Mathématice, intégration des Tice dans l'enseignement des mathématiques  
Sommaire > N°10 - Mai 2008 > Le dossier du numéro > Pour un bon usage des calculatrices à l’école (...)

Pour un bon usage des calculatrices à l’école primaire
Moteur de recherche

Dans le rapport [1] remis par l’Inspection Générale en juin 2006 sur l’enseignement des mathématiques au cycle 3 de l’école primaire, on peut lire que « Le calcul instrumenté n’est l’objet d’un apprentissage organisé que pour une très faible minorité de maîtres. Dans certains cas, il est totalement inexistant. Quelques maîtres considèrent même que la calculette est un handicap au savoir calculer ». Ce constat relativise des propos souvent entendus selon lesquels la baisse du niveau en calcul (qui reste d’ailleurs à analyser) serait imputable à un usage massif des calculatrices à l’école !

Alors que depuis une vingtaine d’année, l’usage social de nouveaux instruments de calculs (calculatrices, ordinateurs…) s’est imposé aussi bien pour des besoins personnels que professionnels, leur introduction dans le monde scolaire est toujours en question à l’école primaire et peine à se généraliser au collège.

Concernant les calculatrices à l’école primaire, le coût des équipements ne peut pas être un obstacle. Les classes se dotent de nombre de fournitures plus onéreuses que des calculatrices ordinaires. Il faut donc chercher d’autres raisons à une utilisation faible ou inexistante. La première raison tient sans doute aux représentations des enseignants sur ce que doit être l’apprentissage du calcul. En 2002, la consultation des enseignants qui a accompagné la mise au point des programmes a révélé un très large accord avec la presque totalité des orientations retenues, en particulier avec la priorité accordée à la résolution de problèmes et au calcul mental. Un seul point a réellement fait discussion. Les enseignants de cycle 2 ont désapprouvé, à une importante majorité, l’introduction, nouvelle, des calculatrices dans le programme. Et l’opinion des enseignants de cycle 3 était partagée : la moitié d’entre eux approuvait la place donnée aux divers moyens de calcul alors que l’autre moitié émettait des réserves quant aux conséquences de l’utilisation des calculatrices sur l’apprentissage du calcul par les élèves. La deuxième raison tient sans doute au fait que les ouvrages scolaires proposent peu d’activités incluant l’usage des calculatrices. Le document d’accompagnement des programmes 2002, intitulé « Utiliser les calculatrices en classe » [2] , pourtant riche en exemples utilisables en classe, n’a trouvé que peu d’écho dans les manuels. Et les recherches sur Internet pour y trouver des activités intéressantes pour l’école primaire s’avèrent rapidement stériles…

L’apprentissage du calcul assisté par une calculatrice (puis par un ordinateur) doit évidemment être pensé dans sa complémentarité avec celui des autres moyens de calcul. Il serait absurde que l’école n’apprenne pas aux élèves à se servir d’outils qui sont à leur disposition dès qu’ils ont franchi le seuil de la classe et qui sont largement utilisés dans la société dans laquelle ils vivent. Il serait tout aussi aberrant de se priver des possibilités qu’offre ces outils pour enrichir le travail mathématique des élèves. Mais, il serait aussi irresponsable de ne pas s’interroger sur les dangers que peut comporter une utilisation aveugle de ces machines.

En tant que responsable d’ouvrages pour les maîtres et les élèves de l’école élémentaire [3], j’ai eu, avec mon équipe, à envisager quel « bon usage » des calculatrices pouvait être fait à ce niveau de la scolarité. Cet article se propose donc d’envisager, à partir d’exemples, ce que peut être cette utilisation « intelligente » des calculatrices aux différents niveaux de la scolarité élémentaire.

Calculatrices et résolution de problèmes

Une calculatrice est d’abord un outil de calcul. Un élève doit être capable de déterminer s’il est pertinent de l’utiliser ou non pour une tâche donnée (par exemple, la résolution d’un problème) et, si c’est le cas, il doit savoir comment bien s’en servir. Deux exemples permettent d’affiner cette réflexion.

