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Une approche 3D du concept de fonction d’une variable réelle
Moteur de recherche
Mis en ligne le 9 octobre 2012, par Abdel Wahed Namir, Brahim Nachit, Mohamed Talbi, Mohammed Bahra, Redouane Kossor

Voici un article proposé par des chercheurs marocains, après expérimentation dans des classes Terminales de ce pays (parties 4 et suivantes).

Son pari est audacieux : donner sens à la notion de fonction d’une variable réelle en passant par les surfaces dans l’espace, grâce aux logiciels qui permettent de les représenter.

Le détour par des images belles et colorées est-il de nature à faire mieux comprendre aux élèves (qui baignent dans l’univers des images) certaines notions mathématiques ? La question (controversée) est ouverte.

Auteurs :

BRAHIM NACHIT [1] ,
ABDELWAHED NAMIR [2],
MOHAMMED BAHRA [3],
REDOUANE KOSSOR [4],
MOHAMMED TALBI [5]

INTRODUCTION

L’enseignement de l’analyse au lycée a été toujours considéré comme difficile. Nous constatons aussi qu’il n’existe que peu de situations de résolution de problèmes pour les concepts de l’analyse. Le concept de fonction occupe une place centrale dans le programme de mathématique au lycée.

Dans cet article, nous proposons une nouvelle méthode de traçage d’une fonction numérique de la variable réelle sans passer d’abord par l’étude de fonctions (limites aux bornes, dérivée, tableau de variations, branches infinies,…) en se basant seulement sur une visualisation dans l’espace.

Cette méthode sera en particulier utilisée pour tracer la courbe d’une fonction et l’élève peut à partir de cette représentation graphique conjecturer les propriétés telles que domaine de définition, limites aux bornes,…

1-Problématique

1-1 Sens selon René Thom

Pour René Thom

« Le vrai problème qu’a à affronter l’enseignement des mathématiques n’est pas le problème de la rigueur, mais le problème de la construction du « sens », de la « justification ontologique « des objets mathématiques » (Thom, 1974, page 4).

René Thom affirme que le problème de l’enseignement des mathématiques est un problème de construction de sens, mais comment construire le sens des objets mathématiques ? Et avec quels moyens ?
Il ajoute aussi que des difficultés d’apprentissage, à propos d’un calcul, ont pour origine le fait que ce calcul est pris par la majorité des élèves sans son renvoi à aucune de ses réalisations spatiales. De la part de ces élèves, ce calcul est alors frappé d’insignifiance. Pour restaurer le sens d’un calcul, l’attribution par les élèves de places de nature spatiale aux expressions formelles qui le sous-tendent est nécessaire.

Selon René Thom (1980, page 62) : « le sens est l’attribution d’une place de nature spatiale à une expression formelle codée ». De plus Emile Benveniste a défini le sens d’une unité linguistique comme sa capacité d’intégrer une unité de niveau supérieur.

Donc nous devons chercher un outil qui permet d’attribuer une place de nature spatiale à l’expression y=f(x) et de voir cette fonction comme un élément d’une famille de fonctions.

1-2-Proposition de l’outil

1-2-1-Régimes d’Assimilations selon René Guitart

René Guitart (2003) considère deux ensembles E et F, une relation binaire

ε ⊆ E × F, et note (x,y) ∈ ε , y → ε x –

ce qu’il propose de lire :
« y est assimilable à x du point de vue ε ».

Ce qui importe, d’après Guitart, est non pas une seule Assimilation particulière relative à une seule relation ε, mais, au moins, une famille d’Assimilations sur un ensemble E, ce que Guitart appelle un régime d’Assimilation.

1-2-2 Calcul d’assimilations et NTIC

Les TIC peuvent être utilisées par les professeurs comme une aide à la conceptualisation et à l’appréhension globale et dynamique des phénomènes. Ils aident l’élève à donner plus de sens à ce qu’il apprend, l’invitent davantage à penser et à se créer des images avant d’agir, plutôt qu’à appliquer des règles et algorithmes sans comprendre.
Selon Guitart (2003) et au sein du calcul des régimes, le voir et le dire se croisent et se fécondent.

