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Billard mathématique

Le billard est un sport convivial où se mêlent dextérité, adresse et précision. Les mathématiques peuvent être sources d’inspiration voire de méthodes pour comprendre, analyser et maîtriser les trajectoires des boules.

Article mis en ligne le 27 janvier 2025
dernière modification le 31 janvier 2025

par Sébastien Reb

 INTRODUCTION

Inventé au XVe siècle, sous une commande du roi Louis XI, le billard est un sport convivial où se mêlent dextérité, adresse et précision. Les mathématiques peuvent être sources d’inspiration voire de méthodes pour comprendre, analyser et maîtriser les trajectoires des boules. Pour toute la suite de cet article, nous considérerons le billard français assujetti à un rectangle sans trou de longueur $L$ et de largeur $l$. Découvrons ensemble deux algorithmes de déplacement réalisables dès le cycle 3 et qui mettent en exergue la démarche expérimentale des mathématiques. Prêts à faire des maths là ? Ne vous endormez pas…

Image extraite du jeu en ligne : https://www.lesjeuxgratuits.fr/jeu-jeu-billard-3d

Défi : Trouver 3 boules sur le billard ci-dessus formant un triangle isocèle.

En guise d’échauffement, étudions une première astuce très utile à laquelle vous penserez sûrement lors de votre prochaine partie de billard ! Elle permet d’introduire la symétrie axiale au cycle 3 en donnant ainsi aux élèves une application ayant du sens, de l’intérêt, puisque lorsqu’on connaît cette technique, la probabilité de gagner augment face à son adversaire ! Voici la situation ci-contre : on souhaite faire une bande pour taper la boule blanche avec la boule rouge.

La méthode est la suivante : on visualise, virtuellement la boule symétrique de la boule blanche par rapport à la bande et on vise avec la boule rouge cette boule virtuelle. Coup garanti… par les maths. On évitera tous les effets sur la boule en tapant bien au centre de celle-ci. D’ailleurs dans toute la suite de cet article, tous les rebonds se feront sans effet. Ce qui se traduit par une égalité d’angles : l’angle d’incidence et l’angle réfléchi sont identiques. Au passage, la verbalisation de la bissectrice est une évidence pédagogique !

Image extraite de la vidéo :https://www.youtube.com/watch?v=AxM9ZWwlOFM

 MATHEMAGIE

Pour introduire le premier algorithme de déplacement dans le billard, débutons par un tour de magie réalisable au cycle 3 mais explicable au lycée.

Matériel  : Une feuille quadrillée ou la grille en annexe

Description du tour : Le magicien propose à un spectateur de dessiner sur une grille un rectangle dimension $L$ et $l$ de son choix qui sera le billard pour le tour de magie (ex : 7 et 4). En partant du coin inférieur gauche, le spectateur trace la trajectoire d’une boule de billard fictive qui se déplace en diagonale des carreaux et qui rebondit sur les bords en diagonale. La trajectoire se termine quand la boule arrive dans un des trois autres sommets du rectangle (voir exemple ci-dessous)

Sans voir la figure, le magicien demande les dimensions au spectateur et annonce :

  • le nombre de rebonds sur les bords : 9
  • le nombre de segments tracés : 10

Explications  : Tout repose sur l’arithmétique !

Lemme 1 : La diagonale des carrés identiques vaut $2 \times PGCD(L ; l)$.

Preuve : Le PGCD s’obtient géométriquement grâce aux plus grands carrés contenus dans chaque rectangle comme ci-dessus. La dernière diagonale mesure $\sqrt{2}\times PGCD(L ; l)$ u.l. (unité de longueur = carreau) qui est le côté des carrés identiques.

Le théorème de Pythagore dit que la diagonale d’un carré de côté $a$ est $a\sqrt{2}$ donc la diagonale des carrés identiques est $\sqrt{2}\times \sqrt{2}\times PGCD(L ; l)=2\times PGCD(L ; l)$

Lemme 2 : Le nombre de rebonds vaut $ \dfrac{L}{PGCD(L ; l)}+\dfrac{l}{PGCD(L ; l)}-2 $.

Preuve  :

  • Sur la longueur, $ \left[ \dfrac{L}{2 \times PGCD(L ; l)}\right] \times 2 = \dfrac{L}{PGCD(L ; l)} $ donne le nombre de rebonds (où [ ] est la partie entière).
  • Sur la largeur $ \dfrac{l}{PGCD(L ; l)}$ donne aussi le nombre de rebonds.

Comme le départ et l’arrivée ne sont pas comptabilisés comme rebonds, on doit enlever 2.