Exemple 1 : problème « de recherche » (CM2) [4]
Dans un premier temps, les élèves ont eu à chercher, parmi les quantités de choux inférieures à 25, lesquelles correspondaient à des possibilités de réaliser une plantation « en carré ». Par exemple, avec 9 choux, il est possible d’obtenir la disposition suivante :

Cette première question, destinée à faire comprendre la situation aux élèves, ne nécessite évidemment pas le recours à la calculatrice. Il serait même nuisible, en risquant d’empêcher une investigation des élèves à partir de dessins ou de calculs simples (addition répétée, par exemple).

Les deux questions posées par la suite sont plus délicates pour les élèves :
- Est-il possible de disposer « en carré » 324 choux ?
- Est-il possible de disposer « en carré » 2 700 choux ?

Les élèves de CM2 ne disposent pas de connaissances sur la racine carrée. Ils ne peuvent donc traiter ces questions qu’en faisant des essais de produits d’un nombre par lui-même ou de sommes itérées d’un nombre (le nombre de termes étant égal au « nombre itéré »). Pour les élèves faibles en calcul (et même pour les autres !), la tâche devient vite insurmontable ou fastidieuse, avec le risque de « se noyer » dans des calculs qui perdent toute signification. La mise à disposition d’une calculatrice peut alors être bénéfique, surtout si l’enseignant demande de réussir avec un nombre limité d’essais et en incitant les élèves à réfléchir sur ce qui peut réduire ce nombre d’essais.

Pour ne pas faire de tentatives au hasard, les élèves peuvent, par exemple :
- tenir compte de l’ordre de grandeur du résultat (donc recourir au calcul approché) : pour 324, comme 10 x 10 = 100 et 20 x 20 = 400, on peut chercher un carré avec, sur chaque côté, un nombre de choux compris entre 10 et 20, et plus proche de 20 que de 10 ;
- tenir compte du chiffre des unités du résultat : pour 324, si une solution existe, le nombre cherché doit avoir 2 ou 8 pour chiffre des unités ;
- noter les essais successifs et tenir compte des précédents résultats obtenus.
C’est ce qui doit ressortir des échanges entre élèves et de la synthèse réalisée par l’enseignant à la suite de la résolution.

Dans cet exemple, à condition que l’enseignant ait piloté correctement le travail des élèves, non seulement l’utilisation des calculatrices n’a pas freiné l’activité mathématique des élèves, mais elle l’a permise et facilitée : ils ont pu mobiliser des connaissances arithmétiques et développer des compétences méthodologiques.

Exemple 2 : problème classique [5]

Vingt-quatre personnes dînent au restaurant. Huit d’entre elles n’ont pas emporté d’argent. Les autres personnes se partagent donc la somme totale à payer et donnent 27,75 € chacune. Quelle somme d’argent chacune de ces personnes doit-elle se faire rembourser ?

La première difficulté de ce problème réside d’abord dans la compréhension de la situation et de la question, ce qui peut faire l’objet d’une élucidation collective.
La deuxième difficulté réside dans le fait que les élèves doivent élaborer un raisonnement qui les conduit à déterminer les étapes de la résolution :
- calcul du coût total ;
- calcul du coût par personne ;
- calcul de ce que chacun a payé en trop.
La troisième difficulté peut provenir de l’exécution des calculs, pour les élèves peu habiles à calculer sur les décimaux ou pour ceux qui ont du mal à mener de front les calculs et la réflexion relative au raisonnement.

Dans cette optique, l’utilisation de la calculatrice peut faciliter la tâche des élèves, en allégeant un part de leur charge de travail. Il y a cependant à cela au moins deux conditions.

Il faut tout d’abord déterminer à quel moment la calculatrice peut être utile. Il est, de ce point de vue, évident que le calcul nécessaire à la résolution de la première étape (24 – 8) doit être réalisé mentalement.

Ensuite, pour mener à bien la résolution, en utilisant sa calculatrice, il faut savoir garder une trace des calculs effectués et de leur signification (pour pouvoir revenir sur un choix malheureux) et de leur signification. Autrement dit, l’usage de la calculatrice dispense d’avoir à exécuter soi-même les calculs, mais il ne dispense ni évidemment de la réflexion sur le choix des opérations ni de la nécessité de disposer de traces écrites. Il y a là un apprentissage nécessaire pour beaucoup d’élèves. Le calcul « à la main » incite à avoir des traces écrites, le calcul avec une calculatrice éloigne de la feuille de papier, il faut inciter les élèves à y revenir !

