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Epreuve pratique en mathématiques (2)
Moteur de recherche
Mis en ligne le 13 octobre 2014, par Stéphan Manganelli

L’équipe qui a travaillé sur mon précédent article concernant l’Epreuve pratique s’est reformée avec grand plaisir afin de mettre en œuvre les différents problèmes que je leur ai soumis. Merci notamment à Yves Martin, Alain Busser et Hédi Abderrahim qui ont participé avec efficacité à la réalisation de ce projet.

Premier article de l’auteur sur le thème de l’Epreuve Pratique

Cet article peut être librement diffusé et son contenu réutilisé pour une utilisation non commerciale (contacter l’auteur pour une utilisation commerciale) suivant la licence CC-by-nc-sa (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/fr/legalcode)

Article mis sous SPIP par Angelo Laplace.

Voici une liste de 11 fiches d’activités, bâties à la façon Epreuve Pratique. Comme la première fois, il s’agit de problèmes, glanés ici et là, au gré de mes aventures, et qui, lorsque je les ai rencontrés, m’ont interpellé de la façon suivante : un recours au logiciel, pour "y voir plus clair", "faire bouger", "simuler"... s’est fait pressant en moi... de manière plus ou moins flagrante, selon les dits problèmes... et j’ai ensuite modestement pensé que ce recours pouvait être pertinent dans la résolution générale du problème et notamment pour l’accès au résultat, qu’il resterait ensuite à démontrer, si on peut...

Certains de ces problèmes sont très connus, d’autres moins, mais comme je les ai tous traités à mon idée, cela peut en refaire des problèmes originaux pour certains d’entre vous, chers lecteurs. J’espère en tout cas qu’ils attireront l’intérêt de quelques-uns, par l’aspect original de leur résultat, ou par la manière spéciale d’être traités.
Plus généralement, il me plait de défendre cette alternative qui consiste à "résoudre" un problème par le recours à un logiciel : on est certes davantage dans l’observation de ce qui se passe (on est comme on dit dans la conjecture), ou dans l’accès à une estimation d’un résultat (mais qui peut suffire amplement),... Mais après-tout, lorsqu’on passe par les voies classiques d’une bonne vieille démonstration (si tant est qu’on puisse déjà la tenter), est-on certain au bout du chemin de sa validité ?

Je dirais que cette phase de recherche, d’expérimentation, d’observation, à laquelle est associé ici le logiciel, est une clé majeure dans le raisonnement scientifique moderne. Pouvoir de nos jours "simuler avec Random" en probabilités ou "faire bouger les figures" avec un logiciel de géométrie dynamique dans la recherche de lieux ou dans les problèmes d’optimisation, est tout à fait remarquable.

Plus en détails :

-  Les 3 segments
Un résultat original que la géométrie dynamique révèle et pour la démonstration duquel la géométrie des complexes fournit un cadre pertinent.

-  Les 3 carrés
Un résultat original que la géométrie dynamique révèle et pour la démonstration duquel la géométrie des complexes fournit un cadre pertinent.

- Le moulin de Von Aubel
Un beau résultat que la géométrie dynamique révèle et pour la démonstration duquel la géométrie des complexes fournit un cadre pertinent.

- Exercice 2, bac, Métropole, juin 2005
Exercice de bac S, Métropole, Juin 2005, doublement intéressant :
---> le recours à l’outil logiciel est on ne peut plus pertinent (on fait bouger, on observe, on conjecture) ;
---> si on ne pense pas Complexes, la démonstration peut laisser pas mal de gens au bord de la route.

- Un peu de douceur dans un monde de brute
Il s’agit ici d’utiliser la loi uniforme (et donc random) pour produire, après une transformation particulière, la loi exponnentielle.