« Il ne va pas du tout de soi que ce que l’on fait passer comme sens par l’image et ce que l’on fait passer comme sens par un discours puissent être la même chose ou même seulement des sens traductibles les uns dans les autres. Pour ce qui serait ainsi transférable, on connaît mal les possibilités naturelles et les ressources systématiques ; et pour ce qui ne peut qu’être perdu quand on passe d’un registre à l’autre, il faudra en décrire la classification, aux deux titres d’ailleurs. L’invention d’une méthode serait bienvenue. Ce à quoi nous commençons à participer ici. » (Guitart 2003, page 87).

Cette méthode jointe les possibilités qu’offrent les TIC, permet de mettre en œuvre un outil avec lequel on peut marier le discours avec l’image. D’où la question fondamentale de notre recherche :

Existe-t-il un régime d’Assimilation (a), dans lequel l’enseignement du concept fonction va prendre une nouvelle forme en Terminale ?

En d’autres termes, existe-t-il une nouvelle méthode pour présenter les fonctions aux élèves de Terminale ? Et quelle est la place des TIC dans ce sens ?

Nous faisons comme hypothèse de recherche le fait que l’enseignement des fonctions de Terminale (artg(x), tan(x), ln(x), exp(x)…) va prendre une nouvelle forme plus efficace.

2-Cadre théorique

Pour David Tall(1991), la visualisation est très importante dans l’enseignement de l’Analyse. En mathématique, les objets ne sont accessibles qu’à travers des représentations sémiotiques.

"Des représentations sémiotiques sont des productions constituées de signes appartenant à un système de représentation qui a ses propres contraintes de signifiance et de fonctionnement" (Duval, 1991, page234).
La notion de fonction nécessite l’utilisation de plusieurs registres (Duval, 1991) :

  • Registre algébrique (représentation par des formules).
  • Registre numérique (tableau de valeurs).
  • Registre graphique (courbes).
  • Registre symbolique (tableau de variation).
  • Registre formel (notation f, f(x), fog...).
  • Registre géométrique (grandeurs géométriques variables).

De plus, Balacheff et Garden (2002) ont trouvé deux types de conception image chez les binômes d’élèves à la fin du lycée :

  • Une conception courbe-algébrique : les fonctions sont vues comme des cas particuliers de courbes.
  • Une conception algébrique-courbe : les fonctions sont d’abord des formules algébriques qui seront ensuite traduites en courbe.

Coppé et al. (2007) ont montré que les élèves ont plus de difficultés à traduire un tableau de variations d’une fonction en une représentation graphique, ce qui montre que les élèves ont des difficultés à adopter un point de vue global sur les fonctions. Ils ont montré aussi que le registre algébrique est prédominant dans les manuels de Terminale scientifique. Ils ont noté aussi que l’étude des fonctions au niveau Baccalauréat repose sur des règles de calculs algébriques (limites aux bornes, dérivée, étude de variations,…).

L’étude des fonctions fait appel à plusieurs points de vue : un point de vue ponctuel, un point de vue local et un point de vue global. Le point de vue local est celui qui suffit pour manipuler des propriétés ponctuelles en un point x0, exemple f(x0)=3.le point de vue global est celui qui intervient avec des propriétés globales (parité, périodicité, continuité…) et le point de vue local intervient avec des propriétés d’une fonction au voisinage d’un point x0 (limite en x0, dérivabilité en x0…) (Rogalski 2008)

Selon Raflopoules et Portides (2010), les représentations graphiques font travailler le point de vue global et ponctuel des fonctions, au contraire, les propriétés des fonctions ne sont pas visibles directement à partir des formules algébriques.

Blosch (2003) a mis en évidence que les élèves ne considèrent que rarement la puissance du graphique au niveau global et propose des séquences d’enseignement supportées par un point de vue global du registre graphique. Les élèves ne savent pas manipuler des fonctions qui ne sont pas données par leurs représentations algébriques et ils n’ont pas l’occasion de manipuler des familles de fonctions dépendant de paramètres.

