Situation de départ :

– Pour ne pas perdre nos objectifs, nous allons nous limiter à deux fonctions f et g telles que :

• $f(Df)\subset Dg$ : le domaine de définition de f et Dg : le domaine de définition de g
• Chacune des courbes représentatives de f et de g n’a qu’une seule asymptote et cette asymptote est oblique

– On présente aux élèves un fichier GeoGebra où sont tracées :

• (Cf) : la courbe représentative de la fonction f et son asymptote oblique D₁
• (Cg) : la courbe représentative de la fonction g et son asymptote oblique D₂

– Interdire aux élèves

• de faire usage des commandes : g(f(x)) et asymptote[fonction]
• d’afficher la fenêtre algèbre (ils n’ont pas à connaître ni l’expression de f(x), ni celle de g(x), ni l’équation de D₁ et ni celle de D₂).

N.B : Il n’est pas possible de créer une barre d’outils personnalisée en supprimant ces deux options car il s’agit de commandes et non pas d’outils

Analyse de la situation

Soient f et g deux fonctions dont chacune des courbes admet une asymptote oblique alors on peut déduire que :
– 
– elles peuvent s’écrire sous la forme : f(x) = a₁x + b₁ + ε₁(x) et g(x) = a₂x + b₂ + ε₂(x)
où ε₁ et ε₂ sont deux fonctions telles que : et

On pose : a₁x + b₁ = k(x) et a₂x + b₂ = m(x)

Alors gof(x) = g(f(x)) = a₂(a₁x + b₁ + ε₁(x))+b₂ + ε₂(f(x)) = m(k(x)) + a₂ε₁(x) + ε₂(f(x))

– Ne perdons pas de vue que :

• car et a2 est une constante
• d’après la limite de la fonction composée ( et )

Par suite la courbe de gof admet la droite Δ : y = mok(x) = a₂a₁x + a₂ b₁ + b₂ pour asymptote oblique.

Étapes de la construction de la courbe de gof

– Marquer M : point quelconque sur (Cf)
– Projeter M sur les axes du repère : d’où M₀(x₀, 0) et M₁(0, f(x₀)) (repère orthonormé)
– Prendre le symétrique de M₁(0, f(x₀)) par rapport à la 1ère bissectrice d’où le point M₂( f(x₀),0)
– Marquer le point M₃ de (Cg) d’abscisse f(x₀) : c’est le point admettant M₂ pour projeté orthogonal sur (xx’). Ainsi M₃(f(x0),g[f(x0)])
– Tracer

• la droite Δ₁ parallèle à (yy’) passant par M
• la droite Δ₂ parallèle à (xx’) passant par M₃

– Δ₁ et Δ₂ se coupent au point M₄(x₀,g[f(x₀]) : c’est un point de (Cgof) et (Cgof) n’est que le lieu de M₄ lorsque M décrit (Cf)

Construction de l’asymptote Δ à la courbe de gof : (Cgof)

Reprendre l’algorithme sus-décrit pour la construction de la courbe de gof
– Marquer N : point quelconque sur D₁
– Projeter N sur les axes du repère : d’où N₀(x₀, 0) et N₁(0, k(x₀)) (repère orthonormé)
– Prendre le symétrique de N₁(0, k(x₀)) par rapport à la 1ère bissectrice d’où le point N₂( k(x₀),0)
– Marquer le point N₃ de D₂ d’abscisse k(x₀) : c’est le point admettant N₂ pour projeté orthogonal sur (xx’). Ainsi N₃(k(x₀),m[k(x₀)])
– Tracer

• la droite Δ₁ parallèle à (yy’) passant par N
• la droite Δ₂ parallèle à (xx’) passant par N₃

– Δ’₁ et Δ’₂ se coupent au point N₄(x₀,m[k(x₀]) : c’est un point de Δ et Δ n’est que le lieu de N₄ lorsque N décrit Δ₁

Exécution : Voir le fichier GeoGebra ci-joint :

<geogebra|doc=7227|fenetre_externe=oui>

Double-cliquer sur la figure pour l’ouvrir dans une fenêtre de taille adaptée

Annexe I : Fiche élève

Objectifs
– Tracer à partir de (Cf) et (Cg) la courbe d’une fonction h appelée composée de f par g et notée gof. A chaque réel x appartenant à Df, h = gof associe g(f(x)).
– Tracer à partir de D₁ : asymptote oblique de (Cf) et D₂ : asymptote oblique de (Cg) la droite Δ : asymptote oblique de (Cgof)

