L’auteur de l’article, professeur au lycée pilote de Gabès en Tunisie utilise GeoGebra pour consolider les notions :
Objectif :
S’assurer de la maîtrise de la part des élèves de deux notions sus-signalées en leur demandant de construire point par point la courbe représentative de la fonction h = gof et son asymptote oblique Δ après avoir prouvé son existence avec papier et crayon.
(Cela nécessite une bonne maîtrise au préalable du logiciel sinon, il faut penser à les munir d’un petit tutoriel)
L’idée peut être reprise avec d’autres logiciels de GD.
Cet article peut être librement diffusé à l’identique dans la limite d’une utilisation non commerciale suivant la licence CC-nc-nd
(http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/fr/)
Situation de départ :
Pour ne pas perdre nos objectifs, nous allons nous limiter à deux fonctions f et g telles que :
On présente aux élèves un fichier GeoGebra où sont tracées :
Interdire aux élèves
N.B : Il n’est pas possible de créer une barre d’outils personnalisée en supprimant ces deux options car il s’agit de commandes et non pas d’outils
Analyse de la situation
Soient f et g deux fonctions dont chacune des courbes admet une asymptote oblique alors on peut déduire que :
elles peuvent s’écrire sous la forme : f(x) = a1x + b1 + ε1(x) et g(x) = a2x + b2 + ε2(x)
où ε1 et ε2 sont deux fonctions telles que :
et
On pose : a1x + b1 = k(x) et a2x + b2 = m(x)
Alors gof(x) = g(f(x)) = a2(a1x + b1 + ε1(x))+b2 + ε2(f(x)) = m(k(x)) + a2ε1(x) + ε2(f(x))
Ne perdons pas de vue que :
Par suite la courbe de gof admet la droite Δ : y = mok(x) = a2a1x + a2 b1 + b2 pour asymptote oblique.
Étapes de la construction de la courbe de gof
Marquer M : point quelconque sur (Cf)
Projeter M sur les axes du repère : d’où M0(x0, 0) et M1(0, f(x0)) (repère orthonormé)
Prendre le symétrique de M1(0, f(x0)) par rapport à la 1ère bissectrice d’où le point M2( f(x0),0)
Marquer le point M3 de (Cg) d’abscisse f(x0) : c’est le point admettant M2 pour projeté orthogonal sur (xx’). Ainsi M3(f(x0),g[f(x0)])
Tracer
Δ1 et Δ2 se coupent au point M4(x0,g[f(x0]) : c’est un point de (Cgof) et (Cgof) n’est que le lieu de M4 lorsque M décrit (Cf)
Construction de l’asymptote Δ à la courbe de gof : (Cgof)
Reprendre l’algorithme sus-décrit pour la construction de la courbe de gof
Marquer N : point quelconque sur D1
Projeter N sur les axes du repère : d’où N0(x0, 0) et N1(0, k(x0)) (repère orthonormé)
Prendre le symétrique de N1(0, k(x0)) par rapport à la 1ère bissectrice d’où le point N2( k(x0),0)
Marquer le point N3 de D2 d’abscisse k(x0) : c’est le point admettant N2 pour projeté orthogonal sur (xx’). Ainsi N3(k(x0),m[k(x0)])
Tracer
Δ’1 et Δ’2 se coupent au point N4(x0,m[k(x0]) : c’est un point de Δ et Δ n’est que le lieu de N4 lorsque N décrit Δ1
Exécution : Voir le fichier GeoGebra ci-joint :
Double-cliquer sur la figure pour l’ouvrir dans une fenêtre de taille adaptée
Objectifs
Tracer à partir de (Cf) et (Cg) la courbe d’une fonction h appelée composée de f par g et notée gof. A chaque réel x appartenant à Df, h = gof associe g(f(x)).
Tracer à partir de D1 : asymptote oblique de (Cf) et D2 : asymptote oblique de (Cg) la droite Δ : asymptote oblique de (Cgof)
Passage à l’action
Exécuter les tâches suivantes :
Ouvrir le fichier "fonc _comp_eleve.ggb" qui se trouve sur le bureau de votre poste :
Etape 1
Avec l’outil "Point sur Objet", marquer un point M quelconque sur (Cf). Désignons par x0 son abscisse
Construire M0 : le projeté orthogonal de M sur (xx’) et M1 : le projeté orthogonal de M sur (yy’) (Le repère est orthonormé).
Exprimer les coordonnées de M0 et celles de M1 en fonction de f et de x0
Soit M2 le symétrique de M1 par rapport à la 1ère bissectrice (Droite d’équation : y=x)
Marquer le point M3 de (Cg) admettant M2 comme projeté orthogonal sur (xx’) et exprimer ses coordonnées en fonction de x0, f et de g
Tracer
Afficher le point M4 : intersection de Δ1 et Δ2 et exprimer ses coordonnées en fonction de x0, f et de g
Dans le menu contextuel de M4, activer l’option "Tracée activée" et déplacer (ou animer le point M)
La trajectoire ainsi obtenue de M4 peut-elle être considérée comme étant la courbe représentative d’une fonction ?
Désactiver la trace de M4 et cliquer sur "Rafraîchir l’affichage" du menu Affichage (ou Ctrl + F) pour effacer la trajectoire déjà obtenue de M4
Activer l’outil "Lieu" puis cliquer successivement sur les points M4 et M (Lieu de M4 quand M décrit (Cf))
Proposer une équation pour ce lieu en fonction de x0, f et de g. Déduire que c’est la (Cgof)
Utiliser GeoGebra pour confirmer ou infirmer votre conjecture.
Etape 2 : Construction de Δ l’asymptote de la courbe de gof
Construire la droite Δ : asymptote de la courbe de gof en vous inspirant du support théorique ci-dessus (Analyse de la situation) et de l’étape 1
Avec l’outil "Point sur Objet", marquer un point V quelconque sur (Cgof). Désignons par x son abscisse
Tracer la droite T parallèle à (yy’) et passant par V
Afficher le point V’ où T coupe Δ
Dans la zone de saisie, écrire : d = distance[V,V’] puis valider
Activer l’outil "Insérer Texte" puis :
Remarquer que le texte : ‘’ VV’= d = …. ‘’ Suivi de sa valeur s’affiche
Déplacer V sur (Cgof) de manière de faire tendre x vers $\infty$ (+ ou -)
Noter ce qui se passe à d
Que venez-vous de vérifier ?
La composition des fonctions est une notion assez délicate et qui crée un certain malaise pour les élèves et même s’ils arrivent à bien mener le calcul de l’expression l’image par la composée, ils ont du mal à concevoir cette histoire de l’image de l’image.
Mes aspirations :
Faire participer les élèves à la construction de leur savoir
Qu’ils sentent la nécessité et comprennent la signification de chaque étape à travers la détermination des coordonnées du nouveau point introduit
Pourquoi ne pas s’arrêter à M3 (puisque on vient de faire l’image de l’image) et pousser jusqu’à M4
Evaluer le degré d’assimilation de la notion en mettant les élèves dans une situation qui nécessite plus d’imagination : construction de l’asymptote de la composée
Illustrer graphiquement la notion d’asymptote oblique à partir de la prédiction graphique d’une limite : la courbe et son asymptote s’approchent de plus en plus sans se couper (la distance tend vers 0 et non pas égale à 0