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La Parallaxe et l’aberration des étoiles
Moteur de recherche
Mis en ligne le 15 avril 2017, par David Crespil

Au Dr WOLFF

Je remercie M Pascal Descamps, astronome à l’observatoire de Paris, pour ses précieux conseils.

Préambule

Notions d’astronomie

  • Sphère céleste géocentrique et héliocentrique
  • Mouvement propre d’une étoile, vitesse radiale
  • Ellipse parallactique
  • Ellipse d’aberration
  • Coordonnées écliptiques
  • Relativité restreinte
  • Référentiel de Kepler

Notions de mathématiques

  • Recherche d’extremum, addition vectorielle, changement de repère
  • Équation d’une ellipse en repère orthonormé
  • Trigonométrie sphérique, trigonométrie plane

Logiciels utilisés

  • CABRI 3D [1]
  • GEOPLAN [2]
  • EXCEL [3]
  • Geogebra [4]

Table des matières

0) Introduction

1) Qu’observe t- on ?

2) Notion de parallaxe

A) Un problème d’extremum
B) Principe de la mesure

3) L’ellipse parallactique pour une étoile supposée sans mouvement propre

A) Direction héliocentrique d’une étoile
B) Avant de passer à la sphère céleste : étape1 à étape3
C) Passage à la sphère céleste : étape 4 à étape 5
D) Le parsec
E) Comparaison d’unités usitées en astronomie
F) La stabilité de la parallaxe : vitesse radiale et vitesse tangentielle
G) Une méthode de mesure de la parallaxe

4) L’ellipse d’aberration

A) Observons
B) La vitesse orbitale de la terre et ses conséquences sur l’observation d’une étoile.
1) L’expérience d’Airy invalide la loi de composition des vitesses
2) La relativité restreinte
C) Liminaires à l’ellipse d’aberration
D) Passage à la sphère céleste et équation de l’ellipse d’aberration
E) Où voit-on l’étoile depuis la terre ?
F) Faisons le point

Contenu

Introduction

Nous nous pencherons dans cet article sur les preuves apportées à l’hypothèse héliocentrique en détaillant les démonstrations mathématiques liées à l’ellipse parallactique et à l’ellipse d’aberration.

La parallaxe est l’effet du changement de position de l’observateur sur ce qu’il perçoit.

L’intérêt de la notion de parallaxe annuelle réside historiquement dans le fait d’avoir pu déterminer la distance de l’étoile 61 Cygni, disposant pour la première fois d’une idée des dimensions vertigineuses de notre univers.

L’intérêt de l’aberration est de fournir une preuve absolue de la révolution de la terre autour du soleil.

Des astronomes comme Kepler, Bradley , Bessel, Picard , Cassini , Richer, Halley et des astronomes et physiciens comme Römer et Huygens, vont contribuer à l’émergence de ces preuves en en tissant lentement la trame.

Donnons quelques points de repère :

  • 1609 Kepler énonce sa troisième loi.
  • 1672 Picard , Cassini et Richer mesurent la parallaxe horizontale de mars et en déduisent la distance terre soleil grâce à la troisième loi de Kepler.
  • 1690 Christian Huygens détermine la vitesse de la lumière.
  • 1718 Halley découvre le mouvement propre des étoiles
  • 1725 Bradley découvre l’aberration des étoiles.
  • 1838 Bessel utilisa la méthode de la parallaxe annuelle pour déterminer la
    parallaxe de 61 Cigny .

Les progrès sont lents mais à chaque fois bien réels !

Des estimations de plus en plus précises de la distance terre soleil ont également été permises par l’étude des transits de Vénus : 153 millions de kilomètres après ceux de 1761 et de 1769.

Dans le procès de Galilée, l’Inquisiteur St Robert Bellarmin fit l’objection que, si la Terre se mouvait, on devrait observer une parallaxe. Mais aucune parallaxe n’ayant été mesurée, ce fait devenait un argument contre l’héliocentrisme. Galilée répondit que les étoiles étaient trop lointaines pour que la parallaxe puisse être vue et mesurée avec les instruments d’alors.

Tycho Brahe avait également employé cet argument en faveur de l’immobilité de la Terre, mais il avait fait sur l’éloignement des plus proches étoiles une hypothèse très en dessous de la réalité, confirmant en fait l’argument de Galilée.

Enfin, La relativité restreinte sera sollicitée pour surmonter le fait que la loi de composition des vitesses ne fonctionne plus avec la vitesse de la lumière (expérience d’Airy) et nous ferons appel à la vitesse radiale d’une étoile déduite
de son spectre d’absorption et de l’effet Doppler-Fizeau [5] pour justifier la
stabilité de la parallaxe.

Nous verrons que la relativité restreinte repose sur un artifice cinématique (la vitesse de la terre par rapport aux étoiles) sans remonter à la véritable cause de l’aberration : la vitesse de la terre par rapport au soleil dans le référentiel
de Kepler
.

Aujourd’hui, le satellite Gaia a pour objectif de mesurer les caractéristiques de plus d’un milliard d’objets célestes (étoiles, astéroïdes, galaxies, etc.) jusqu’à la magnitude 20.

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1) Qu’observe t-on ?

schéma 1
Crédit : Astrophysique sur Mesure

L’étoile semble animée d’un mouvement de va et vient par rapport aux étoiles lointaines qui restent fixes : ce changement de direction de l’étoile par rapport à l’observateur est produit par la révolution de la terre autour du soleil comme nous allons le voir avec Geogebra.

En 1726, Bradley et Molynieux s’attaquent au problème de la parallaxe stellaire et concentrent leurs efforts sur l’étoile gamma Draconis de la constellation du Dragon. Ils observent que gamma Draconis décrit bien une ellipse mais que curieusement les autres étoiles du champ décrivent aussi une ellipse et que les demi grand axes de toutes ces ellipses ont tous la même longueur de 20, 47 secondes d’arc alors qu’ils s’attendaient à ce que la longueur de ce demi grand axe soit d’autant plus petit que l’étoile visée est plus lointaine.

La figure ci dessous montre, à gauche, la situation recherchée (la parallaxe de l’étoile (E) est l’angle p) et, à droite, celle qui est observée. On constate, comme l’avait fait Molynieux et Bradley, que « ces observations n’indiquèrent point d’apparences favorables à la parallaxe » : le décalage annuel observé est tourné de 90° par rapport à celui correspondant à l’existence d’une parallaxe de l’étoile.

