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Mathématiques et désenchantement
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Mis en ligne le 26 août 2019, par Patrice Debrabant

Pour le professeur de mathématiques, les motifs de désenchantement sont nombreux :

  • marchandisation de l’éducation ;
  • réformes par strangulation ;
  • comportement des élèves ;

On va s’intéresser ici aux contenus enseignés, à l’interprétation de ces contenus, et à la manière de les enseigner (de les transmettre). Dans l’optique d’une résistance (d’une sorte de contre-attaque) contre le désenchantement. Pour être plus dans l’air du temps [1], on pourrait présenter l’article comme une apologie de l’enchantement.

Illustration présentée avec l’aimable autorisation de son auteur : Eléonore Bellot

« Le monde doit être romantisé. C’est ainsi que l’on retrouvera le sens originel. Cette transmutation est encore totalement inconnue... ...En donnant à l’ordinaire un visage mystérieux, au connu la grandeur de l’inconnu, au fini l’illusion de l’infini, je le rends romantique. » [2] (Novalis)

Pour arriver joyeusement où l’on veut en venir, on va assumer la naïveté. Qu’est-ce qui n’a pas marché en pédagogie ?
Notoirement, la réforme des mathématiques modernes(…).
Résumé :
Au cours des années 70, des pédagogues distingués se donnent pour mission de dépoussiérer les programmes pour réduire le fossé qui les sépare de la recherche mathématique. On veut initier plus tôt les élèves au point de vue « bourbakiste » » (caractérisé par une prédominance des structures algébriques abstraites) alors en vogue. « A bas Euclide ! » clame Jean Dieudonné. Ces nouveaux programmes promeuvent un contenu mathématique rigoureux et indépendant de la réalité physique.
C’est un bide total.

Qu’est-ce qui a marché ?
Le système éducatif de la Grèce antique a engendré des générations de mathématiciens (d’artistes, de citoyens...) émérites.
Evidemment, ce jugement péremptoire gagnerait à être étayé par des analyses savantes. Au bas mot, il demande une interprétation. Il y a beaucoup de facteurs en jeu. Réinventer/réactiver pareille synergie éducative ne va pas de soi. En particulier les contenus enseignés doivent être mis à jour.

On peut néanmoins s’arrêter sur une différence notable : pour les Grecs, les mathématiques enchantaient le monde. Pour ceux qui ont subi la réforme des mathématiques modernes, les mathématiques n’enchantaient pas le monde.
La réforme des mathématiques modernes a certes pu plaire à certains et leur rendre l’existence plus agréable. Les élèves qui comprenaient le cours étaient probablement auréolés d’un prestige à la mesure de l’incompréhension des autres. Pour autant, les nouveaux programmes n’enchantaient pas le monde.
Il y a dans la notion d’enchantement une dimension « magique ». Et l’enchantement ne peut fonctionner sans une adhésion enfantine, qu’il s’agit de susciter. On est à l’opposé des « mathématiques modernes », où le fonctionnement mental (quand il est en réussite) est de type geek.

Que l’on s’entende bien : il ne s’agit pas d’un enchantement benêt et benoit qui encouragerait à s’enthousiasmer devant des niaiseries. C’est un émerveillement actif. C’est une religion active au sens où Ciceron définissait une religion, à savoir « le fait de s’occuper d’une nature supérieure que l’on appelle divine et de lui rendre un culte ».

Je ne suis pas un IDD ! Je suis un homme libre !!!


