Conséquence du théorème des valeurs intermédiaires
« Si $f$ est une fonction continue sur $[a,b]$ et si $f(a).f(b) <0$, alors l’équation $f(x)=0$ a au moins une solution dans $]a,b[$ ; si de plus, $f$ est strictement monotone sur $[a,b]$, l’équation $f(x)=0$ a une unique solution dans $]a,b[$ ».

Étapes de la démarche (la dichotomie)
On démarre donc en ayant localisé la racine $\alpha$ entre $a$ et $b$ ($a < \alpha < b$) ; et on sait par exemple que sur cet intervalle, la fonction $f$ (continue) est strictement croissante.
On calcule alors le milieu $m$ de $a$ et $b$ $\left(m=\dfrac{a+b}{2}\right)$ puis son image par $f$ : $(f(m))$, et on la compare à 0.
Deux cas peuvent alors se produire :

Algorithme
On construit deux suites (an) et (bn) telles que : $a_0=a$, $b_0=b$ puis :

1. si $f(m)=0$ $\left( m=\dfrac{a+b}{2} \right)$ alors $m$ est la racine de $f$ et le problème est terminé
2. si $f(m)\neq 0$ alors
   • si $f\left( \dfrac{a_n+b_n}{2} \right)>0$ alors $\begin{cases} a_{n+1}=a_n \\ b_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}\end{cases}$
   • si $f\left( \dfrac{a_n+b_n}{2} \right)<0$ alors $\begin{cases} a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2} \\ b_{n+1}=b_n\end{cases}$

On montre alors que :
ces deux suites sont adjacentes et de limite commune $\alpha$ : la racine "visée" de l’équation $f(x)=0$ dans l’intervalle $]a,b[$.

Remarques
Remarque 1 : Dans le cas où l’on tombe exactement sur la racine ($f(m)=0$ : pris en considération dans la première ligne du test ci-dessus) ; à partir de là, la suite $(b_n)$ devient stationnaire, égale à la racine $\alpha$ visée ; l’algorithme ne passe plus qu’alors dans la deuxième ligne, avec la suite $(a_n)$ qui, seule, continue à croître et se rapprocher de $\alpha$.

Remarque 2 : Par construction, après $n$ itérations, on obtient $a_n < \alpha \leq b_n$ avec $b_n -a_n =\dfrac{b-a}{2^n}$. L’encadrement de la racine est donc d’amplitude : $\dfrac{b-a}{2^n}$. On peut donc faire tourner cet algorithme de construction, TANT QUE l’on n’obtient pas la précision souhaitée.

Remarque 3 : Dans le cas où $f$ est strictement décroissante sur $[a,b]$, il suffit juste d’inverser dans le test, l’avancement des deux suites, ou bien, ce qui revient au même, d’inverser la condition du test.

Remarque 4 : Pour avoir une valeur approchée de $\alpha$ à $\epsilon >0$ près à la $n$-ième itération, il suffit que $n$ vérifie : $\dfrac{b-a}{2^{n+1}} \leq \epsilon$

Ainsi on pourra calculer d’avance le nombre maximal $N$ d’itérations assurant la précision voulue. C’est la plus petite valeur de $n$ qui vérifie :
$\begin{eqnarray*} \frac{b-a}{2^{n+1}} \leq \varepsilon & \Longleftrightarrow & 2^{n+1} \geq \frac{b-a}{% \varepsilon } \\ & \Longleftrightarrow & n+1 \geq \frac{\ln \left( \frac{b-a}{\varepsilon }\right) }{\ln (2)} \\ & \Longleftrightarrow & n \geq \frac{\ln \left( \frac{b-a}{\varepsilon }\right) }{\ln (2)}-1 \end{eqnarray*}$

($\ln$ désigne la fonction logarithme népérien).

