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Sommaire > N°65 - Mai 2019 > Le gnomon : Thème et variations

Le gnomon : Thème et variations
Moteur de recherche
Mis en ligne le 28 avril 2019, par David Crespil

À Christine

 

Une fois de plus Anne Héam a eu la gentillesse de s’impliquer dans le travail de mise en ligne si soigné qui contribue à rendre plus agréable la lecture de l’article.
Qu’elle en soit chaleureusement remerciée.


« Le soleil monta, les ombres rapetissèrent, comme si c’était leur façon de survivre »
Les rêveuses de Frédéric Verger

 

Table des matières

0. Introduction

1. Les coordonnées horaires, azimutales ou locales et équatoriales

2. La sphère locale

3. Classification des coniques

4. Trigonométrie sphérique

5. Le gnomon

6. L’équation $a \cos x + b \sin x = c$

7. Formules relatives au soleil

8. Le gnomon ne peut servir de cadran solaire tout au long de l’année.

9. Jour solaire vrai et jour solaire moyen. Équation du temps

10. La digression d’un astre

11. La rétrogradation de l’ombre

12. Le problème des naufragés (cerise sur le gâteau ...)

13. Le problema astronomicum ou le problème des 3 bâtons

14. La méthode des 3 points d’ombre

Annexe

On consultera avec profit l’article de MathémaTICE intitulé « Sous le soleil de Madrid : réaliser un cadran (partie 1) » dont l’auteur est Arnaud GUILLAUME.

 

Niveau : classes préparatoires et université

Notions mathématiques utilisées

  • Théorème d’Al Kashi
  • Trigonométrie sphérique
  • Équations et inéquations trigonométriques
  • Différentielle d’une fonction de plusieurs variables
  • Angles orientés
  • Utilisation d’Excel
  • Les coniques :
    • Leur classification à l’aide du discriminant
    • Comme intersection d’un cône par un plan

Notions d’astronomie utilisées

  • Sphère céleste locale
  • Coordonnées horaires, Coordonnées azimutales, Coordonnées équatoriales
  • Digression d’un astre

0. Introduction

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Le décor : Un bâton planté verticalement (le gnomon)

De cette déroutante simplicité, vont naître des mathématiques surprenantes constellées de diamants qui scintilleront de tous leurs feux.
Cet article nous fera voyager au pays de la trigonométrie sphérique, des coniques, et de la résolution d’équations trigonométriques. Beaucoup de mathématiques en perspective au service de messire Soleil.
Ces coniques sont au cœur du problème abordé entre autres par Descartes et Newton sous le nom de « problema astronomicum ».
Cet énoncé en lien avec le gnomon (plus précisément 3 gnomons) ne sera pas abordé ici mais renvoyé au travail érudit de Sébastien Maronne.
La méthode des « 3 points d’ombre » consistant à tracer la méridienne en se servant d’un gnomon fera l’objet d’une rétrospective proposée par Yvon Massé sous forme d’une vidéo s’étalant sur 2000 ans.
La lecture de l’ouvrage « Gnomononique » de Denis Savoie publié aux « Belles lettres » m’a fait découvrir le « problème des naufragés » dont l’auteur a bien voulu que j’en reproduise la démonstration in extenso et qui sera notre cerise sur le gâteau...
Qu’il en soit chaleureusement remercié.
Il s’agit avec un gnomon et leurs ombres à différents moments de la journée de déterminer, muni d’une calculatrice, le lieu où l’on se trouve ainsi que les heures d’observation en temps local.
La digression d’un astre en lien avec la rétrogradation du soleil sera étudiée en utilisant le calcul différentiel qui couplé à la trigonométrie sphérique nous aidera à expliquer ce qui en son temps fut considéré comme un miracle.
L’équation du temps nous permettra de relier l’heure solaire et l’heure de la montre.
Nous expliquerons aussi pourquoi le gnomon ne peut servir de cadran solaire tout au long de l’année.

Bonne lecture

Logiciels et animations utilisés

  1. Animations de Geneviève Tulloue (site remarquable) qui exigeront au
    moment opportun de satisfaire éventuellement aux exigences de sécurité de
    Java.
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    figure 1
    En rouge, le site à rentrer dans l’onglet sécurité du panneau de
    configuration Java.

    De plus amples explications seront fournies dans les paragraphes concernés.

  2. DESMOS (remarquable)
    C’est un traceur de courbe (totalement sécurisé) qui autorise l’introduction de paramètres en plus de la variable principale.

Note :

4/0 signifie : paragraphe 4 ; sous paragraphe 0
4/(0) signifie : paragraphe 4 formule (0)
4/b/(0)signifie : paragraphe 4 ; sous paragraphe b ; formule (0)
4/b/0 signifie : paragraphe 4 ; sous paragraphe b ; sous sous paragraphe 0
4/P2/(0) signifie : paragraphe 4 ; propriété 2 ; formule (0)

1. Coordonnées équatoriales, horaires , coordonnées horizontales

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a. Coordonnées équatoriales

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figure 2

La direction d’un astre est caractérisée par :

  • son ascension droite $\alpha$
  • sa déclinaison $\delta$

La déclinaison se mesure en degrés entre - 90° et 90° positive au dessus de l’équateur, négative en dessous.
L’ascension se mesure en heures minutes et secondes.
1 heure d’ascension droite vaut 15°.
Le demi grand cercle contenant la direction de l’étoile semble faire un tour en 23 h 56 min 4 s.
L’ascension droite se mesure dans le sens direct.
La déclinaison et l’ascension droites sont invariables en première approximation.

b. Coordonnées horaires

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figure 3

Le demi-méridien du lieu et le plan équateur.
La direction d’une étoile est alors caractérisée par :

  • son angle horaire $H$
  • sa déclinaison $\delta$

L’angle horaire $H$ est mesuré en heures minutes secondes mais il se mesure dans le sens rétrograde à partir du point $S$ comme sur le schéma 4.
Le point $S$ n’est pas le sud géographique puisque le sud géographique est une direction du plan horizontal alors que le point $S$ est sur l’équateur.
La déclinaison d’une étoile reste constante dans le temps (à l’échelle humaine) alors que son angle horaire croît uniformément.
L’angle horaire du point vernal est appelé temps sidéral.
Si l’on connaît le temps sidéral $T$ d’un lieu grâce à une horloge sidérale et l’ascension droite $\alpha$ d’une étoile (trouvée dans un catalogue) son angle horaire est donné par la relation :
$H=T-\alpha$

Voir la définition des coordonnées équatoriales :
Lors du passage d’une étoile au méridien, $H=0$ et la connaissance du temps sidéral donne son ascension droite et réciproquement.
$\gamma$ désigne le point vernal

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figure 4

c. Coordonnées horizontales ou locales

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figure 5

Les éléments sont le plan horizontal du lieu
le demi méridien sud du lieu d’observation
La direction d’un astre est alors caractérisée par :

  • son azimut $a$
  • sa hauteur $h$

L’azimut est compté en degré, dans le sens rétrograde de 0° à 360°à partir du demi-méridien sud pour les astronomes (du demi méridien nord dans la marine).
La hauteur $h$ est comptée en degrés à partir du plan horizon de -90° au pôle.
sud à +90° au pôle nord.

2. La sphère locale

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figure 6

$C$ centre de la terre, $O$ observateur centre de la sphère céleste locale.
Zénith : intersection de la droite $(CO)$ avec la sphère.
L’équateur céleste est l’intersection de la sphère avec le plan parallèle à l’équateur terrestre.
Axe du monde : c’est la droite qui passe par les pôles céleste nord et sud.
En vert le méridien céleste passant par le zénith et les pôles célestes.
A origine des angles horaires pour le lieu $O$.

a. Sphère locale dans l’hémisphère nord

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figure 7
Passage au méridien supérieur : azimut $a$ = 0° $H$ = 0 h
Passage au méridien inférieur : azimut $a$ = 180° $H$= 12 h

b. Sphère locale dans l’hémisphère sud

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figure 8
Crédit : ASMP /Patrick Rocher
Passage au méridien supérieur : azimut $a$ = 180° $H$ = 12 h
Passage au méridien inférieur : azimut $a$ = 0° $H$= 0 h

3. Classification des coniques

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Soit une courbe $(C)$ dans le plan d’équation

$ax^2+bxy+cy^2+px+qy+r=0$

dont on cherche à connaître la nature. On commence par calculer le discriminant
de la conique :

$\Delta=b^2-4ac$

On distingue 3 cas :

