D’après les expériences menées dans les années 1950 par Torsten Wiesel et David Hubel, le chat (et les autres mammifères aussi en fait) est doté de neurones percevant des lignes et non des points. Par exemple ce neurone réagit uniquement à la présence d’une ligne horizontale, peu importe où elle est placée :

Ainsi, alors que la rétine est tapissée de cônes et bâtonnets qui sont similaires aux pixels des appareils photo, le cerveau, lui, perçoit un espace plus abstrait, correspondant à celui de la rétine par dualité (géométrie projective). La vision artificielle bénéficie depuis les années 1950 (aussi !) de la transformée de Hough qui elle aussi réalise une dualité entre points et droites. Mais lorsque Maurice d’Ocagne finissait ses études à l’École Polytechnique, il a publié des articles sur une dualité similaire qu’il a appelée coordonnées parallèles [1]. L’idée est relativement simple en géométrie repérée : le point de coordonnées (a,b) est représenté dans l’espace dual par la droite passant par les points de coordonnées (-1,a) et (1,b) :

Alors, puisque chaque point est représenté par une droite, par quel genre de droites 3 points alignés sont-ils représentés ? Pour le savoir, essayez d’aligner les trois points ci-dessous :

on constate que si un point parcourt une ligne droite, la droite qui le représente dans l’espace dual d’Ocagne tourne autour d’un point. Ceci permet alors de représenter une droite (celle parcourue par le point mobile) par un point (autour duquel tourne la droite représentant ce point). Ce qui donne la représentation d’une droite quelconque (non verticale) par un point :

C’est cette représentation d’une droite par un point (possiblement conforme à celle qui est implémentée dans le cortex visuel) qu’on appellera ci-après dualité d’Ocagne.

Cet abaque de multiplication a été créé au milieu du XIXème siècle par Léon Lalanne :

Pour l’utiliser, il faut

• repérer sur l’axe des abscisses, le premier facteur ;
• repérer sur l’axe des ordonnées, le second facteur ;
• suivre simultanément une verticale à partir du premier facteur et une horizontale à partir du second facteur ;
• regarder où les deux lignes suivies au point précédent, se croisent ;
• à partir du point de croisement, suivre obliquement du regard l’isoplèthe (droite oblique) jusqu’à un des axes de coordonnées ;
• lire sur cet axe, le produit.

Même si on n’est pas atteint d’un trouble dys, suivre du regard une verticale n’est pas aisé, alors une verticale et une horizontale en même temps, cela engendre des erreurs de calcul. Or en appliquant la dualité d’Ocagne à cet abaque, on obtient le nomogramme suivant :

L’usage de la dualité par d’Ocagne lui a donc permis d’avoir une feuille plus aérée, et une seule droite à suivre (pas du regard : on la matérialise par une règle ou un fil tendu entre les graduations). Le but de Maurice d’Ocagne était de produire un abaque rapide à utiliser et relativement précis, à destination des ingénieurs. Mais aujourd’hui cet outil est intéressant pour les élèves

• dyslexiques (besoin d’aérer l’espace de travail)
• dyspraxiques
• ayant des problèmes de vision périphérique (syndrome de Down par exemple)
• ayant besoin de mobiliser le canal kinesthésique (d’Ocagne aurait-il inventé la méthode Singapour ?)
• préférant effectuer des mesures, que des calculs.

Pour effectuer un calcul avec un nomogramme, il faut placer une règle sur deux graduations (les opérandes) et regarder où la règle coupe l’axe des résultats, puis lire ce résultat. Cette activité s’apparente plus une mesure qu’à un calcul. Or la lecture de graduations est pratiquée très tôt dans la scolarité (CP voire avant) avec par exemple les balances, toises, thermomètres etc.

