Les figures suivantes sont appelées rep-tiles, (contraction de repetition tiles) ou auto-pavages.
Que remarquez-vous ?

Formulations possibles attendues qui adoptent deux points de vue.

Une tuile de base utilisée un certain nombre de fois permet de construire par juxtaposition une tuile de même « forme » ou encore, la juxtaposition d’un certain nombre de tuiles de base permet de construire un agrandissement de cette tuile.

Si on adopte le point de vue inverse, une tuile de base peut-être pavée à l’aide de tuiles toutes identiques et plus petites ou encore, une tuile peut être pavée à l’aide d’un certain nombre de tuiles qui sont des réductions identiques de cette première figure/tuile.

Mises en œuvre possibles :
– Les élèves disposent de deux figures identiques, l’une à découper, l’autre comme figure témoin et les manipulent pour observer les régularités et relations utiles.
– Les élèves ont à construire à l’aide de LGD, sur le cahier, ou sur papier pointé ou blanc, des tuiles de base et doivent les assembler pour former la tuile agrandie.

Dans cette phase, l’enseignant a le choix de faire travailler les groupes sur le même rep-tile ou sur des figures différentes, le choix peut-être laissé aux membres du groupe ou la répartition faite par l’enseignant.

Objectif :

1. On veut, à l’aide de scratch, faire dessiner une tuile de base.

2. Dans un second temps, sans avoir à modifier le script précédent, que va-t-on rajouter pour obtenir la tuile agrandie qui complète la figure ? Cela signifie que l’on peut rajouter des instructions mais que l’on ne change pas celles déjà écrites et qu’on les utilise.

3. Peut-on à l’aide du premier script écrit construire les autres tuiles de même taille sans avoir à le modifier ? Si oui, le faire, si non expliquer.

Le rep-tile impose un choix de tuile pour construire l’agrandissement en ré-exploitant le script de l’objectif 1. Toutefois il n ‘est pas nécessaire de pointer cette contrainte à ce niveau de l’étude.

Il sera par ailleurs possible de questionner ce choix et peut-être d’en dégager un argument du type :

« Si une figure doit être retournée, pour en faire coïncider les angles avec son agrandissement, alors on ne peut pas reprendre le script pour l’adapter ». Cette formulation encore approximative peut être raffinée en parlant de symétrie axiale avant de faire tourner ou glisser la figure sans rentrer dans le détail de composition de transformations.

Deux choix sont ici possibles :
– Faire mener une étude, sur le choix de la figure de base et son exploitation pour passer d’une tuile à l’autre, grande ou petite et ainsi dégager des manipulations qui renvoient à des transformations. Une mise en commun peut être faite sur le choix de cette tuile de base et un classement des rep-tiles peut être fait.
– Choisir de ne pas mener cette étude à ce moment, mais s’attendre à ce que cette difficulté apparaisse par la suite dans la réalisation de l’objectif 2.
– Dans les deux cas, cela permet à l’enseignant de répartir les figures.

Ici, le cahier des charges doit être suffisamment précis pour ne pas être soumis à interprétation, si l’on veut pouvoir placer dans les bilans des éléments d’informatique.

Les relations entre les longueurs d’une tuile de base sont donc à établir pour identifier le nombre de valeurs nécessaires.

On pourra laisser les élèves écrire leur premier script sans avoir introduit la notion de variable. Les élèves produisent alors un script faisant intervenir une (ou plusieurs) valeur(s) numérique(s) choisie(s) par le groupe ou individuellement. La mise en commun au sein du groupe permettra d’extraire des instructions communes utiles à la construction de la tuile. L’ordre de construction des côtés n’est pas unique et la taille de la tuile peut différer, ce sont les relations entre les longueurs de ses côtés qui sont importantes. A partir du choix de la longueur d’un des côtés, on peut dégager le concept de variable.

Une reprise du script en nommant cette (ou ces) variable(s) et en remplaçant les nombres par cette (ou ces) variable(s) peut être un travail de réinvestissement.

Ce travail conduit à la formalisation de ce qui aura été fait :
– Déclarer une variable.
– Affecter une valeur numérique à une variable
– Effectuer une opération qui retourne une valeur à l’aide d’une variable grâce aux proportions de la figure choisie.