  • $\Delta < 0$ : $(C)$ est du genre ellipse, c’est-à-dire $(C)$ est ou une ellipse, ou un point, ou l’ensemble vide.
  • $\Delta > 0$ : $(C)$ est du genre hyperbole, c’est-à-dire $(C)$ est ou une hyperbole ou la réunion de deux droites concourantes.
  • $\Delta = 0$ : $(C)$ est du genre parabole, c’est-à-dire $(C)$ est ou une parabole, ou la réunion de deux droites parallèles, ou une droite, ou l’ensemble vide.
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    figure 9
    Accromath
    Dimitry Novikov, Christine Rousseau, Yvan Saint Aubin

4. Trigonométrie sphérique

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On pourra sans préjudice à la compréhension de cet exposé admettre toutes les formules du paragraphe 4.
On appelle triangle sphérique la surface limitée par trois arcs de grand-cercle joignant trois points d’une sphère qui sont les sommets du triangle. Soit $ABC$ ce triangle (figure 10).
Les angles de ses trois sommets sont notés respectivement $A$, $B$ et $C$, ce sont des angles sphériques ; les côtés du triangle sont les mesures des arcs $(AB)$, $(AC)$ et $(BC)$ et sont respectivement notés $c$, $b$ et $a$ (figure 10).
Un triangle sphérique est rectangle lorsqu’un de ses angles est droit, il est rectilatère lorsqu’un de ses côtés est de 90°.

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figure 10

Cours de trigonométrie sphérique pour introduire au groupe de Gauss du paragraphe suivant. Pages 19, 20, 21 du PDF en lien.

a. Relations de trigonométrie sphérique dans un triangle sphérique quelconque

Sous le nom de groupe de Gauss, trois formules fondamentales relient trois côtés et un angle :

$\left \{ \begin{array}{ lllr} \cos a & = & \cos b \cos c + \sin b \sin c \cos A & \\ \cos b & = & \cos c \cos a + \sin c \sin a \cos B & \hspace{4em} (1)\\ \cos c & = & \cos a \cos b + \sin a \sin b \cos C &\\ \end{array} \right.$

Trois formules corollaires des formules (1) relient trois angles et un côté :

$\left \{ \begin{array}{ lllr} \cos A & = & - \cos B \cos C + \sin B \sin C \cos a & \\ \cos B & = & - \cos C \cos A + \sin C \sin A \cos b & \hspace{4em} (2)\\ \cos C & = & - \cos A \cos B + \sin A \sin B \cos c &\\ \end{array} \right.$

Trois formules en sinus relient trois angles et les côtés opposés :

$\dfrac{\sin a}{\sin A}=\dfrac{\sin b}{\sin B}=\dfrac{\sin c}{\sin C} \hspace{4em} (3)$

Six formules en cotangente relient quatre éléments consécutifs du triangle sphérique (bas de la page 20 du PDF en lien)

$\mathrm{cotan} \ a \sin b= \cos b \cos C + \sin C \mathrm{cotan} \ A \hspace{4em} (4)$

Si on fixe l’angle $C$, on peut permuter les côtés $a$ et $b$, donc aussi les angles $A$ et $B$, d’où la seconde formule :

$\mathrm{cotan} \ b \sin a= \cos a \cos C + \sin C \mathrm{cotan} \ B \hspace{4em} (4 bis)$

En fixant l’angle $A$ puis l’angle $B$ il y a quatre autres relations en cotangente soit au total six, qui lient deux angles et deux côtés consécutifs.

b. Formules de trigonométrie sphérique dans un triangle sphérique rectangle
en $A$

Si nous posons $A$ = 90° dans les formules (1) et (2) de 4/a, nous obtenons respectivement :

$(5)\left \{ \begin{array}{ lll} \cos a & = & \cos b \cos c \\ \cos B & = & \sin C \cos b \\ \cos C & = & \sin B \cos c \\ \sin b & = & \sin a \sin B \\ \sin c & = & \sin a \sin C \\ \end{array} \right.$

 

$(5 bis)\left \{ \begin{array}{ lll} \cos C & = & \mathrm{cotan} \ a \tan b \\ \cos a & = & \mathrm{cotan} \ B \mathrm{cotan} \ C \\ \cos B & = & \mathrm{cotan} \ a \tan c \\ \sin c & = & \mathrm{cotan} \ B \tan b \\ \sin b & = & \mathrm{cotan} \ C \tan c \\ \end{array} \right.$

c. Formules de trigonométrie sphérique dans un triangle sphérique rectilatère (côté égal à 90° )

Supposons que le côté a soit égal à 90°. Des simplifications sont obtenues dans les formules (1) à (3) puisque : $\cos a = 0$ et $\sin a = 1$ :
La deuxième formule de (1) devient :

$\cos b = \sin c \cos B \hspace{4em} (6)$

La troisième formule de (1) devient :

$\cos c = \sin b \cos C \hspace{4em} (6 bis)$

d. Relations de passage d’un système de coordonnées célestes à un autre

Pour établir les relations de passage d’un système de coordonnées célestes à un autre, appliquons les relations trigonométriques dites du groupe de Gauss au triangle sphérique $ABC$.

$\left \{ \begin{array}{ lllr} \cos a & = & - \cos b \cos c + \sin b \sin c \cos A & \hspace{4em} (7)\\ \dfrac{\sin a}{\sin A} & = & \dfrac{\sin b}{\sin B}=\dfrac{\sin c}{\sin C}& \hspace{4em} (8)\\ \sin a \cos B & = & \cos b \sin c - \sin b \cos c \cos A & \hspace{4em} (9)\\ \end{array} \right.$

D’autres relations équivalentes sont obtenues par permutation circulaire des sommets et des côtés.

e. Relations entre les coordonnées horizontales et les coordonnées horaires

La figure 11 représente un astre $A$ repéré sur la sphère céleste par les deux systèmes de coordonnées horizontales et horaires.
L’astre est observé depuis l’hémisphère terrestre nord. On reconnaît un triangle sphérique particulier $PZA$ sur la demi-sphère.
Les sommets du triangle sphérique $PZA$ sont respectivement le pôle céleste boréal $P$, le zénith du lieu $Z$ et l’astre $A$.
Les formules obtenues seront aussi valables dans l’hémisphère sud.

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figure 11

f. Passage des coordonnées horizontales aux coordonnées horaires

Les relations 4/d/(7), 4/d/(8) et 4/d/(9) appliquées à la figure 11 s’écrivent alors :

$\cos (90°-\delta)= \cos (90°-h) \cos (90°-\varphi)+ \sin (90°-h) \sin (90°-\varphi) \cos(\pi-a)$

$\dfrac{\sin (90° - \delta)}{\sin (\pi- a)} = \dfrac{\sin (90° - b)}{\sin H}$

$\sin(90°-\delta)\cos H=\cos (90°-h)\sin(90°-\varphi)-\sin(90°- h)\cos(90°-\varphi)\cos(\pi-a)$

Les trois relations précédentes conduisent aux relations de passage des coordonnées horizontales aux coordonnées horaires en posant $z=\dfrac{\pi}{2}-h$

$\left \{ \begin{array}{ rllr} \sin \delta & = & \sin \varphi \cos z - \cos \varphi \sin z \cos a & \hspace{4em} (10)\\ \cos \delta \sin H & = & \sin z \sin a & \hspace{4em} (11)\\ \cos \delta \cos H & = & \cos \varphi \cos z + \sin \varphi \sin z \cos a & \hspace{4em} (12)\\ \end{array} \right.$

g.Passage des coordonnées horaires aux coordonnées horizontales

Les relations (7), (8) et (9) s’écrivent alors respectivement :

$\cos (90°-h)= \cos (90°-\delta) \cos (90°-\varphi)+ \sin (\pi -a) \sin (90°-\varphi) \cos H$

$\dfrac{\sin (90° - h)}{\sin H} = \dfrac{\sin (90° - \delta)}{\sin(180° - a)}$

$\sin(90°-h)\cos(\pi-a)=\cos (90°-\delta)\sin(90°-\varphi)-\sin(90°- \delta)\cos(90°-\varphi)\cos H$

En utilisant les relations trigonométriques, les trois relations précédentes conduisent aux relations de passage des coordonnées horaires aux coordonnées horizontales :

$\left \{ \begin{array}{ rllr} \cos z & = & \sin \varphi \sin \delta + \cos \varphi \cos \delta \cos H & \hspace{4em} (13)\\ \sin z \sin a & = & \cos \delta \sin H & \hspace{4em} (14)\\ \sin z \cos a & = & - \cos \varphi \sin \delta + \sin \varphi \cos \delta \cos H & \hspace{4em} (15)\\ \end{array} \right.$

5. Etude mathématique du gnomon

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$E$ est un astre. $O$ observateur placé au centre de la sphère.
$(OE)$ fait un angle constant (il s’agit de la déclinaison) avec le plan en turquoise.