Il est alors possible de représenter la table d’addition par un nomogramme :

Le principal problème que pose ce nomogramme est que l’unité de longueur n’est pas la même sur l’axe des sommes, que sur les autres axes. Cependant on peut imaginer des prolongements de ce nomogramme pour les années ultérieures :

• On peut utiliser le nomogramme pour faire des soustractions (pour effectuer 8-5 par exemple, on pose la règle sur le 8 de l’axe des sommes et sur le 5 d’un des deux autres axes, on lit la différence sur l’autre axe). Mais cela amène naturellement à prolonger (par exemple pour effectuer 3-5) les graduations de l’autre côté et ainsi, découvrir l’addition des relatifs :

  

• On peut inverser un des axes pour transformer le nomogramme d’addition en nomogramme de soustraction :

  

• On peut prolonger le nomogramme d’addition pour y inclure des nombres décimaux et, ainsi, découvrir qu’il est également possible d’additionner des nombres décimaux :

  

• On peut aussi soustraire des nombres décimaux :

  

Mais, paraît-il, les jeunes enfants auraient une tendance naturelle à placer les nombres sur une échelle logarithmique. Or que devient le nomogramme d’addition ci-dessus si on le gradue logarithmiquement ? Il devient le nomogramme d’Ocagne :

En y ajoutant des nombres décimaux gradués logarithmiquement [2], on voit qu’il est également possible de multiplier entre eux des nombres décimaux :

Un prolongement du nomogramme de soustraction sera vu plus bas, avec les calculs graphiques d’intégrales.

Comme il est simple d’utiliser le nomogramme parabolique de Clark (en tête de cet article) pour effectuer une multiplication, et, ainsi, valider les multiplications mentales de nombres à un chiffre par la vérification sur le nomogramme, en cours d’apprentissage des tables de multiplication, il est même envisageable d’utiliser ce nomogramme comme support pour l’apprentissage des tables de multiplication.

L’idée, déjà émise par Möbius au milieu du XIXe siècle, ne semble pas avoir été intensément testée jusqu’ici. Les élèves de CE2 ayant testé le nomogramme se sont comportés en explorateurs des tables de multiplication, ce qui laisse présager d’un avenir radieux pour cet outil datant du début du XXe siècle ! Un nomogramme a déjà été peint (par des élèves de 1ère) sur le sol d’une école.

Avant de connaître le résultat exact de la multiplication, on voit assez rapidement l’ordre de grandeur du résultat. Des élèves souffrant d’un retard cognitif ont déjà profité de ce nomogramme pour apprendre les tables de multiplication, et avec succès !

Le nomogramme parabolique, qui avait servi à enseigner les tables de multiplication en cycle 2, peut très bien être étendu à des graduations décimales, ce qui montre la possibilité de multiplier entre eux des nombres décimaux :

On retrouve sur ce nomogramme que 3×6 = 18 (deux graduations en-dessous de 20) mais on voit également que 3,2×5,9 fait un peu moins de 19. Ce qui, en plus du travail sur les lectures de graduations, réifie la multiplication des décimaux, et donne un ordre de grandeur du produit, avant même d’effectuer la multiplication.

on peut aussi utiliser ce genre de nomogramme pour effectuer des produits qui « sortent du nomogramme ». La parabole ne va par exemple pas jusqu’à 12 et ne permet pas, a priori, de calculer 6×12. Mais on peut s’en servir pour calculer 6×1,2 (on trouve à peu de chose près 7) et en déduire que 6×12 vaut environ 70 (parce que 10 fois plus).

Le nomogramme circulaire de Clark permet aussi de faire des calculs relativement précis sur les décimaux :

on retrouvera ce nomogramme (le préféré de John Clark parmi ses créations) dans la partie sur l’analyse (calcul de limites) plus bas.

Au DNB, un problème récurrent sur la proportionnalité est le lien entre distance, vitesse et durée. Cette relation revêt trois formes différentes :

• distance/durée = vitesse
• vitesse×durée = distance
• distance/vitesse = durée

Beaucoup de collégiens (et même, par la suite, de lycéens) s’emmêlent entre ces trois formules qui ne sont jamais que trois aspects d’une même relation entre les variables distance, durée et vitesse. Cela se voit sans doute mieux sur le nomogramme de cette relation entre les variables :

Comme la distance est le produit des deux autres variables, il ne s’agit que d’un nomogramme multiplicatif d’Ocagne, mais comme le faisait abondamment d’Ocagne, on y trouve aussi des doubles graduations, qui permettent aussi des changements d’unités.

