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Les nouvelles technologies pour l’enseignement des mathématiques
Intégration des TICE dans l’enseignement des mathématiques

MathémaTICE, première revue en ligne destinée à promouvoir les TICE à travers l’enseignement des mathématiques.

GeoGebra comme outil de consolidation
Article mis en ligne le 22 décembre 2013
dernière modification le 24 février 2014

par Hédi Abderrahim

L’auteur de l’article, professeur au lycée pilote de Gabès en Tunisie utilise GeoGebra pour consolider les notions :

  • de fonction composée
  • d’asymptote oblique

Objectif :
S’assurer de la maîtrise de la part des élèves de deux notions sus-signalées en leur demandant de construire point par point la courbe représentative de la fonction h = gof et son asymptote oblique Δ après avoir prouvé son existence avec papier et crayon.

(Cela nécessite une bonne maîtrise au préalable du logiciel sinon, il faut penser à les munir d’un petit tutoriel)

L’idée peut être reprise avec d’autres logiciels de GD.

Cet article peut être librement diffusé à l’identique dans la limite d’une utilisation non commerciale suivant la licence CC-nc-nd
(http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/fr/)

Situation de départ :

 Pour ne pas perdre nos objectifs, nous allons nous limiter à deux fonctions f et g telles que :

  • $f(Df)\subset Dg$ : le domaine de définition de f et Dg : le domaine de définition de g
  • Chacune des courbes représentatives de f et de g n’a qu’une seule asymptote et cette asymptote est oblique

 On présente aux élèves un fichier GeoGebra où sont tracées :

  • (Cf) : la courbe représentative de la fonction f et son asymptote oblique D1
  • (Cg) : la courbe représentative de la fonction g et son asymptote oblique D2

 Interdire aux élèves

  • de faire usage des commandes : g(f(x)) et asymptote[fonction]
  • d’afficher la fenêtre algèbre (ils n’ont pas à connaître ni l’expression de f(x), ni celle de g(x), ni l’équation de D1 et ni celle de D2).

N.B : Il n’est pas possible de créer une barre d’outils personnalisée en supprimant ces deux options car il s’agit de commandes et non pas d’outils

Analyse de la situation

Soient f et g deux fonctions dont chacune des courbes admet une asymptote oblique alors on peut déduire que :
  CodeCogsEqn1
 elles peuvent s’écrire sous la forme : f(x) = a1x + b1 + ε1(x) et g(x) = a2x + b2 + ε2(x)
où ε1 et ε2 sont deux fonctions telles que : CodeCogsEqn2 et CodeCogsEqn3

On pose : a1x + b1 = k(x) et a2x + b2 = m(x)

Alors gof(x) = g(f(x)) = a2(a1x + b1 + ε1(x))+b2 + ε2(f(x)) = m(k(x)) + a2ε1(x) + ε2(f(x))

 Ne perdons pas de vue que : CodeCogsEqn4

  • CodeCogsEqn5 car CodeCogsEqn6 et a2 est une constante
  • CodeCogsEqn7 d’après la limite de la fonction composée ( CodeCogsEqn8 et CodeCogsEqn9)

Par suite la courbe de gof admet la droite Δ : y = mok(x) = a2a1x + a2 b1 + b2 pour asymptote oblique.

Étapes de la construction de la courbe de gof

 Marquer M : point quelconque sur (Cf)
 Projeter M sur les axes du repère : d’où M0(x0, 0) et M1(0, f(x0)) (repère orthonormé)
 Prendre le symétrique de M1(0, f(x0)) par rapport à la 1ère bissectrice d’où le point M2( f(x0),0)
 Marquer le point M3 de (Cg) d’abscisse f(x0) : c’est le point admettant M2 pour projeté orthogonal sur (xx’). Ainsi M3(f(x0),g[f(x0)])
 Tracer

  • la droite Δ1 parallèle à (yy’) passant par M
  • la droite Δ2 parallèle à (xx’) passant par M3

 Δ1 et Δ2 se coupent au point M4(x0,g[f(x0]) : c’est un point de (Cgof) et (Cgof) n’est que le lieu de M4 lorsque M décrit (Cf)

Construction de l’asymptote Δ à la courbe de gof : (Cgof)

Reprendre l’algorithme sus-décrit pour la construction de la courbe de gof
 Marquer N : point quelconque sur D1
 Projeter N sur les axes du repère : d’où N0(x0, 0) et N1(0, k(x0)) (repère orthonormé)
 Prendre le symétrique de N1(0, k(x0)) par rapport à la 1ère bissectrice d’où le point N2( k(x0),0)
 Marquer le point N3 de D2 d’abscisse k(x0) : c’est le point admettant N2 pour projeté orthogonal sur (xx’). Ainsi N3(k(x0),m[k(x0)])
 Tracer

  • la droite Δ1 parallèle à (yy’) passant par N
  • la droite Δ2 parallèle à (xx’) passant par N3

