) ; ici Socrate s’assure seulement de ce que cette égalité (entre triangles) est admise par son interlocuteur. Il ne s’agit donc pas ici d’une démonstration au sens d’Euclide ou Platon, c’est dans la figure qu’il y a la démonstration qui consiste à dire « vois » [2] .

Trois problèmes résistent aux mathématiciens Grecs et aux autres par la suite :

1) La duplication du cube

2) La trisection de l’angle

3) La quadrature du cercle


La duplication du cube

Enoncé : construire un cube dont le volume soit le double de celui d’un cube donné.

Ce problème aurait une origine légendaire : « le problème de Délos » où il est question de construire un autel cubique de volume double de celui de l’autel cubique initial.

Je doute que l’origine du problème soit là car, à moins qu’il s’agisse d’une « injonction des Dieux » pourquoi rechercher les dimensions du nouvel autel de façon à ce que le volume soit exactement doublé ? On peut se contenter d’une approximation plus ou moins précise.

L’origine est plus vraisemblablement dans « l’insatiable curiosité des mathématiciens », l’expression est de Jean Dieudonné [2], qui est à l’origine de la plupart des problèmes que se sont posés les mathématiciens. Ici, le problème de la duplication du carré étant résolu, la question naturelle qui peut se poser ensuite est : peut-on trouver la solution avec un cube ?

Par analogie, on peut se dire que le phénomène est le même que celui de la découverte des nombres complexes comme étant des couples $(a,b)$ de nombres réels et des opérations qu’on connait, par Gauss (fin 18ème), qui a conduit presque naturellement à la découverte des Quaternions (Hamilton 1843) : « c’est le premier exemple historique et le prototype d’une théorie introduisant de nouveaux objets qui au moment où on les définit ne répondent à aucun besoin mais sont suscités par la seule curiosité, “pour voir” [2]. Ici, la curiosité a poussé les mathématiciens, après la découverte de Gauss, à se poser la question : y aurait-il un phénomène analogue avec des triplets ? La réponse est négative ; puis Hamilton, se posant la question avec les quadruplets, arriva à la découverte des quaternions. Rappelons que les quaternions constituent le premier exemple de corps non commutatif.

Revenons au problème de la duplication du cube qui revient à construire le nombre $\sqrt[3] {2}$, qui est racine du polynôme $x^3-2$, qui est irréductible sur Q, c’est-à-dire sans racine rationnelle, sinon dans le cas contraire on aurait $a^3=2b^3$ avec $a \over b$ fraction irréductible, on en déduit que $a^3$ est pair, ce qui n’est possible que si $a$ est pair. On en déduit que $2b^3$ est multiple de 8 donc $b^3$ est pair et donc $b$ aussi, ce qui est contradictoire. Le coefficient de $x^3$ dans $x^3-2$ étant 1, c’est ce qu’on appelle le polynôme minimal de $\sqrt[3] {2}$ sur Q. En conclusion, le polynôme minimal de $\sqrt[3] {2}$ est $P(x)= x^3-2$.


La trisection de l’angle

Enoncé : peut-on partager un angle donné en trois angles égaux, ou bien : peut-on construire un angle égal au tiers d’un angle donné ?

L’origine du problème est peut-être dans la construction de la bissectrice d’un angle, que tout le monde connait, et la démarche est alors la même que pour la duplication du cube, la curiosité a poussé les mathématiciens à se poser le problème de la trisection de l’angle.

Pour certains angles la réponse est évidente, par exemple pour y=3x=90°, x=30° et on sait construire un angle de 30° en construisant une bissectrice dans un triangle équilatéral.

Pour y=3x=60° est-ce possible ?

L’égalité $\cos 3x = 4 (\cos x)^3 -3 \cos x$ est une conséquence immédiate des formules vues en première S :

$ \cos (a+b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$ ;

$\cos 2x = 2 (\cos x)^2 - 1$ ;

et $(\cos x)^2 + (\sin x)^2 = 1$.