En voici un exemple d’utilisation avec le sujet du DNB Amérique du Nord 2023, où il est question d’un hippodrome :

1. Montrer que la longueur d’un tour de piste est d’environ 1 951 m.
2. Un cheval parcourt un tour de piste en 2 min 9 s.
a. Calculer la vitesse moyenne de ce cheval sur un tour de piste en mètre par seconde (m/s). Donner une valeur approchée à l’unité près.
b. Convertir cette vitesse en kilomètre par heure (km/h).

En plaçant la règle sur la graduation 2 min 10s en haut et un tout petit peu à gauche de la graduation 2 km au milieu, la règle croise l’axe des vitesses (en bas) sur une graduation qui porte 14 m/s ou 50 km/h. Cet exemple est typique : le nomogramme fournit rapidement une réponse peu précise mais avec un aperçu immédiat de l’ordre de grandeur du produit (ou, ici, du quotient).

Un autre exemple de nomogramme de relation entre trois variables est le volume d’un cône ou d’un cylindre :

Comme l’aire de la base est également graduée, on peut s’en servir aussi pour calculer le volume d’un prisme ou d’une pyramide.

Des nomogrammes de ce genre peuvent être utiles aussi en physique (toujours en cycle 4) avec par exemple

• la relation entre hauteur, masse (ou poids) et énergie potentielle
• la relation entre vitesse, masse et énergie cinétique
• la relation entre puissance, durée et énergie
• la relation entre tension, courant et puissance

Les nomogrammes n’utilisent pas tous les graduations logarithmiques, et ceux de Clark (avec des coniques) mènent à des calculs intéressants dès la classe de 2nde. L’usage du calcul formel permet alors de comprendre pourquoi ça marche.

• Le nomogramme en Z est une application de Thalès :

C’est de l’application du théorème de Thalès que découle le fait qu’il y a division entre deux des graduations, et un nomogramme de division peut être utilisé comme nomogramme de multiplication.

• le nomogramme parabolique de Clark est une application des identités remarquables : en appelant (-a,a²) les coordonnées d’un point sur la parabole et (b,b²) les coordonnées d’un autre point, on peut écrire en fonction de a et b l’équation réduite de la droite joignant ces deux points, pour découvrir à la fin que l’ordonnée à l’origine est a×b.
• Le passage du nomogramme d’addition à un nomogramme de multiplication à droites parallèles, est une application des logarithmes qui leur donne du sens en terminale.

Voici un retour sur le nomogramme parabolique de Clark : si on gradue les points dela parabole et des axes, non plus linéairement mais inversement, on obtient un nomogramme d’addition en ajoutant comme axe des abscisses la tangente à la parabole en son sommet, elle aussi graduée inversement :

(on constate en passant que les signes des facteurs et du produit permettent d’aborder graphiquement l’addition et la multiplication des relatifs)

Or il se trouve que si on dispose d’un nomogramme d’addition et un nomogramme de multiplication sur une même feuille, on peut aisément convertir le tout en nomogramme de résoluton d’équations du second degré, puisque pour l’équation x²+px+q=0, la somme des racines est -p et le produit des racines est q : on gradue l’axe des abscisses dans l’autre sens à cause du signe moins sur le coefficient p, et on ajoute les graduations positives sur l’axe des produits :

Le nomogramme circulaire de Clark présente une particularité intéressante :

En effet,

• d’une part les trois graduations se croisent en 0 (en bas du cercle) ce qui signifie que 0 est absorbant pour la multiplication,
• d’autre part, en plaçant la graduation 1 au centre du cercle, la fonction inverse est visualisée par une symétrie d’axe horizontal [3].

On déduit de cela, et on vérifie par la manipulation, que ∞ (tout en haut du cercle) est également absorbant. On peut ainsi vérifier par le calcul nomographique que

• ∞×4 = ∞
• ∞×2 = ∞
• ∞×0,1 = ∞
• ∞×∞ = ∞
• ∞×0 est indéterminé (la graduation est l’intersection entre le diamètre et lui-même)

Le nomogramme de soustraction vu dans la partie sur les graduations (plus haut) peut être modifié en plaçant les graduations à des distances données par une primitive d’une fonction, ce qui transforme le nomogramme de soustraction b-a en un nomogramme pour calculer F(b)-F(a) où F est la primitive choisie. Autrement dit, pour peu qu’on puisse calculer (au moins numériquement) des valeurs de F, on a un nomogramme de calcul d’intégrales.