Autre point de vue : diviser par $ PGCD(L ; l)$ revient à simplifier au maximum la fraction $\dfrac{L}{l} $. Le magicien rendra la fraction irréductible puis ajoutera le numérateur et le dénominateur en enlevant 2 !

Exemple  : $\dfrac{10}{4} = \dfrac{5}{2} $ donc le nombre de rebonds est $5+2-2=5$.

Le nombre de segments est donné par la même formule mais $-1$ au lieu de $-2$.

Compléments  : On peut tenter de calculer le nombre de carrés identiques obtenus sur la figure. On sait déjà que la diagonale de ces carrés mesure $2 \times PGCD(L ;l)$.

  • Sur la longueur il y a $ \left[ \dfrac{L}{2 \times PGCD(L ; l)}\right] $ carrés.
  • Sur la largeur il y en a $ \left[ \dfrac{l}{2 \times PGCD(L ; l)}\right] $. Mais il peut y en avoir entre. Comment les compter avec exactitude ?

Supposons que $L$ et $l$ soient deux nombres premiers entre eux, leur PGCD valant 1. On remarque que toutes les figures se ramènent à ce cas.

Étudions plusieurs cas suivant la parité de $L$ et $l$ :

  • $L$ et $l$ ne peuvent pas être pairs tous les deux sinon $PGCD(L ;l)=2$.
  • Si $L=2k+1$ et $l=2p+1$ sont impairs alors $ \left[ \dfrac{L}{2}\right]=k $ et $ \left[ \dfrac{l}{2}\right]=p $ donc le nombre de carrés est $2kp$.

Exemple  :

$L=9$ et $l=5$ donc le nombre de carrés vaut $2 \times 4 \times 2 = 16 $ car $9 = 2 \times 4 + 1$ et $5 = 2 \times 2 + 1$.

  • Si $L=2k+1$ est impair et $l=2p$ est pair alors $ \left[ \dfrac{L}{2}\right]=k $ et $ \left[ \dfrac{l}{2}\right]=\dfrac{l}{2}=p $ donc le nombre de carrés est $kp+k(p-1)=2kp-k$.

Exemple  :

$L=11=2 \times 5 +1$ et $l=4=2 \times 2 $ donc le nombre de carrés est $2 \times 5 \times 2 -5 = 15 $

  • Si $L=2k$ est pair et $l=2p+1$ est impair alors $ \left[ \dfrac{L}{2}\right]=\dfrac{L}{2}=k $ et $ \left[ \dfrac{l}{2}\right]=p $ donc le nombre de carrés est $kp+(k-1)p=2kp-p$.

Exemple  :

$L=12=2 \times 6$ et $l=7=2 \times 3+1 $ donc le nombre de carrés est $2 \times 6 \times 3 -3 = 33 $

Variantes  : Le magicien annonce le nombre de carrés sur la figure.

  • Il simplifie $ \dfrac{L}{l} $ au maximum sous la forme $ \dfrac{n}{d} $ avec $ PGCD(n ;d)=1 $.
  • Il utilise une des 3 formules suivant les parités de n et d. Effet garanti mais il faut s’entraîner mentalement !

Appliquette interactive à manipuler :

(fichier source : https://www.geogebra.org/m/DSPGBGvB)

 FOCUS SUR LE 1ER ALGORITHME

La preuve précédente nous donne l’occasion de développer la compétence chercher chez nos élèves. En effet, voici quelques pistes d’exploration de cet algorithme :

Objectif 1 : Découverte d’un algorithme débranché

  • Niveau  : 5ème (cycle 4)
  • Modèle  : $L=6$ et $l=4$

On partira toujours du sommet inférieur gauche pour tracer les trajectoires de la boule. On compte le nombre de rebonds sur les longueurs et celui sur les largeurs.

Rebonds sur les longueurs = 4
Rebonds sur les largeurs = 3

En enlevant 1 à ces deux nombres :

$ \dfrac{4-1}{3-1}=\dfrac{3}{2}$ et $ \dfrac{6}{4}=\dfrac{3}{2} $

On constate que cet algorithme permet de simplifier une fraction.

1) En utilisant le modèle ci-dessus, simplifier les fractions $ \dfrac{10}{6}$ et $ \dfrac{12}{9}$

Rebonds sur les longueurs = 6
Rebonds sur les largeurs = 4

En enlevant 1 à ces deux nombres :

$ \dfrac{6-1}{4-1}=\dfrac{5}{3} $ et $ \dfrac{10}{6}=\dfrac{5}{3} $
Rebonds sur les longueurs = 5
Rebonds sur les largeurs = 4

En enlevant 1 à ces deux nombres :

$ \dfrac{5-1}{4-1}=\dfrac{4}{3} $ et $ \dfrac{12}{9}=\dfrac{4}{3} $

Avant d’aller plus loin, on peut demander aux élèves pourquoi il faut enlever 1 au numérateur et au dénominateur. L’idée est de faire comprendre que le départ et l’arrivée (les deux sommets) ont été compté deux fois !