- Section de tétraèdre
Il n’est pas toujours aisé pour les élèves d’envisager (imaginer, projeter) certaines sections planes de solides (cubes, tétraèdre) dans l’espace ; il me semble que là aussi, le recours au logiciel, donnant la solution ici, éclaire le chemin de la démonstration... Le théorème du toit apparaît assez bien à l’écran...

- Exercice 3 bac, Amérique du Nord 2014
Une section de cube (l’exercice de géométrie dans l’espace d’Amérique du Nord, bac S, juin 2014) pour laquelle il faut aller chercher un point hors solide...

-  Le point de Vecten
Exercice de bac S, Polynésie, Juin 2012, doublement intéressant :
---> le recours à l’outil logiciel est on ne peut plus pertinent (on fait bouger, on observe, on conjecture) ;
---> si on ne pense pas Complexes, la démonstration peut laisser pas mal de gens au bord de la route.

- Idem-Séquence d’ordre supérieur ou égal à 6
Il s’agit d’une petite fiche d’activité possible avec les élèves, qui vont accéder à la probabilité (du moins une estimation de la probabilité) d’un évènement, dont l’accès théorique est difficile à ce niveau, et dont la valeur peut vraiment surprendre.

- Le problème de l’angle maximum
Un problème que j’ai débusqué et qui se démontre avec la formule des trois sinus (deux en l’occurence ici !). Niveau 1ère S.

- Soulevez la corde
Voici une énigme (connue en collège) posée par Éric Barbazo sur la chaîne Campus... et me voilà parti sur Geoplan... c’est terrible ça, hein ? Bien pour la classe de Quatrième (Pythagore).

Régalez-vous (comme moi je me suis régalé) à traiter tout ça !

Enoncés et fichiers d’aide à la conjecture


Les fichiers GeoGebra et Cabri 3D proposés comme aide à la conjecture sont l’œuvre de Hédi Abderrahim. Pour le problème du moulin de Von Aubel, Yves Martin nous propose une figure DGPad manipulable en ligne et nous offre ses commentaires quant à l’usage du logiciel wxMaxima. Alain Busser s’est, quant à lui, chargé d’écrire les algorithmes CoffeeScript des problèmes en lien avec le calcul des probabilités.


Niveau Terminale S

Les 3 segments

PDF - 222.9 ko
Enoncé du problème : les 3 segments

Figure manipulable (sélectionner affichage puis cacher la fenêtre algèbre) :

Désolé, l'activité GeoGebra ne peut pas démarrer. Assurez-vous que Java 1.4.2 (ou version supérieure) est installée et activeée sur votre navigateur (Cliquez ici pour installer Java maintenant !)
Créé avec GeoGebra
geogebra - 7.5 ko
Fichier GeoGebra pour le problème des 3 segments


Les 3 carrés

PDF - 213.8 ko
Enoncé du problème : les 3 carrés
GIF - 471.3 ko
Gif animé du fichier GeoGebra pour le problème des 3 carrés
geogebra - 13.9 ko
Fichier GeoGebra pour le problème des 3 carrés


Le moulin de Von Aubel

PDF - 221.6 ko
Enoncé du problème : le moulin de Von Aubel
geogebra - 14.2 ko
Fichier GeoGebra pour le problème du moulin de Von Aubel


Voici le point de vue de Yves Martin sur ce problème.

Complément 1. Figure manipulable en ligne (Mozilla Firefox conseillé) :


Commentaires sur la figure précédente

• Comme avec un tableur, on est dans la conjecture, car tout est numérique : que P-M+i(Q-N) soit le vecteur nul est une simple vérification expérimentale, mais en soi elle est intéressante.