Qu’est-ce qu’un IDD ?
Le sigle correspond à « Itinéraire de Découverte », ce qui n’informe pas beaucoup sur son contenu...
Depuis quelques décennies, la mode est aux activités annexes, souvent de projet, qui viennent se greffer sur l’enseignement traditionnel mais revendiquent une nature différente de celui-ci.
A l’origine, l’IDD est conçu dans une optique de globalisation. Au début du siècle, des pédagogues comme le médecin belge Decroly ont prôné un retour à une approche globale pour accéder à la connaissance. Cette approche veut s’opposer à la parcellisation du savoir résultant à la fois de la décomposition par paliers de compréhension et du morcellement par disciplines différentes.
On met en exergue des objets ou des thèmes bien déterminés pour en faire une analyse globale et inter-disciplinaire. Ces objets, souvent pratiques et devant correspondre à des besoins des élèves, sont choisis pour l’intérêt qu’ils suscitent. [3]
N’en déplaise aux partisans de l’IDD, si le contenu éducatif est ainsi conçu pour répondre directement (sans médiation) à une demande (des élèves), il s’inscrit alors dans le cadre des échanges économiques et devient une sorte de marchandise.
En outre, l’IDD est un disposititif extérieur qui vient de greffer sur l’enseignement traditionnel (on peut s’en délester sans dommage s’il ne donne pas satisfaction).
En bref, l’éducation (elle aussi...) est conçue sur le modèle de la start up. [4]

L’enchantement que l’on présente ici n’est pas de cet ordre. Il a vocation à faire partie de l’enseignement de base. Il ne vise pas une explication de la réalité (plus exactement il ne vise pas directement cette explication mais l’ancre émotionnellement). Pour le dire de façon saisissante, il appartient plus au religieux [5] qu’à l’économique.

Désenchantement et crise de l’autorité

Dans un texte célèbre intitulé Qu’est-ce que l’autorité ? de son livre La crise de la culture (1972), Hannah Arendt émet la thèse que l’autorité s’appuie (s’enracine) sur un recours à une transcendance. La relation d’autorité est analysée comme un rapport foncièrement inégalitaire qui s’exerce sous l’égide d’une transcendance à laquelle sont soumis à la fois celui qui obéit à l’autorité et celui qui la détient (qui en est le dépositaire). Historiquement, cette transcendance a pris la forme de la tradition et d’une référence mystique aux Anciens, puis celle de la Religion. Mais ce pouvoir fondateur de la Religion s’est considérablement affaibli dans les temps modernes. D’où une « crise de l’autorité ».

On peut en effet penser que la séparation de l’Eglise et de l’Etat, et plus encore l’affirmation tacite que celui-ci est plus fort que celle-là, sape le pouvoir fondateur de la Religion sans reprendre à son compte cette fonction : l’État est une force sans autorité car c’est une force sans transcendance.
Mais l’État s’appuie sur le savoir (on peut même avancer qu’il réalise le savoir au niveau de la vie collective). Par conséquent, accorder (ou plutôt reconnaître selon la thèse que l’on veut défendre) une transcendance au savoir, transcendance dont l’enchantement est une manifestation (et un éveil à), c’est réenraciner l’autorité de ceux (les professeurs) qui lui ont voué leur existence.

L’enchantement chaque semaine chez votre marchand de journaux ?

J’ai découvert la collection « Le monde est mathématique » de manière totalement fortuite tandis que j’étais en vacances et que je faisais des courses dans un mini-market.
La (une) particularité de cette collection est qu’elle est vendue en kiosque sur le même mode que les magazines consacrés à un thème qui peut se décliner en série : les avions de la seconde guerre mondiale, les films de Louis de Funes, les voitures emblématiques des années 60, etc. L’encart publicitaire (poster en carton taille XL) est comparable. On retrouve les éléments publicitaires caractéristiques, dont un prix d’appel attractif (« Le volume 1 à 3,99 euros seulement ») et un bandeau sur fond noir qui proclame que « le monde est MATHEMATIQUE ».

lien vers le site internet de la collection (plus neutre)

La collection est annoncée « à la fois accessible et d’une grande rigueur scientifique ». La caution intellectuelle est apportée par Etienne Ghys, qui apparaît en médaillon.

L’idée de cette collection (et son type de commercialisation) est très intéressante. On peut en outre y déceler l’écho des réflexions que l’on vient de présenter.
Pour résumer, cette collection apparaît comme une forme d’évangile. Que l’on me comprenne bien, c’est une interprétation qui selon moi confère une valeur très positive à cette collection. En effet, comme je l’ai dit plus haut, je pense « qu’il faut » [6] reconnaître une transcendance aux mathématiques (à l’essence mathématique au sens large). Et, n’ayons pas peur des mots, l’élever en une sorte une religion.