 Δ’1 et Δ’2 se coupent au point N4(x0,m[k(x0]) : c’est un point de Δ et Δ n’est que le lieu de N4 lorsque N décrit Δ1

Exécution : Voir le fichier GeoGebra ci-joint :

<geogebra|doc=7227|fenetre_externe=oui>

Double-cliquer sur la figure pour l’ouvrir dans une fenêtre de taille adaptée

Annexe I : Fiche élève

Objectifs
 Tracer à partir de (Cf) et (Cg) la courbe d’une fonction h appelée composée de f par g et notée gof. A chaque réel x appartenant à Df, h = gof associe g(f(x)).
 Tracer à partir de D1 : asymptote oblique de (Cf) et D2 : asymptote oblique de (Cg) la droite Δ : asymptote oblique de (Cgof)

Passage à l’action
Exécuter les tâches suivantes :
 Ouvrir le fichier « fonc _comp_eleve.ggb » qui se trouve sur le bureau de votre poste :

fonc_comp_eleve.ggb
  • La ligne (Cf) est la courbe représentative d’une fonction f définie sur IR et D1 est son asymptote oblique
  • La ligne (Cg) est la courbe représentative d’une fonction g définie sur IR et D2 est son asymptote oblique

Etape 1
 Avec l’outil « Point sur Objet », marquer un point M quelconque sur (Cf). Désignons par x0 son abscisse
 Construire M0 : le projeté orthogonal de M sur (xx’) et M1 : le projeté orthogonal de M sur (yy’) (Le repère est orthonormé).
 Exprimer les coordonnées de M0 et celles de M1 en fonction de f et de x0
 Soit M2 le symétrique de M1 par rapport à la 1ère bissectrice (Droite d’équation : y=x)

  • Exprimer les coordonnées de M0 en fonction de x0 et de f
  • Construire M2

 Marquer le point M3 de (Cg) admettant M2 comme projeté orthogonal sur (xx’) et exprimer ses coordonnées en fonction de x0, f et de g
 Tracer

  • la droite Δ1 parallèle à (yy’) passant par M
  • la droite Δ2 parallèle à (xx’) passant par M3

 Afficher le point M4 : intersection de Δ1 et Δ2 et exprimer ses coordonnées en fonction de x0, f et de g
 Dans le menu contextuel de M4, activer l’option « Tracée activée » et déplacer (ou animer le point M)
 La trajectoire ainsi obtenue de M4 peut-elle être considérée comme étant la courbe représentative d’une fonction ?
 Désactiver la trace de M4 et cliquer sur « Rafraîchir l’affichage » du menu Affichage (ou Ctrl + F) pour effacer la trajectoire déjà obtenue de M4
 Activer l’outil « Lieu » puis cliquer successivement sur les points M4 et M (Lieu de M4 quand M décrit (Cf))
 Proposer une équation pour ce lieu en fonction de x0, f et de g. Déduire que c’est la (Cgof)
 Utiliser GeoGebra pour confirmer ou infirmer votre conjecture.

Etape 2 : Construction de Δ l’asymptote de la courbe de gof
 Construire la droite Δ : asymptote de la courbe de gof en vous inspirant du support théorique ci-dessus (Analyse de la situation) et de l’étape 1
 Avec l’outil « Point sur Objet », marquer un point V quelconque sur (Cgof). Désignons par x son abscisse
 Tracer la droite T parallèle à (yy’) et passant par V
Afficher le point V’ où T coupe Δ
 Dans la zone de saisie, écrire : d = distance[V,V’] puis valider
 Activer l’outil « Insérer Texte » puis :

  • Cocher la case « Formule Latex » puis écrire : VV’=d=
  • Ouvrir l’icône « Objets » et dans la liste qui apparaît, sélectionner d
  • Valider et fermer la fenêtre

 Remarquer que le texte : ‘’ VV’= d = …. ‘’ Suivi de sa valeur s’affiche
 Déplacer V sur (Cgof) de manière de faire tendre x vers $\infty$ (+ ou -)
 Noter ce qui se passe à d
 Que venez-vous de vérifier ?

Annexe II : Apports du logiciel

La composition des fonctions est une notion assez délicate et qui crée un certain malaise pour les élèves et même s’ils arrivent à bien mener le calcul de l’expression l’image par la composée, ils ont du mal à concevoir cette histoire de l’image de l’image.

Mes aspirations :
 Faire participer les élèves à la construction de leur savoir
 Qu’ils sentent la nécessité et comprennent la signification de chaque étape à travers la détermination des coordonnées du nouveau point introduit
 Pourquoi ne pas s’arrêter à M3 (puisque on vient de faire l’image de l’image) et pousser jusqu’à M4
 Evaluer le degré d’assimilation de la notion en mettant les élèves dans une situation qui nécessite plus d’imagination : construction de l’asymptote de la composée
 Illustrer graphiquement la notion d’asymptote oblique à partir de la prédiction graphique d’une limite : la courbe et son asymptote s’approchent de plus en plus sans se couper (la distance tend vers 0 et non pas égale à 0