La Ti 82 Stat Fr possède un mystérieux bouton

(vers le haut à gauche, juste à côté du bouton « math »). On va voir comment ce bouton permet de rapidement tester l’algorithme matriciel du sujet.

En appuyant sur ce bouton, on découvre les noms possibles pour les matrices, qui vont de A à I entre crochets. Les lettres A, B et C étant réservées pour des variables vues plus tard dans l’énoncé, on va utiliser la lettre D pour désigner la matrice stochastique. On va la créer en allant dans le menu « édition » qui permet de modifier les matrices (et la création d’une matrice est une modification !), et, dans ce menu, on choisit D :

Par défaut, D est une matrice carré d’ordre 1 (c’est-à-dire un nombre...) :

On remplace alors les « 1 » par des « 3 » au clavier :

Alors il ne reste plus, toujours à l’aide du clavier, qu’à entrer les 9 coefficients de D :

Alors le menu des noms de matrices montre que D existe puisque ses dimensions sont affichées :

Pour calculer la puissance quatrième de D, on utilise la notation habituelle de la Ti :

Même les deux premières lignes montrent que lorsque l’exposant est suffisamment grand, les lignes de la puissance sont constantes, et représentent la distribution d’équilibre de la chaîne de Markov :

En effet, en multipliant une matrice dont les lignes sont constantes par un vecteur colonne dont la somme des éléments vaut 1, le produit est égal à l’une quelconque des colonnes de la matrice.

A est une matrice à 2 lignes et 2 colonnes, B et U sont des matrices à 2 lignes et 1 colonne (soit, des vecteurs colonne), comme on le voit dans l’énoncé. On va donc commencer par entrer A, en allant dans le menu d’édition des matrices, en entrant 2 et 2 pour ses dimensions et en entrant ses 4 coefficients :

Idem pour B :

Puis pour U, rebaptisé D puisque la lettre U n’existe pas dans l’espace de noms des matrices :

Pour programmer l’algorithme, il suffit, comme à l’accoutumée, d’aller dans le menu « programme » de la Ti, et d’y créer un programme :

Le nombre de lettres disponibles oblige à appeler quelque peu familièrement « Pondiche » le programme en question :

Le programme est alors concis, en utilisant les opérations de la calculatrice, et en cherchant les matrices dans le menu des noms de matrices :

Pour tester le programme, comme d’habitude on quitte l’éditeur de programme et on lance le programme :

La suite des valeurs successives prises par le vecteur U (ici, D) apparaît alors à l’écran :

Dans le menu « math » du menu des matrices, se trouve l’instruction « identité » :

Elle permet d’entrer la matrice I de l’énoncé (en fournissant sa dimension comme argument), à laquelle il suffit ensuite de soustraire A pour avoir N :

Pour voir comment a été obtenue N, voir l’onglet précédent. Il suffit de multiplier l’inverse de N par B pour avoir C :

On peut également trouver C en résolvant le système

• 0,6x-0,4y=0,1
• -0,2x+0,9y=0,2

Pour cela, on entre les 6 coefficients (en comptant le second membre) dans une matrice à 3 lignes et 2 colonnes (ici C) :

Pour résoudre le système, on applique une élimination de Gauss-Jordan à cette matrice. Celle-ci se trouve dans le menu mathématique des matrices :

La troisième colonne de C contient alors la solution du système :

Les chaînes de Markov servent à modéliser les phénomènes qui se déroulent dans le temps de manière à ce que le passé et le futur à un instant donné soient conditionnellement indépendants par rapport au présent. On dit que c’est un processus "sans mémoire". Ainsi, pour faire une prédiction à l’instant n sur le comportement futur de la chaîne, il suffit de connaître la valeur $X_n$ et il est inutile de connaître les valeurs antérieures. Ceci est réalisé, en première approximation au moins, dans de nombreuses situations. On rappelle qu’une chaîne de Markov est homogène si la matrice de transition qui définit le passage de l’instant n à son successeur n+1 ne dépend pas de la valeur de n.

Dans le sujet de bac que nous étudions dans cette chronique, nous avons affaire à un processus markovien homogène où l’ensemble des états est fini (3 états, les marques de petits pots pour bébés). Je ne me propose pas de reprendre les calculs matriciels 2X2 suggérés dans l’énoncé de ce sujet, Alain Busser notamment l’ayant fait dans sa contribution. Je vais plutôt essayer de montrer comment les chaînes de Markov peuvent apporter des informations marketing précieuses en simulant notamment mois par mois l’évolution du marché de manière à en trouver les tendances à long terme. Pour les programmes, je me suis orienté vers deux logiciels qui gèrent les calculs matriciels 3X3 et qui m’étaient familiers : Scilab et Maple. Je me suis ensuite écarté du sujet de Bac et j’ai essayé d’en imaginer un prolongement qui pourra, je l’espère, donner des idées aux fans de programmation.