On pourra remarquer la forme arrondie des blocs qui permettent de manipuler des nombres et opérer dessus et qu’en double cliquant sur la variable affichée dans la fenêtre graphique, on peut changer la valeur de la variable à l’aide d’un curseur et de fait tester la robustesse du script grâce à une rétroaction du logiciel.

On remarque au passage que l’interface utilise des blocs de formes diverses et on peut ici identifier les formes des blocs : hexagonaux, arrondis avec ou sans ergots et faire un bilan avec les élèves de l’étude de ces similitudes.

Les divers choix de longueurs pour un rep-tile construit par deux groupes distincts va permettre de comparer et éventuellement d’introduire si ce n’est pas encore connu des élèves le concept de variable puisque deux scripts produisant le même effet avec des valeurs différents pourraient s’écrire de la même manière en remplaçant les valeurs par des variables.

Ce second script à produire impose d’avoir une variable qui contient la « taille » de la tuile initiale ou au moins une valeur permettant de la caractériser et qui sera remplacée par k fois elle-même à l’issue du premier script. Un nouveau type d’affectation est introduit, affecter à une variable k fois sa valeur.

Le travail mathématique engagé dans la première phase sur les relations entre les longueurs des côtés d’une même tuile est ici réinvesti et le logiciel offre une rétroaction intéressante pour des élèves qui n’auraient pas abouti dans leurs recherches et se seraient contentés d’une figure à peu près ressemblante.

Ce travail mathématique convoque des stratégies peu fréquentes, consistant en l’identification de relations entre des angles issues de la tuile de base dont la somme permet d’identifier un autre angle de la tuile agrandie qui est égal à celui de la tuile de départ puisqu’il y a un agrandissement.

$\widehat{BB’D’’} = \widehat{C’B’D’’}$ et

$\widehat{BB’D’’} + \widehat{C’B’D’’} = \widehat{AB’C’} = \widehat{ABC}$

Ce travail qui demande deux adaptations pour l’élève est difficile mais la phase 1 d’appropriation peut être une aide si les figures sont construites (même approximatives) et manipulables par superposition.

Le même type de raisonnement est à produire pour les relations entre les longueurs. Ici intervient l’enseignant pour identifier les figures qui vont être plus faciles à appréhender pour un groupe d’élèves donné.

Dans le script à produire, l’élève doit choisir un chemin pour construire sa tuile et les choix sont divers. Toutefois, certaines contraintes existent, la tuile de base est alors contrainte suivant le rep-tile choisi si l’on veut que le script qui permet de la construire soit ré-exploité.

Ici la tuile de base ne peut être BCD’’B’. On ne peut pas reproduire le trajet B->C->D’’->B’->B pour construire la tuile agrandie AB’C’D’ sans modifier le script.

Le rôle de la manipulation est de discriminer les tuiles qui vont pouvoir servir de référence. Ici un élément discriminant est le fait de devoir retourner la tuile ou non pour pouvoir faire coïncider les angles de la tuile de base et de la tuile agrandie. En effet, on peut adapter le script de construction d’une tuile pour construire son agrandissement de manière assez évidente si, lorsqu’on la manipule on n’a pas besoin de la retourner (i.e. la transformation ne fait pas intervenir de symétrie axiale).

Un exemple de script permettant de construire une tuile et son agrandissement.

La construction est déclenchée par la flèche droite.
La flèche du haut permet de doubler la valeur de d.
Et la touche espace initialise la construction.

Construction de 3 agrandissements successifs de la tuile initiale et positionnement de la souris pour construire la tuile agrandie suivante. La tuile de base qui va permettre la ré-exploitation du script sans modification est la tuile du haut à gauche pour la dernière figure

Le choix du lutin et du support initial ont ici un impact non négligeable sur l’activité de l’élève.
L’enseignant peut justifier certains choix auprès des élèves et certains comme le choix du lutin ou un fichier de travail préconfiguré, peuvent impacter sur le travail.
– Certains lutins ont une orientation visible, d’autres non (la souris se déplace face à elle, le crayon est penché pour un droitier et son déplacement est moins visible).
– Si l’enseignant donne un fichier initial, préconfiguré c’est-à-dire avec un lutin déterminé et un script de configuration/initialisation (un script qui permet de réinitialiser l’espace de dessin, retour du lutin au centre, orientation donnée) permettant de pointer ces difficultés et de mettre en lumière les solutions idoines.