La calculatrice, accompagnement de la conceptualisation

Dans les exemples précédents, la calculatrice peut être utilisée pour faciliter, pour les élèves, l’utilisation de leurs connaissances. Dans les exemples suivants, la calculatrice est utilisée pour aider les élèves dans l’apprentissage de concepts.

Exemple 3 : La soustraction pour calculer un complément
La compréhension du fait qu’une soustraction permet d’obtenir la valeur d’un complément (le cardinal d’une sous-partie connaissant celui du tout et celui de l’autre sous-partie) ne va pas de soi pour beaucoup d’élèves. Ils préfèrent chercher la valeur du complément par des additions successives ou en posant une addition lacunaire. Une organisation didactique est donc nécessaire pour aider ces élèves à enrichir le concept de soustraction de ce « nouveau sens ». Cette organisation, située ici au CE2 [6], est nécessairement complexe et prend appui sur plusieurs situations. Celle présentée ici se propose de montrer comment l’utilisation, à un certain moment, de la calculatrice peut aider les élèves à franchir ce pas important dans l’apprentissage de la soustraction.

Au départ, l’enseignant dispose d’une feuille portant 20 points et d’une feuille-cache qu’il peut poser sur la première. Des points sont alors visibles, d’autres sont cachés. Les élèves doivent trouver le nombre de points cachés.

Les procédures des élèves pour trouver le nombre de points cachés varient selon le nombre de points qui sont visibles. Si 17 points sont visibles, de nombreux élèves complètent 17 pour obtenir 20. Si seulement 4 points sont visibles, ils sont plus nombreux à soustraire 4 de 20 pour obtenir la réponse, mais certains persistent à vouloir compléter 4 pour obtenir 20, bien que ce soit plus difficile à réaliser. La mise en commun et l’explicitation des procédures utilisées fait apparaître ces deux possibilités de résoudre le problème : compléter ou soustraire. La méthode de validation expérimentale des réponses qui consiste à basculer le cache pour rendre visibles les points qui étaient cachés revient à cacher ceux qui étaient visibles, ce qui rapproche du sens que les élèves ont donné à la soustraction auparavant (ici à « enlever 4 de 20 », comme disent souvent les élèves).

Dans la première phase du travail au cours de laquelle le nombre de points de la carte initiale reste petit (20, 34, 85…), l’usage de la calculatrice est interdit : il s’agit de favoriser les procédures mentales et de mettre en évidence, sur des calculs que les élèves maîtrisent bien, que les deux procédures (compléter, soustraire) sont possibles et plus ou moins adaptées selon les nombres en présence.

Les calculatrices sont autorisées dans une deuxième phase, avec des nombres beaucoup plus grands et à un moment où les élèves ne maîtrisent pas encore le calcul de la soustraction posée. Voici un exemple de question posée aux élèves :

Les élèves sont tentés d’utiliser la calculatrice, car les calculs sont plus difficiles. Le travail qu’ils ont effectué dans la première phase leur permet de choisir entre compléter 258 pour obtenir 634 ou soustraire 258 de 634. Le second calcul est beaucoup plus simple à réaliser que le premier si on utilise la calculatrice…

Dans cet exemple, la calculatrice n’a pas été utilisée pour mettre en place un apprentissage nouveau (la soustraction permet de calculer un complément), mais plutôt pour le renforcer dans une circonstance (nombres moins « agréables ») où, avec une calculatrice, le calcul d’une soustraction est plus économique que celui du complément pas addition(s).


Exemple 4 : position et valeur des chiffres dans l’écriture d’un nombre

La connaissance de l’équivalence entre 1 dizaine et 10 unités, entre 1 centaine et 10 dizaines ou 100 unités… et celle relative au fait que la valeur d’un chiffre dans l’écriture d’un nombre dépend de sa position sont difficiles à mettre en place pour de nombreux élèves. Les activités impliquant des groupements et des échanges jouent, pour cela, un rôle essentiel. L’activité présentée ici [7] fournit un exemple d’une utilisation qui peut être faite des calculatrices pour aider à ces apprentissages avec des élèves de CP ou de CE1.