Pour $y=3x = 60°$, $\cos 3x = {1 \over 2}$ et $\cos x$ est racine du polynôme $Q(X) = 4X^3 - 3X - {1 \over 2}$. On va montrer que ce polynôme est irréductible sur Q, c’est-à-dire sans racine rationnelle.
La démonstration ressemble beaucoup à celle qui montre que $\sqrt 2$ est irrationnel que certains élèves ont peut-être déjà vu en classe de troisième. On fait un raisonnement par l’absurde, comme dans le cas précédent, en supposant que le polynôme Q admet une racine rationnelle $a \over b$, $a \over b$ étant une fraction irréductible :

$4{a^3 \over b^3} - 3{a \over b} - {1 \over 2} = 0$ donne $8a^3-6ab^2=b^3$ donc $b^3$ est pair donc $b$ est pair et $b = 2b’$ qui donne
$8a^3 - 24ab’^2 = 8b’^3$ qui donne $a^3 - 3ab’^2 = b’^3$, donc $b’$ divise $a^3$, donc $b’$ divise $a$ car b’ est premier avec $a$, donc $b’ = 1$ ou $b’ = -1$ ce qui donne $a^3 - 3a = 1$ ou $a^3 - 3a = -1$ qui sont deux égalités impossibles. Le polynôme Q n’admet donc pas de racine rationnelle et le polynôme minimal de $\cos x$ est de degré 3.

Remarque : $x$ est constructible si et seulement si $\cos x$ est constructible comme le montre la figure 9 :

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Figure 9


La quadrature du cercle

Enoncé : peut-on construire un carré dont l’aire est égale à l’aire d’un cercle donné ?

Ce problème se ramène à la constructibilité du nombre $\Pi$.
C’est le plus célèbre des trois problèmes et il est à l’origine de l’expression connue « c’est la quadrature du cercle » qui signifie : recherche vaine ou vouée à l’échec.

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Figure 10

La copie d’écran précédente provient de Wikipedia : « La quadrature du cercle ».
J’ai déjà signalé le travail d’Hippocrate de Chios sur la quadrature du cercle qui a conduit à la quadrature de ses lunules, qui est, à ma connaissance, la première quadrature exacte d’une aire « courbe ».

Aux dix-huitième et dix-neuvième siècles, la multiplication des travaux sur ces trois problèmes était telle qu’en 1775 l’académie des sciences de Paris décida de ne plus examiner les solutions qu’on lui proposait.

Vers les solutions de ces trois problèmes

Je fais ici un condensé de ce que rapporte Jean Dieudonné [2] à propos de l’évolution des mathématiques à partir de Descartes (1596-1650) qui a permis de changer la nature de ces problèmes et de conduire à leurs solutions.

Les mathématiciens Grecs à partir d’Euclide raisonnaient sur des rapports de « grandeurs » - notion non définie - de même espèce ( longueurs, aires, volumes), par exemple, $\Pi$ est le rapport de la circonférence du cercle et de son diamètre, en s’imposant des tabous comme :

  • on ne peut pas additionner des grandeurs d’espèces différentes ;
  • le produit de deux longueurs est une aire, le produit de trois longueurs est un volume, si bien que le produit de quatre longueurs n’a plus de sens.

Cette conception interdisait tout développement de l’algèbre si bien que les trois problèmes cités restaient cantonnés à de la géométrie.
« Le prestige de Descartes fit définitivement adopter une réforme de la conception des rapports entre « grandeurs » qui conduisit à ne plus considérer que des rapports d’une longueur par une longueur fixe prise pour unité » [2].

Les « grandeurs » sont devenues des points sur une droite et ces points des nombres et, à partir de là, ont pu être définies les quatre opérations (voir plus loin les définitions de la multiplication et de la division).

Les problèmes de constructions sont devenus des problèmes de constructions de nombres, par exemple le problème de la quadrature du cercle est devenu le problème de la construction du nombre $\Pi$, et les problèmes de constructions de nombres sont devenus des problèmes d’algèbre, plus précisément de théorie des nombres.

En 1837 deux des problèmes furent résolus, la duplication du cube et la trisection de l’angle, et il fallu attendre un peu plus longtemps (Lindemann 1882) pour que le problème de la quadrature du cercle donne sa solution.
Le mathématicien Pierre Laurent WANTZEL [3] (1814-1848), professeur à l’école polytechnique, publia un théorème qui donne une condition nécessaire de constructibilité d’un nombre x :

Conséquences immédiates :

  • $\sqrt[3] {2}$ n’est pas constructible car on a vu plus haut que son polynôme minimal est de degré 3.

La duplication du cube est donc impossible.

  • On ne peut pas triséquer un angle de 60° car on a vu que le polynôme minimal de $\cos x$ , si $x$ existe, a pour degré 3.