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schéma 2
Source : http://acces.ens-lyon.fr/clea/lunap/Relativite/relativite-restreinte-principes-et-applications/Intro_RR.pdf

Nous verrons comment cette aberration fut expliquée par Bradley.

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2) Notion de parallaxe

A. Un problème d’extremum

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schéma 3

Le plan contenant le cercle rouge est le plan de l’écliptique. S désigne le soleil et T la terre. E désigne une étoile. d’après la relation des trois sinus on a : $\dfrac{\sin \text{E}}{a}=\dfrac{\sin \text{T}}{\text{ES}}$

Donc $\sin \text{E} = \dfrac{a}{\text{ES}}\sin \text{T}$ E est maximum si $\sin \text{E}$ est maximum, ce qui se produit si $\sin \text{T}= 1$ c’est-à-dire si T=90°.
Dans ce cas puisque $p$ peut être confondu avec $\tan p$, $p \approx \dfrac{a}{\text{ET}}$

Appelons e la projection orthogonale de E sur le plan de l’écliptique et par e menons les deux tangentes au cercle rouge. On obtient deux points A et B.

Un raisonnement élémentaire aboutit à ce que seuls ces deux points réalisent le maximum.

La parallaxe de l’étoile est cette valeur maximum de la mesure de l’angle $\widehat{\text{E}}$. On peut aussi obtenir la parallaxe si l’on est dans la disposition où l’angle droit est au soleil. Il suffit de prendre le plan perpendiculaire à la droite $\text{(eS)}$ en S. Ce plan intersecte le plan de l’écliptique selon la droite $\text{(FG)}$.

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schéma 4

Si T vient en F ou G , on a dans ce cas $\sin \widehat{E} = \dfrac{a}{\text{ET}}$ or $\sin p \approx p$ donc $\widehat{E}\approx\dfrac{a}{\text{ET}}$ par conséquent $\widehat{E}=p$

Conclusion : la parallaxe peut être calculée avec l’angle droit à la terre ou l’angle droit au soleil.

Cette parallaxe n’a jamais pu être mesurée car la parallaxe des étoiles ne dépasse pas 1 seconde d’arc , mesure qui n’était pas réalisable avec les instruments optiques dont on disposait au dix huitième siècle.

Regardons à présent l’animation suivante destinée à montrer le trajet apparent suivi par une étoile si l’étoile n’a pas de mouvement propre (voir annexe vocabulaire).

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Schéma 5
https://cral.univ-lyon1.fr/labo/fc/astrogebra/3D/parallaxes/parallaxes_stellaires.ggb [1]

[1necessite Geogebra à partir de la version 5

Si l’on fait tourner la terre en bleu autour du soleil, l’étoile décrit sur la sphère céleste en bleu la petite ellipse en mauve. Mais hélas les instruments faisaient défaut pour mettre en évidence ces changements apparents de direction.

La sphère céleste est la sphère héliocentrique. Il n’y a pas d’inconvénient à considérer ces deux sphères confondues compte tenu de ce que la distance terre soleil est insignifiante par rapport aux distances vertigineuses des étoiles.

B) Principe de la mesure

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Schéma 6

L’angle $\widehat{\text{ESF}}$ est droit, le triangle EFG est isocèle. F étant une position de la terre et g celle qu’elle occupe 6 mois après.

Les droites (FR) et (GR) sont parallèles compte tenu des distances considérables
des étoiles par rapport au diamètre de l’écliptique.

L’étoile repère R est choisie suffisamment lointaine et donc de parallaxe insignifiante et de mouvement propre insignifiant pour que l’étoile R occupe la même position sur la sphère céleste.

On fait une première visée en F ce qui donne la mesure a puis 6 mois après une
deuxième visée qui donne b.

Nous avons tracé la parallèle à la droite (FE) passant par G ; dans ce cas $2p = a+b$

On peut affirmer que chaque étoile par son mouvement propre, se déplace sur un grand cercle de la sphère céleste héliocentrique avec une vitesse angulaire constante. Ce mouvement propre ignore donc la révolution de la terre autour du soleil.

Si l’étoile avait un mouvement propre, elle ne suivrait plus l’ellipse parallactique mais une trajectoire en tire bouchon comme ci-dessous.

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Schéma 7
Évolution en tire-bouchon de la position d’une étoile comme combinaison du mouvement propre et du mouvement parallactique.
Crédits : Astrophysique sur Mesure / Noël Robichon et Gilles Bessou

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3) L’ellipse parallactique pour une étoile supposée sans mouvement propre

A) Direction héliocentrique d’une étoile

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Schéma 8
Capture d’écran de l’animation Cabri 3D.

Faire fonctionner l’animation CABRI 3D direction héliocentrique

e désigne la position de l’étoile E sur la sphère céleste héliocentrique.

Par T centre de la terre, nous menons la parallèle à la droite (Se) , S désignant le centre de la sphère céleste héliocentrique dont le centre est le centre du soleil.

Alors , si l’on fait tourner la terre autour su soleil, le point e’ garde une position fixe sur la sphère céleste géocentrique si toutefois l’étoile e est sans mouvement propre sur la sphère céleste héliocentrique.

Comme la terre va effectuer un mouvement de translation sur l’écliptique, la droite (Te’) gardera une direction constante entre deux positions, celle de la droite (eE).

Ce point e’ va jouer un rôle important dans la démonstration mathématique de l’ellipse parallactique.

Rajoutons à l’image précédente la position de l’étoile par rapport à la sphère céleste géocentrique.(position e’’)

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Schéma 9

Nous pouvons constater que ce point e’’ va sur la sphère céleste géocentrique évoluer sur l’ellipse du schéma 5.

Sur le schéma 5 la sphère céleste est la sphère héliocentrique alors que sur le schéma 9 le point e’’ est sur la sphère céleste géocentrique.

Il n’y a pas d’inconvénient à considérer ces deux sphères confondues compte tenu de ce que la distance terre soleil est insignifiante par rapport aux distances vertigineuses des étoiles.