Le théorème de Perron-Frobenius s’applique aux matrices carrées A = $(a_{ij})$ d’ordre n qui vérifient les hypothèses suivantes :

• tous les éléments $a_{ij}$ sont positifs ou nuls ;
• il existe au moins une puissance à exposant entier de A tous les éléments sont strictement positifs.

Sous ces conditions, le théorème affirme que A possède une valeur propre réelle dominante $\lambda$ associée à un vecteur propre dominant V. C’est à dire que toutes les autres valeurs propres ont un module strictement inférieur à celui de $\lambda$ et de plus toutes les composantes de V sont strictement positives et de somme égale à 1.

Ce théorème permet de montrer qu’une chaîne de Markov à espace d’états fini converge en loi vers son unique distribution stationnaire (ou invariante). C’est alors $\lambda$ = 1 qui est la valeur propre dominante. Cette convergence est indépendante de la loi initiale choisie pour un processus markovien donné. On peut donc rien qu’en itérant la matrice atteindre une très bonne approximation de la distribution stationnaire, ceci simulant d’ailleurs l’évolution du système markovien au fil du temps.

Dans l’exercice de bac S proposé en 2014 à Pondichéry, la matrice de transition entre les différentes marques obéit aux hypothèses du théorème de Perron-Frobenius puisque tous ses coefficients sont strictement positifs :

$A=\left(\begin{array}{ccc} 0.5 & 0.5 & 0.1 \\ 0.4 & 0.3 & 0.2 \\ 0.1 & 0.2 & 0.7 \end{array}\right)$

Dans un premier temps, il est facile de chercher la distribution stationnaire : il suffit pour cela de chercher un élément du noyau de A-Id et de le normaliser de manière à ce que la somme de ses composantes soit égale à 1.

Pour réaliser cette tache, j’ai utilisé le logiciel de calcul numérique gratuit scilab : celui-ci peut être téléchargé à cette adresse. Lors d’une utilisation pédagogique avec les élèves de terminale en enseignement de spécialité, l’installation du "Module Lycée" de Claude Gomez et le téléchargement d’un guide pratique peut s’avérer utile. La particularité de logiciel est d’être particulièrement bien adapté au calcul matriciel puisque les nombres en tant que tels sont pour scilab des matrices 1X1 et qu’ainsi tous les calculs sont définis selon un procédé matriciel. Cela en fait un outil pertinent pour l’étude des chaînes de Markov, a fortiori dans les établissements scolaires (lycée) et universitaires où la gratuité est un atout non négligeable. Notons tout de suite que la commande "afficher" que nous utiliserons plus bas est propre au module lycée et qu’il faut impérativement l’installer pour pouvoir l’utiliser.

Une fois tout installé, on clique sur le menu Applications puis dans le menu déroulant sur SciNotes, une fenêtre d’édition s’ouvre pour saisir la suite d’opérations algorithmique à réaliser. La prise en mains du logiciel est assez simple lorsque l’on connaît la syntaxe propre à l’édition des matrices.

Pour créer la matrice A et le vecteur indiquant la distribution initiale des clients, il suffit de saisir :

Notons que le "double slash" est utilisé pour écrire un commentaire qui n’est pas pris en compte par le logiciel lors de l’exécution.

La recherche du noyau dans scilab s’effectue assez naturellement en utilisant la fonction kernel.

Le programme scilab suivant réalise donc la recherche de la distribution stationnaire :

Voici ce que la console de scilab affiche comme résultat à la suite de l’exécution de ce programme :

Si vous êtes un peu déçus par les nombreuses décimales affichées et vous auriez préféré une valeur exacte. Alors, il faut se tourner vers un logiciel de calcul formel. J’y reviendrai un peu plus bas. En réalité, les composantes de la probabilité stationnaire sont exactement $17 \over 46$, $7 \over 23$ et $15 \over 46$. Le logiciel scilab en donne donc une très bonne approximation.

En tout cas, après quelques secondes de travail, nous pouvons déjà prédire que le marché va se stabiliser ainsi : au bout d’un certain temps, environ 37% des clients vont se fournir chez la marque X, 30% des gens s’orienteront vers la marque Y et 33% des parents prendront des petits pots de la marque Z. De mois en mois, même si certains clients décident ponctuellement de changer de marque, le marché restera stable autour de ces proportions.