La trisection de l’angle de 60° est donc impossible.

En 1882 le mathématicien Allemand LINDEMANN démontra que le nombre $\Pi$ est transcendant, c’est-à-dire racine d’aucun polynôme à coefficients rationnels, c’est-à-dire qu’il n’est pas algébrique.
C’est donc encore une conséquence du théorème de WANTZEL : On ne peut pas construire $\Pi$.

La quadrature du cercle est donc impossible.


Constructions préliminaires

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Dans cette partie, je vais détailler les constructions intermédiaires qui vont servir aux constructions de la dernière partie. Je les présente sous la forme de blocs que le lecteur doit déplier pour obtenir les commentaires. Les figures GeoDyn qui les accompagnent sont, elles, directement visibles avec Mozilla firefox.




3) Parallèle à une droite donnée qui passe par un point donné.

Sur la figure 13 sont donnés la droite (AB) et le point C. La construction consiste à construire le quatrième sommet D du parallélogramme CABD. Les cercles de centre C et de rayon AB et de centre B et de rayon se coupent en D. La droite (CD) est la parallèle à (AB) passant par le point C.

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Figure 13


4) Construction de la « moyenne proportionnelle de a et b » ou « moyenne géométrique de a et b », c’est-à-dire du nombre positif x tel que $x^2 = ab$.

Cette construction est donnée par Euclide ( Livre VI, 13).

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Figure 14

Sur cette figure 14 :

  • deux segments de longueurs a et b sont donnés.
  • Sur une demi-droite, on a reporté $a$ = EG et $b$ = GH comme sur la figure.
  • On a construit un demi-cercle de diamètre EH et la perpendiculaire à [EH) qui passe par G et qui coupe le demi-cercle précédent en F
  • $x = FG$ vérifie : $x^2 = ab$.

Exercice :

  • Montrer que $x^2 = EF^2 - a^2$ et $x^2 = FH^2 - b$.
  • En déduire que 2$x^2 = (a+b)^2 - (a^2 + b^2)$.
  • En déduire que $x^2 = ab$.


5) Construction du quotient $Y \over X$.

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Figure 15

La configuration de la figure 15 joue deux rôles :

a) Elle donne une construction du quotient $Z = {Y \over X}$ :

Les données sont :

  • une demi-droite [AB) graduée par A (l’origine) et C (qui définit l’unité) ;
  • deux points X et Y de la demi-droite [AB), avec X distinct de A.

Pour la description des constructions, télécharger ce document GeoGebra :

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QUOTIENT

Pour bien utiliser ce document, aller dans « outils » et ouvrir « gérer les outils » puis cliquer sur « ouvrir ». La figure 15 apparait alors à l’écran, cliquer ensuite sur « affichage » puis sur « protocole de construction » ; le détail des constructions apparait alors dans une fenêtre.

On peut se demander pourquoi « la droite » est perpendiculaire et pourquoi D est sur le cercle, car ces deux conditions ne sont pas nécessaires. La réponse est dans (b), car cette construction me sert à créé un « nouvel outil » que j’ai nommé « quotient » » et « nouvel outil » « déteste » créer des « objets quelconques » ; en fait, la perpendiculaire n’est assujettie qu’à être une droite sécante quelconque à [AB) en A et D n’est assujetti qu’à être un point quelconque de la sécante, distinct de A.

Exercice :

Justifier que $Z = {Y \over X}$, sachant que AC = 1 et que les droites qui semblent parallèles le sont effectivement.


b) Elle me permet de créer un « nouvel outil » nommé « quotient $ Y \over X$ » où les « objets initiaux » sont la demi-droite qui est définie par deux points A et B dans l’ordre puis le point Y et ensuite le point X. « L’objet final » est le point $Z = {Y \over X}$ de la demi-droite [AB).

Cet « outil » « quotient » va être utilisé dans la construction qui nous intéresse pour créer des quotients à la règle et au compas, ce que ne fait pas spontanément GeoGebra.

Sur la figure 16 qui montre le test du « nouvel outil » de ce fichier, mais qui semble être un écran vierge, un nouvel icône apparait dans la barre d’outils :

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Figure 16

Ensuite, on crée les objets initiaux A,B,X,Y ; les noms pouvant être changés.
On active l’outil « quotient » qui apparait dans la barre d’outils à droite, où il est écrit demi-droite $A,B,Y,X$ et on clique, dans cet ordre, sur $A,B,Y,X$.
L’outil « quotient » construit alors $Z = {Y \over X}$, comme sur la figure 17 :

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Figure 17


6) Construction de $\sqrt x$.