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figure 12
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figure 13 : la sphère céleste masquée
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figure 14

La déclinaison du Soleil est pratiquement constante sur une journée d’où le fait que le soleil décrit apparemment un cercle figuré en jaune sur la figure 14.
La droite $(SO)$ est alors une génératrice du cône :

  • de demi angle 90° - $\mid \delta \mid$
  • et d’axe, l’axe du monde (la droite passant par les pôles).

L’intersection de ce cône avec le plan horizontal est une conique variable, ici une hyperbole.

a. De l’équateur au cercle polaire boréal non compris ($ 0 \leq \varphi < 66,55°$ )

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figure 15

$O$ désigne l’observateur.
$M$ l’ombre du soleil sur la plan méridien.
L’axe des $x$ est orienté vers l’est et l’axe des $y$ vers le sud.
$A$ l’intersection de la droite parallèle à l’axe du monde passant par $B$ sommet du gnomon.
Nous désignerons par $a$ la distance $OB$.
Durant la journée, l’ombre de $B$ décrit une courbe appelée arc diurne.
Le rayon solaire $[BM]$ est représenté au midi solaire à son passage au méridien.
Pendant la journée, il décrit un cône de révolution autour de l’axe $(BA)$.
Supposons la déclinaison $\delta$ positive.
$(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BM})=\dfrac{\pi}{2}- \delta$ d’après ce que nous venons de voir.
$B(0,0,a)$ $A(0,\dfrac{-a}{\tan \varphi},0)$ $M(x,y,z)$
$ \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BM} = BA \ BM \sin\delta $
$ \overrightarrow{BA}^2 =\dfrac{a^2}{\tan^2 \varphi} + a^2 $
$ \overrightarrow{BA}^2 =\dfrac{a^2}{\sin^2 \varphi} \hspace{3em} $ $ BA =\dfrac{a}{\sin \varphi} $
$ \overrightarrow{BM}^2 =x^2+y^2+(z-a)^2 \hspace{3em} $ $ BM =\sqrt{x^2+y^2+(z-a)^2} $
D’où $ \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BM} = \dfrac{-ay}{\tan \varphi} - a(z-a)= \dfrac{a \sin \delta}{\sin \varphi} \sqrt{x^2+y^2+(z-a)^2}$
Faisons $z=0$
$\dfrac{-ay}{\tan \varphi} + a^2=\dfrac{a \sin \delta}{\sin \varphi} \sqrt{x^2+y^2+a^2}$
$ -y \cos \varphi + a \sin \varphi = \sin \delta \sqrt{x^2+y^2+a^2}$
$y^2(\cos^2 \varphi - \sin^2 \delta) -2 ay \sin \varphi\cos \varphi- x^2 \sin^2 \delta+ a^2 (\sin^2 \varphi - \sin^2 \delta)= 0 \hspace{1.5em} (1)$
Appelons $\Delta$ le discriminant simplifié.

$\begin{array}{ lll} \Delta & = & a^2 \sin^2 \varphi \cos^2 \varphi -(\cos^2 \varphi - \sin^2 \delta)(-x^2 \sin^2 \delta + a^2 \sin^2 \varphi - a^2 \sin^2 \delta)\\ & = & x^2 \sin^2 \delta \cos^2 \varphi + a^2 \sin^2 \delta \cos^2 \varphi -x^2 \sin^4 \delta + a^2 \sin^2 \varphi \sin^2 \delta - a^2 \sin^4 \delta\\ & = & x^2 \sin^2 \delta ( \cos^2 \varphi - \sin^2 \delta) + a^2 \sin^2 \delta (\sin^2 \varphi - \sin^2 \delta) - a^2 \sin^4 \delta \\ & = & \sin^2 \delta \left \{ x^2( \cos^2 \varphi - \sin^2 \delta) + a^2 (1 - \sin^2 \delta) \right \} \\ & = & \sin^2 \delta \left \{ x^2( \cos^2 \varphi - \sin^2 \delta) + a^2 \cos^2 \delta \right \} \end{array}$

Comme $\cos^2 \varphi \geq 0,15836 $ qui est la valeur maximale de $sin^2 \delta $ et que $\delta$ valeur absolue a pour valeur maximale 23,45°, on en déduit que $\Delta > 0$ et donc que la conique est du genre hyperbole.
Les racines sont :

$\dfrac{-a \sin \varphi \cos \varphi - \sin \delta \sqrt{x^2(\cos^2 \varphi - \sin^2 \delta)+a^2 \cos^2 \delta}}{\sin^2 \delta-\cos^2 \varphi} \hspace{1.5em} (2)$

$\dfrac{-a \sin \varphi \cos \varphi + \sin \delta \sqrt{x^2(\cos^2 \varphi - \sin^2 \delta)+a^2 \cos^2 \delta}}{\sin^2 \delta-\cos^2 \varphi} \hspace{1.5em} (3)$

Si la déclinaison avait été négative, nous aurions obtenu les mêmes équations.
L’examen de l’animation ci-dessous dans laquelle on fait varier $\delta$ et $\varphi$ montre que c’est toujours la plus petite des 2 racines qu’il convient de retenir compte tenu de ce que l’axe des $y$ est orienté vers le sud.

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animation 16
Dans un navigateur internet explorer cliquer sur le lien pour voir l’animation du site de Geneviève Tulloue
Il peut être nécessaire d’autoriser l’utilisation de Java.

La solution pour l’arc diurne est donc :

$\dfrac{-a \sin \varphi \cos \varphi - \sin \delta \sqrt{x^2(\cos^2 \varphi - \sin^2 \delta)+a^2 \cos^2 \delta}}{\sin^2 \delta-\cos^2 \varphi}$

Aux équinoxes $\delta =0$ et $y = a \tan \varphi = OE$
Ainsi aux équinoxes, on obtient l’équation d’une droite.
Ce résultat servira à déterminer le jour de l’équinoxe mais non l’instant précis de l’équinoxe.
Traçons les 2 courbes (1) et (2) avec Desmos.

  • $l$ longueur du bâton = 2
  • $d$ déclinaison = -15°
  • $a$ latitude = 35°
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figure 17
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figure 17 bis
L’axe des y est orienté vers le sud.
L’ombre du gnomon produit la courbe en mauve pendant la journée(arc diurne de l’ombre).
Pendant la nuit, l’intersection de la ligne soleil- sommet du gnomon avec le plan horizontal du lieu est la courbe en rouge.

Forme simplifiée de l’équation de la conique
$y^2(\cos^2 \varphi - \sin^2 \delta) - 2 ay \sin \varphi \cos \varphi - x^2\sin^2 \delta + a^2(\sin^2 \varphi-\sin^2 \delta)=0$

En effectuant un changement d’origine on peut ramener l’équation de la conique à la forme $A Y^2 - B X^2 - C = 0$.

Recherchons la valeur $k$ qui, dans le changement de coordonnées $y = Y + k$ annule le terme de 1er degré en $Y$.
Le terme en $Y$ est $2 kY (\cos^2 \varphi - \sin^2 \delta ) - 2 aY \sin \varphi \cos \varphi$
$k=\dfrac{a \sin \varphi \cos \varphi}{\cos^2 \varphi - \sin^2 \delta}$

En reportant cette valeur dans l’équation, on a :
$Y^2(\cos^2 \varphi - \sin^2 \delta) - X^2\sin^2 \delta-\dfrac{a^2\sin^2 \delta\cos^2 \delta}{\cos^2 \varphi - \sin^2 \delta}=0$

On a vu au paragraphe lors de la classification des coniques en fonction de
leur discriminant que :
Si une courbe (C) dans le plan a pour équation $ax^2 + bxy + cy^2 + px + qy + r = 0$
alors :

  • $\Delta < 0$ : $(C)$ est du genre ellipse, c’est-à-dire $(C)$ est ou une ellipse, ou un point, ou l’ensemble vide.
  • $\Delta > 0$ : $(C)$ est du genre hyperbole, c’est-à-dire $(C)$ est ou une hyperbole ou la réunion de deux droites concourantes.
  • $\Delta = 0$ : $(C)$ est du genre parabole, c’est-à-dire $(C)$ est ou une parabole, ou la réunion de deux droites parallèles, ou une droite, ou l’ensemble vide.

b. Au cercle polaire boréal ($\varphi= 66,55°$)

Lorsque la déclinaison $\delta$ atteint sa valeur maximale 23,45° qui est alors le complément de $\varphi$, $\sin \delta = \cos \varphi$ et donc $\Delta = \cos^2 \varphi - sin^2 \delta = 0$
La conique est du genre parabole.