L’application aux probabilités est décrite dans cet article de Repères IREM.

On l’a évoqué déjà plusieurs fois, ce nomogramme de Clark avait la faveur de son auteur :

Il est décrit par Clark comme plus facile (et précis) à construire parce que

• pour tracer un cercle il suffit d’un compas
• les graduations sur le cercle sont constructibles par projection stéréographique
• les graduations sur l’axe sont homographiques, donc constructibles à la règle seule.

En bref, le nomogramme circulaire de Clark est constructible à la règle et au compas. Le nomogramme ci-dessus n’a pas été construit par Clark lui-même mais par G. Fleuri qui enseignait également en Égypte.

Pour tracer les graduations sur le cercle, on commence par tracer une droite auxiliaire qui est tangente au cercle (donc perpendiculaire à l’axe) en la graduation 0. Ensuite on gradue linéairement cette tangente et on joint la graduation ∞ (en haut du cercle) à chacune des graduations de la tangente, les intersections avec le cercle donnent les graduations sur le cercle.

Plutôt que tracer la tangente qui sort de la feuille, on peut utiliser un mètre à ruban (pour la tangente) et de la ficelle (pour les intersections).

Ensuite, il reste à placer les graduations homographiques sur l’axe des produits. Pour cela, Clark conseille d’utiliser une projection centrale :

On connaît le nombre 1 sur cet axe : c’est le carré de 1, donc en joignant les deux graduations 1 du cercle, on a un segment horizontal qui coupe le diamètre en la graduation 1. Alors, si

• on joint le 1 de l’axe avec le 1 de la tangente par une droite
• on trace la parallèle à la tangente passant par la graduation ∞
• on construit l’intersection de ces deux droites
• alors depuis ce point d’intersection, on joint les graduations 2, 3 etc sur la tangente en 0 et les intersections avec l’axe des produits donnent les graduations correspondantes :

On peut aussi utiliser le fait que c’est un nomogramme de multiplication. Par exemple, la droite passant par la graduation 1 de gauche et la graduation 2 de droite, coupe l’axe en la graduation 1×2 = 2. La droite passant par la graduation 1,1 de gauche et la graduation 10 de droite coupe l’axe en 1,1×10=11.

Des graduations homographiques sont également constructibles sur le nomogramme en forme de Z. On peut graduer linéairement les axes externes et demander aux élèves de compléter eux-mêmes, au crayon, sur ce document :

La graduation linéaire des axes peut être obtenue avec ce script Python :

Cela peut être intéressant de faire programmer en Scratch le tracer de ce genre de graduations, on peut même envisager d’aller jusqu’au nomogramme complet (sauf sur l’axe central, qui reste à graduer à la main).

Il n’existe pas de construction des graduations logarithmiques à la règle et au compas, mais on peut aisément construire ces graduations avec un script (par exemple ici en Python, mais ça a l’air faisable avec Scratch aussi). L’idée est que la tortue avance entre deux graduations, de la différence entre les logarithmes de ces graduations. Ce script donne les graduations de 1 à 100 :

Pour l’améliorer, il faudrait rajouter des traits plus longs aux graduations multiples de 5 et encore plus longs aux graduations multiples de 10. Quelque chose comme

Pour finir la construction du nomogramme, il reste à

• écrire les graduations les plus remarquables (nombres de 1 à 9, 20, 30, 50, 70 et 100 par exemple)
• tracer une droite parallèle à l’axe des produits
• tracer la symétrique (qui est donc parallèle aussi) de cette droite par rapport à l’axe des produits
• avec l’équerre, marquer sur ces droites, un
  • 1 en face de 1
  • 2 en face de 4
  • 3 en face de 9
  • 4 en face de 16
  • 5 en face de 25
  • 6 en face de 36
  • 7 en face de 49
  • 8 en face de 68
  • 9 en face de 81
  • 10 en face de 100

ce qui devrait donner ce genre de chose :