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Epreuve pratique en mathématiques
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Mis en ligne le 20 avril 2014, par Stéphan Manganelli

Nous retrouvons ici Stéphan Manganelli, notre compère de la rubrique "Regards croisés". Dans cet article, il délaisse LARP et l’algorithmique pour mettre ses élèves à l’épreuve de la démarche scientifique assistée d’un logiciel de géométrie dynamique : Geoplan-Geospace. Il nous adresse 13 fiches détaillant des problèmes destinés au départ à la préparation de l’épreuve pratique de mathématiques au baccalauréat.

Le comité de rédaction de MathémaTICE a alors eu l’idée de demander à notre récent collaborateur Hédi Abderrahim [1], spécialiste de GeoGebra, de réaliser les fichiers GeoGebra permettant de traiter les problèmes de Stéphan. Celui-ci a immédiatement accepté avec enthousiasme.

En cours de projet, nos rédacteurs Yves Martin et Alain Busser ont tenu eux aussi à participer et à montrer la spécificité de DGPad...en traitant à leur façon quelques uns des problèmes de Stéphan et c’est ainsi que nous vous proposons un article très riche et très original.

Merci à eux !

Cet article peut être librement diffusé et son contenu réutilisé pour une utilisation non commerciale (contacter l’auteur pour une utilisation commerciale) suivant la licence CC-by-nc-sa (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/fr/legalcode)

Article mis sous SPIP par Angelo Laplace.

Auteur : Stéphan Manganelli, LEGTA « Louis GIRAUD » à Serres, Carpentras.


Elle a montré son nez il y a quelques temps (jusqu’à une expérimentation), puis elle s’est calmée ; certains la remettent sur le tapis…
Je veux parler de l’épreuve pratique en mathématiques.
Pour ma part, après un léger recul, je trouvais intéressante et raisonnable l’idée de découper l’épreuve de Bac (avec une pondération réfléchie adéquate) en :

  • une épreuve écrite sans filet pour évaluer certaines compétences ;
  • une épreuve pratique en salle info avec le matos, pour évaluer d’autres compétences.

L’organisation et la passation d’une telle épreuve pratique est d’ailleurs déjà mise en place correctement par les physiciens, les biologistes, ou autres… Pourquoi pas nous ?

J’ai cru bon, sans trop avoir fouiné pour savoir ce qui existait déjà (même si je sais qu’il en existe beaucoup sur la chose), de mettre en ligne quelques fiches que j’avais concoctées à l’époque et dont je me sers toujours aujourd’hui, pour illustrer l’intérêt du recours à un logiciel de géométrie dynamique dans la résolution d’un problème (de géométrie ici).

Dans ma pratique avec les élèves, j’utilise pour cela un volet d’heures d’Accompagnement Personnalisé, en salle info, que je négocie en début d’année (pour mes classes de Seconde GT, 1re S et Tle S) et sur lequel je travaille le recours à l’informatique dans la résolution de problèmes mathématiques (prolongement de l’algorithmique par la programmation sur calculatrices ou LARP, simulation, géométrie dynamique, etc.). Vous trouverez les fiches LARP dans les articles « Regards croisés » sur ce site. Ici je ne présente donc que des problèmes de géométrie (j’en ai retenu 13 pour l’instant), rencontrés au hasard, et testés :

  • Les deux trajets, Gouttière de longueur minimale , Le problème de la chèvre, plutôt en Terminale S ;
  • Un angle constant, Un rectangle variable dans un quart de cercle, Le plus petit triangle adossé à une parabole, Le grand huit, Un carré d’aire variable plutôt prévus en Première (S) ;
  • Mouvements de surfaces, Le plus grand rectangle dans un triangle, Le plus grand rectangle dans un triangle n°2 ou L’aileron, Angle de tir maximal plutôt à tester en Seconde GT.


Quelques commentaires…


Les deux trajets et Le problème de la chèvre aboutissent à une équation transcendante (dont on ne peut donner qu’une valeur approchée de la solution, comme $ " \cos x =x " $ ou $ "\ln x + x²=0"$.) Le recours à l’outil informatique se fait à deux endroits : logiciel de géométrie dynamique pour la simulation, puis balayage sur tables de valeurs (calculatrice ou tableur) dans la phase démo. J’ai essayé notamment de rédiger le problème classique (mais pas du tout évident !) de la chèvre... Dans la phase de démonstration, j’admets certaines choses, j’en fais démontrer d’autres...Je trouve que là, pour le coup, le recours au logiciel permet d’accéder sans trop de frais au “résultat”... alors que la mise en équation du problème (faisable) est loin d’être immédiate... avis aux amateurs qui découvrent ce problème !!!