Donnons son équation. D’après (1) :
$y^2(\cos^2 \varphi - \sin^2 \delta) - 2 ay \sin \varphi \cos \varphi - x^2\sin^2 \delta + a^2(\sin^2 \varphi-\sin^2 \delta)=0$ qui devient
$ - 2 aY \sin \varphi \cos \varphi - X^2\sin^2 \varphi + a^2(\sin^2 \varphi-\sin^2 \delta)=0$
$Y=\dfrac{-X^2}{2a\tan^2\varphi}+\dfrac{a}{2}\dfrac{\tan^2\varphi +1}{\tan^2\varphi}$ qui est l’équation d’une parabole.

c. Du cercle polaire boréal au pôle Nord($66,55° \leq \varphi \leq 90°$)

D’après (1) :
$y^2(\cos^2 \varphi - \sin^2 \delta) - 2 ay \sin \varphi \cos \varphi - x^2\sin^2 \delta + a^2(\sin^2 \varphi-\sin^2 \delta)=0$

$\Delta= \sin^2 (\delta) \left[ \cos^2 \varphi - \sin^2\delta \right]$

  • Si $\delta < 90° - \varphi$, $\Delta > 0$ la conique est du genre hyperbole.
  • Si $90° - \varphi < \delta $, $\Delta < 0$ la conique est du genre ellipse.
  • Si $\delta=90° - \varphi$, $\Delta = 0$ la conique est du genre parabole.

d. Au pôle Nord($\varphi = 90°$)

Revenons à l’équation (1)
$y^2(\cos^2 \varphi - \sin^2 \delta) - 2 ay \sin \varphi \cos \varphi - x^2\sin^2 \delta + a^2(\sin^2 \varphi-\sin^2 \delta)=0$

L’équation simplifiée de la conique devient :
$y^2\sin^2 \delta + x^2\sin^2 \delta - a^2 \cos^2 \delta=0$
Soit $Y^2 + X^2 - \dfrac{a^2}{\tan^2 \delta}=0$
C’est l’équation d’un cercle.

6. L’équation $a \cos x + b \sin x = c$

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On peut supposer $a \neq 0$ et $b \neq 0$ sinon la résolution se ramènerait à un problème d’inversion de la fonction cosinus ou sinus.

L’équation devient en divisant par $a$ :
$ \cos x + \dfrac{b}{a} \sin x = \dfrac{c}{a}$
$ \cos x + \tan \alpha \sin x = \dfrac{c}{a}$
$ \cos x \cos \alpha + \sin \alpha \sin x = \dfrac{c}{a} \cos \alpha$
Soit $ \cos (x - \alpha) = \dfrac{c}{a} \cos \alpha$

Condition de possibilité : $\bigg| \dfrac{c}{a} \bigg| | \cos \alpha | \leq 1 \hspace{2em} \dfrac{c^2}{a^2} \leq \dfrac{1}{\cos^2 \alpha} \hspace{2em} \bigg| \dfrac{c}{a} \bigg| | \cos \alpha | \leq 1 + \tan^2 \alpha \hspace{2em} $ Soit :$ \bigg| \dfrac{c}{a} \bigg| | \cos \alpha | \leq 1 + \dfrac{b^2}{a^2}$

D’où $a^2 + b^2 \geq c^2$

Si cette condition est réalisée, on peut trouver $\varphi$ tel que $\varphi = a \tan \dfrac{c}{a} \cos \alpha$

Il ne reste plus qu’à résoudre $ \cos (x - \alpha) = \cos \varphi$
Il est parfois commode de diviser par $b$.

Il existe $\theta$ tel que $\tan \theta= \dfrac{a}{b}$ et l’équation devient $ \sin (x + \theta) = \dfrac{c}{b} \cos \theta$ que l’on résout comme précédemment.

7. Formules relatives au Soleil

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figure 18

Toutes les formules que nous allons démontrer sont valables aussi pour la sphère locale dans l’hémisphère sud.

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figure 19

a. Lever et coucher du soleil

D’après 4/g/(13) 4/g/(14) 4/g/(15) se référant à un triangle rectilatère :

$\left \{ \begin{array}{ rll} \cos z & = & \sin \varphi \sin \delta + \cos \varphi \cos \delta \cos H )\\ \sin z \sin a & = & \cos \delta \sin H \\ \sin z \cos a & = & - \cos \varphi \sin \delta + \sin \varphi \cos \delta \cos H \\ \end{array} \right.$

Nous déduisons quatre relations qui permettent de calculer les valeurs de l’angle horaire et de l’azimut de l’astre, si nous donnons à la distance zénithale de l’astre la valeur $z = 90° $ :

$\cos H = - \tan \varphi \tan \delta \hspace{1.5em} (1) \hspace{5em} \sin a = \cos \delta \sin H \hspace{1.5em} (2)$

$\tan H = \dfrac{\tan a}{\sin \varphi} \hspace{1.5em} (3) \hspace{5em} \cos a = \dfrac{-sin \delta}{\cos \varphi}\hspace{1.5em} (4)$

La première relation (1) donne une valeur réelle de l’angle horaire $H$, si :

$-1 \leq \tan \varphi \tan \delta \leq 1 \hspace{3em}$ ou $\hspace{3em} -(90° - \varphi) \leq \delta \leq 90° - \varphi$

Autre manière de démontrer la relation (4) :
Appliquons la troisième relation du groupe de Gauss de 4/a en prenant comme triangle sphérique le triangle $PZA$ :

$\cos c = \cos a \cos b + \sin a \sin b \cos C $

Posons : $Z = \pi - a \hspace{3em} Z = \dfrac{\pi}{2} - h \hspace{3em} c = \dfrac{\pi}{2} - \delta \hspace{3em} b = \dfrac{\pi}{2} - \varphi \hspace{3em} a = z$

On obtient :

$\sin \delta = \cos z \sin \varphi + \sin z \sin \varphi \cos Z $ $\sin \delta = \sin h \sin \varphi - \cos h \sin \varphi \cos a $

Au lever et au coucher, $h=0$.
$\sin \delta = - \sin \varphi \cos a $ et donc $\cos a =\dfrac{-\sin \delta }{\sin \varphi}$

b. $\sin a =\dfrac{\cos \delta \sin H }{\cos h}$ (5)

$a$ = azimut
$\delta$ = déclinaison
$\varphi$ = latitude
$h$ = hauteur du soleil
$H$ = angle horaire du soleil

Appliquons 4/d/(8) : $\dfrac{\sin a}{\sin A}=\dfrac{\sin b}{\sin B}=\dfrac{\sin c}{\sin C}$

$\dfrac{\sin (180°-a)}{\sin (90°-\delta)}=\dfrac{\sin H}{\sin (90°-h)}$ donc $\sin a =\dfrac{\cos \delta \sin H}{\cos h}$

c. $\sin h =\sin \delta \sin \varphi + \cos \varphi \cos \delta \cos H$ (6)

$a$ = azimut
$\delta$ = déclinaison
$\varphi$ = latitude
$h$ = hauteur du soleil
$H$ = angle horaire du soleil

Appliquons la troisième relation du groupe de Gauss de 4/a en prenant comme triangle sphérique le triangle $PZA$ :

$\cos c = \cos a \cos b + \sin a \sin b \cos C $

Posons : $c = z \hspace{3em} b = \dfrac{\pi}{2} - \varphi \hspace{3em} a = \dfrac{\pi}{2} - \delta \hspace{3em} C=H$

$\cos z = \sin \delta \sin \varphi + \cos \delta \cos \varphi \cos C $ et donc

$\sin h = \sin \delta \sin \varphi + \cos \delta \cos \varphi \cos H $

d. $\cos H =\dfrac{\sin h - \sin \varphi \sin \delta}{ \cos \varphi \cos \delta}$ (7)

$\delta$ = déclinaison
$\varphi$ = latitude
$h$ = hauteur du soleil
$H$ = angle horaire du soleil

La relation 4/g/13 dans laquelle $z = 90°-h$

$\cos z = \sin \varphi \sin \delta + \cos \varphi \cos \delta \cos H $ CQFD

e. $\tan a =\dfrac{\sin H}{ \sin \varphi \cos H - \cos \varphi \tan \delta}$ (8)

$a$ = azimut
$\delta$ = déclinaison
$\varphi$ = latitude
$h$ = hauteur du soleil
$H$ = angle horaire du soleil

Appliquons la relation 4/a/(4) :
$\mathrm{cotan} \ a \sin b= \cos b \cos C + \sin C \ \mathrm{cotan} \ A $

Posons : $a = \dfrac{\pi}{2} - \delta \hspace{3em} b = \dfrac{\pi}{2} - \varphi \hspace{3em} C=H \hspace{3em} A = \pi -a$

$\tan \delta \cos \varphi = \sin \varphi \cos H + \sin H \ \mathrm{cotan} \ A \hspace{4em} (9)$

Pour calculer l’azimut à partir de $\tan a =\dfrac{\sin H}{ \sin \varphi \cos H - \cos \varphi \tan \delta}$, utiliser le classeur Excel intitulé Azimut.