Avant d’aller plus loin, on peut demander aux élèves pourquoi il faut enlever 1 au numérateur et au dénominateur. L’idée est de faire comprendre que le départ et l’arrivée (les deux sommets) ont été compté deux fois !

2) Quelques observations : que se passe-t-il avec les fractions $ \dfrac{8}{5}$ et $ \dfrac{10}{7}$ ?

$ \dfrac{9-1}{6-1}=\dfrac{8}{5} $ $ \dfrac{11-1}{8-1}=\dfrac{10}{7} $

Elles sont déjà simplifiées ! Ce sont des fractions irréductibles. Le numérateur et le dénominateur n’ont aucun diviseur en commun.

3) Démarche expérimentale :

Choisir un numérateur plus grand que 10 (ex : 12) puis étudier tous les cas de dénominateur de 1 à 12. Quelles figures obtient-on ? Quelles remarques peut-on faire ? Les élèves peuvent travailler en binôme puis présenter ensuite à un autre binôme les résultats de leur recherche.

$\dfrac{12}{1}$
$ \dfrac{12}{2}=\dfrac{6}{1} $
$ \dfrac{12}{3}=\dfrac{4}{1} $
$ \dfrac{12}{4}=\dfrac{3}{1} $
$ \dfrac{12}{5}$
$ \dfrac{12}{6}=\dfrac{2}{1} $ $ \dfrac{12}{7}$
$ \dfrac{12}{8}=\dfrac{3}{2} $ $ \dfrac{12}{9}=\dfrac{4}{3}$
$ \dfrac{12}{10}=\dfrac{6}{5} $ $ \dfrac{12}{11}$
La dernière figure pour $ \dfrac{12}{12}=1$

Si le dénominateur est un diviseur du numérateur alors on obtient des lignes en dents de scie.

Si on inverse le numérateur et le dénominateur (ex : $ \dfrac{12}{8}$ et $ \dfrac{8}{12}$), la figure obtenue est la même.

Si une fraction est irréductible, on obtient un maximum de rebonds et donc un maximum de carrés (voir paragraphe 2).

 PROLONGEMENT DE CET ALGORITHME

En évitant le cas où le dénominateur est un diviseur du numérateur (ou son contraire), on peut demander aux élèves de colorier tous les carrés présents sur la figure et de calculer la proportion du billard colorié.

Voici un modèle : $L=4$ et $l=3$

La proportion coloriée est $ \dfrac{6}{12} = \dfrac{1}{2}$. En plus, on y a mis du coeur à l’ouvrage !

Étudions plus en profondeur ce prolongement :

Lemme 1 : Deux fractions égales engendrent la même figure.

Les lecteurs et lectrices de MathémaTICE pourront s’en persuader avec quelques dessins. Il s’ensuit qu’il suffit d’étudier des billards rectangulaires dont la longueur et la largeur sont premiers entre eux, ce qui revient à dire que $\dfrac{L}{l}$ est une fraction irréductible.

Lemme 2  : Si L et l sont premiers entre eux alors la proportion du billard représentée par les carrés coloriés est :

  • si $L$ et $l$ sont impairs, $2 \times \dfrac{2 \times \lbrack \dfrac{L}{l} \rbrack \lbrack \dfrac{l}{2}\rbrack}{L \times l} $
  • si $L$ est impair et $l$ pair, $2 \times \dfrac{2 \times \lbrack \frac{L}{2} \rbrack \frac{l}{2} - \lbrack \frac{L}{2}\rbrack}{L \times l} $
  • si $L$ est pair et $l$ impair, $2 \times \dfrac{2 \times \frac{L}{2} \lbrack \frac{l}{2}\rbrack - \lbrack \frac{L}{2}\rbrack}{L \times l} $

Il suffit d’appliquer les résultats du paragraphe 2.

Voici un autre exemple détaillé : $L=12$ et $l=5$

$L$ est pair et $l$ est impair donc la proportion est :

$$2 \times \dfrac{2 \times \frac{12}{2} \lbrack \frac{5}{2}\rbrack - \lbrack \frac{5}{2}\rbrack}{12 \times 5} = 2 \times \dfrac{2 \times 6 \times 2 - 2}{60} = \dfrac{11}{15}$$

Voici quelques pistes d’exploration pour les élèves et pour les enseignants :

On explique que ce procédé transforme une fraction en une autre. Plus précisément, la fraction $\dfrac{L}{l}$ devient la proportion de carrés coloriés. Dans nos deux exemples précédents, on a $\dfrac{4}{3}$ → $\dfrac{1}{2}$ et $\dfrac{12}{5}$ → $\dfrac{11}{15}$ (cela peut introduire le concept de fonction dès le début du cycle 4).