Soit la fonction $f$ définie sur $]0,+\infty[$ par : $f(x)=\ln x - x\ln x +x$.
On désigne par $(C_f)$ sa courbe représentative selon un repère orthonormé $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$.
1) Montrer que $(C_f)$ coupe l’axe des abscisses en deux points d’abscisses respectives $x_1$ et $x_2$ telles que : $0.4 < x_1 < 0.5$ et $3 < x_2 < 4$
2) Etablir un programme écrit en Turbo Pascal qui permettra de déterminer un encadrement d’amplitude $10^{-6}$ pour chacune de ces deux solutions.
3) Soit $N$ le rang des termes des suites $(a_n)$ et $(b_n)$ qui encadrement $x_2$ à $10^{-6}$ près.
a) Etablir un programme écrit en Turbo Pascal qui calcule et affiche $N$
b) Etablir un programme écrit en Turbo Pascal qui calcule et affiche $N$, $a_N$ et $b_N$
4) Soit $N’$ le rang des termes des suites $(a_n)$ et $(b_n)$ qui encadrement $x_1$ à $10^{-4}$ près. Proposer une version du programme établi en 3) qui permettra de calculer et afficher $N’$, $a_{N’}$ et $b_{N’}$.

(D’après sujet Bac Tunisien, Section Math, Session principale 2010)

Program Encadrement_Solution;
uses wincrt;
var a,b,m:real;
function f(x:real):real;
begin
f:=Ln(x)-x*Ln(x)+x;
end;
Begin
write('Entrez la borne inférieure a : a= ');
readln(a);
write('Entrez la borne supérieure b : b= ');
readln(b);
repeat
  m:=(a+b)/2;
  if f(m)*f(a)<0 then b:=m else a:=m;
until b-a<=1E-06;
a:=a*1E+06;
a:=Trunc(a);
a:=a*1E-06;
writeln('a= ',a);
b:=b*1E+06;
b:=Trunc(b);
b:=b*1E-06;
writeln('b= ',b);
writeln(a,'<x2<',b)
End.

Program  Rang_terme; 
uses wincrt;
var    N: integer;
           a, b, n, eps, y: real; 
function g(x:real):real;
  Begin
g:= (Ln((b-a)/x)/Ln(2)) -1;
 end;
Begin
 write ('Entrez a, a = '); 
 readln(a); 
 write ('Entrez b, b = ');
 readln(b); 
 write ('Entrez eps, eps = '); 
 readln(eps); 
 y:= g(eps);
 N:= Trunc(y)+1;
writeln (‘ N  =  ',N);
 End.

Program Rang_Valeurs_termes; 
uses wincrt;
var    N, i: integer;
           a, b, eps, y, m: real; 
function g(x:real):real;
  Begin
g:= (Ln((b-a)/x)/Ln(2)) -1;
 end;
function f(x:real):real;
begin
f:=Ln(x)-x*Ln(x)+x;
end;
Begin
write ('Entrez a, a = '); 
 readln(a); 
 write ('Entrez b, b = ');
 readln(b); 
 write ('Entrez eps, eps = '); 
 readln(eps); 
y:= g(eps);
 N:= Trunc(y)+1;
For i:=0 to N  do 
Begin
 m:=(a+b)/2;
  if f(m)*f(a)<0 then b:=m else a:=m;
End;
writeln('N= ',N ); 
a:=a*1E+06;
a:=Trunc(a);
a:=a*1E-06;
writeln('aN= ',a);
b:=b*1E+06;
b:=Trunc(b);
b:=b*1E-06;
writeln('bN= ',b);
End.

Par ce travail, j’ai voulu présenter au lecteur (qu’il soit enseignant ou élève de Terminale scientifique) un exemple de situation où l’interdisciplinarité peut beaucoup aider à assimiler les notions mises en jeu de différentes matières combinées : c’est le cas des mathématiques et l’informatique (et plus précisément, l’algorithmique) dans cet exemple.
Je tiens à signaler que les programmes que j’ai proposés ci-dessus peuvent être améliorés et enrichis par d’autres questions, telles que :

• l’affichage des résultats de toutes les étapes de calcul,
• la présentation de ces résultats sous forme d’un tableau,
• la présentation de certaines parties sous forme de procédures à part

donc je ne prétends pas qu’ils sont des modèles à suivre, ils sont plutôt un support d’application de certaines notions d’algorithmique et d’illustration de certaines notions mathématiques.