Passage à l’action
Exécuter les tâches suivantes :
– Ouvrir le fichier « fonc _comp_eleve.ggb » qui se trouve sur le bureau de votre poste :

fonc_comp_eleve.ggb

• La ligne (Cf) est la courbe représentative d’une fonction f définie sur IR et D₁ est son asymptote oblique
• La ligne (Cg) est la courbe représentative d’une fonction g définie sur IR et D₂ est son asymptote oblique

Etape 1
– Avec l’outil « Point sur Objet », marquer un point M quelconque sur (Cf). Désignons par x₀ son abscisse
– Construire M₀ : le projeté orthogonal de M sur (xx’) et M₁ : le projeté orthogonal de M sur (yy’) (Le repère est orthonormé).
– Exprimer les coordonnées de M₀ et celles de M₁ en fonction de f et de x₀
– Soit M₂ le symétrique de M₁ par rapport à la 1ère bissectrice (Droite d’équation : y=x)

• Exprimer les coordonnées de M₀ en fonction de x₀ et de f
• Construire M₂

– Marquer le point M₃ de (Cg) admettant M₂ comme projeté orthogonal sur (xx’) et exprimer ses coordonnées en fonction de x₀, f et de g
– Tracer

• la droite Δ₁ parallèle à (yy’) passant par M
• la droite Δ₂ parallèle à (xx’) passant par M₃

– Afficher le point M₄ : intersection de Δ₁ et Δ₂ et exprimer ses coordonnées en fonction de x₀, f et de g
– Dans le menu contextuel de M₄, activer l’option « Tracée activée » et déplacer (ou animer le point M)
– La trajectoire ainsi obtenue de M₄ peut-elle être considérée comme étant la courbe représentative d’une fonction ?
– Désactiver la trace de M₄ et cliquer sur « Rafraîchir l’affichage » du menu Affichage (ou Ctrl + F) pour effacer la trajectoire déjà obtenue de M₄
– Activer l’outil « Lieu » puis cliquer successivement sur les points M₄ et M (Lieu de M₄ quand M décrit (Cf))
– Proposer une équation pour ce lieu en fonction de x₀, f et de g. Déduire que c’est la (Cgof)
– Utiliser GeoGebra pour confirmer ou infirmer votre conjecture.

Etape 2 : Construction de Δ l’asymptote de la courbe de gof
– Construire la droite Δ : asymptote de la courbe de gof en vous inspirant du support théorique ci-dessus (Analyse de la situation) et de l’étape 1
– Avec l’outil « Point sur Objet », marquer un point V quelconque sur (Cgof). Désignons par x son abscisse
– Tracer la droite T parallèle à (yy’) et passant par V
Afficher le point V’ où T coupe Δ
– Dans la zone de saisie, écrire : d = distance[V,V’] puis valider
– Activer l’outil « Insérer Texte » puis :

• Cocher la case « Formule Latex » puis écrire : VV’=d=
• Ouvrir l’icône « Objets » et dans la liste qui apparaît, sélectionner d
• Valider et fermer la fenêtre

– Remarquer que le texte : ‘’ VV’= d = …. ‘’ Suivi de sa valeur s’affiche
– Déplacer V sur (Cgof) de manière de faire tendre x vers $\infty$ (+ ou -)
– Noter ce qui se passe à d
– Que venez-vous de vérifier ?

Annexe II : Apports du logiciel

La composition des fonctions est une notion assez délicate et qui crée un certain malaise pour les élèves et même s’ils arrivent à bien mener le calcul de l’expression l’image par la composée, ils ont du mal à concevoir cette histoire de l’image de l’image.

Mes aspirations :
– Faire participer les élèves à la construction de leur savoir
– Qu’ils sentent la nécessité et comprennent la signification de chaque étape à travers la détermination des coordonnées du nouveau point introduit
– Pourquoi ne pas s’arrêter à M₃ (puisque on vient de faire l’image de l’image) et pousser jusqu’à M₄
– Evaluer le degré d’assimilation de la notion en mettant les élèves dans une situation qui nécessite plus d’imagination : construction de l’asymptote de la composée
– Illustrer graphiquement la notion d’asymptote oblique à partir de la prédiction graphique d’une limite : la courbe et son asymptote s’approchent de plus en plus sans se couper (la distance tend vers 0 et non pas égale à 0