La seconde question qui peut nous occuper est de déterminer à partir de combien de mois cette position d’équilibre est atteinte ou plutôt pratiquement atteinte. Il s’agit donc d’étudier la vitesse de convergence vers la distribution stationnaire, convergence qui ,doit-on le rappeler, est assurée par la théorie.

Étant donné que la distribution initiale est connue, pour étudier la convergence, je me fixe une précision et je regarde le nombre d’itérations nécessaires pour atteindre cette précision prédéterminée. J’utilise donc une boucle "while" pour gérer ce processus itératif qui doit s’arrêter naturellement dès que la précision voulue est atteinte.
Une fois la sortie de la boucle effective, il convient de faire afficher le nombre de mois nécessaires pour réaliser l’objectif et les valeurs obtenues de la répartition probable des clients à l’issue du processus.

Voici l’algorithme implémenté en langage scilab :

Nous pouvons tirer de cette étude l’enseignement suivant : au bout de 9 mois (9 itérations pour une précision de 0,001), soit au mois d’octobre, le marché est déjà très stabilisé entre les différentes marques. Le vecteur issu de cette simulation du marché jusqu’en octobre a pour composantes :

0.3701577252,

0.3045998733,

0.3252424015.

Cela signifie que 37% des acheteurs environ s’orientent vers la marque X, 30,4% achètent la marque Y et 32,6% préfèrent la marque Z. Ensuite, même si des consommateurs prennent ponctuellement et individuellement la décision de changer de marque, le marché est globalement stable à 0,1% près, ceci tant que la matrice de transition qui répartit les échanges de clients reste inchangée. Au bout de 13 mois, le marché est même stable à 0,01% près. La copie d’écran suivante reprend d’ailleurs les résultats obtenus avec scilab :

Par contre, dans scilab, tous les calculs sont numériques et sont effectués en double précision. Cela signifie que la précision maximale est d’environ 16 chiffres décimaux. Un utilisateur novice pourrait penser que la saisie de format(20) permettra d’obtenir une meilleure précision. En fait, il n’en est rien comme le prouve cet exemple :

En réalité, les 18 premières décimales de $\pi$ sont :

On voit donc que scilab présente 2 décimales "terminales" erronées. D’ailleurs, en laissant la commande format(20), dès la fin de la première itération dans mon programme, le résultat est plutôt surprenant puisque nous attendions notamment 0.42 exactement pour la première composante (voir énoncé).

L’erreur est certes minime mais l’erreur est réelle.

On peut d’ailleurs voir que scilab ne peut aller plus loin qu’une précision à $10^{-15}$. Il s’arrête sans message d’erreur d’ailleurs.

En conclusion, nous voyons que scilab est un logiciel qui permet d’obtenir rapidement une très bonne valeur approchée à $10^{-3}$ près de la distribution stationnaire. Mais pour aller au-delà, il faudra immanquablement se tourner vers un logiciel de calcul formel.

Dans la famille des logiciels de calcul formel, il existe des logiciels gratuits comme Maxima ou Derive...et des logiciels propriétaires comme Maple et Mathematica. Pour la suite de ce propos, je me suis tourné vers Maple car c’est un logiciel qui a fait fureur en classe préparatoire et fut utilisé également dans l’épreuve de modélisation de l’agrégation externe.

La première vertu que l’on peut trouver à Maple est de pouvoir donner les valeurs exactes des composantes de la distribution stationnaire. Le programme suivant se charge de donner un vecteur propre de la matrice A-Id pour la valeur propre 1.

Le programme sort un vecteur dont la somme des composantes n’est pas 1, mais $23 \over 7$, il convient donc de la normaliser pour obtenir la distribution dont j’ai déjà parlé.

sortie : $23 \over 7$

Le package linalg est indispensable pour gérer les matrices et utiliser la fonction kernel dans Maple. On peut observer quelques différences dans la manière de saisir une matrice par rapport à scilab.

Avec Maple, on peut également réaliser l’’itération du processus markovien de manière à retrouver les résultats relatifs à la convergence de la chaîne :

Cette boucle "for" limitée à 4 itérations permet de vérifier les valeurs numériques demandées dans la dernière question du sujet de Bac après avoir complété avec cette commande :

En programmant cette boucle jusqu’à i=9, on retrouve les résultats obtenus par scilab précédemment.

Dans le paragraphe précédent , nous avons vu que la convergence vers la loi stationnaire est extrêmement rapide. On pourrait croire que le choix de la distribution initiale y est pour beaucoup. Pour réfuter cette hypothèse, je propose d’examiner l’exemple suivant.