B) Avant de passer à la sphère céleste

étape 1 : découvrir une relation faisant intervenir la parallaxe

Observons le schéma suivant :

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Schéma 10

X désigne la direction héliocentrique de l’étoile
X’ sa direction géocentrique
T la terre S le soleil
X’ est si proche de X que nous ferons l’approximation $b\approx c$ dans nos calculs , c’est-à-dire que X’ est pratiquement confondu avec X et dans ce cas :

$(\text{TX})\|(\text{SX’})$

D’après la relation des 3 sinus on a :

$\dfrac{\sin (c-b)}{a}=\dfrac{\sin b}{r}$

$\sin (c-b)=\dfrac{a}{r}\times \sin b$

or la parallaxe en radians vaut $p=\dfrac{a}{r}$

Donc $\sin (c-b)=p\times \sin b$ comme $b\approx c$, $\sin (c-b)\approx c-b$

De sorte que nous avons si les angles sont exprimés en radians

$\boxed{c-b=p\times \sin c\quad (1)}$

étape 2 : trigonométrie appliquée à un triangle rectangle sphérique de petite dimension

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Schéma 11

Nous supposons que ABC est un triangle rectangle en A sphérique si petit que l’on peut l’assimiler à un triangle plan rectangle en A.

Nous savons que dans un cercle de rayon R la longueur d’une corde sous tendue par un angle au centre de mesure a pour longueur : $\mathbf{2R\sin \left(\dfrac{a}{2}\right)}$

Appelons $b$ la mesure de l’arc $\overset{\frown}{\text{AC}}$ , $c$ la mesure de l’arc $\overset{\frown}{\text{AB}}$, $a$ la mesure de l’arc $\overset{\frown}{\text{BC}}$.

On sait que $\cos(\widehat{\text{ACB}})=\dfrac{\text{AC}}{\text{BC}}=\dfrac{2\times R \times \sin\left(\dfrac{b}{2}\right)}{2\times R \times \sin\left(\dfrac{a}{2}\right)}$

donc $\cos(\widehat{\text{ACB}})=\dfrac{\sin\left(\dfrac{b}{2}\right)}{\sin\left(\dfrac{a}{2}\right)}$

Or $\sin\left(\dfrac{a}{2}\right) \approx \dfrac{a}{2}$ et $\sin\left(\dfrac{b}{2}\right) \approx \dfrac{b}{2}$

$\cos(\widehat{\text{ACB}}) \approx \dfrac{b}{a}\quad (2)$

La relation que l’on écrit avec les longueurs en trigonométrie plane s’écrit en trigonométrie sphérique avec les mesures d’arc (et au passage le théorème de Pythagore s’applique aussi avec les mesures d’arc).

étape 3 : rayon du cercle intersection d’une sphère et d’un plan

L’intersection d’une sphère par un plan est un cercle. Calculons le rayon $\mathbf{r}$ de ce cercle en fonction de l’angle $\widehat{\text{ATA’}}$ qui jouera le rôle de latitude écliptique à l’étape 5.

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Schéma 12

On a dans le triangle ATE rectangle en E $\sin \widehat{\text{ATE}}=\dfrac{\text{AE}}{\text{AT}}$

donc $\cos\widehat{\text{ATA’}} = \dfrac{r}{R}$ d’où $\mathbf{r=R \cos\widehat{\text{ATA’}} }$

C) Passons à présent à la sphère céleste.

étape 4 : les points X, X’et soleil appartiennent à un grand cercle de la sphère céleste

Soit K le pôle nord écliptique.

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Schéma 13

Nous constatons sur ce schéma que le soleil appartient à un grand cercle contenant la position géocentrique et la position héliocentrique de l’étoile.

Prouvons le : appelons (P) le plan (E T S).

Nous savons que $(\text{TX}) \|(\text{SE})$ donc X appartient à ce plan.

Le point soleil de la sphère géocentrique appartient à la droite (TS) donc à ce plan. Le point X’ appartient à la droite (ET) donc appartient aussi à ce plan. Par conséquent les trois points X, X’ et soleil appartiennent au plan (P).

Or on sait que l’intersection d’un plan et d’une sphère est un cercle.

Comme le centre T de la sphère appartient à ce plan , ce cercle est un grand cercle de la sphère céleste géocentrique contenant X, X’ et la projection du soleil S sur la sphère céleste.

étape 5 : les calculs

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Schéma 14

Appelons $\lambda$ et $\beta$ les coordonnées écliptiques du point X.
Appelons $\lambda_{S}$ et $\beta_{S}$ les coordonnées écliptiques du soleil.

Nous posons $\widehat{\text{XtS}}=\theta$ et $\widehat{\text{X’tS}}=\theta’$

La mesure de l’arc $\overset{\frown}{\text{AS}}$ est $\lambda_{S}-\lambda$ ou $\pi-(\lambda_{S}-\lambda)$ et $\sin \overset{\frown}{\text{AS}}=\sin(\lambda_{S}-\lambda)$

La mesure de l’arc $\overset{\frown}{\text{KS}}$ est 90°.

La mesure de l’arc $\overset{\frown}{\text{KX}}$ est $90°-\beta$.

Le grand cercle passant par les pôles écliptiques et une étoile s’appelle le méridien de l’étoile.

Considérons le cercle marron , lieu de tous les points d’égale latitude écliptique.

Il coupe a angle droit le méridien de X’ en U.

Le triangle XUX’ est si petit qu’il peut être considéré comme un triangle plan. L’angle UXX’ sera appelé $\Psi$

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Schéma 15

D’après ce que nous venons de dire : $\overset{\frown}{\text{XU}}=R’(\lambda_{X’}-\lambda{X})$

Nous poserons $\Delta\lambda = \lambda_{X’}-\lambda{X}$ et $\Delta\beta = \beta_{X’}-\beta{X}$

$R’$ désignant le rayon du cercle marron , lieu des points de même latitude
écliptique
.

$R’=R\cos \beta$ $R$ désignant le rayon de la sphère céleste qui peut arbitrairement être choisi égal à 1.

D’où : $\mathbf{\overset{\frown}{XU}=\Delta \lambda \cos \beta}$

$\mathbf{\overset{\frown}{UX’}=-\Delta \beta}$ car la latitude écliptique de X’ est plus petite que la latitude écliptique de X, la parallaxe ayant pour effet de rapprocher l’étoile du soleil.

Considérons à présent le triangle plan XUX’.