Excel - 36.4 ko
Azimut

Pour comprendre le fonctionnement de ce classeur, consulter l’annexe a.

f. A quelle heure(angle horaire du soleil) le Soleil prend-il une valeur
donnée d’azimut pour une déclinaison donnée ?

Pour comprendre le fonctionnement du classeur Excel Angle horaire correspondant à un azimut donné.

Excel - 18.7 ko
Angle horaire correspondant à un azimut donné

Voir comment on résout l’équation $a \cos x + b \sin x = c$ au paragraphe 6
Et se référer à l’annexe b.

8. Le gnomon ne peut servir de cadran solaire tout au long de l’année.

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figure 20

L’arc diurne de l’ombre pour $ \delta = - 15°$ et $\varphi = 35° $.
Appelons $A$ le point en turquoise et $O$ le point en jaune ; appelons $S$ le point situé en haut de l’image sur la flèche noire et qui correspond au sud selon nos conventions.
Supposons que le point bleu soit associé à un angle horaire de 1h.
L’azimut est la mesure de l’angle orienté $ (\overrightarrow{OS},\overrightarrow{OA}) = a$
Nous avons vu au paragraphe 7/e/(8) que :

$\tan a =\dfrac{\sin H}{ \sin \varphi \cos H - \cos \varphi \tan \delta}$

Si le jour de l’année change alors $ \delta$ devient $ \delta ’$.

On obtient alors un azimut $a’ \neq a$ et donc le point qui correspond à un angle horaire de 1h pour cet autre jour ne peut plus être le point bleu.

9. Jour solaire vrai et jour solaire moyen. Équation du temps

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Le jour solaire vrai est le temps qui s’écoule entre deux passages consécutifs du centre du disque solaire dans le plan d’un même méridien terrestre.
Ces jours solaires vrais sont inégaux à cause de la variation de la vitesse de la terre sur son orbite et de l’inclinaison de l’écliptique sur l’équateur.
En effet les jours solaires vrais ont une durée qui varie tout au long de l’année pour deux raisons : la première est due à l’inclinaison de l’écliptique sur l’équateur ; la seconde est le fait de la variation de la vitesse de translation de la terre sur son orbite. Ainsi la durée du jour solaire vrai varie-t-elle entre 23 h 59 min 39 s et 24 h 00 min 30 s. Soit une différence de 51 s.
Les horloges sont réglées de telle manière que la moyenne annuelle de la durée du jour soit égale à 24 h et cette durée définit le jour solaire moyen.
Le temps solaire vrai local est l’angle horaire $H$ du centre du soleil.
Lorsque le soleil passe au méridien de l’observateur, on dit qu’il est midi vrai et à cet instant l’angle horaire du soleil est nul.
Le temps solaire moyen est l’angle horaire $H_m$ d’un mobile fictif, appelé soleil moyen, qui se déplacerait régulièrement sur l’équateur en 24h.

Équation du temps

L’équation du temps $E$ est égale à : $\alpha - \alpha_m$ où $\alpha_m$ est l’ascension droite du soleil
moyen et $\alpha$ l’ascension droite du soleil vrai.

Pour les coordonnées équatoriales (ascension droite et déclinaison) voir l’article en lien
On a aussi $E= H_m - H$ d’où $H_m =H+E$
Le site en lien permet de connaître l’équation du temps :

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figure 21
http://olravet.fr/telechargement.php

Les différentes appellations du temps

Le temps local qui dépend de la longitude du lieu est $T=H+12$

$H$ désignant l’angle horaire du centre du soleil.
On a adopté comme méridien origine celui de l’observatoire de Greenwich.

Appelons $H_G$ et $H_L$ les deux valeurs de l’angle horaire d’un même astre observé à un même instant depuis le lieu $G$ situé dans le méridien origine et le lieu $L$ de longitude $\delta$.
On a alors $H_L = H_G - \delta$
De même $T_{local} = T_{Greenwich} - \delta$

Temps civil local $T_C$

Le temps civil local correspond au temps solaire moyen augmenté de 12h.
$T_C = H_m +12h$
Puisque que $H_m =H+E$, $H_m + 12h =H+E +12h$
d’où $T_C = T_{local} +E$

Temps universel TU

C’est le temps civil du méridien de Greenwich

$TU$ ou $UT = T_{Greenwich} +E$

Le problème du temps universel ou UT ou TU est qu’il définit le jour comme la durée moyenne de rotation de la terre autour de son axe.
Or, cette rotation n’est pas constante, elle ralentit lentement sous l’effet des marées et, de plus, présente des irrégularités imprévisibles : la durée des jours UT augmente donc très lentement en moyenne.
Mais dans les années 1960 et jusqu’à ces dernières années, plusieurs activités dont la navigation astronomique et le suivi des sondes spatiales avaient toujours besoin du temps universel, c’est-à-dire se référaient toujours à la rotation terrestre, tout en nécessitant une échelle de temps la plus stable possible.
Initialement, avant l’instauration du TAI, le temps atomique délivré par les horloges atomiques était modifié en fréquences pour suivre la rotation terrestre et faire en sorte que la différence UTC − UT reste dans une limite fixée.
Ce système devint vite lourd et trop compliqué à mettre en œuvre. C’est pour remédier à tous ces problèmes qu’en 1972 on instaura un temps atomique international ou TAI intangible et on lia UTC à ce TAI.
UTC a la même marche et la même fréquence que le TAI mais en diffère par un nombre entier de secondes. Pour faire en sorte que la différence entre UTC et UT reste inférieure à 0,9 s, tout en assurant un écart d’un nombre entier de secondes entre UTC et TAI, UTC est occasionnellement incrémenté ou décrémenté d’une seconde atomique entière.
« Le TAI est établi par le Bureau international des poids et mesures, à partir de plus de 400 horloges atomiques réparties dans plus de 70 laboratoires dans le monde » (Wikipedia).

Pour obtenir TU (UTC) cliquer sur ce lien

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figure 22

Temps légal en France

$T_{légal} = TU +1 h$ (ou 2 h en été)
C’est l’heure des montres en France.

Temps légal dans le monde

$T_{légal} = TU + $n° du fuseau horaire, ce n° étant négatif si l’on est à l’ouest et positif si l’on est à l’est.

Relation ente temps légal et temps des cadrans solaires en France

Nous avons vu que $T_{local} = T_{Greenwich} - \delta$, $\delta$ exprimé en $h$
donc $T_{Greenwich} = T_{local} + \delta$
Or $T_{légal} = TU +1 h$ (ou 2 h en été)
$T_{légal} = T_{Greenwich} + E + 1 h$ (ou 2 h en été)

$T_{légal} = T_{local} + \delta + E + 1 h$ (ou 2 h en été)
$TU = T_{local} + \delta + E$
$TU = H_m + 12 + \delta $

$T_{local}$ : heure solaire locale donnée par le cadran solaire
$E$ : correction de l’équation du temps
$\delta$ : longitude comptée en heures positivement vers l’Ouest et négativement vers l’est

Relation ente temps légal et temps des cadrans solaires dans le monde

Selon le n° du fuseau, il faudra tantôt rajouter 24 h ou retrancher 24 h à la formule (1) :
$T_{légal} = T_{local} + \delta + E +n° de fuseau = TU + n° de fuseau$ (1)
avec comme conventions :

  • A l’est, les longitudes sont comptées négativement et le n° de fuseau est compté positivement.
  • A l’ouest, les longitudes sont comptées positivement et le numéro de fuseau n° est compté négativement.