Supposons que le nombre de clients qui achètent la marque X (celle qui est la plus populaire) est tombé à 0 (par exemple à cause d’une campagne publicitaire désastreuse mettant en scène une célébrité qui n’est plus du tout populaire ou à la suite d’un scandale alimentaire.) Prenons donc pour distribution initiale le vecteur U(0 ; 0.6 ; 0.4) et supposons que nous sommes au moment où les consommateurs commencent à oublier les problèmes rencontrés par la marque X et que la matrice de transition A gère de nouveau les échanges entre les différentes marques. On se souvient, que sous ces nouvelles conditions, la distribution stationnaire reste inchangée. Les résultats fournis par scilab sont sans appel :

Même si après une itération, la première composante associée à X est à 0.36 au lieu de 0.42, nous constatons la convergence attendue vers la distribution stationnaire (c’est indépendant de la distribution initiale, rappelons-le) et même un retour proche à $10^{-3}$ de l’équilibre en 9 itérations également. Tant que le système est régi par la matrice A, il est convenu qu’en 9 mois, le marché est "stabilisé". Le seul moyen pour les marques de faire changer cet équilibre du marché est d’agir pour que les coefficients de la matrice leur soit plus favorable (soit faire en sorte que moins de clients les quittent, soit faire en sorte que plus de clients les rejoignent.)

a) Garder les clients conquis

Élargissons un peu le champ d’application. Oublions un instant les petits pots pour bébé et leurs trois marques X,Y et Z. Les consommateurs grandissent vite !
Les voici maintenant dans un environnement où 3 opérateurs de téléphonie mobile X,Y et Z se partagent le marché quand un quatrième larron W vient entrer dans la danse (toute ressemblance avec des faits réels ne serait que pure et fortuite coïncidence). Nous supposons que la distribution initiale est (0,5 ; 0,3 ; 0,2 ; 0), ce qui est la même distribution que pour les petits pots de bébé mais avec une quatrième composante nulle. L’opérateur X est en tête et possède 1 client sur 2, l’opérateur Y a une courte avance sur l’opérateur Z tandis que W n’a aucun client puisqu’il vient d’être créé. Mais W a une stratégie agressive et pratique des tarifs alléchants (pure coïncidence fortuite, on vous dit ! ) Par contre, les nouveaux clients de W sont parfois déçus par le service et retournent vers la concurrence. Nous supposons en outre que tous les pourcentages concernant les transitions de clientèle entre les opérateurs X, Y et Z baissent de 5% par rapport à l’exercice des petits pots pour bébé. Ainsi 15 % des clients de chacun des opérateurs X,Y et Z cèdent au chant des sirènes et décident de les quitter pour rejoindre W.

Un client de l’opérateur X a le mois suivant :

• 45% de chance de rester fidèle à X ;
• 35% de chance de changer pour s’engager envers Y ;
• 5% de chance de changer pour s’engager envers Z ;
• 15% de chance de rejoindre le nouvel opérateur W.

Un client de l’opérateur Y a le mois suivant :

• 25% de chance de rester fidèle à Y ;
• 45% de chance de changer pour s’engager envers X ;
• 15% de chance de changer pour s’engager envers Z ;
• 15% de chance de rejoindre le nouvel opérateur W.

Un client de l’opérateur Z a le mois suivant :

• 65% de chance de rester fidèle à Z ;
• 5% de chance de changer pour s’engager envers X ;
• 15% de chance de changer pour s’engager envers Y ;
• 15% de chance de rejoindre le nouvel opérateur W.

Quant aux clients de l’opérateur W, nous supposons qu’ils quittent W, insatisfaits du service en égale proportion vers chacun des concurrents.

Les dirigeants de l’entreprise W doivent faire une étude précise du marché pour savoir si limiter les pertes de clients en proposant un service de qualité est une stratégie intéressante pour gagner le leadership. Je me propose d’aider les dirigeants de W en rédigeant un programme avec Maple.

Le paramètre $a$ sert à mesurer le niveau de satisfaction des clients de W. Par commodité, je choisis de dire que $3a+1$% des clients de W se réengagent le moins suivant. En conséquence $33-a$% des clients de W repartent vers chacun des 3 concurrents.

On réalise deux procédures Maple :

• La première "Vecteurpropre" se charge d’écrire la matrice de transition A, dépendante du paramètre $a$, puis elle cherche le noyau de A - Id. Elle normalise le vecteur propre de manière à en faire une distribution de probabilité.

• La seconde procédure "Meilleursparametres" est chargée de renvoyer les paramètres $a$ pour lesquels le l’opérateur nouvellement créé devient le premier en nombre d’utilisateurs à la distribution d’équilibre.