• La seconde écriture relève plus de la formation des enseignants pour préparer leurs propres figures que d’une utilisation par les élèves. Écrire (M-P)/(Q-N) c’est faire un rapport de deux affixes : c’est l’écriture simplifiée, dans ce logiciel - DGPad - du rapport des affixes. Comme le plan, ainsi identifié au plan complexe, est un corps, ce rapport est compris, et il est exprimé sous forme de couple (liste) à deux éléments au sens de l’écriture algébrique d’un nombre complexe : ce [0,1] est le nombre i. Mais l’écriture est plus générale donc on pourrait afficher le point ayant cet affixe.
• Quand D est sur le point S, l’expression N+Q-P-M, qui est un vecteur (notation de Grassmann) donne le vecteur nul, c’est-à-dire que MNPQ est un parallélogramme (et donc un carré d’après les questions précédentes.)

Complément 2. Usage du calcul formel

Le calcul numérique dans un logiciel de géométrie dynamique est comme celui d’un tableur, il permet des conjectures ou il confirme des conjectures, mais n’avance pas vraiment vers la preuve. Pour cela, le programme actuel du CAPES pour l’oral suggère d’utiliser des logiciels de calcul formel : XCas ou wxMaxima.

L’auteur de ce commentaire s’est plusieurs fois servi de cette figure pour faire faire du calcul formel à ses étudiants (M2 MEEF mathématiques comme on dit désormais - anciens PLC2)
Voici l’exercice correspondant au "Moulin de Von Aubel, lors d’un contrôle :

Ce qui était attendu ressemblait à quelque chose comme :

Mais un étudiant astucieux qui ne savait plus comment faire des fonctions avec wxMaxima (avec tous documents autorisés néanmoins) a trouvé quelque chose d’un peu plus complexe mais très pertinent. J’en ai fait une question d’exercice pour les étudiants de l’année suivante :

Comme quoi une figure simple, un exercice hyper classique, peut être l’objet de nombreuses sources d’utilisation pour peu qu’on se laisse porté par les circonstances.


Exercice 2, bac, Métropole, juin 2005

PDF - 240.7 ko
Enoncé de l’exercice 2 bac S, métropole, juin 2005
GIF - 3.9 Mo
Gif animé du problème de bac S, métropole juin 2005
3,9 Mo (Chargement long)
geogebra - 4.5 ko
Fichier GeoGebra pour l’exercice 2 Bac S métropole 2005


Un peu de douceur dans un monde de brute

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Enoncé du problème : un peu de douceur dans un monde de brutes

simulation de variables aléatoires exponentielles

Pour simuler une variable aléatoire exponentielle et tracer un histogramme, on peut exécuter le script ci-dessous. Ne pas hésiter à modifier des valeurs pour observer l'effet des modifications.

Remarque d’Alain Busser sur la loi exponentielle : L’écart-type de l’échantillon n’est pas censé être égal au paramètre parce que l’estimateur "écart-type dans l’échantillon" est biaisé : il faudrait diviser par 9 999 au lieu de 10 000 pour le calcul de la variance. J’ai zappé cette difficulté pour ne pas allonger le script à l’excès.


Section de tétraèdre

PDF - 195.2 ko
Enoncé du problème : section de tétraèdre
Si la figure manipulable n'apparaît pas ci-dessous, il faut tout d'abord télécharger et installer le plug-in Cabri 3D (disponible uniquement pour Windows et Mac OS).

Pour télécharger le fichier Cabri-3d :

Cabri géomètre 3 - 33 ko
Fichier Cabri 3D pour le problème de la section de tétraèdre


NDLR :
Un de nos fidèles lecteurs, Noël Lambert, nous a adressé une figure GeoGebra (version 5.0) pour illustrer ce problème :

geogebra - 33.2 ko
Fichier GeoGebra pour le problème Section de tétraèdre, vu par Nöel Lambert

lien vers la figure dans GeoGebraTube


Exercice 3 bac, Amérique du Nord 2014

PDF - 495.7 ko
Enoncé de l’exercice 3 bac, Amérique du Nord 2014
Si la figure manipulable n'apparaît pas ci-dessous, il faut tout d'abord télécharger et installer le plug-in Cabri 3D (disponible uniquement pour Windows et Mac OS).