La relation (1) du paragraphe 3/b/étape 1 et la relation (2) 3/b/étape 2 permettent d’écrire :

$\text{UX}=\text{XX’} \cos \Psi = p \sin \theta \cos \Psi$

$\text{UX’}=\text{XX’} \sin \Psi = p \sin \theta \sin \Psi$

On a donc : $\mathbf{\Delta\lambda \cos \beta = p \sin \theta \cos \Psi}\quad (3)$
$\mathbf{-\Delta\beta = p \sin \theta \cos \Psi}\quad (4)$

Faisons un rappel de trigonométrie sphérique :

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Schéma 16

$\cos c = \cos a \cos b + \sin a \sin b \cos \gamma\quad (5a)$
$\dfrac{\sin a}{\sin \alpha}=\dfrac{\sin b}{\sin \beta}=\dfrac{\sin c}{\sin \gamma}\quad (5b)$

Nous allons utiliser à présent le triangle sphérique KXS.

$\dfrac{\sin(90°+\Psi)}{\sin (90°)}=\dfrac{\sin(\lambda_{S}-\lambda)}{\sin \theta}$ d’après la relation (5b) du rappel.

Donc $\mathbf{\sin\theta\cos\Psi=\sin(\lambda_{S}-\lambda)}\quad (6)$

D’après la relation (5a) du rappel on a :

$\cos(90°) = \cos\theta \cos(90°-\beta)+ \sin \theta \sin(90°-\beta) \cos(90° + \Psi)$

Soit : $0= \cos \theta \sin \beta -\sin\theta\cos \beta\sin\Psi$

$\mathbf{\sin\theta\sin\Psi = \dfrac{\cos\theta\sin\beta}{\cos \beta}}\quad (7)$

Appliquons de nouveau la relation (5a) du rappel au triangle sphérique KXS :

$\cos \theta = \cos 90° \cos (90°-\beta)+ \sin (90°-\beta)\cos(\lambda_{S}-\lambda)$

Donc : $\mathbf{\cos \theta = \cos \beta \cos (\lambda_{S}-\lambda)}\quad (8)$

Injectons cette valeur de $\cos\theta$ dans la relation :
$\mathbf{ \sin\theta \sin\Psi = \dfrac{\cos\theta\sin\beta}{\cos\beta}}\quad (7)$

On obtient :
$\sin\theta \sin\Psi = \dfrac{\cos\beta \cos (\lambda_{S}-\lambda)\sin\beta}{\cos\beta}$

Soit $\mathbf{\sin\theta \sin\Psi =\cos (\lambda_{S}-\lambda)\sin\beta}\quad (9)$

Injectons alors cette valeur de $\sin\theta \sin\Psi$ dans la relation

$-\Delta\beta = p \sin \theta \cos \Psi\quad (4)$

et la valeur de $\sin\theta\cos\Psi=\sin(\lambda_{S}-\lambda) \quad(6)$ dans la relation :

${\Delta\lambda \cos \beta = p \sin \theta \cos \Psi}\quad (3)$

On obtient :


$ x=\Delta\lambda\cos\beta=p\sin(\lambda_{S}-\lambda) \quad(10)\\ y=\Delta\beta=-p\cos(\lambda_{S}-\lambda)\sin\beta \quad(11) $

Nous sommes arrivés au bout de nos peines !

Nous avons obtenu les coordonnées écliptiques de X’ : $\mathbf{\lambda+\Delta\lambda}$ et $\mathbf{\beta+\Delta\beta}$.

Nous allons à présent montrer en choisissant un repère convenable que l’équation de la trajectoire des points X’ est une ellipse appelée ellipse parallactique.

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Schéma 17

Nous allons choisir à partir de X et sur le cercle marron C1 un point i tel que mesure de mesure de l’arc $\overset{\frown}{\text{Xi}}$ = 1 seconde d’arc.

Nous allons tracer par X la tangente au cercle C1 et la tangente au cercle C2.

Les deux tangentes en noir sont perpendiculaires et appartiennent au plan tangent à la sphère en X.

Prenons sur la deuxième tangente un point J tel que Xi=Xj.

Il est clair que i et j sont portés par les deux tangentes comme par les arcs correspondants du fait que l’on a choisi une seconde d’arc et que dans ce cas arc et corde sont confondus.

Pour la compréhension de la figure, i et j ont été exagérés sur les tangentes.

Le repère $(\text{X}, \overrightarrow{\text{Xi}} , \overrightarrow{\text{Xj}})$ est alors orthonormé.

Les projections orthogonales de X sur ces deux axes sont pratiquement sur les arcs de cercle correspondants .
De sorte que le point X a pour coordonnées dans ce repère :

$x=\Delta\lambda\quad y=\Delta\beta$

(10) et (11) fournissent alors :
$ \dfrac{x^{2}}{p^{2}}+\dfrac{y^{2}}{p^{2}\sin^{2}\beta}=1 $

C’est l’équation d’une ellipse de demi grand axe $p$ et demi petit axe $p \sin\beta$.

L’ellipse parallactique est donc pratiquement décrite dans le plan tangent en X à la sphère céleste géocentrique.

EMCW (élémentaire mon cher Watson !)

Bessel a réussi à mesurer en 1838 la première parallaxe bénéficiant d’un instrument optique de précision.

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Schéma 18

D) L’unité de mesure des parallaxes : le parsec

Si on mesure la parallaxe annuelle en seconde d’arc et la distance en parsec, on a la relation très simple liant ces deux quantités :

$\mathbf{d = \dfrac{1}{p}}$ ; $\mathbf{p}$ exprimé en secondes d’arc

Par définition, une distance de 1 parsec (pc) est la distance de laquelle on voit le demi grand axe de l’orbite terrestre (1 UA) sous un angle de une seconde d’angle. Pour un angle de parallaxe de p" seconde d’angle, la distance sera d parsecs.

AB = rayon équatorial , E est l’étoile.

AB =1 UA
$ \widehat{\text{ADB}} =1’’ $
$ \widehat{\text{AEB}} = p’’$
BD= 1 parsec
Cherchons BE = d en parsecs.

$\dfrac{1 \text{UA}}{1 \text{pc}}=\tan 1’’$

$\dfrac{1 \text{UA}}{d \text{pc}}=\tan p’’$

$d = \dfrac{\tan (1")}{\tan (p ")}$

Comme les angles sont très petits, on peut confondre les tangentes et les angles exprimés en radians.