La construction de $\sqrt x$ est un cas particulier de la construction de la moyenne proportionnelle de $a$ et $b$ vue plus haut, avec $a = 1$ et $b = x$.
Pour cette construction, j’ai créé le « nouvel outil » « racine carrée » que l’on peut télécharger ici :

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RACINE CARREE

Comme pour le quotient vu plus haut, on peut voir la construction qui a servie à la création de « racine de x » ainsi que le protocole de construction.

Les « objets initiaux » apparaissent quand on active l’icône de ce « nouvel outil » qui est le dernier à droite dans la barre d’outils.

Sur la figure 18, on veut créer la racine de x = CD :

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Figure 18

On clique sur A,B,C,D :

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Figure 19

Le point E vérifie : $AE = \sqrt x$.


7) Construction du produit XY.

Cette construction est donnée uniquement à cause de l’intérêt pédagogique qu’elle présente.

Sur la figure 19, on a deux droites (OU) et (OC) sécantes en O. OU=1 est pris pour unité. X et Y sont deux nombres assimilés à deux points de la droite (OU). Les droites qui semblent parallèles le sont effectivement.
On a Z=XY.

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Figure 19

Exercice :

Justifier que Z=XY.

Sur la figure suivante, la construction est manipulable en ligne (le menu affichage permet de cacher la fenêtre algèbre et de prendre connaissance du protocole de construction) :

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Créé avec GeoGebra

Pour télécharger le fichier :

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Produit XY

Quel est l’intérêt pédagogique de cette construction ?

Jean DIEUDONNE [2] dit que la règle des signes (- x - = +) est incompréhensible pour un non mathématicien ; je suppose qu’il veut dire par là que pour un mathématicien cette règle est la conséquence d’un système d’axiomes qui définit l’ensemble des nombres réels ; mais que répondre à un élève curieux qui veut comprendre d’où vient cette règle ? La réponse est dans la construction précédente dit-il, et il ne voit nulle part ailleurs la possibilité de rendre sensible cette règle.

Exercice :

En vous servant du fichier précédent, mettre en évidence cette règle.


Ici, les constructions précédentes me fournissent un prétexte à une nouvelle incursion dans l’histoire des mathématiques. A ma connaissance, les mathématiciens grecs, après les pythagoriciens, ne se sont pas posé la question : la construction d’un point à la règle et au compas est-elle réalisable avec le compas seul ?

La copie d’écran suivante vient de La géométrie du compas, article de Baptiste GORIN publié sur le site de L’IREM de La-Réunion où, avant de proposer une démonstration de ce théorème, il donne toute une série de constructions de points faites au compas seul.

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Figure 20

Il y a là une multitude de « très beaux » exercices à présenter aux élèves.

Je choisis d’extraire deux de ces constructions pour en faire deux exercices à proposer aux élèves. Je modifie légèrement la démonstration de la deuxième construction proposée par Baptiste GORIN pour qu’elle soit bien dans le cadre des acquis des élèves de seconde. Pour chaque exercice, Baptiste GORIN propose plusieurs solutions, j’en choisis une.

a) Construction du symétrique d’un point A par rapport à un point O, au compas seul.

Exercice :

A et O étant deux points donnés, construire avec le seul compas le symétrique A’ du point A par rapport au point O.

La figure 21 propose une construction de A’ :

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Figure 21

Exercice :

Justifier cette construction.

b) Construction du milieu I de [AB].

La figure 22 ci-dessous propose une solution :

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Figure 22

Construction :

  • Le point C est le symétrique de A par rapport à B.
  • Les points D et E sont les intersections des cercles de centre A passant par B et de centre C passant par A.
  • Les cercles de centre D passant par A et de centre E passant par A se coupent en A et I.
  • Le point I est le milieu de [AB].

Exercice :

  • Montrer que (DE) est la médiatrice de [AI] et (CA) est la médiatrice de [DE] et en déduire que I, A et B sont alignés.
  • J étant le point d’intersection des droites (DE) et (AB), montrer que $AI =2 AJ$.
  • Le point A’ désignant le symétrique de A par rapport à C, montrer que $DJ^2 = JA \times JA’$.
  • Montrer que $AJ \times AA’ = AJ^2 + JA \times JA’$ et en déduire que $AJ \times AA’ = AD^2$.
  • En déduire que $AB^2 = AJ \times AA’$.
  • Montrer que $AA’ = 4AB$ puis que $AB = 4AJ$.
  • Montrer alors que I est le milieu de [AB]


Les constructions proposées en introduction

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Les constructions à réaliser ont été décrites en introduction.