Cela étant, reconnaître dans cette collection un évangile est une interprétation (que beaucoup qualifieront de « sauvage ») qui est faite en filigrane, le texte lui-même ne s’aventurant pas explicitement sur ce terrain.
Au verso de l’encart publicitaire, on trouve cette phrase d’Etienne Ghys : « Une idée mathématique est belle si elle est simple, mais surtout si elle est utile dans de nombreux domaines. »
On serait tenter d’ajouter/de corriger qu’une idée mathématique est belle si elle est source d’enchantement.
Mais c’est une précaution inutile car c’est déjà fait dans la présentation complète de la collection publiée sur le site internet ! Il s’agit en fait d’un malentendu. La citation isolée plus haut ne reflète pas la vision d’ Etienne Ghys. Voici un texte plus posé du même auteur :
« Il ne faudrait cependant pas limiter les mathématiques à cet aspect utilitaire un peu triste, à un outil, à une espèce de couteau suisse qui permettrait de faire beaucoup de choses différentes. Les mathématiciens ne peuvent s’en satisfaire : ils font des mathématiques non seulement parce qu’elles sont utiles mais surtout parce qu’elles sont belles. Les philosophes s’interrogent depuis longtemps sur les liens qui unissent le beau et l’utile, au moins depuis Platon, et le débat n’est pas clos. Les mathématiciens ont très souvent tendance à dire qu’une idée mathématique ou une démonstration est belle si elle est simple, mais surtout si elle est utile dans de nombreux domaines différents, y compris là où on ne l’attend pas. Si la découverte de Newton est belle, c’est bien parce qu’on la retrouve partout. Cette beauté est un peu analogue au sentiment qu’on éprouve devant un monochrome de Malevitch : un mélange de simplicité et d’ouverture sur des mondes insoupçonnés, différents pour chaque spectateur. »

On ne fera pas ici de recension du volume 1, qui est clairement de qualité. On peut juste noter que sa forme est un peu « désuète ».
Affaire à suivre. Avec un vif intérêt.

Prenons l’exemple emblématique du nombre d’or.
Une pédagogie désenchanteresse consisterait à présenter le nombre d’or à l’occasion de la résolution de l’équation de degré 2, et se contenterait de le réduire à la racine positive de l’équation $\phi^2+ \phi + 1 = 0$.
Là où une pédagogie enchanteresse le ferait découvrir préalablement (dans le pentagramme, via la suite de Fibonacci, dans un pavage de Penrose...) et lui conférerait un statut « magique ».
Attribuer au nombre d’or un statut « magique » est un acte de foi. Cela vaut pour les mathématiques en général. C’est un acte de foi qui enchante le monde.

Poussons la naïveté. On va proposer un programme d’étude sous le signe de l’enchantement pour les cycles 3 et 4.
Ce programme sera composé :

  • A) d’un ensemble de compétences (en géométrie, en programmation et en géométrie dynamique)
  • B) d’un projet (cinématique et Scratch)
  • C) de considérations et de recommandations pour l’apprentissage de la démonstration

A) Compétences en géométrie, en programmation et en géométrie dynamique

Compétence I : autour du carré

Les 6 sous-compétences suivantes sont à valider (type oui/non) et permettront d’évaluer la compétence I de façon standard.

1) Construire un carré avec une règle, une équerre, un compas

2) Construire un carré avec un logiciel de géométrie dynamique (CaRMetal ou GeoGebra)

CarMetal - 2.1 ko
Solution avec CaRMetal

3) Construire un carré dynamique par rapport à deux points avec un logiciel de géométrie dynamique (CaRMetal ou GeoGebra)

CarMetal - 2.1 ko
Solution avec CaRMetal

4) Construire un carré en géométrie de la tortue avec Scratch (plus précisément en construisant une procédure carre_main_gauche ou carre_main_droite).

carre_main_gauche
Scratch - 16.8 ko
Solution avec Scratch

5) Construire un carré rempli en géométrie de la tortue avec MathABlocs.

