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Présentation détaillée du numéro spécial
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Mis en ligne le 24 juin 2016, par Caroline Poisard

Auteure : Caroline Poisard, Laboratoire du CREAD (Centre de recherche sur les apprentissages et la didactique), ESPE de Bretagne, UBO (Université de Bretagne Occidentale), site de Quimper

Cet article peut être librement diffusé à l’identique dans la limite d’une utilisation non commerciale suivant la licence CC-by-nc-nd

Cette présentation du numéro 51 de MathémaTICE situe et introduit les sept articles qui traitent du même sujet et qui ont été discutés collectivement. Il donne également des perspectives de travail pour la suite.

Introduction

Dans les programmes d’enseignement qui seront en vigueur à la rentrée 2016, nous nous réjouissons de trouver la mention suivante :

« Pour calculer, estimer ou vérifier un résultat, utiliser divers supports ou instruments : les doigts ou le corps, bouliers ou abaques, ficelle à nœuds, cailloux ou jetons, monnaie fictive, double règle graduée, calculette, etc. » (Programme 2016 cycle 2, p. 82).

Les abaques et bouliers sont donc nommés explicitement comme des « exemples de situations, d’activités et de ressources pour l’élève » pour « calculer avec des nombres entiers » au cycle 2.

Ce numéro spécial de la revue MathémaTICE sur les « ressources virtuelles et matérielles en mathématiques : des instruments pour travailler en classe sur le nombre, la numération et le calcul » arrive donc bien à propos. En effet, dans les sept articles de ce numéro les instruments de calculs - dont en particulier le boulier chinois - sont considérés comme des ressources pour l’enseignement et l’apprentissage du nombre, de la numération et du calcul. Les niveaux scolaires considérés sont la Grande Section de maternelle (GS), le CP, CE1, CM2, mais aussi le collège, le lycée et l’animation scientifique.

Ces articles proposent d’une part des analyses (en histoire des mathématiques et en didactique des mathématiques) et également des ressources pour la classe afin de les diffuser.

Ces articles sont le fruit d’un travail collaboratif à plusieurs niveaux :

  • collaboratif par nos « positions respectives » : chercheurs, professeurs et formateurs travaillent ensemble afin de tester et d’analyser des séances, de produire des ressources pour la classe et pour la formation des professeurs ;
  • collaboratif « géographiquement » entre collègues de La Réunion et de Bretagne ;
  • collaboratif par nos analyses en histoire des mathématiques et en didactique des mathématiques.

Nous avons organisé pendant trois années successives (2013, 2014 et 2015) une journée d’étude afin de présenter le travail réalisé dans les classes et en formation en Bretagne et à la Réunion. Ces journées ont été l’occasion de mettre en forme nos idées, nos expériences et nos analyses pour les présenter. La richesse de ces interventions nous a amenés à vouloir diffuser ce travail sous forme d’articles. Nous tenons ici à remercier l’équipe de MathémaTICE qui a accepté de publier ce numéro et nous a accompagnés dans cette démarche.

Le mode de fonctionnement du boulier est repris en filigrane dans tous les articles. Au lecteur intéressé par cette question, nous conseillons la lecture d’un article paru dans la revue Plot sur le boulier et les algorithmes de calcul (Poisard, 2009) ou bien du livret du professeur de la « mallette boulier chinois ».

Le lecteur qui recherche d’autres exercices pourra regarder également ce document et manipuler le boulier de Sésamath 

C’est l’article de Dominique Tournès qui ouvre ce numéro spécial, et nous donne une analyse historique des instruments de calcul. Ce travail nous semble indispensable préalablement à des analyses didactiques de pratiques de classe qui suivent et complètent ce premier article. Outre le calcul mental et le calcul sur les doigts (ou d’autres parties du corps), des instruments de calcul ont été mis au point afin de faciliter les pratiques quotidiennes de calcul. L’idée est donc de se servir de ces instruments que nous offre l’histoire pour faire des mathématiques mais également de les penser dans notre temps, c’est-à-dire en particulier de se les approprier avec les nouvelles technologies éducatives disponibles aujourd’hui. Les instruments décrits sont des abaques à jetons, à boules, « à baguettes ». Un trait commun entre tous ces instruments est le recours à la quinaire qui marque 5, 50, 500, etc. Il est important de rappeler ici cette particularité des instruments qui découle d’une caractéristique de l’oeil humain : notre œil peut dénombrer rapidement jusqu’à quatre, mais pas au-delà, d’où le recours à un marqueur de 5. Ces instruments ne sont pas des anecdotes de l’histoire. En Occident, les abaques à jetons ont été d’usage jusqu’à la fin du 18e siècle. Ensuite s’est imposé, mais non sans mal, le calcul avec la notation en chiffres. La suite de l’histoire introduit calculatrices mécanique puis électronique, puis ordinateurs qui permettent d’automatiser les calculs humains. Reste à savoir si le calcul écrit sera une phase transitoire ou pérenne…