Dans ce cadre :

  • Que se passe-t-il avec $\dfrac{5}{2}$, $\dfrac{5}{3}$, $\dfrac{5}{4}$, $\dfrac{7}{2}$, $\dfrac{7}{3}$, $\dfrac{7}{4}$, $\dfrac{7}{5}$, $\dfrac{7}{6}$ ?
  • Peut-on émettre une conjecture ?
  • On peut demander la transformation inverse à savoir : quel billard faut-il pour avoir une proportion coloriée égale à $\dfrac{1}{3}$ ? Et $\dfrac{3}{4}$,
  • De manière générale, peut-on toujours trouver un billard de sorte que la fraction coloriée soit une fraction inférieure à 1 fixée ?

Quelques éléments de réponse ici :

Conjecture 1 : $\dfrac{n+1}{n}$ → $\dfrac{n-1}{n+1}$

Si $l$ et $L$ sont deux entiers consécutifs dans cet ordre.

Conjecture 2 : si $L=2k+1$ est impair alors $\dfrac{2k+1}{n}$ → $\dfrac{k}{n}$

Pour les preuves, il suffit de reprendre le lemme 2.

Les autres points sont laissés en recherche aux lectrices et lecteurs de Mathématice. Je suis preneur de vos solutions et recherches. Ecrivez-moi à sebastien.reb@ac-dijon.fr !

Un dernier prolongement possible : On peut ainsi réaliser une chaîne de fractions avec ce procédé. La fraction coloriée à un billard donné donne les dimensions d’un nouveau billard qui associe ainsi une nouvelle fraction coloriée et ainsi de suite… Si le numérateur est plus petit que le dénominateur, on inverse la fraction pour obtenir toujours un billard à l’horizontale avec une longueur plus grande que la largeur. Voici un exemple (vous pourrez réaliser les dessins pour vérifier cette chaîne fractionnaire) :

$\dfrac{5}{4}$ → $\dfrac{3}{5}$ donc $\dfrac{15}{8}$ → $\dfrac{49}{120}$ etc.

Questions  :

  • Y’a-t-il des points fixes ? C’est-a-dire des fractions qui s’associent à elles-mêmes ?
  • Est-ce qu’une chaîne peut se terminer ? Pourquoi et par quelle fraction ?
  • À vous… ! Cet algorithme montre une richesse incroyable, de quoi passer de belles heures à dessiner de nombreuses trajectoires dans un billard rectangulaire !

 UN 2EME ALGORITHME

Reprenons l’algorithme précédent mais traçons la trajectoire de la boule par alternance comme ci-dessous :

On démarre toujours du coin inférieur droit, on trace un 1er segment en diagonale des carreaux puis on ne trace pas le suivant. On alterne ainsi un segment tracé et un espace vide jusqu’à arriver dans un autre coin du billard comme l’algorithme 1.

On s’aperçoit assez vite que cet algorithme nécessite $L$ et $l$ premiers entre eux pour obtenir une figure visible. Voici un exemple où cela ne fonctionne pas :

$L=6$ et $l=4$ donc 2 est un diviseur commun.
Aucune figure n’apparaît alors…

On peut reprendre ensuite, de manière similaire, toute l’étude faite avec l’algorithme 1 :

  • Réaliser plusieurs figures différentes pour faire émerger des conjectures. C’est la démarche expérimentale par excellence !
  • Quelle est la longueur totale des segments tracés ? Peut-on trouver une formule à l’instar du lemme 2 de l’algorithme 1 ?
  • On peut également colorier la région intérieure délimitée par ces segments et calculer la proportion du billard coloriée. Dans certains cas (je vous laisse le découvrir), on obtient plusieurs régions donc plusieurs coloriages et fractions.
  • Comparer l’algorithme 1 avec celui-ci en comparant pour un même billard, les deux fractions obtenues.

À vous ! Pour vous motiver, voici une figure supplémentaire :

 UN PROBLEME REBONDISSANT !

Pour finir, voici un problème complet de fin de cycle 4 pour travailler les théorèmes de Pythagore et Thalès ainsi que la trigonométrie. Il s’agit d’étudier la trajectoire d’une boule de billard sur un billard français composé de 2 boules blanches M et E et d’une rouge A. Voici la situation sur la figure ci-dessous :

Ce problème est en deux parties indépendantes. Vous pouvez donc faire la partie 2 même si vous n’avez pas fait la partie 1.