Texte - 3.5 ko
Solution avec MathABlocs

6) Construire un carré rempli dynamique par rapport à deux points en géométrie de la tortue avec DGPad

Texte - 2.8 ko
Solution avec DGPad

7) Expert : construire la figure ci-dessous en géométrie de la tortue (avec Scratch, MathABlocs ou DGPad)

Texte - 5.5 ko
Solution avec MathABlocs

Compétence II : autour du triangle équilatéral

6 sous-compétences à valider :

1) Construire un triangle équilatéral à la règle et au compas

2) Construire un triangle équilatéral avec un logiciel de géométrie dynamique (CaRMetal ou GeoGebra)

CarMetal - 1.6 ko
Solution avec CaRMetal

3) Construire un triangle équilatéral dynamique par rapport à deux points avec un logiciel de géométrie dynamique (CaRMetal ou GeoGebra)

CarMetal - 1.4 ko
Solution avec CaRMetal

4) Construire un triangle équilatéral en géométrie de la tortue avec Scratch : construire une procédure triangle_main_gauche ou triangle_main_droite

Scratch - 18.4 ko
Solution avec Scratch

5) Construire un triangle équilatéral rempli en géométrie de la tortue avec MathABlocs.

Texte - 3.5 ko
Solution avec MathABlocs

6) Construire un triangle équilatéral rempli dynamique par rapport à deux points en géométrie de la tortue avec DGPad

Texte - 2.8 ko
Solution avec DGPad

7) Expert : construire la figure ci-dessous en géométrie de la tortue (avec Scratch, MathABlocs ou DGPad)

Texte - 11.2 ko
Solution avec MathABlocs

Compétence III : le diamant (d’après une activité GéoTortue de l’IREM Paris Nord) [7]

4 sous-compétences à valider :

1) a) Construire le diamant au trait avec CaRMetal ou GeoGebra

CarMetal - 10.2 ko
Solution avec CaRMetal

1) b) Colorier dans CaRMetal ou GeoGebra

CarMetal - 11.8 ko
Solution avec CaRMetal

2) Construire le diamant au trait en géométrie de la tortue avec Scratch.

carre_main_droite
triangle_main_droite
maison
Scratch - 23 ko
Solution avec Scratch

3) Construire le diamant en couleur en géométrie de la tortue avec MathABlocs

Texte - 11.4 ko
Solution avec MathABlocs

4) Expert : Construire le diamant en couleur, dynamique par rapport à deux points, en géométrie de la tortue avec DGPad

Texte - 10.6 ko
Solution avec DGPad

Cette figure peut être réalisée collectivement par découpage de triangles et de carrés construits à la règle et au compas.
C’est ce que l’on a fait avec la classe de Mme Crevet de l’école d’Idron dans le cadre d’un projet approuvé par la CARDIE (académie de Bordeaux).

Compétence IV : autour du mythique pentagramme

Le Pentacle de l’Art tel que décrit dans une publication du
Sixième livre de Moïse datant du xixe siècle (d’après Wikipédia)

6 sous-compétences à valider :

1) Construire un pentagone régulier ou un pentagramme à la règle et au compas

2) Construire un pentagone régulier ou un pentagramme avec un logiciel de géométrie dynamique (CaRMetal ou GeoGebra)

a) sans les angles

CarMetal - 3 ko
Solution avec CaRMetal

b) avec les angles

CarMetal - 2.4 ko
Solution avec CaRMetal

3) Construire un pentagone régulier ou un pentagramme dynamique par rapport à deux points avec un logiciel de géométrie dynamique (CaRMetal ou GeoGebra)

CarMetal - 3.6 ko
Solution avec CaRMetal

On pourra utiliser cette figure pour lire les angles / les rapports de longueur (en particulier le nombre d’or) qui seront utiles pour construire la figure en géométrie de la tortue.

4) Construire un pentagone régulier ou un pentagramme en géométrie de la tortue avec Scratch.