Exemple

$T_{légal} = T_{local} + \delta + E +1 h$(ou 2 h en été)

Angle horaire lu sur le cadran solaire : $H = 14 h$
Longitude du lieu 3° Est
Date 25 novembre
Équation du temps - 0h 13 minutes
$T_{légal} = T_{local} + \delta + E + 1 h$
$T_{légal} = 14 h -3° - 13 m +1 h = 14h -12m -13m + 1 h = 14h 35 m$

10. La digression d’un astre

(utile pour comprendre le paragraphe suivant sur la rétrogradation de l’ombre)
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figure 23

Les formules de la trigonométrie sphérique permettent d’écrire dans le triangle $PSZ$, $S$ désignant l’astre en jaune sur la figure 23.
Formules : 4/g/(13) 4/g/(14) 4/g/(15) renumérotées pour ce paragraphe (1), (2) et (3).

$\left \{ \begin{array}{ rllr} \cos z & = & \sin \varphi \sin \delta + \cos \varphi \cos \delta \cos H & \hspace{4em} (1)\\ \sin z \sin a & = & \cos \delta \sin H & \hspace{4em} (2)\\ \sin z \cos a & = & - \cos \varphi \sin \delta + \sin \varphi \cos \delta \cos H & \hspace{4em} (3)\\ \end{array} \right.$

L’angle $S$ est appelé angle parallactique ou angle à l’astre.
Par différentiation des relations précédentes, on a en supposant que la déclinaison de l’étoile est constante et que la latitude est invariable :

$\left \{ \begin{array}{ lr} \sin z \ dz = \cos \varphi \cos \delta \sin H \ dH & \hspace{4em} (1bis)\\ \sin z \cos a \ da + \cos z \sin a \ dz = \cos \delta \cos H \ dH& \hspace{4em} (2bis)\\ - \sin z \sin a \ da + \cos z \cos a \ dz =- \sin \varphi \cos \delta \sin H \ dH & \hspace{4em} (3bis)\\ \end{array} \right.$

Multiplions les deux membres de (2bis) par $\cos a$ et les deux membres de (3bis) par $\sin a$ .
On obtient par soustraction membre à membre :

$\sin z \dfrac{da}{dH}=\cos \delta (\cos a \cos H + \sin a \sin \varphi \sin H)$

On a par ailleurs $\cos S = \cos a \cos H + \sin a \sin H \sin \varphi \hspace{2em}$ 4/a/(2)
$\hspace{6em} \sin z \cos S = \sin \varphi \cos \delta - \cos \varphi \sin \delta \cos H \hspace{2em}$ 4/d/(9)

D’où $\dfrac{da}{dH}=\dfrac{\cos \delta \cos S}{\sin z}\hspace{2em}$ (4)

Remplaçons dans (4) cos S tiré de 4/d/(9), on obtient :

$\dfrac{da}{dH}=\dfrac{\cos^2 \delta}{\cos^2 h}\cos \varphi (\tan \varphi - \tan \delta \cos H)$

Nous venons ainsi d’obtenir l’expression de la dérivée de l’azimut par rapport à
l’angle horaire $H$.

On a donc les deux cas suivants :

  • $ |\varphi | \geq | \delta |$, alors $\dfrac{da}{dH}$ garde un signe constant, celui de $ \varphi $
    L’azimut croît avec le temps dans l’hémisphère nord et décroît avec le temps dans l’hémisphère sud.
  • $ |\varphi | < | \delta |$, alors l’équation $\cos H = \dfrac{\tan \varphi}{\tan \delta}$ a deux racines $H_1$ et $H_2$ dans [0° ; 360°] (voir les 2 types de tableau de variation ).
    D’après l’expression (6) de la dérivée de l’azimut par rapport à $H$
    $\dfrac{da}{dH}= \dfrac{\cos \delta \cos S}{\sin z}$ la dérivée s’annulant pour $\cos S=0$.
    C’est-à-dire quand le triangle sphérique $PZS$ est rectangle en $S$.

    Les deux types de tableau de variation de l’azimut en fonction du signe de la déclinaison : (en faire l’étude détaillée)
    $H_2 = 360° - H_1$

    Premier cas : $ \delta > 0$

    Deuxième cas : $ \delta < 0$

    En vertu des formules de 4/b(5) et de 4/b/(5bis) appliquées au triangle sphérique $PZS$ rectangle en $S$ on a :
    $\sin h=\dfrac{\sin \varphi}{\sin \delta} \hspace{1.5em}$ (5)
    Pour les expressions de $\sin a$ et $\cos a$ qui suivent , le $\pm$ provient de ce que dans les formules 4/b/(5) et 4/b/(5bis), l’angle $Z$ du triangle sphérique $PSZ$ peut valoir : $\pi - a$ ou $2\pi - a$, $a$ désignant l’azimut.
    $\sin a= \pm \dfrac{\cos \delta}{\cos \varphi} \hspace{1.5em}$ (6)
    $\cos a= \pm \dfrac{\tan \varphi}{\tan h} \hspace{1.5em}$ (7)
    $\cos H =\dfrac{\tan \varphi}{\tan \delta} \hspace{1.5em}$ (8)

11. La rétrogradation de l’ombre

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Le roi Ezéchias(au huitième siècle av. J.-C.) étant proche de la mort, pria le Seigneur pour obtenir sa guérison ; ce dernier l’ayant entendu, lui promit non seulement de le guérir, mais d’ajouter quinze années supplémentaires à sa vie.
Ezéchias demanda quelle preuve il avait que le Seigneur le sauverait. Le prophète Isaïe qui a le rôle d’intermédiaire dans cette histoire, demanda alors à Ezéchias s’il voulait que « l’ombre du soleil avance ou qu’elle rétrograde de 10 degrés ? ».
Ezéchias répondit qu’il était moins aisé que l’ombre recule.
Le prophète invoqua donc le seigneur et « il fit que l’ombre retourna en arrière sur l’horloge d’Achaz par les 10 degrés par lesquels elle était déjà descendue ».

(Extrait de la « Gnomonique » publié aux Belles lettres de Denis Savoie)

Ce qui fut considéré comme un miracle en son temps peut s’expliquer avec la particularité de l’azimut du soleil. Le Soleil passant deux fois par le même azimut, soit avant le passage au méridien, soit après.
Nous allons pour comprendre ce phénomène nous servir de nos connaissances sur la digression d’un astre en l’occurrence le Soleil.

Nous avons que la déclinaison du Soleil $\delta$ vérifie : $| \delta | \leq 23,44°$

Aux latitudes intertropicales : $-23,44° \leq \varphi \leq 23,44°$.

si $| \varphi | < | \delta | $ alors il y a digression.

Or si l’azimut croît et ensuite décroît (ou inversement), cela signifie que l’ombre aura un mouvement inversé et pour cette raison, on pourra parler de la rétrogradation de l’ombre. Nous venons de voir au paragraphe (10) que :

Premier cas : $ \delta > 0$

Deuxième cas : $ \delta < 0$

12. Le problème des naufragés

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D’après le livre « La Gnomonique » de Denis Savoie publié aux « Belles Lettres » avec l’aimable autorisation de l’auteur.

J’ai cru bon de proposer de nombreux schémas et d’ajouter des explications à certains passages de l’article de Denis Savoie afin d’en rendre moins abrupte leur compréhension.
L’animation proposée par Geneviève TULLOUE pourra venir en appui à ce paragraphe.

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animation 24
Dans un navigateur internet explorer cliquer sur le lien pour voir l’animation du site de Geneviève Tulloue
Il peut être nécessaire d’autoriser l’utilisation de Java.

Enoncé du problème
Des naufragés de l’air atterrissent en un lieu désert, île ou continent inconnu.
Disposant d’un emplacement bien horizontal, ils plantent en $O$ un bâton vertical dépassant le sol de 1 mètre exactement(figure 25). Ils n’ont pas de montre, mais ils possèdent un double-mètre à ruban, de quoi écrire, une calculatrice, de bonnes notions de trigonométrie sphérique.

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figure 25
le dessin n’est pas à l’échelle

A trois reprises au cours de la journée, ils ont pointé l’ombre de l’extrémité du bâton puis mesuré les trois ombres $OA$, $OB$, $OC$ et les longueurs $AB$ et $BC$.
Sur la figure 25, les cotes obtenues sont exprimées en mètres.
Ainsi pour la première ombre, 1,234 signifie 1 mètre et 234 millimètres.
On demande de déterminer la latitude du lieu, la déclinaison du Soleil, la direction du Nord ainsi que les heures locales des trois opérations.
On négligera les effets de la réfraction, de la pénombre et la variation de la déclinaison du Soleil au cours de la journée.
A partir des cotes, on peut calculer les hauteurs $h$, $h’$ et $h’’$ du soleil lors des 3 relevés ainsi que les différences d’azimut, avec $\widehat{AOB} = \alpha$ et $\widehat{BOC} =\beta$.