On a : $d = \dfrac{1}{p}$ où $d$ est donc en parsecs et $p$ en secondes d’angle.

E) Comparons quelques unités utilisées en astronomie :

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Schema 18/a

F) Stabilité de la parallaxe

Le référentiel de Kepler a son centre au soleil et ses axes sont dirigés vers 3 étoiles lointaines donc pratiquement fixes sur la sphère céleste.
Par apport au référentiel de Kepler approximativement galiléen, la trajectoire de l’étoile est rectiligne (principe de l’inertie). C’est la droite $D_1$. C’est ce que l’on appelle le mouvement propre de l’étoile.

1) Vitesse radiale

La distance de l’étoile est obtenue grâce à la notion de vitesse radiale, projection orthogonale du vecteur vitesse de l’étoile sur la ligne de visée. Le module de cette projection orthogonale est obtenue par spectroscopie en examinant le spectre d’absorption de l’étoile. Ainsi pour l’étoile Dubhé, connaissant sa vitesse radiale $\mathbf{-8,9 \text{Km/s}}$ ( le signe $-$ indique qu’elle se rapproche de nous), on peut établir sa distance au bout de x années (fichier EXCEL, schéma 19) et vérifier ainsi la stabilité de la parallaxe. La terre est la sphère marron.

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Schema 18/b

2) Vitesse tangentielle

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Schema 18/c

Nous avons décomposé le vecteur vitesse $\overrightarrow{\text{E}_{1}\text{G}}$ en deux vecteurs :

le vecteur vitesse radiale $\overrightarrow{\text{E}_{1}\text{U}}$ et le vecteur vitesse tangentielle $\overrightarrow{\text{E}_{1}\text{F}}$.

L’étoile passe de la position b à la position d sur la sphère céleste.

On a $\tan (\widehat{\text{AOE_{1}}}) \times \text{OA} =\text{E}_{1}\text{A} $ mais $\mathbf{\text{OA}\approx d}$ car les distances angulaires sont
très petites.

En 1 an l’étoile parcourt sur la sphère céleste $\mu$ secondes d’arc.

Dans 1 an il y a $365\times24\times3\,600\text{ secondes} = 44\,676\,000\text{ secondes}$.

Donc en 1 seconde, elle parcourt $\dfrac{\mu}{44\,676\,000}$ secondes d’arc.

1 seconde d’arc $=\dfrac{1}{206\,264,806\,2}\text{ radians}$

Donc en 1 seconde , elle parcourt $\dfrac{\mu}{44\,676\,000}\times \dfrac{1}{206\,264,806\,2}\text{ radians}$

La vitesse tangentielle en parsecs par seconde est :

$V_T=\tan(\widehat{\text{AOE}_1}\times d = \tan\left(\dfrac{\mu}{44\,676\,000}\times \dfrac{1}{206\,264,806\,2}\right)\times d$

$V_T\approx\dfrac{\mu}{44\,676\,000}\times \dfrac{1}{206\,264,806\,2}\times d$

or $1\text{ parsec} = 30\,857\times 10^{9} \text{ Km}$, on a donc :

$\boxed{ \mathbf{V_{T} \approx 3,4\times \mu\times d\text{ Km/s avec }d\text{ en parsecs et }\mu\text{ en secondes d’arc par an} } }$

On a en désignant par :

$V$ la vitesse de l’étoile, $V_{T}$ sa vitesse tangentielle et $V_{R}$ sa vitesse radiale :

$\boxed{ \mathbf{V^{2}=V_{T}^{2}+V_{R}^{2}}}$

Voici à présent une application relative aux notions que l’on vient d’étudier : clic droit sur la souris, demander la traduction en français.

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Schema 18/d
source :
http://astro.unl.edu/classaction/an...

La raie $H_{\alpha}$ est observée au repos avec une longueur d’onde $\lambda_{H_{\alpha}}= 656,3\text{ nm}$.

Sur le spectre de l’étoile, cette raie est observée avec une longueur d’onde
$\lambda=656, 50\text{ nm}$ d’où la vitesse radiale par utilisation de l’effet Doppler-Fizeau :

$V_{R}=\dfrac{\lambda-\lambda_{H_{\alpha}}}{\lambda_{H_{\alpha}}}\times c = \dfrac{\lambda-\lambda_{H_{\alpha}}}{\lambda_{H_{\alpha}}}\times 300\,000\text{ Km/s}= 91,42 \text{ Km/s} $

Ce n’est qu’au bout de 18 siècles environ que la cinquième décimale de sa parallaxe changera. Consulter la colonne bleu du fichier Excel nommé : stabilité de la parallaxe réalisé en utilisant la notion de vitesse radiale. La parallaxe a été calculée jusqu’en l’an 66084.

PNG - 279.5 ko
Schema 19

On pourra constater au passage que la distance terre/étoile et la distance soleil/étoile diffèrent très peu.

La distance de Sirius connaissant sa parallaxe 0,37921 est en parsec : $\dfrac{1}{0,37921}$
soit $2,63\text{ parsecs}\approx 8,57\text{ al}\approx 500\,149\text{ UA}\approx 8\times 10^{13}\text{ km}\mathbf{\approx 500\,000\textbf{ fois la distance terre soleil}}$. La lumière met environ 8,5 ans pour nous parvenir. Notons que nous pouvons observer des étoiles qui n’existent plus !

Exercice

Parallaxe de l’étoile polaire = 0,00756

Combien de temps met la lumiere pour nous parvenir depuis l’étoile polaire ?

Réponse : Menez vos calculs puis vérifiez en fin d’article [6]

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4) L’ellipse d’aberration

A) Observons

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Schema 20
Source :
http://www.claudegabriel.be/La%20Te...

Avec GEOPLAN, nous avons deux repères (O, X , Y) et (A,X’,Y’).

Une goutte de pluie tombe à la verticale ( sur la droite en turquoise) par rapport au repère (O, X , Y). N est la position de M dans le repère (A,X’,Y’).

Si nous supposons que le repère (A,X’,Y’) avance à vitesse uniforme par rapport au repère (O, X , Y), alors la goute de pluie partant de M aura la direction de la droite noire en pointillés et par conséquent l’observateur situé en A recevra en courant la pluie dans la direction de la droite en mauve.

À partir de la position de la goutte de pluie en M, l’observateur de met à courir avec une vitesse uniforme. À cet instant la goutte de pluie occupe la N confondue avec M puis va prendre pour l’observateur la direction en pointillés.