Scratch - 20.9 ko
Solution avec Scratch

5) Construire un pentagone régulier ou un pentagramme rempli en géométrie de la tortue avec MathABlocs.

Texte - 4.3 ko
Solution avec MathABlocs

6) Construire un pentagone régulier ou un pentagramme rempli dynamique par rapport à deux points en géométrie de la tortue avec DGPad

Texte - 4.3 ko
Solution avec DGPad

7) Expert : construire une variante de la figure ci-dessous en géométrie de la tortue (avec Scratch, MathABlocs ou DGPad)

Texte - 33.3 ko
Solution avec MathABlocs

Cette figure peut être réalisée collectivement par découpage de pentagrammes et de pentagones construits à la règle et au compas.
C’est ce que l’on a fait avec la classe de Mme Doby de l’école de Meillon dans le cadre du projet CARDIE évoqué plus haut.


Ce projet est présenté dans cet article du site carmetal.org.

Compétence V : autour des quadrilatères particuliers et des paramètres

4 sous-compétences à valider :

1) Construire un bloc avec paramètres avec Scratch :
carre_main_gauche(a)
rectangle_main_gauche(a, b)
losange_main_gauche(c, angle)
parallelogramme_main_gauche(x, y, ang)

2) Construire un bloc avec paramètres en utilisant une palette limitée (selon une hiérarchie) avec MathABlocs

Principe : on utilise une version de MathABlocs dans laquelle on ne peut pas poser le stylo et dans laquelle on dispose d’un bloc parallelogramme (main gauche). L’élève doit créer les autres blocs avec paramètres (carré, rectangle et losange) en utilisant ce bloc (ce qui permet de "concrétiser" la hiérarchie des quadrilatères).

La version de MathABlocs que l’on va utiliser est hébergée ici : https://carmetal.org/MathABlocs-para/

Dans cette version de MathABlocs, la palette tortue ne contient pas de bloc pour poser le stylo (qui est initialement levé). La seule façon de tracer quelque chose est d’utiliser le bloc "Tracer un parallélogramme".

Solution :


Texte - 6.8 ko
Solution avec MathABlocs-para

On peut poursuivre l’activité en construisant des classiques issus du site de l’IREM Paris Nord (avec Scratch ou avec MathABloc-para) :

3) Construire les figures suivantes :

Texte - 8.7 ko
Solution avec MathABlocs-para

Texte - 35.1 ko
Solution avec MathABlocs-para

4) Expert : construire le motif du plat de Soissons :

Texte - 16.2 ko
Solution avec MathABlocs-para

B) Projet cinématique et Scratch : la course de pédalos infernale

On va travailler avec Scratch en mode turbo, autrement dit en géométrie de la tortue avec des tortues de vitesse infinie.
Dans ce contexte, comment obtenir le mouvement (ou l’illusion du mouvement) ?
Comme au cinéma, c’est la succession d’images qui va donner l’impression de mouvement.

Le script principal aura la forme suivante :

répéter
        Effacer tout
        Tracer une image légèrement différente par rapport à la précédente
        Attendre 0.05 s (pour une fréquence égale à 20 images par seconde)

Si on se contente d’afficher le lutin, le script est le suivant :

Si on veut aussi tracer notre propre figure en géométrie de la tortue (et ce sera le cas), le script peut être du type suivant :

Avec le script ci-dessus, on trace un carré :

Dans notre activité, on souhaite tracer un cadre de pédalo.

On souhaite aussi gérer le mouvement circulaire des pales.
Le script modèle sera le suivant :

a ← 0
répéter
        Effacer tout
        Avancer de 2 px
        Construire le cadre du pédalo les pales tournées d’un angle a
        Attendre 0.05 s (pour une fréquence égale à 20 images par seconde)
        Augmenter a de 4°

Pour le pédalo basique suivant :

le script pourrait être structuré ainsi :



Scratch - 103.2 ko
Solution avec Scratch
(passer en mode turbo)

L’activité peut être approfondie en organisant une course (factice) de plusieurs pédalos dans l’esprit des courses loufoques [8]

C) Considérations sur l’apprentissage de la démonstration

La démonstration peut aussi être source d’enchantement.
Mais c’est moins évident d’en convaincre les adolescents dans certains contextes.