Ombre $OA$ : $\hspace{2em}$ $\mathrm{cotan} \ h = 1,234 \hspace{2em}$ $h=39°,0024$
Ombre $OB$ : $\hspace{2em}$ $\mathrm{cotan} \ h’ = 0,507 \hspace{2em}$ $h’=63°,1150$
Ombre $OC$ : $\hspace{2em}$ $\mathrm{cotan} \ h’’ = 0,662 \hspace{2em}$ $h’’=56°,4954$

Dans le triangle $AOB$ (théorème d’Al Kashi) :
$AB^2 = OA^2 +OB^2 -2OA \ OB \cos \alpha$ d’où $\cos \alpha = 0,8313°$ et $\cos \alpha = -33,7659°$

L’angle $\alpha =(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB})$ est pris avec le signe - parce que les ombres tournent dans le sens anti horaire dans le sens des azimuts décroissants.

Dans le triangle $OBC$ (théorème d’Al Kashi) :
Posons $(\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC})= \beta$ alors $\beta=-107°,9797$

Posons $(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OC})= \gamma$
D’après la relation de Chasles sur les angles orientés : $\gamma = \alpha + \beta = -141°,7465$

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figure 26

Par la suite l’astre $A$ est remplacé par $S$ désignant le soleil.

Dans le triangle sphérique de position $PZS$ du soleil (schéma 26) au moment du premier relevé, on a d’après 4/f/(10) :
$\sin \delta = \sin \varphi \sin h - \cos \varphi \cos h \cos A$ (1)
$\delta =$ déclinaison du soleil
$\varphi = $ latitude
$h = $ hauteur du soleil
$A =$ azimut du soleil

Ne perdons pas de vue la définition de l’azimut.

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figure 27
Le plan est orienté dans le sens horaire de 0° à 360°

$A =$ azimut du soleil différant de 180° de l’ombre du bâton.

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figure 28

D’après la relation de Chasles sur les angles orientés et toujours d’après 4/f/(10) :

Pour le second relevé, puisque $A’ = A + \alpha$, on a : $\sin \delta = \sin \varphi \sin h’ - \cos \varphi \cos h’ \cos( A+\alpha) \hspace{1em}$ (2)

Pour le troisième relevé, puisque $A’’ = A’ + \beta = A + \gamma$, on a : $\sin \delta = \sin \varphi \sin h’’ - \cos \varphi \cos h’’ \cos( A+\gamma) \hspace{1em}$ (3)

Posons $\sec h=\dfrac1{\cos h}$
D’après (1), $\cos A = \tan \varphi \tan h - \dfrac{\sin \delta}{\cos \varphi} \sec h$
$\hspace{4.3em}\cos A = M \tan h - N \sec h \hspace{1em}$ (4)

Traitant de la même façon les quantités (2) et (3) :
$\cos (A + \alpha) = \tan \varphi \tan h’ - \dfrac{\sin \delta}{\cos \varphi} \sec h’$
$\cos (A + \alpha) = M \tan h’ - N \sec h’ \hspace{1em}$ (5)

$\cos (A + \gamma) = \tan \varphi \tan h’’ - \dfrac{\sin \delta}{\cos \varphi} \sec h’’$
$\cos (A + \gamma) = M \tan h’’ - N \sec h’’ \hspace{1em}$ (6)

En développant les cosinus : (5) et (6) donnent :
$\cos (A + \alpha) = \cos A \cos \alpha - \sin A \sin \alpha = M \tan h’ - N \sec h’ \hspace{1em}$ (5b)
$\cos (A + \gamma) = \cos A \cos \gamma - \sin A \sin \gamma = M \tan h’’ - N \sec h’’ \hspace{1em}$ (6b)

Multiplions (5bis) par $\cos \gamma$ et (6bis) par $\cos \alpha$ et faisons la différence des équations obtenues :
$\cos A \cos \alpha \cos \gamma - \sin A \sin \alpha \cos \gamma = \cos \gamma(M \tan h’ - N \sec h’) \hspace{1em}$ (5c)
$\cos A \cos \alpha \cos \gamma - \sin A \cos \alpha \sin \gamma = \cos \alpha (M \tan h’’ - N \sec h’’) \hspace{1em}$ (6c)

Faisons la différence membre à membre :

  • premier membre, $\sin A (\cos \alpha \sin \gamma - \sin \alpha \cos \gamma) = \sin A \sin (\gamma - \alpha) = \sin A \sin \beta $
  • deuxième membre, $(M \tan h’ - N \sec h’)\cos \gamma - (M \tan h’’ - N \sec h’’) \cos \alpha$

D’où $\sin A \sin \beta = M(\cos \gamma \tan h’ - \cos \alpha \tan h’’)-N(\cos \gamma \sec h’ - \cos \alpha \sec h’’) \hspace{1em}$ (7)

Multiplions (5bis ) par $\sin \gamma$ et (6bis) par $\sin \alpha$ et faisons la différence membre à membre, on obtient :

$\cos A \sin \beta = M(\sin \gamma \tan h’ - \sin \alpha \tan h’’)-N(\sin \gamma \sec h’ - \sin \alpha \sec h’’) \hspace{1em}$ (8)

La relation $\cos A = M \tan h - N \sec h \hspace{0.1em}$ (4) fournit une autre expression de $\cos A$, qui incorporée dans (8) donne :

$M(\sin \beta \tan h -\sin \gamma \tan h’ + \sin \alpha \tan h’’) = N(\sin \beta \sec h -\sin \gamma \sec h’ + \sin \alpha \sec h’’)$

Posons $K = \dfrac{N}{M}$, $K = \dfrac{\sin \beta \tan h -\sin \gamma \tan h’ + \sin \alpha \tan h’’}{\sin \beta \sec h -\sin \gamma \sec h’ + \sin \alpha \sec h’’}=0,4515$

Dans les relations (7) et (8) on remplace $N$ par $K \times M$ et on fait le rapport $\dfrac{(7)}{(8)}$

De sorte que l’on obtient :
$\tan A = \dfrac{\cos \gamma (\tan h’ - k \sec h’) - \cos \alpha (\tan h’’ - k \sec h’’)}{\sin \gamma (\tan h’ - k \sec h’) - \sin \alpha (\tan h’’ - k \sec h’’)} \hspace{1em}$ (10)

D’où l’on tire : $\tan A = 6,1483$ et $A = 80°,76193$ où $A = 260.7619°$

La relation (4) permet de trouver la valeur de $M$ qui n’est autre que $tan \varphi$.

$\tan \varphi = M = \dfrac{\cos A}{\tan h - k \sec h} = \pm 0,7003\hspace{0.1em}$ (11) et $\varphi = + 35°,0031$ ou $- 35°,0031$

Or $N = \dfrac{\sin \delta}{\cos \varphi} $

D’où $\sin \delta = N \cos \varphi = K M \cos \varphi = K \sin \varphi = \pm 0,2590$

Et donc $\delta = \pm 15°,0099$

Voici donc où nous en sommes à cette étape : $\varphi = \pm 35°,0031$ et $\delta = \pm 15°,0099$

Discussion

Nous venons de voir que : $A = 80,762°$ ou $A = 260,762°$

Le classeur Excel Angle horaire correspondant à un azimut donné

Excel - 18.7 ko
Angle horaire correspondant à un azimut donné

(on pourrait faire le même calcul avec une calculatrice disposant des fonctions trigonométrique) donne pour les deux valeurs les angles horaires correspondants :

$A = 80,7620°$ $H= 55,2369°$
$A’ = 260,762° $ $H’=280,0727°$

$\sin A \approx + 0,9870 \hspace{2em} \sin A’ \approx - 0,99$

Utilisons la formule 7/b/(5) $\sin a =\dfrac{\cos \delta \sin H }{\cos h}$

Le sinus de la hauteur $h$ étant donné par la formule : $\sin h = \sin \delta \sin \varphi + \cos \varphi \cos \delta \cos H$

Faisons $H =55,2°$, on trouve : $\cos h = 0,80029$
Faisons $H’ =280,0727°$, on trouve : $\cos h’ = 0,9579$

Utilisons la formule 7/b/(5) $\sin a =\dfrac{\cos \delta \sin H }{\cos h}$
$H$ désignant l’angle horaire et la hauteur du soleil
Pour $H’ = 280,0727°$, $\sin A = - 0,99$
Pour $H= 55,23°$, $\sin A = + 0, 99$
Et donc la seule valeur possible de l’azimut est $A’ = 260°,762$

| Les 4 points cardinaux sont à présent déterminés. |

Etudions le cas latitude 35° et déclinaison -15°
Examinons la courbe de l’azimut du soleil à la déclinaison de -15° et à la latitude de 35°, celle en vert est expliquée plus bas.
On peut pour s’éviter l’étude mathématique qui suit, se contenter d’observer ce qui se passe avec le classeur Excel intitulé Azimut.