Les élèves travaillent individuellement ou par équipes de deux. Chaque élève (ou équipe) dispose soit d’un compteur à roue en carton, soit d’une calculatrice, deux élèves voisins ne disposant pas du même outil. L’enseignant dispose d’objets qui peuvent être facilement regroupés (cubes emboîtables, trombones, bûchettes et élastiques…) et d’une boîte.
Des objets vont être mis dans la boîte par l’enseignant, d’abord un par un, puis également par groupement de dix. La tâche, pour les élèves, est de trouver un moyen de faire afficher rapidement par leur outil (compteur ou calculette) le nombre d’objets contenus dans la boîte (sans remise à zéro). A certains moments de l’activité, ils sont interrogés sur la correspondance entre le contenu de la boîte et ce qu’affiche chaque outil.

Dans une première étape, il s’agit de mettre en évidence la relation qui existe entre « passer au nombre suivant » (sur le compteur) et « ajouter 1 » (sur la calculatrice).
Au début, la boîte est vide, les compteurs et les calculatrices affichent « 0 ». L’enseignant fait tomber des objets dans la boîte, un par un (par exemple jusqu’à 8 objets). Pour chaque objet ajouté, il demande aux élèves de formuler ce qu’ils font sur leur outil pour afficher le nombre d’objets que contient la boîte :
- avec le compteur, il faut « avancer d’un chiffre » la roue des unités ;
- avec la calculatrice, il faut taper [+] [1] [=]

Dans la deuxième étape, il s’agit d’insister sur ce qui se passe lors du passage de la dizaine (qui correspond à un groupement de dix unités).
On continue à ajouter des objets un par un, en s’arrêtant après avoir fait tomber le dixième objet dans la boîte et en posant quelques questions :
- qu’affichent les compteurs ? Certains affichent « 0 » et d’autres affichent « 10 », (selon que les élèves ont accompagné ou non l’avancée de la roue des unités de celle des dizaines).
- qu’affichent les calculatrices ? Elles sont passées automatiquement de 9 à 10.
- le contenu de la boîte est-il conforme avec ces affichages ? Oui, si on compte les objets (il y en a bien dix). Non, si on analyse les écritures : dans la boîte, on ne visualise pas le « 1 » et le « 0 », d’où une nouvelle question…
- comment voir le « 1 » et le « 0 » dans la boîte ? Cette question conduit à s’interroger à nouveau sur leur signification… et, donc, à organiser le contenu de la boîte pour y faire apparaître un groupement de dix objets et aucun objet isolé.

On continue de la même manière, en ajoutant toujours des objets un par un jusqu’à plus de 30 objets. Les passages de 19 à 20, puis de 29 à 30 sont l’occasion de reproduire les questions précédentes et de mettre en évidence à nouveau la nécessité de grouper par dix les objets de la boîte pour que leur organisation soit conforme à l’affichage de la calculatrice et du compteur.

Dans une troisième étape, il s’agit de mettre en évidence le fait que ajouter 10 revient à ajouter une dizaine… ce qui pourra être utile en calcul mental.
L’activité est reprise, mais en ajoutant à chaque fois soit un objet, soit un groupement de dix objets. L’intérêt réside ici dans les interrogations sur les actions à réaliser avec chaque outil pour accompagner l’ajout d’un groupement de dix objets.
- avec la calculette, on peut soit reproduire dix fois la séquence [+] [1] [=], soit utiliser une fois la séquence [+] [10] [=]
- avec le compteur, on peut soit avancer dix fois de suite la roue des unités (en n’oubliant pas que les passages à 0 de cette roue entraîne une avancée de la roue des dizaines), soit avancer une fois la roue des dizaines (son passage à 0 sera examiné dans l’étape suivante).

Dans une quatrième étape, il s’agit de généraliser cet apprentissage au cas des centaines.
Les mêmes activités sont reprises, au delà de 100, avec la possibilité d’ajouter des objets un par un, par groupements de dix objets ou par groupements de cent objets.

Dans cet exemple, on peut faire l’hypothèse que l’utilisation des calculatrices a pu aider certains élèves dans la conceptualisation de la dizaine et de la centaine et dans la compréhension de notre système d’écriture des nombres.