Quelles démonstrations proposer, et en quelle classe ?

En 6e :
La propriété de la médiatrice peut être mise en œuvre dans des exercices de type carte au trésor.
On peut proposer des exercices simples avec la propriété des angles du triangle isocèle.

En 5e :
Les propriétés des quadrilatères particuliers.
A mettre en œuvre avec des constructions.
L’analogie que l’on peut faire avec la classification des animaux est une source d’enchantement.

En 4e :
La propriété de Pythagore.
Dans un article du site Images des maths, Etienne Ghys avance l’idée que la présentation du théorème de Pythagore au collège ne se justifie dans les programmes que si elle est associée à sa démonstration. [9]
C’est contestable dans la mesure où la démonstration du théorème de Pythagore demande une certaine expertise sans laquelle la portée (et la beauté) de cette démonstration ne peut pas être perçue.
En revanche, la simple application du théorème est une source d’enchantement qu’il semble important de préserver. Et la démonstration du théorème de Pythagore pourrait fort bien figurer au programme du lycée (certaines démonstrations, par exemple celles qui utilisent les produits remarquables, s’y prêtent très bien).
En classe de 4e, on peut mettre l’accent sur les démonstrations avec le calcul littéral (possibilité de faire des tours de magie), et proposer par exemple « le L de Fibonacci » (voir 1b) de la mathémagie de Dominique Souder).

Pourquoi diable les démonstrations avec les triangles égaux ?
Difficile à dire… En tout état de cause, on peut dire que les démonstrations avec les triangles égaux sont rarement sources d’enchantement. Sauf assurément pour ceux qui ont initié le retour de ces notions dans les programmes.

Sans compter le terme même de "triangles égaux", auquel on pourrait préférer celui de "triangles superposables". En effet, quand on parle par exemple d’angles ou de segments égaux c’est par abus de langage. Mais c’est nettement plus subtil quand on parle de triangles égaux (le terme "triangles isométriques" est tout aussi court et ne justifie donc pas l’abus de langage consistant à lui substituer "triangles égaux").

En 3e :
Démonstrations avec les triangles semblables (qui permettent « d’étendre » l’application du théorème de Thales et de mieux le comprendre).


notes

[1« Le spleen n’est plus à la mode... », bêle Angèle. Cette mise au rancart s’observe aussi dans les théories de l’éducation.

[2En Version originale : « Die Welt muss romantisiert werden. So findet man den ursprünglichen Sinn wieder. Romantisieren ist nichts als eine qualitative Potenzierung. Das niedere Selbst wird mit einem besseren Selbst in dieser Operation identifiziert. So wie wir selbst eine solche qualitative Potenzen-Reihe sind. Indem ich dem Gemeinen einen hohen Sinn, dem Gewöhnlichen ein geheimnisvolles Ansehen, dem Bekannten die Würde des Unbekannten, dem Endlichen einen unendlichen Schein gebe, so romantisiere ich es. » (Novalis)

[3La recherche de globalité a été poussée jusqu’au ridicule dans la conception de certains sujets du brevet des collèges où il était question que le sujet de maths, celui de SVT, celui de sciences physiques et celui de techno portent chacun sur un même thème, par exemple la piscine...

[4Le non dit est qu’il n’y a plus que ça qui marche (moins mal que le reste).

[5On notera que c’est une dimension que l’école a réinvestie plus ou moins ouvertement avec « l’éducation civique ». Difficile de dire si (sous cette forme) c’est une bonne chose, une mauvaise, ou un mal nécessaire...

[6C’est une version du pari pascalien.

[7Les activités GéoTortue de l’IREM Paris Nord ont été une source d’enchantement pour l’auteur.

[8Wacky races (les Fous du volant)

[9Son intention semble avant tout de réveiller l’Education Nationale de son "sommeil dogmatique" (selon l’expression d’Emmanuel Kant) et de lancer le débat.

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