Dans les constructions qui suivent les constructions à la règle et au compas des perpendiculaires, des parallèles et du milieu ayant été soigneusement décrites, on s’abstient de les utiliser et on utilise plutôt les outils implantés dans la machine, ceci pour ne pas saturer les capacités de GeoGebra ; par contre on se contraint à utiliser systématiquement les constructions de la racine carrée et du quotient.

1) Construction de deux points qui vérifient $aMA^2 + bMB^2 = c$

On reprend le premier écran où ont été construits deux points M et M’ de la ligne de niveau $MA^2 + MB^2 = c$, on cache les constructions qui ne sont pas nécessaires et on ajoute deux segments de longueur $a$ et $b$ pour obtenir l’écran suivant :

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Figure 23

On trace les demi-droites [AM) et [BM’) et on active l’outil racine carrée (en haut à droite) pour construire sur [AM) le point N = $\sqrt a$. On construit, de même, le point O = $\sqrt b$ sur la demi-droite [BM’).

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Figure 24

On active l’outil « quotient » (dans la barre d’outils à droite) pour construire le quotient T de M par N, au préalable on aura construit un point R distinct de M sur [AM) de sorte que la demi-droite [AM) est redéfinie comme étant la demi-droite [AR). L’outil « quotient » étant activé, cliquer sur A,R,M,N.

Le point T apparait alors sur [AR).

On construit, de même, le quotient V de M’ par O.

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Figure 25

On cache les constructions qui ne sont pas nécessaires de sorte qu’il ne reste que ce qui est dans l’écran suivant où les cercles de centre A passant par T et de centre B passant par V se coupent en W et Z.

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Figure 26

Si les points n’apparaissent pas ou pas de façon lisible, bouger I,K, C ou P. Il y a des valeurs de ces paramètres où les points n’existent pas.
Cacher les constructions pas nécessaires pour la suite et demander « la trace active » des points W et Z quand P varie sur la droite (AB).

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Figure 27

Ici, l’outil « lieu » refuse obstinément de fonctionner car on travaille aux limites des capacités du logiciel.

2) Construction de deux points qui vérifient $MA^2 - MB^2 = c$

Les données sont les mêmes que celles qui ont conduits à la configuration de la figure 1 : un segment « c », A,B,P.

  • Tracer le cercle de centre P et de rayon $\sqrt c$ ;
  • la perpendiculaire à (AB) passant par le point P coupe le cercle précédent en un point Q
  • les cercles de centre A passant par le point Q et de centre B et de rayon AP se coupent en M et M’.

Si ça n’est pas le cas, bouger le point P car dans ce cas il y a toujours une position de P où les points M et M’ existent.

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Figure 28

Exercice :

Montrer que les points M et M’ vérifient l’égalité $MA^2 - MB^2 = c$.

Exercice :

Demander « le lieu » des points M et M’.

3) Construction de deux points qui vérifient $aMA^2 - bMB^2 = c$

Reprendre, scrupuleusement, le même protocole de constructions que celui qui a conduit à la construction de deux points qui vérifient $aMA^2 + bMB^2 = c$, mais protocole appliqué à la configuration de la figure 28 pour obtenir les deux points cherchés ; on demande ensuite « la trace active » de ces deux points.

Conclusion

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Je me suis placé, virtuellement, devant une classe de seconde pour faire les activités proposées par l’article ; j’aimerais bien que ce ne soit pas virtuellement mais effectivement devant une classe. Mais dans quel contexte faire ce travail ?
Pendant les heures de cours, cela me semble irréalisable car il y a un programme à terminer et cette activité est trop grande consommatrice de temps. Néanmoins, elle serait pourtant bénéfique à nos élèves. Peut-être y a-t-il un "espace de liberté" où l’on pourrait faire ce travail ? Ce n’est pas à moi de répondre à cette question.


notes

[1Baptiste GORIN : La géométrie du compas

[2« Pour l’honneur de l’esprit humain », Jean DIEUDONNE , Hachette

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