Voici le programme complet (la distribution initiale n’intervient pas) :

Maple donne en sortie de la procédure "Meilleursparametres" tous les entiers compris entre 20 et 33. En analysant les résultats, on s’aperçoit que l’opérateur qui part avec 0% du marché devient l’opérateur prépondérant à terme lorsque son taux de réengagement atteint 61%. En dessous, il restera dominé par au moins un concurrent.

On peut même obtenir la distribution stationnaire dans le cas où le taux de réengagement est de 61% et estimer l’écart par rapport aux autres opérateurs en saisissant :
>B :=Vecteurpropre(20) ;
>for i from 1 to 4 do evalf(B[i]) od ;

L’opérateur W devance X d’une courte tête 27,8% des clients contre 26,7% à l’équilibre du marché.

Voici même une procédure Maple supplémentaire "Leadership" qui permet de déterminer au bout de combien de mois, le quatrième opérateur devient le leader du marché :

Celle-ci retourne la première valeur pour laquelle le nombre de clients du quatrième opérateur dépasse celui du premier, à savoir 6. Il faut donc seulement 6 mois pour être le numéro 1 à cet opérateur sous ces conditions. On peut même s’apercevoir en calculant U[6] que ce mois-ci, cet opérateur possède déjà 27,5% des clients et est tout proche de son maximum.

Les dirigeants de W ont donc tout intérêt à proposer un service de qualité.

b) Casser les prix quitte à faire des insatisfaits ?

On peut quand même se demander si W a intérêt à casser les prix quitte à ne pas satisfaire ses nouveaux clients : on suppose ici que les clients se W se partagent le mois suivant en :

• 25% qui se réengagent vers W ;
• 25% qui quittent W pour X ;
• 25% qui quittent W pour Y ;
• 25% qui quittent W pour Z.

Cette fois-ci, nous baissons tous les pourcentages de transition entre opérateurs de a% par rapport à l’exercice des petits pots pour bébés. Ainsi l’opérateur W récupère automatiquement 3a% des clients de chaque opérateur. Le paramètre a sera limité à 10 car sinon certains éléments de la matrice de transition A deviendraient négatifs.

La matrice A s’écrit donc en multipliant celle-ci par le scalaire $1 \over 100$ :

$$\left(\begin{array}{cccc} 50-a & 50-a & 10-a & 25 \\ 40-a & 30-a & 20-a & 25 \\ 10-a & 20-a & 70-a & 25 \\ 3a & 3a & 3a &25 \end{array}\right)$$

La procédure "Vecteurpropre" devient :

La procédure "Meilleursparametres" donne en sortie seulement le nombre 10 : ainsi l’opérateur de téléphonie W doit impérativement "voler" 30% des clients de chaque concurrent pour devenir le leader du marché avec 28,6% contre 26,4% à X.

Une stratégie agressive de baisse des prix s’avère ainsi également efficace même dans le cas où 75% des clients récupérés s’avèrent finalement insatisfaits.

Les chaînes de Markov que nous avons croisées ici servent à modéliser en première approximation des situations que la vie courante génère (diffusion des gaz, files d’attente, modèles proies-prédateurs...) Dans cet exercice de bac de 2014 à Pondichéry ainsi que dans le prolongement que nous avons examiné, celles-ci sont étudiées à des fins de marketing. Bien entendu, la vie réelle n’est jamais aussi idéale et l’homogénéité de la chaîne qui maintient stable la matrice A de mois en mois est une vue de l’esprit que le mathématicien s’accorde à accepter en première approximation.

Je me souviens que lorsque j’étais en passe de tenter mon bac, il n’y avait aucune matrice, aucune chaîne de Markov au menu. Leur apparition récente dans les programmes de terminale doit sûrement quelque chose à l’économie de marché dans laquelle nous vivons. Quelques années plus tard, lorsque je rédigeais mon mémoire de maîtrise sur l’étude du Monopoly avec ces mêmes processus markoviens, j’étais bien loin de penser que les bacheliers auraient 15 ans plus tard à se pencher sur des phénomènes stochastiques. Je m’en félicite en tout cas.

Je parlais à l’instant de Monopoly.... on peut déterminer la probabilité d’occupation de chacune des cases du plateau de jeu. Essayez, vous verrez bien, c’est assez drôle : commencez par déterminer les probabilités de passer d’une case à une autre avec les dés, puis d’une case à une autre avec des cartes et vous aurez la matrice de transition, 40X40 quand même. Elle remplit les conditions du théorème de Perron-Frobenius et donc vous obtiendrez un vecteur propre qu’il faudra normaliser en utilisant un logiciel adapté. Après, vous verrez, vous aimerez les quartiers rouges et oranges ! Sacrées chaînes de Markov !