Dans le deuxième article, à partir de différents travaux de recherche en didactique des mathématiques, Ghislaine Gueudet et Laetitia Bueno-Ravel proposent une synthèse de différents questionnements didactiques sur le boulier. Après une introduction qui situe la recherche en didactique, ses enjeux, moyens et finalités, les auteurs décrivent, d’une part, les apprentissages mathématiques des élèves et, d’autre part, le travail du professeur concernant cette ressource spécifique qu’est le boulier. L’analyse didactique permet de situer le boulier par rapport aux savoirs sur le nombre, la numération et les opérations. Une analyse fine identifie des détournements de certains élèves du boulier et donne donc des indications précieuses au professeur. Le boulier est analysé comme un instrument pour les élèves : d’une part les caractéristiques du boulier influencent le travail de l’élève et d’autre part, l’élève s’approprie le boulier, le façonne selon ses connaissances. Côté professeur, l’articulation de différentes ressources : matérielles, virtuelles, etc., est centrale pour l’organisation et la gestion de classe. De la même manière que pour les élèves, on retrouve ce double mouvement chez le professeur : les caractéristiques du boulier influencent son travail et le professeur façonne le boulier selon ses connaissances.

L’article 3 présente un ensemble de trois bouliers virtuels disponibles en ligne sur le site de l’IREM de la Réunion. Alain Pauty et Luc Tiennot ont développé et testé des bouliers virtuels pour les classes de GS, CP et CE1 et proposent ici une analyse en terme d’apprentissage pour les élèves. Les choix didactiques des auteurs sont présentés, en particulier une progression sur les trois niveaux de classe permet d’avoir une vue globale sur la construction du nombre (GS) puis le sens de la numération. Les auteurs expliquent également leur choix de réduire le nombre de tiges de ces bouliers à une ou deux tiges, en fonction des objectifs d’apprentissage. L’ensemble de bouliers GS, qui possède trois niveaux, a pour objectif de commencer à travailler sur le principe de quinaire : une boule marque cinq (dans la tige unités). L’ensemble de bouliers CP permet de travailler sur la notion de numération avec trois niveaux de complexité et vingt sous-niveaux en fonction du domaine numérique. Cette progression permet en fin de séquence d’introduire le boulier chinois (sous une forme virtuelle). Le boulier CE1 est un boulier chinois qui ne comporte que trois tiges (unités, dizaines et centaines) et permet de travailler la numération et les groupements/échanges. Les tâches pour les élèves sont de deux types : inscrire un nombre sur le boulier à partir d’une écriture chiffrée, et écrire un nombre en chiffres à partir de sa lecture sur le boulier.

L’article 4 de Laetitia Bueno-Ravel et Christine Harel s’intéresse aux liens possibles entre le calcul mental et le boulier en classe de CE1. À partir d’une séquence CE1 sur le calcul mental intégrant bouliers chinois matériels et virtuel et également l’usage d’arbre à calculs, les auteurs montrent que certains élèves qui utilisaient des procédures de comptage ont évolué vers des procédures de calcul. La notion de calcul mental est présentée au regard de différents travaux en didactique. Chaque séance de cette séquence (qui en comporte neuf) se déroule en trois phases : réactivation des connaissances, apprentissage et institutionnalisation. Certaines séances ont été filmées puis transcrites et des entretiens ont été réalisés avec six élèves (trois entretiens chacun). Pour plusieurs tâches, les auteurs proposent une analyse détaillée des savoirs mathématiques en jeu en fonction des registres : boulier, arbre à calcul, calcul mental. Ensuite, les études de cas sont analysées afin de montrer l’évolution des procédures des élèves : du comptage au calcul et selon les différents registres articulés lors de la séquence. Les auteurs concluent que le boulier peut constituer une aide pour les élèves en calcul mental.