Plus généralement, tous ces problèmes peuvent poser des problèmes justement à certains, et le recours au logiciel leur permet de réussir en quelque sorte. Je relativise de suite mon propos en disant qu’il faut cependant un certain regard théorique pour cheminer de manière efficace et pertinente dans le logiciel... (un peu comme sur Internet, je dirais).

Je fais, ici, le choix personnel du logiciel Geoplan-Geospace, en ayant conscience qu’il n’est plus vraiment en tête de gondole. Chacun pourra bien évidemment traiter le même problème avec le logiciel de son choix.
Il se trouve que je manipule Geoplan-Geospace moins mal que les autres et que donc je suis relativement à l’aise pour le présenter à mes élèves... Je me régale et eux aussi ! C’est bien là l’essentiel. Plus sérieusement, je trouve ce logiciel très pédagogique dans sa présentation (un menu déroulant à plusieurs tiroirs pour créer assez vite quasiment tout ce que l’on souhaite...). J’ai toujours eu plus de mal avec Cabri (et GeoGebra) : je ne sais pas très bien où se trouve les choses et où il faut aller les chercher... et cette histoire de devoir désélectionner pour reprendre la main sur le pointeur m’a toujours énervé... c’est fou les habitudes quand elles s’y mettent...
Pour l’instant, comme avec LARP, peu de sujet lycée me résistent (du
moins résistent à Geoplan) et donc j’en joue encore et toujours...
Par ailleurs, je précise toujours sur ces fiches que Geoplan-Geospace n’est qu’un exemple de logiciel à disposition... libre à l’enseignant d’y proposer son logiciel de prédilection... Mon exemple de "corrigé" est sous Geoplan puisque c’est celui que j’utilise.C’est surtout l’esprit qu’il faut retenir et pas tant le type de logiciel utilisé, me semble t-il... Chacun, intéressé par cette option de traitement des problèmes, l’adaptera à son goût...

L’élève a à sa disposition un panel de logiciels pour s’en sortir : libre à lui de choisir celui qu’il sent le mieux pour traiter le problème... moi je leur apprends à utiliser Geoplan, car pour l’instant c’est celui que je manipule le mieux...


J’y reviens...


Un peu comme la simulation (avec LARP pour moi) permet d’estimer la valeur d’une proba cherchée, modestement, j’essaye de montrer ici comment le recours au logiciel de géométrie dynamique peut être utile...pour trouver la réponse (même si l’on reste dans la conjecture, ça n’y fait rien, on a trouvé ! et l’on ne saura d’ailleurs parfois pas faire la démo... et puis en existe t-il vraiment une... ?), voire même parfois pour trouver le chemin de la démo (je pense aux problèmes de lieu comme Le grand huit ou L’aileron : le voir se tracer alors qu’on n’avait aucune idée de sa nature, éclaire bien le chemin...). Voilà quelques éléments qui, je l’espère, ont éclairé un peu mes intentions...

Régalez-vous bien !


Zone de téléchargement


Voici ci-dessous les différentes fiches PDF de description des problèmes (rangés en onglets par niveau d’enseignement) dont Stéphan Manganelli est l’auteur. Les différents fichiers GeoGebra correspondants et réalisés pour l’occasion par Hédi Abderrahim sont également disponibles. Un gif animé (chargement long) permet d’avoir un aperçu de l’animation produite par la géométrie dynamique. On peut télécharger le fichier GeoGebra complet en cliquant sur la copie d’écran qui suit. Attention, la lecture de ces fichiers exige GeoGebra 4. Quelques fichiers dynamiques réalisés avec DGPad par Yves Martin et Alain Busser accompagnent également certains problèmes (Mozilla Firefox est recommandé pour leur lecture.)