La calculatrice, pour s’entraîner au calcul mental

Faire du calcul mental, avec l’aide de la calculatrice… Quel paradoxe ! De quoi décourager ceux qui clament que leur utilisation empêche cet apprentissage nécessaire. Et pourtant…


Exemple 5 : S’entraîner, en autonomie, à la mémorisation des tables

Prenez deux élèves de CE1. Confiez leur une calculatrice (et éventuellement un chronomètre). Et demandez leur de jouer à l’un des jeux suivants.
Jeu 1 : Le premier joueur (A) tape une somme de deux nombres inférieurs à 10 (il tape par exemple 7 [+] 6, sans appuyer sur [=]). Il passe la calculatrice à l’autre joueur (B) qui, avant d’appuyer sur [=] et rapidement, doit annoncer le résultat. L’appui sur [=] permet de contrôler la réponse donnée. Si elle est correcte, le joueur B marque 1 point, sinon c’est le joueur A qui marque 1 point. Les rôles sont ensuite inversés. Le premier joueur qui atteint 10 points gagne la partie.
Jeu 2 : Le premier joueur (A) tape un nombre inférieur à 10 (il tape par exemple 8) et annonce oralement un 2e nombre, compris entre celui qui a été tapé et 20 (par exemple 14). Il passe la calculatrice à l’autre joueur (B) qui, en une seule fois, doit taper une séquence [+] n [=] pour atteindre le 2e nombre (ici [+] 6 [=]). Si le nombre attendu s’affiche, le joueur B marque 1 point, sinon c’est le joueur A qui marque 1 point. Les rôles sont ensuite inversés. Le premier joueur qui atteint 10 points gagne la partie.

En dehors de l’aspect ludique, le principal intérêt de tels jeux est qu’ils peuvent être pratiqués sans la présence de l’enseignant. La calculatrice n’est pas utilisée, ici, pour fournir une réponse, mais pour valider une réponse élaborée par l’élève. Sur cette trame, de nombreux autres jeux peuvent être imaginés, en fonction des objectifs visés.

Conclusion

La calculatrice est d’abord un auxiliaire de calcul, rapide et fiable (pour autant qu’on ne se trompe pas dans le choix des touches). L’école doit enseigner aux élèves son « bon usage », c’est-à-dire les amener à savoir quand et comment s’en servir… et dans quelles circonstances il est plus pertinent de recourir à d’autres moyens, notamment le calcul mental (exact ou approché). L’enseignant doit rester maître du choix de son utilisation, notamment des moments où elle est bénéfique et de ceux où, au contraire, les apprentissages visés seront mieux assurés si l’outil n’est pas disponible. C’est ce que nous avons tenté de montrer dans le paragraphe consacré à la résolution de problèmes.
La calculatrice peut aussi être source et support de questions fécondes pour les apprentissages mathématiques, dans la mesure où son usage s’accompagne de questions qui poussent à la réflexion des élèves.
Enfin, la maîtrise d’un outil n’est pas complète si ne sont pas perçues ses limites et ses possibilités. Cet aspect, celui notamment de l’apprentissage de certaines fonctionnalités (facteurs constants, mémoires…) des calculatrices ordinaires, n’a pas été envisagé ici.
Ajoutons que la lecture de cet article peut très utilement être complétée par celle du document d’accompagnement des programmes 2002 pour l’école primaire déjà évoqué dans l’introduction et qui fournit des réflexions et de nombreux exemples de travaux sur l’utilisation possible des calculatrices à ce niveau de la scolarité.


notes

[1Ce rapport peut être téléchargé sur internet

[2Ce texte peut être téléchargé sur internet

[3Il s’agit de la collection Cap maths pour l’école primaire (éditions Hatier) dont sont tirés la plupart des exemples évoqués dans cet article.

[4Problème extrait de Cap Maths, manuel pour le CM2 (Charnay, Combier, Dussuc, Editions Hatier, 2004)

[5Problème extrait de Cap Maths, manuel pour le CM2 (Charnay, Combier, Dussuc, Editions Hatier, 2004)

[6La situation est empruntée à Cap Maths, ensemble pédagogique pour le CE2 (Charnay, Combier, Dussuc, Madier, Editions Hatier, 2007)

[7Cette activité est fortement inspirée d’une situation décrite dans les ouvrages Cap maths CP et Cap maths CE1 (Charnay, Combier, Dussuc, Madier, Editions Hatier, 2005 et 2006)

Réagir à cet article
Vous souhaitez compléter cet article pour un numéro futur, réagir à son contenu, demander des précisions à l'auteur ou au comité de rédaction...
À lire aussi ici
MathémaTICE est un projet
en collaboration avec
Suivre la vie du site Flux RSS 2.0  |  Espace de rédaction  |  Nous contacter  |  Site réalisé avec: SPIP  |  N° ISSN 2109-9197