Faire fonctionner l’animation GEOPLAN ci-dessous à l’aide du fichier Geoplan nommé pluie. Elle peut constituer un excellent exercice au niveau du cours sur les vecteurs (changement de repère).

Geoplan - 1.7 ko
pluie.g2w
nécessite l’application GEOPLAN pour fonctionner.

Faire fonctionner l’animation GEOPLAN pluie, comme indiqué ci-après :

PNG - 432.6 ko

puis

PNG - 258.5 ko

puis

PNG - 5.8 ko


T est un point qui permet de représenter une droite passant par A et parallèle à la droite en pointillés noirs.

B) La vitesse orbitale de la terre et ses conséquences dans l’observation d’une étoile.

1) L’expérience d’Airy invalide la loi de composition des vitesses

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Schema 22

Le vecteur $\overrightarrow{\text{ET}}$ désigne le vecteur vitesse de la lumière, la tangente en bleu à la trajectoire porte le vecteur vitesse de la terre sur sa trajectoire. Nous ne tiendrons pas compte dans cet exposé de la rotation de la terre sur elle-même produisant l’aberration diurne qui est négligeable.

Par la loi de composition des vitesses, l’étoile E est vue en E’.

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Schema 23

On pose $v$=vecteur vitesse de la terre
$\overrightarrow{u}=-\overrightarrow{v}$

$\overrightarrow{TD}$= vecteur vitesse de la lumière de module c.

$\widehat{\text{EFB}}=\widehat{\text{BAD}}=\theta$ ; $\widehat{\text{TDH}}=\theta’$

$\theta\approx\theta’$ à cause de la très grande vitesse de la lumière, on peut donc écrire :

$\sin(\theta-\theta’)=\dfrac{v}{c}\times\sin\theta$

$\boxed{\sin(\theta-\theta’)=\beta\sin\theta\text{ avec } \dfrac{v}{c}=\beta \quad (1)}$

Remplissons la lunette d’observation avec un milieu d’indice $n$, la vitesse de
la lumière étant alors égale à $\dfrac{c}{n}$, la relation (1) devient $\sin(\theta-\theta’) = n \beta \sin\theta$.

D’après l’expérience d’Airy, La direction de visée d’une étoile devrait donc
changer
selon que la lunette est pleine d’air ou d’eau mais l’expérience montre
qu’il n’en est rien
.

La loi de composition des vitesses faisant intervenir la lumière est donc prise défaut.

Dans le triangle ATH , on peut écrire :

$\tan\theta’=\dfrac{\text{TH}}{\text{AH}}=\dfrac{\text{TH}}{\text{AD}+\text{DH}}$

$\tan\theta’=\dfrac{c\sin\theta}{v+c\cos\theta}=\dfrac{\sin\theta}{\beta+\cos\theta}$

$\boxed{\tan\theta’=\dfrac{\sin\theta}{\beta+\cos\theta}\quad (2)}$

Ainsi pour une étoile située au zénith de l’observateur, on a le schéma suivant :

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Schema 23 bis
source : L’aberration stellaire de Denis Savoie et Roland Lehouck

Nous allons faire un autre raisonnement pour contourner la loi de composition des vitesses :

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Schema 24

Nous supposerons que les durées mise en jeu sont brèves pour justifier que l’observateur $\text{O}_{2}$ se déplace sur la tangente à la trajectoire.

Nous supposons que l’observateur $\text{O}_{2}$ est entraîné à la vitesse $v$ et observe une étoile E avec la lunette $\text{O}_{2}\text{C}$.

Si l’axe optique de la lunette coïncide avec la direction de l’étole faisant l’angle $\theta=\widehat{\text{EO}_{2}\text{O}_{3}}$ avec $\overrightarrow{v}$ , l’observateur ne peut voir l’étoile car les photons qui arrivent en C dans la lunette arrivent en $\text{O}_{2}$ après le temps $t=\dfrac{ \text{EO}_{2}}{c}$ et l’observateur n’est plus alors en $\text{O}_{2}$ mais en $\text{O}_{3}$ tel que $\text{O}_{2}\text{O}_{3} =vt$.

Pour voir l’étoile en O, il devra en $\text{O}_{1}$ positionner la lunette dans la direction $\text{O}_{1}\text{C}$ avec $\text{O}_{1}\text{O}_{2} =vt$.

Les photons et l’observateur arrivent alors en $\text{O}_{2}$ en même temps.

Dans le triangle $\text{O}_{1}\text{O}_{2}\text{C}$, on peut écrire :

$\dfrac{\sin(\theta-\theta’)}{\text{O}_{1}\text{O}_{2}}=\dfrac{\sin\theta’}{\text{OC}}$ ; $\dfrac{\sin(\theta-\theta’)}{vt}=\dfrac{\sin\theta’}{ct}$

On retrouve la relation (1) ${\sin(\theta-\theta’)=\beta\sin\theta\text{ avec } \dfrac{v}{c}=\beta }$

Cette relation obtenue sans passer par la loi de composition des vitesses fournit un résultat quantitatif en accord avec l’observation et l’expérience d’Airy que ce soit avec la composition des vitesses ou sans la composition des vitesses nous invite à regarder du côté de la relativité restreinte compte tenu des vitesses en jeu, celle de la lumière.

2) La relativité restreinte

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Schema 25

L’observateur avance sur un intervalle de temps très petit sur la tangente à la trajectoire avec la vitesse $\overrightarrow{v}$ et se trouve lié au repère $(\text{O}, \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} , \overrightarrow{k} )$ , l’étoile est liée au repère $(\text{O’}, \overrightarrow{i’} , \overrightarrow{j’} , \overrightarrow{k’} )$ et avance à la vitesse $- \overrightarrow{v}$ sur ce même
intervalle par rapport à l’observateur.

Nous admettrons que sur cet intervalle de temps $\mathbf{\text{O}’\text{E}= \text{OE}=r}$

Si $\theta=\text{mesure de l’angle }( \overrightarrow{i} , \overrightarrow{\text{OE}} )$, les coordonnées de E dans $(\text{O}, \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} , \overrightarrow{k} )$ sont : $\text{e}( x= r \cos\theta , y=r \sin\theta , z)$ $θ$ est l’angle qui permettrait d’observer l’étoile si la terre était immobile sur son orbite.