Niveau Terminale S

Les deux trajets

PDF - 198 ko
Les deux trajets (Enoncé)


GIF - 3.1 Mo
Gif animé du fichier GeoGebra "Les deux trajets"
3,1 Mo (Chargement long)


geogebra - 16 ko
Fichier GeoGebra pour le problème des deux trajets
Télécharger en cliquant sur l’image ci-dessus


Le problème de la chèvre

PDF - 199.5 ko
Le problème de la chèvre (Enoncé)


GIF - 5.8 Mo
Gif animé du fichier GeoGebra "Le problème de la chèvre"
5,8 Mo (Chargement long)


geogebra - 22 ko
Fichier GeoGebra pour le problème de la chèvre
Télécharger en cliquant sur l’image ci-dessus


NDLR : Le même problème vu par Yves martin avec DGPad


Les logiciels ont chacun des spécificités particulières qui nous permettent d’approcher un même problème par des approches différentes. Par exemple dans DGPad (mais on aurait pu le faire aussi avec GeoGebra avec une recherche de racine), on peut programmer un algorithme de dichotomie dans une expression pour aller à la solution, et surtout – cela semble être une spécificité de DGPad et CaRMetal – aimanter un point mobile sur le cercle par cette solution ou ces deux solutions si on prend le symétrique de l’une par rapport à la droite (OA).

C’est ce qui est fait dans cette figure, où l’on peut déplacer le point M sur le cercle afin de faire apparaître la solution (validée par la différence d’aire nulle). On peut noter que la précision devient plus grande pour l’affichage de l’angle quand on est sur une des deux solutions.

Voici la figure :


On peut trouver des détails sur la façon de réaliser la figure dans cet article sur le site de l’IREM de la Réunion (cliquer sur “son mode calculatrice” dans les premières lignes de l’article et ouvrir l’onglet Dichotomie.)


Gouttière de longueur minimale

PDF - 223.4 ko
Gouttière de longueur minimale (Enoncé)


GIF - 1.8 Mo
Gif animé du fichier "GeoGebra "Gouttière de longueur minimale"
1,8 Mo (Chargement long)


geogebra - 12.5 ko
Fichier GeoGebra pour le problème de la gouttière de longueur minimale
Télécharger en cliquant sur l’image ci-dessus


NDLR : Le même problème vu par Alain Busser avec DGPad


Alain Busser souhaite d’ailleurs attirer l’attention du lecteur sur le fait que DGPad produit des figures légères que l’on peut construire très rapidement, y compris sur tablette. Celles-ci sont aisément exportables et peuvent être intégrées facilement à un article spip comme celui-ci tout en demeurant dynamiques.


Niveau Première


Le grand huit

PDF - 199.8 ko
Le Grand huit (Enoncé)


GIF - 8.5 Mo
Gif animé du fichier GeoGebra "Le grand huit"
8,5 Mo (Chargement long)


geogebra - 6.9 ko
Fichier GeoGebra pour le problème du grand huit
Télécharger en cliquant sur l’image ci-dessus


Un angle constant

PDF - 193.8 ko
Un angle constant (Enoncé)


GIF - 3.1 Mo
Gif animé du fichier GeoGebra "Un angle constant"
3,1 Mo


geogebra - 8.1 ko
Fichier GeoGebra pour le problème un angle constant
Télécharger en cliquant sur l’image ci-dessus


Un rectangle variable dans un quart de cercle

PDF - 173 ko
Un rectangle variable dans un quart de cercle (Enoncé)


GIF - 5.9 Mo
Gif animé du fichier GeoGea du rectangle variable dans un quart de cercle
5,9 Mo (Chargement long)


geogebra - 16.5 ko
Fichier GeoGebra pour le problème du rectangle variable dans un quart de cercle
Télécharger en cliquant sur l’image ci-dessus


Le plus petit triangle adossé à une parabole

PDF - 198.9 ko
Le plus petit triangle adossé à une parabole (Enoncé)


GIF - 3.5 Mo
Gif animé du fichier GeoGebra "Le plus petit triangle adossé à une parabole"
3,5 Mo (Chargement long)


geogebra - 22.1 ko
Fichier GeoGebra pour le problème du plus petit triangle adossé à une parabole
Télécharger en cliquant sur l’image ci-dessus


NDLR : Le même problème vu par Alain Busser avec DGPad



Un carré d’aire variable

PDF - 292.8 ko
Un carré d’aire variable (Enoncé)