Pour télécharger le fichier Cabri-3d :

Cabri géomètre 3 - 33.8 ko
Si la figure manipulable n'apparaît pas ci-dessous, il faut tout d'abord télécharger et installer le plug-in Cabri 3D (disponible uniquement pour Windows et Mac OS).

Pour télécharger le fichier Cabri-3d :

Cabri géomètre 3 - 41.2 ko
Si la figure manipulable n'apparaît pas ci-dessous, il faut tout d'abord télécharger et installer le plug-in Cabri 3D (disponible uniquement pour Windows et Mac OS).

Pour télécharger le fichier Cabri-3d :

Cabri géomètre 3 - 34.9 ko
Si la figure manipulable n'apparaît pas ci-dessous, il faut tout d'abord télécharger et installer le plug-in Cabri 3D (disponible uniquement pour Windows et Mac OS).

Pour télécharger le fichier Cabri-3d :

Cabri géomètre 3 - 39.9 ko

Et avec GeoGebra (une proposition de Noël Lambert)


Le point de Vecten

PDF - 230 ko
Enoncé du problème "Le point de Vecten"

deux approches sont proposées, une avec le produit scalaire, l’autre avec les nombres complexes. Cliquer sur affichage pour cacher la fenêtre algèbre.
Avertissement : ces figures dynamiques n’offrent qu’un aperçu limité des fichiers GeoGebra à télécharger ci-dessous !

Désolé, l'activité GeoGebra ne peut pas démarrer. Assurez-vous que Java 1.4.2 (ou version supérieure) est installée et activeée sur votre navigateur (Cliquez ici pour installer Java maintenant !)
Créé avec GeoGebra
geogebra - 15.5 ko
Fichier GeoGebra pour le problème du point de Vecten (niveau 1ère S avec le produit scalaire)
Désolé, l'activité GeoGebra ne peut pas démarrer. Assurez-vous que Java 1.4.2 (ou version supérieure) est installée et activeée sur votre navigateur (Cliquez ici pour installer Java maintenant !)
Créé avec GeoGebra
geogebra - 27.1 ko


Idem-Séquence d’ordre supérieur ou égal à 6

PDF - 196.4 ko
Enoncé du problème "Idem-Séquence d’ordre supérieur ou égal à 6"

Séries de 6

Un tirage est une chaîne de 200 caractères égaux à "P" (pour pile) ou "F" (pour face). Pour détecter s'il y a au moins 6 "pile" de suite, on utilise une expression régulière comprenant 5 "P" de suite et au moins un "P" supplémentaire. Cette expression régulière s'écrit /PPPPPP+/g. Le "+" après le dernier "P" signifiant "voire plus si affinité". Le "g" après l'expression régulière signifiant que la recherche doit être globale.

"null" veut dire que le tirage ne contient aucune suite de 6 résultats identiques ou plus. On dit qu'on n'a pas de chance si l'affichage donne deux fois "null" (pas de "pile" de suite, pas de "face" de suite non plus). Visiblement ça n'arrive pas souvent qu'on n'ait pas de chance...

Répétition de l'expérience et statistiques




Niveau Première S

Angle maximal

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Enoncé du problème : angle maximal
geogebra - 9.3 ko
Fichier GeoGebra pour le problème de l’angle maximal



Niveau collège

Soulevez la corde !

PDF - 187.4 ko
Enoncé du problème : Soulevez la corde !
Désolé, l'activité GeoGebra ne peut pas démarrer. Assurez-vous que Java 1.4.2 (ou version supérieure) est installée et activeée sur votre navigateur (Cliquez ici pour installer Java maintenant !)
Créé avec GeoGebra
GIF - 2.4 Mo
Gif animé d’un fichier GeoGebra pour le problème "Soulevez la corde"
geogebra - 8.5 ko
Fichier GeoGebra pour le problème "Soulevez la corde"




Documents associés à l'article
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