Le second point a l’avantage de faire identifier par les élèves les blocs utilisés et d’exploiter le langage pour les associer à une famille. Ce travail sera à faire dans l’autre sens : à partir des mots (Mouvement, Apparence, Sons, Stylo etc.), orienter la recherche des instructions à utiliser ou à découvrir puisqu’aucune présentation exhaustive n’est envisagée pour la classe.

Un travail de lecture et de compréhension d’un script peut-être mené en guise d’entrée.

Ce dernier permet de questionner à partir d’un script, les instructions à rajouter ou modifier pour produire la tuile suivante de même taille. On engage alors un travail sur le repérage relatif d’une figure par rapport à une autre. Et le travail engagé dans l’objectif 2 est alors poursuivi.

Il faut pour cela identifier les transitions d’une figure à l’autre, l’orientation initiale du lutin lors de la construction d’une tuile et son orientation finale.

Ici, on part de B suivant $\overrightarrow{u}$ et on revient en B suivant $\overrightarrow{v}$. Il ne nous reste qu’à nous déplacer en B’ et nous orienter vers C’ puis affecter à chaque longueur son double.

Un travail de présentation est envisageable à ce niveau de l’étude où la mise en commun permettra de faire travailler l’ensemble de la classe sur des scripts qui ne sont pas les leurs et d’identifier les connaissances acquises dès lors pour pointer les manques afin d’envisager une poursuite de l’étude négociable par tous.

Un prolongement possible : Faire construire des tuiles de même taille dans un ordre déterminé par l’utilisateur.

Ce prolongement permet de faire interagir l’utilisateur et d’introduire pour faire un choix des instructions conditionnelles : on pourra par exemple numéroter les tuiles de 1 à n (n<=9) et demander de choisir la tuile initiale (2 par exemple) et la tuile finale, (3 par exemple). Le nombre 23 traduira cette transition et permettra l’exécution du script de transition de la figure 2 à la figure 3.

On représente alors deux informations par un nombre et ce nombre permet de faire un choix.

Les élèves ont rapidement tendance à ne pas passer par une phase de travail papier crayon devant un ordinateur. Il est important qu’avant de rechercher si l’instruction/le bloc auquel on pense existe, une proposition de script soit écrite même si elle n’utilise pas le même vocabulaire ou la même formulation. Ce temps d’écriture facilitera la recherche des instructions puisqu’à chaque phrase, on pourra associer un des huit mots clés de l’interface.

Ce temps de travail doit aussi permettre à l’enseignant de lire les productions, de les relever et de les annoter si besoin. Et il facilitera son travail sur les aides possibles sans nécessairement intervenir dans la production du script.

La ré-exploitation du script est ici à la charge de l’élève, tous les éléments précédents étant suffisants pour la production du second script.

Un travail est sans doute à faire quant à l’interprétation du n fois plus grande pour identifier les grandeurs en jeu, aire et périmètre et l’information donnée par la figure.

Ce temps de travail ne doit pas aboutir à une formulation donnée par l’enseignant mais seulement permettre de faire en sorte que les connaissances soient disponibles/mobilisables au sens de Robert (2005).

Le rôle de l’enseignant est de faire verbaliser les étapes et les faire noter sur une feuille de papier qui servira de support en limitant autant que possible son action au sein du groupe.

Ce support, sans doute encore à travailler, semble un point d’entrée qui allie à la fois un travail mathématique sur les transformations, les figures isométriques et semblables, les angles et les proportions.

Il ne demande que des connaissances informatiques et algorithmiques modestes mais de par sa modularité, il permet de travailler sur la durée tout en adaptant la difficulté au niveau de compréhension des élèves.

Il serait même envisageable de poser toutes les questions à la suite du premier script et de laisser les élèves se répartir le travail au sein du groupe puisque finalement le premier script est un élément central des deux derniers objectifs.

Les bilans et les traces écrites peuvent porter à la fois sur des connaissances mathématiques (les transformations d’une figure à une autre, les effets de ces transformations sur les longueurs, les aires, les angles), informatiques (variables, forme des blocs en référence aux données qu’ils représentent), ou algorithmiques (répétition, instructions conditionnelles etc.).

Croft, Hallard T. (1991), Unsolved problems in geometry, Springer-Verlag.
Robert A. (2005), Deux exemples d’activités en formation des enseignants de mathématiques du second degré, Petit x 67, 63-76.