Par rapport à $(\text{O’}, \overrightarrow{i’} , \overrightarrow{j’} , \overrightarrow{k’} )$ $\text{e}( x’= \dfrac{x+vt}{\sqrt{1-\beta^{2}}} , y’=y , z’=z)$

Si $\theta’=\text{mesure de l’angle }( \overrightarrow{i’} , \overrightarrow{\text{O’E’}} )$, la direction de l’étoile est alors donnée par :

$\boxed{\tan\theta’=\dfrac{y’}{x’}=\dfrac{\sin\theta\sqrt{1-\beta^{2}}}{\beta+\cos\theta}\quad (3)}$

Formule à comparer avec la relation obtenue précédemment.

$\boxed{\tan\theta’=\dfrac{\sin\theta}{\beta+\cos\theta}\quad (2)}$

Cette relation ne fait pas intervenir la nature du milieu traversé par la lumière
mais compte tenu de ce que $v$ est très petit devant $c$, la relation (2) constitue une bonne approximation de la relation (3).

Le paragraphe qui suit est inspiré de l’ouvrage de Jacques Gapaillard « Et pourtant elle tourne »

En effet l’explication précédente trop souvent avancée ne remonte pas à la cause véritable de l’aberration.

Nous allons voir que ce qui vient d’être dit n’est qu’un artifice cinématique car le phénomène d’aberration résulte du déplacement relatif de la terre par rapport au soleil dans un référentiel lié au soleil et à trois étoile fixes. C’est le référentiel de Kepler. Ce référentiel est approximativement galiléen.

Il existe d’autres référentiels comme le référentiel de Copernic situé au centre de masse du systeme solaire et dont les axes sont dirigés vers 3 étoiles lointaines.

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Schema 26

Une propriété fondamentale des référentiels galiléens est que ce sont les seuls ou la lumière se propage en ligne droite dans toutes les directions.

Sur un court instant, le référentiel $(\text{T} , \overrightarrow{i’} , \overrightarrow{j’} , \overrightarrow{k’} )$

$\overrightarrow{i’}=\overrightarrow{i}$ ; $\overrightarrow{j’}=\overrightarrow{j}$ ; $\overrightarrow{k’}=\overrightarrow{k}$

est en translation rectiligne uniforme par apport au référentiel de Kepler.

La lumière arrive pour l’observateur terrestre dans la direction $(\text{Te}_{2})$ alors que pour un observateur situé sur le soleil elle arriverait dans la direction $(\text{Te}_{1})$.
(Se souvenir de la pluie qui n’a pas la même direction selon que l’on est au
repos ou que l’on court).

Il est essentiel de ne pas perdre de vue que la trajectoire de la terre sur son orbite est la trajectoire par rapport au référentiel de Kepler et que par conséquent la vitesse de la terre v est la vitesse dans le référentiel de Kepler et non la vitesse de la terre par rapport à l’étoile qui devient un artifice cinématique dans le cadre de la relativité restreinte.

L’aberration provient de ce que deux observateurs, l’un situé sur le soleil et l’autre sur terre voient l’étoile dans deux directions différentes.

Ce qui est en cause n’est pas le mouvement relatif de l’observateur et de l’étoile mais celui de l’observateur et du soleil.

Denis Savoie et Roland Lehouck font remarquer dans un article consacré au sujet :

« Considérons un couple d’étoiles orbitant conjointement (une binaire). La spectroscopie permet de mesurer la vitesse de chaque partenaire par rapport à la terre. Ces vitesses sont différentes et si la cause de l’aberration était la vitesse relative entre l’observateur et la source lumineuse, elle se traduirait par une aberration différente pour chaque étoile du couple binaire. Or on observe aucune différence de ce type. »

C) Liminaires à l’ellipse d’aberration

Partons de la relation (1) ${\sin(\theta-\theta’)=\beta\sin\theta\text{ avec } \dfrac{v}{c}=\beta }$.

Comme $\theta-\theta’$ est voisin de 0 $\sin(\theta-\theta’)\approx \theta-\theta’$, $\theta-\theta’$ en radians.

Donc $\boxed{\theta-\theta’\approx\beta\sin\theta}$

Exprimons a relation précédente en secondes d’arc :

$(\theta-\theta’)\text{secondes d’arc}=\dfrac{(\theta-\theta’)\text{rad}\times 180\times 3\,600}{\pi} $

La vitesse orbitale de la terre est de 30 Km/s car $v =\dfrac{2\times\pi\times a}{T}$

avec $a=149\,675\,000\text{ km}$ et $\text{T}=31,56\times10^{6}\text{ s}$ (nombre de secondes dans un an)

$k=\dfrac{\beta\times 180 \times 3\,600}{\pi}=\mathbf{20,5}\textbf{ secondes d’arc}$. k est la constante d’aberration.

$\boxed{\theta-\theta’\approx k \sin\theta\quad k=20,5\text{ secondes d’arc}\quad (4)}$

Nous avons le schéma suivant que nous allons appliquer à la sphère céleste géocentrique

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Schema 27

D) Passage à la sphère céleste et équation de l’ellipse d’aberration

Nous ne tiendrons pas compte dans le phénomène de l’aberration annuelle aberration de l’aberration diurne, résultat de la rotation de la terre sur elle même.

Nous n’aurons pas à refaire tous les calculs faits pour l’ellipse parallactique mais le soleil sera remplacé dans les calculs par un autre point que nous allons préciser, la parallaxe de l’étoile sera remplacée par la constante d’aberration.

$\text{e}_{0}$ désigne la direction héliocentrique de l’étoile sur la sphère géocentrique, obtenue en traçant par T la parallèle à (SE), e’ position de $\text{e}_{0}$ sur la sphère du fait que la terre a une vitesse $\overrightarrow{TV}$ sur son orbite et enfin e désigne la direction géocentrique de l’étoile E. Ce vecteur vitesse est perpendiculaire à(ST) car le vecteur vitesse est toujours porté par la tangente à la trajectoire (schéma 27).

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Schema 28

Représentons cette situation avec la sphère céleste géocentrique :

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Schema 29

L’étoile marron foncé est la position héliocentrique de l’étoile et l’étoile marron clair désigne la position de cette étoile subissant l’effet de l’aberration.