  PREMIERE PARTIE

Le but de cette première partie est de calculer la longueur de la trajectoire ACDE.
Les triangles CGD, CNM et DFE sont rectangles respectivement en G, N et F.
On sait que : AB = 48 cm ; BC = 64 cm ; AC = 80 cm ; CN = 24 cm ; CG = 74 cm et FE = 56 cm.
Les rebonds sur les bandes se font sans effet, c’est-à-dire que : $\widehat{ACB} = \widehat{NCM}$ et $\widehat{GDC} = \widehat{FDE}$

1. Démontrer que le triangle ABC est rectangle en B.
2. a) Calculer $\cos\widehat{ABC}$ .
2. b) Calculer $\cos\widehat{NCM}$ et en déduire CM.
3. Calculer CD.
4. a) Calculer $\sin\widehat{GDC}$.
4. b) Calculer $\sin\widehat{FDE}$ et en déduire DE.
5) Calculer la longueur de la trajectoire ACDE.

  DEUXIEME PARTIE

La règle du billard français est simple : les trois boules doivent se toucher (exemple : A touche M qui va toucher E).

La probabilité qu’un joueur réussisse son coup est de $\dfrac{1}{20}$.

1. Quelle est la probabilité pour que le joueur rate son coup ?
2. Le joueur tire 2 fois de suite.
2. a) Faire un arbre pondéré de l’expérience.
2. b) Quelle est la probabilité pour que le joueur rate un seul de ses deux coups ?

  CORRECTION : PREMIERE PARTIE

1. Dans le triangle ABC, AC² = 80² = 6400 et AB² + BC² = 48² + 64² = 2304 + 4096 = 6400
Donc AC² = AB² + BC² et d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B.

2. a) Dans ce même triangle, $\cos\widehat{ABC} = \dfrac{BC}{AC}= \dfrac{64}{80}= \dfrac{4}{5}$

2. b) Dans le triangle CNM rectangle en N, $\cos\widehat{NCM} = \dfrac{CN}{CM}= \dfrac{24}{CM}$

Comme $\widehat{ACB} =\widehat{NCM}$, $\cos\widehat{ABC} = \cos\widehat{NCM}$ donc $\dfrac{4}{5}=\dfrac{24}{CM}$ et ainsi $CM = \dfrac{24 \times 5}{4} = \dfrac{120}{4}=30$ cm.

3. Dans le triangle CGD, on sait que :

  • (MN) est parallèle à (GD) car elles sont perpendiculaires à (CG).
  • G, N, C sont alignés.
  • C, M, D sont alignés.

D’après le théorème de Thalès, $\dfrac{CN}{CG} = \dfrac{CM}{CD}=\dfrac{NM}{GD}$ donc $\dfrac{24}{74} = \dfrac{30}{CD}=\dfrac{NM}{GD}$.

D’où $CD=\dfrac{30\times74}{24} = \dfrac{2220}{24}=92,5$ cm

4. a) Dans ce même triangle CGD rectangle en G, $\sin\widehat{GDC} = \dfrac{CG}{CD}= \dfrac{74}{92,5}= \dfrac{740}{925}= \dfrac{4}{5}$ (en simplifiant par 5 puis par 37).

4. b) Dans le triangle DFE rectangle en F, $\sin\widehat{FDE} = \dfrac{FE}{DE}= \dfrac{56}{DE}$.

Donc, comme $\widehat{GDC} =\widehat{FDE}$, $\sin\widehat{GDC} = \sin\widehat{FDE}$ et $\dfrac{4}{5}=\dfrac{56}{DE}$.

Donc : $DE= \dfrac{56\times 5}{4} = \dfrac{280}{4}=70$ cm.

5) AC + CD + DE = 80 + 92,5 + 70 = 242,5
La trajectoire mesure 242,5 cm.

  CORRECTION : DEUXIEMEPARTIE

1. L’événement $\overline{A}$ « le joueur rate son coup » est l’événement contraire à l’événement $A$ : « le joueur réussit son coup » donc la probabilité est $1-\dfrac{1}{20}=\dfrac{19}{20}$.

2. a) 2. b) La probabilité pour que le joueur rate un seul de ses deux coups est :

$\dfrac{1}{20} \times \dfrac{19}{20} + \dfrac{19}{20} \times \dfrac{1}{20} = 2 \times \dfrac{1}{20} \times \dfrac{19}{20} = \dfrac{38}{400} = \dfrac{19}{200} = 0,095 $

 Sources :