L’article 5 de Caroline Poisard, Dominique Tournès et Isabelle Cochet montre comment une double approche : en histoire et en didactique des mathématiques a permis de mettre en place des séances de classe sur l’abaque à jetons puis le boulier. L’expérience a été menée en classe de CE1 suite à un séminaire de formation de formateurs entre la Bretagne et la Réunion. L’abaque est utilisé en classe pour ensuite travailler avec le boulier chinois. Après des éclairages historiques et épistémologiques sur l’abaque à jetons, les choix du professeur sont présentés. Les ressources utilisées en classe (affiche collective, fiches individuelles, bouliers, tableau blanc interactif, etc.) permettent de montrer comment se réalise l’articulation entre les ressources matérielles et virtuelles. L’importance de rendre compte en classe des différentes procédures des élèves, des phases de synthèse, de l’autonomie des élèves sont des points importants qui ont motivé l’intégration de l’abaque puis du boulier dans ces séances.

L’article 6 de Caroline Poisard, Gwenaëlle Riou-Azou, Delphine D’hondt et Estelle Moumin montre que le boulier est une ressource pour la classe mais aussi pour la formation des professeurs. Les auteurs présentent la « mallette boulier chinois » qui comporte des ressources pour mettre en place des séances en classe avec le boulier chinois (bouliers, livret du professeur, fiches pour les élèves, trames de séquences, grilles d’analyse, etc.). Cette mallette est téléchargeable en ligne sur le site de l’ESPE de Bretagne. C’est à partir du travail réalisé pour cette mallette que le parcours de formation M@gistère « Le boulier à l’école » s’est construit et est présenté ici (parcours disponible sur la plateforme nationale DGESCO). Certaines ressources ont été produites pour ce parcours, en particulier des extraits vidéos de classe de CM1 et CM2. Les auteurs présentent ici une analyse didactique des vidéos disponibles sur le parcours. Cette analyse faite à partir des transcriptions des extraits montre l’articulation des ressources en classe et analyse précisément les savoirs sous-jacents aux procédures des élèves, la posture du professeur (en particulier pour motiver les élèves dans leurs recherches), et les phases de synthèse des séances.

L’article 7 de Nathalie Daval et Alain Busser présente également une double approche historique et didactique, et propose des ressources pour la classe pour travailler sur la numération et le calcul avec des instruments de calcul anciens : de l’abaque à jetons aux réglettes de Genaille. L’article possède deux parties avec la même organisation : tout d’abord des références historiques puis des exemples de séances avec des ressources proposées (tutoriels vidéos, fiches de fabrication, fiches d’exercices, logiciels). Ces séances ont été testées en collège, lycée, supérieur, et également lors d’animations scientifiques. La première partie porte sur les abaques à jetons (abaques grecs et romains, puis celui de Gerbert) et la seconde sur la science des bâtons (bâtons de Néper et réglettes de Genaille-Lucas). Pour ces différents instruments, le mode d’utilisation est présenté, et des exemples de manipulations sont expliqués en lien avec la numération décimale de position et les algorithmes de calcul.

Conclusion et perspectives

Ce numéro spécial sur une thématique montre comment un travail collaboratif (entre professeurs, formateurs, chercheurs) permet de produire des ressources pour la classe comportant une analyse des choix didactiques, en terme de savoir en jeu, procédures des élèves et rôle du professeur en particulier. L’analyse des savoirs mathématiques se nourrit d’une analyse historique sur les instruments de calcul. Ceci permet en particulier de se questionner sur la place des instruments de calcul, du calcul écrit puis de l’ordinateur hier, aujourd’hui et demain.

Ce travail est une synthèse des échanges riches entre nos deux groupes de travail à la Réunion et en Bretagne. Pour que ces échanges puissent se renouveler et se poursuivre, nous proposons de perspectives de travail qui pourraient s’orienter sur les thèmes suivants en mathématiques : la liaison CM2/6e, l’usage des tablettes numériques, et la formation des professeurs. En effet, avec la nouvelle définition du cycle 3, le boulier chinois et les instruments de calcul nous semblent une ressource adaptée pour un travail continu dès le début du primaire et qui peut se poursuivre au collège (donc en particulier en liaison CM2/6e). D’autre part, l’usage des tablettes numériques est assez répandu pour les élèves dans un contexte personnel, son introduction en classe questionne donc naturellement les chercheurs en didactique, tout comme cela a été le cas pour les calculatrices. Les applications pour tablettes possèdent parfois des instruments de calcul en version virtuelle. Concernant la formation des professeurs, le parcours M@gistère sur « le boulier chinois à l’école » est de type hybride c’est-à-dire avec des séances en présence et à distance, avec la production et l’analyse collaborative de séquences. Notre questionnement porte sur son appropriation par des formateurs et des participants.


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