Le point $\gamma$, un des deux points d’intersection de l’écliptique et de l’équateur désigne le point origine des ascensions droites sur l’équateur céleste.

En s’inspirant de ce que nous avons fait pour l’ellipse parallactique nous pouvons écrire dans le même repère situé dans le plan tangent à la sphère céleste en $\text{e}_{0}$ correspondant à la direction héliocentrique de l’étoile en remplaçant le soleil par le point F et la longitude écliptique du soleil par

$\lambda_{\text{F}}=\lambda_{\text{S}}-90°$.

$x=\Delta\lambda\cos\beta=-k\cos\left(\lambda_{S}-\lambda\right)$ ; $y=\Delta\beta=-k\sin\left(\lambda_{S}-\lambda\right)\sin\beta$

D’où l’équation de l’ellipse d’aberration :
$\dfrac{x^{2}}{k^{2}}+\dfrac{y^{2}}{k^{2}\sin^{2}\beta}=1$ de demi grand axe $k$ et de demi petit axe $k \sin\beta$.

De sorte que nous avons deux ellipses, l’une la parallactique et l’autre l’ellipse d’aberration, e position de l’étoile sur l’ellipse parallactique et e’ direction dans laquelle on voit la direction héliocentrique de l’étoile à partir de la terre.

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Schema 30

E) Où voit-on l’étoile depuis la terre ?

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Schema 31

Nous admettrons que l’étoile est vue depuis la terre dans la position e′′ résultant de la somme vectorielle des vecteurs $\overrightarrow{\text{e}_ {0}\text{e}}$ et $\overrightarrow{\text{e}_ {0}\text{e}’}$ $\text{e}_{0}$ étant dans la direction héliocentrique de l’étoile. L’observateur voit depuis la terre l‘étoile dans la direction (Te′′) et un observateur situé sur le soleil voit l’étoile dans la direction (SE). L’angle de ces deux directions est précisément l’angle d’aberration. e désigne sa position sur l’ellipse parallactique, e’ désigne la direction dans laquelle l’étoile $\mathbf{\text{e}_{0}}$ est vue mais attention l’étoile E n’est pas vue dans cette direction mais en e’’ depuis la terre.

D’où les coordonnées dans le repère situé dans le plan tangent à la sphère
céleste en ${\text{e}_{0}}$ :

$x=-k\cos\left(\lambda_{S}-\lambda\right)+p\sin\left(\lambda_{S}-\lambda\right)$
$y=-k\sin\beta\sin\left(\lambda_{S}-\lambda\right)-p\sin\beta\cos\left(\lambda_{S}-\lambda\right)$

Propriété : ce sont les coordonnées d’un point situé sur une ellipse ayant pour demi-axes :

$\sqrt{k^{2} + p^{2}}$ et $\sqrt{k^{2} + p^{2}}\sin\beta$ et pour centre $\text{e}_{0}$ .

Exercice : Démontrer cette propriété.
Faire fonctionner l’animation pour voir l’étoile évoluer dans le ciel. La tache blanche est la position héliocentrique de l’étoile.

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Animation disponible
http://www.compadre.org/osp/items/detail.cfm?ID=11206

Voici les ellipses parallactiques (point M) et d’aberration (point N) pour :

p=0,02 l’ellipse parallactique est invisible et explique la difficulté de faire des
mesures

PNG - 9.1 ko
Illustration p=0,02

p=0,62 l’ellipse au centre est l’ellipse parallactique (point M)

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Illustration p=0,62

F) Faisons à présent le point :

Nous nous plaçons dans le cadre ou l’une des deux propositions suivantes est
vraie :

  • La terre tourne autour du soleil
  • Le soleil tourne autour de la terre

Les deux propositions sont vraies si l’on choisit un repère lié au soleil ou bien un repère lié à la terre, mais en fait nous nous intéressons non à l’aspect cinématique mais à l’aspect dynamique ou si l’on préfère, quel est de ces deux corps celui qui se meut réellement autour de l’autre ?

Si le soleil tournait autour de la terre, nous ne verrions pas l’ellipse résultant de l’aberration et de la parallaxe que nous venons d’évoquer au 4/E mais la projection de l’étoile décrirait très lentement le grand cercle en noir du schéma ci-dessous du fait de son mouvement propre, or ce n’est pas ce que nous observons. C’est donc que la terre tourne autour du soleil.

L’argument employé contre l’héliocentrisme a été que si la terre tournait autour du soleil, on aurait dû voir cette ellipse parallactique mais la qualité des instruments optiques n’a pas permis la mise en évidence de cette ellipse et donc la terre ne pouvait tourner autour du soleil.

JPEG - 33.3 ko
Schema 34

Le soleil est en vert et la terre est au centre. Comme nous l’avons déjà dit on peut représenter le fonds stellaire indifféremment sur une sphère céleste géocentrique ou héliocentrique.

Pascal Descamp de l’observatoire de Paris fait très justement remarquer que :

« Si l’homme était apparu sur la planète Neptune plutôt que sur la Terre, l’ellipse parallactique y est 30 fois plus grande puisque la distance de Neptune est de 30 ua. L’ellipse d’aberration y est 5,5 fois plus petite (c’est le rapport des vitesses orbitales entre la Terre et Neptune).

En d’autres termes les demi-grands axes de l’ellipse parallactique et de l’ellipse d’aberration sont respectivement de l’ordre de 30’’ et de 4’’. La situation est donc inversée comparée à celle de la Terre. La preuve du mouvement de Neptune autour du Soleil aurait donc été trouvée plus facilement et plus tôt, sans doute même dès l’Antiquité - ce qui aurait évité bon nombre de désagréments durant plusieurs siècles - mais cela aurait été beaucoup plus difficile pour l’ellipse d’aberration. »

Fin

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notes

[1édité par cabrilog : site officiel

[2édité par le CREEM : site officiel, téléchargement

[3logiciel tableur de la suite Microsoft. Plusieurs alternatives libres existent dont LibreOffice

[4Logiciel de géométrie dynamique, utilisé dans cet article pour lire certaines animations, téléchargeables avec le lien indiqué

[5Sur l’effet Doppler-Fizeau : Voir le document

[6environ 4 siecles !

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  Article original   |   (PDF - 2.6 Mo) Rédigé par David Crespil.
  Évolution de la parallaxe   |   (Excel - 7.9 Mo)
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