Excel - 36.4 ko
Azimut
PNG - 39.7 ko
figure 29

En vert la courbe correspondant à $\sin a \times \tan a$
La courbe est faite de 3 morceaux.
$d=$ déclinaison
$a =$ latitude

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figure 30

Etudions le signe de $\sin a \times \tan a$ afin de comprendre les bornes utilisées, c’est-à-dire 112°,499 et 247°,501.

Sachant que $\sin a =\dfrac{\cos \delta \sin H }{\cos h}$ et d’autre part que : $\tan a =\dfrac{\sin H}{\sin \varphi \cos H - \cos \varphi \tan \delta}$ d’après 7/e/(8)

Il nous faut donc résoudre l’inéquation $\sin a \times \tan a > 0$ c’est-à-dire : $\dfrac{\cos \delta \sin H }{\cos h} \times \dfrac{\sin H}{\sin \varphi \cos H - \cos \varphi \tan \delta} > 0$

Pour ces valeurs de $H$ qui rendent $\sin a \times \tan a > 0$, il faudra prendre les deux courbes en bleu et pour les valeurs qui rendent $\sin a \times \tan a < 0$, il faudra prendre le morceau en marron.

Sachant par ailleurs que $\cos \delta > 0$, $\cos h > 0$ et que $\cos \varphi > 0$ car les arguments appartiennent à $\left[ \dfrac{-\pi}{2} ;\dfrac{\pi}{2} \right]$ et que $\varphi \neq 0$
$\dfrac{\cos \delta \sin H }{\cos h} \times \dfrac{\sin H}{\sin \varphi \cos H - \cos \varphi \tan \delta} > 0$ équivaut à $\cos H > \dfrac{\cos \varphi \tan \delta}{\sin \varphi }$
Donc $H \in \left[0° ; 112,499° \right]$ ou $H \in \left[247,501° ;360°\right]$

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figure 31
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figure 32
$a =$ latitude
$d =$ déclinaison

$d$ désigne le paramètre déclinaison pris ici à - 15° et latitude $a = $35°

D’après la courbe, l’azimut est toujours strictement croissant donc les ombres tournent dans le sens horaire.
Or les naufragés voient tourner les ombres dans le sens anti horaire.

Ce cas n’est donc pas possible.
Il reste donc le choix entre :

$\varphi = 35 ° \hspace{3em}$ $\delta = 15 ° \hspace{3em}$
$\varphi = -35 ° \hspace{3em}$ $\delta = 15 ° \hspace{3em}$
$\varphi = -35 ° \hspace{3em}$ $\delta = -15 ° \hspace{3em}$

D’après 7/a/(4) la formule donnant l’azimut $A$ du soleil à son lever et à son coucher est $\cos A = \dfrac{-\sin \delta}{\cos \varphi}$

Pour une latitude donnée, la courbe représentative de $f$ définie par $f(\delta) = \dfrac{-\sin \delta}{\cos \varphi}$ est la suivante :

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figure 33

De cette courbe, nous en déduisons l’orientation levant / couchant en fonction du signe de la déclinaison.

Déclinaison négative : levant et couchant sont dans les cadrans sud est et sud ouest.

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figure 34

Déclinaison positive : levant et couchant sont dans les cadrans nord est et nord ouest.

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figure 35

En observant la direction dans laquelle le soleil se couche ou se lève, les naufragés en déduisent que la déclinaison ne peut être positive.

On a donc : $A = 260,762° \hspace{1.5em} \varphi = - 35°,0031 \hspace{1.5em} \delta = - 15°,0099$

A partir de la valeur de $A$, on obtient celles de $A’$ et $A’’$ en ajoutant algébriquement $\alpha$ et $\gamma$.
$A’ = + 226,9961° \hspace{2em} A’’ = +119°,0164$

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figure 36

Voici comment les naufragés voient le soleil se lever et se coucher.

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figure 37

Le calcul des heures d’observation, c’est-à-dire celui des angles horaires $H$, $H’$, $H’’$ se fera à l’aide de la relation 7/d/(7) :
$\cos H =\dfrac{\sin h - \sin \varphi \sin \delta}{ \cos \varphi \cos \delta}$

$H = \pm 52°,5546$
$H’ = \pm 20°,0219$
$H’’ = \pm 29°,9846$

On sait que $H$ garde toujours le même signe que $\sin A$, en vertu de la relation 7/b/(5) dans laquelle les cosinus sont toujours positifs $\cos \delta \sin H = \cos h \sin A $

Par suite les solutions à retenir pour les heures sont :
$H = - 52°,5546 = $8 h 30 m en temps local ($ = H+$12h modulo 24 h)
$H’ = - 20°,0219 = $10 h 40 m en temps local ( $= H+$12h modulo 24 h)
$H’’ = 29°,9846 = $14 h 00 m en temps local ($= H+$12h modulo 24 h)

13. Le problema astronomicum

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Consulter le travail remarquable de Sébastien Maronne en lien

En un lieu, trois bâtons $A$, $B$, $C$ sont élevés perpendiculairement à un plan horizontal aux points $A$, $B$ et $C$.
Un même jour, l’extrémité de l’ombre du bâton $A$ passe par les points $B$ et $C$, celle de $B$ par $A$ et $C$, et celle de $C$ par $A$ et $B$.
Sous ces hypothèses, quel jour de l’année et en quel lieu de la terre cela s’est-il produit ?
Newton et Descartes ente autres y ont apposé leur génie.

14. La méthode des 3 points d’ombre

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Le principe consiste à relever 3 points d’ombre pendant une même journée à l’aide d’un gnomon en vue de déterminer la méridienne.

  • Les heures de relevé ne sont pas connues
  • La latitude est inconnue
  • La déclinaison du soleil est inconnue
  • La variation de la déclinaison du soleil et la réfraction atmosphérique sont négligées.

Voir la vidéo d’Yvon Massé en lien

Etape initiale
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figure 38
Le gnomon et les 3 ombres [PA] [PB] [PC]
Etape finale
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figure 39
La méridienne est la droite rouge

Annexe

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a) Explication relative au classeur Excel intitulé Azimut

Excel - 36.4 ko
Azimut

La connaissance de $\tan a$ et de $\sin a$ permet de déterminer l’azimut $a$.

La formule 7/e/(8) permet de déterminer $\tan a$ : $\tan a =\dfrac{\sin H}{ \sin \varphi \cos H - \cos \varphi \tan \delta}$

La formule 7/b/(5) permet de déterminer $\sin a$ : $\sin a =\dfrac{\cos \delta \sin H }{\cos h}$

La formule 7/c/(6) permet de déterminer $\sin h$ : $\sin h =\sin \delta \sin \varphi + \cos \varphi \cos \delta \cos H$

Si $\tan a \times \sin a > 0 $ alors $a = \arctan \left( \dfrac{\sin H}{\sin \varphi \cos H - \cos \varphi \tan \delta} \right)$

Si $\tan a \times \sin a < 0 $ alors $a = \arctan \left( \dfrac{\sin H}{\sin \varphi \cos H - \cos \varphi \tan \delta} \right) + \pi$

Le cas $\tan a \times \sin a = 0 $ a été examiné en 2/a et 2/b.

b) Explication relative au classeur Excel intitulé Angle horaire
correspondant à un azimut donné

Excel - 18.7 ko
Angle horaire correspondant à un azimut donné

D’après 7/e/(8) : $\tan A$ : $\tan a =\dfrac{\sin H}{ \sin \varphi \cos H - \cos \varphi \tan \delta}$

Équation qui peut s’écrire : $C_1 \cos H - C_2 \sin H = C_3$
avec $C_1 = \sin \varphi \hspace{3em} C_2= \mathrm{cotan} \ A \hspace{3em} C_3= \cos \varphi \tan \delta$

On est donc amené à résoudre une équation du type :
$A \cos x + B \sin x = C$ avec $A=C_1 \hspace{3em} B = -C_2 \hspace{3em} C= C_3$
Équation qui a été résolue au paragraphe 6.

 

 

Une fois de plus Anne Heam a eu la gentillesse de s’impliquer dans le travail de mise en ligne si soigné qui contribue à rendre plus agréable la lecture de l’article. Qu’elle soit chaleureusement remerciée.


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