GIF - 2.7 Mo
Gif animé du fichier GeoGebra "Carré d’aire variable"
2,7 Mo (Chargement long)


geogebra - 17.7 ko
Fichier GeoGebra pour le problème du carré d’aire variable
Télécharger en cliquant sur l’image ci-dessus

Niveau Seconde GT


Le plus grand rectangle dans un triangle

PDF - 174.4 ko
Le plus grand rectangle dans un triangle (Enoncé)


GIF - 1.7 Mo
Gif animé partiel du fichier GeoGebra "Le plus grand rectangle dans un triangle n°1"
1,7 Mo (Chargement long)


geogebra - 30.5 ko
Fichier GeoGebra pour le problème du plus grand rectangle dans un triangle n°1
Télécharger en cliquant sur l’image ci-dessus


Le plus grand rectangle dans un triangle n°2

PDF - 216.6 ko
Le plus grand rectangle dans un triangle n°2 (Enoncé)


GIF - 2.5 Mo
Gif animé partiel du fichier GeoGebra "le plus grand rectangle dans un triangle n°2"
2,5 Mo (Chargement long)


geogebra - 14.7 ko
Fichier GeoGebra pour le problème du plus grand rectangle dans un triangle N°2
Télécharger en cliquant sur l’image ci-dessus


NDLR : Le même problème vu par Alain Busser avec DGPad



Nous nous en alrons ... de requin

PDF - 209.7 ko
Nous nous en alrons ... de requin (Enoncé)


GIF - 2.5 Mo
Gif Animé du fichier GeoGebra "Nous nous en alrons ... de requin"
2,5 Mo (Chargement long)


geogebra - 6.3 ko
Fichier GeoGebra pour le problème "nous nous en alrons...de requin"
Télécharger en cliquant sur l’image ci-dessus


Mouvement de surfaces

PDF - 165.7 ko
Mouvement de surfaces (Enoncé)


GIF - 4.4 Mo
Gif animé du fichier GeoGebra "Mouvements de surfaces"
4,3 Mo (Chargement long)


geogebra - 20.9 ko
Fichier GeoGebra pour le problème de mouvements de surface
Télécharger en cliquant sur l’image ci-dessus


Angle de tir maximal

PDF - 299 ko
Angle de tir maximal (Enoncé)


GIF - 3.4 Mo
Gif animé du fichier GeoGebra "Un angle de tir maximal"
3,4 Mo (Chargement long)


geogebra - 17 ko
Fichier GeoGebra pour le problème de l’angle de tir maximal


ps

P-S 1 :

Hédi Abderrahim s’est intéressé au problème "Mouvements de surfaces" et afin de nous montrer les possibilités du logiciel GeoGebra, il nous a confectionné un fichier supplémentaire où il utilise le calcul formel pour trouver les valeurs exactes des bornes de l’intervalle-solution. Le premier fichier, disponible dans le corps de l’article, ne pouvait en effet donner que des valeurs approchées, à l’image des possibilités de Geoplan-Geospace.

Téléchargement du fichier :

geogebra - 19.8 ko
Fichier GeoGebra pour le problème des mouvement de surfaces (annexe)

|center>


---- P-S 2 : {{LES SUGGESTIONS D'UN LECTEUR}} (Roland Dassonval) * Le grand huit. Cliquer sur ce lien : [Une adaptation pour le collège ->http://rdassonval.free.fr/flash/simple8.swf]. L'occasion d'utiliser le premier cas d'égalité était trop belle. Plus au programme ? C'est dans le mien : le premier cas, introduit dynamiquement, est admis et énoncé pour être utilisé dans la suite... * Angle de tir. [Une introduction aux fonctions un peu surréaliste ->http://rdassonval.free.fr/flash/statue.html] pourrait servir d'introduction à votre étude. L'angle maximum approché par ce programme (21°) peut être vérifié par vos calculs. * Les deux trajets. J'ai repris le programme "Les deux trajets" autrement : http://rdassonval.free.fr/flash/trajets.swf

* La gouttière

http://rdassonval.free.fr/flash/gouttiere.swf

Cordialement,

Roland Dassonval


P-S 3 :

Certains des sujets ont été donnés en épreuve expérimentale au bac S dans les années 2006-2009, et ont donc été traités à l’époque

Documents associés à l'article
  Fichier GeoGebra pour le problème des mouvement de surfaces (annexe)   |   (geogebra - 19.8 ko)
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