3-Proposition d’un régime d’Assimilation pour l’étude de fonctions numériques

Soit S l’ensemble des surfaces et C l’ensemble des courbes planes.
Considérons la fonction d’Assimilation a définie de S dans C2 par :

a : S → C2

s → a(s)

par l’ensemble des couples suivants :

c → a (s) c’ ⇔ c et c’ sont deux sections planes parallèles de s

On dit alors que :

« Dans le régime a, du point de vues s, c est assimilable à c’ »

Le régime a renvoie à des praxémes, dont la spécificité est d’intégrer une courbe d’équation cartésienne de la forme y=f(x) dans un tout de niveau supérieur :

Par exemple, la courbe d’équation y=artg(x) apparaît-elle dans le régime (a) comme un élément constitutif de la surface z=artg( y/x) ou de la surface z=artg(y/x )+(x-1)y ou de la surface z=xy+artg(y).

4-Méthodologie

Nous avons choisi pour cette confrontation deux terrains d’expérience :
L’objet d’apprentissage fonctions numériques de la variable réelle : est-ce qu’il va prendre une forme inédite ?

Nous avons choisi pour cela deux fonctions y= artg(x) et y= ln(x)
La classe de mathématique : nous avons choisi pour cela trois activités adressées aux élèves de la 2ème année Baccalauréat scientifique.

4-1-Objectif du questionnaire adressé aux élèves

L’objectif du questionnaire est de savoir si les élèves peuvent retrouver la représentation et les propriétés de la fonction logarithme népérien à partir de la surface z=xy+ln(y).

4-2-Description du questionnaire 1 adressé aux élèves

Le questionnaire est composé de trois activités successives :

Activité 1 : On demande à l’élève de tracer de la surface z=xy+ln(y) en utilisant le logiciel Maple (programme donné par l’enseignant).

Activité 2 : On donne une technique pour tracer des courbes Ck tel que y=ln(x)+kx, kÎIR à partir des sections planes de la surface z=xy+ln(y) et on demande à l’élève de suivre la même technique pour tracer d’autres courbes Ck.

Activité 3 : On demande à l’élève de retrouver l’allure de la fonction y=ln(x) et les propriétés de la fonction logarithme.

Le tableau suivant résume le déroulement de ce questionnaire :

Activité Durée
ACTIVITE 1 15 min
CORRECTION ACTIVITE 1 5 min
ACTIVITE 2 15 min
CORRECTION ACTIVITE 2 5 min
ACTIVITE 3 15 min
CORRECTION ACTIVITE 3 5 min

Tableau 1 : Déroulement des activités

4-3-Description de la population

Ces activités sont proposées à 100 élèves de deux classes 2èmes année Baccalauréat scientifiques.

Branche Nombre d’élèves
Sciences mathématiques 20
Sciences expérimentales 30
Sciences techniques 50


Tableau 2 : nombre d’élèves par branche

Région Nombre d’élèves
Grand Casablanca 55
Tadla Azilal 25
Dokkala Abda 20

Tableau 3 : nombre d’élèves par région

5-Confrontation de l’outil proposé à la contingence

5-1-Etude de la surface z=artan(y/x )

Avec le programme :

with(plots) :

a :=plot3d(arctan(y/x),x=-6..-0.01,y=-6..6,color=x) ;

b :=plot3d(arctan(yx),x=0.01..6,y=-6..6,color=x) ;

display3d(a,b,axes=boxed, title=`artg(y/x)`) ;

On obtient les représentations suivantes selon différents angles de visions :

Figure 1 : Représentation 1 de la surface z=artg(y/x )


Figure 2 : Représentation 2 de la surface z=artg(y/x )

Les deux représentations qui suivent donnent une bonne vision sur l’allure de la famille de fonctions fk(x)=artg(x/k ), k ∈ IR*.


Figure 3 : Représentation 3 de la surface z=artg(y/x )


Figure 4 : Représentation 4 de la surface z=artg(y/x )

En effet, les deux figures 5 et 6 donnent les représentations z=artg(y/x ), avec x=k, k ∈ IR c’est-à-dire z= artg(y/x ), k ∈ IR*.

Visualisation animée de la famille de fonctions fk(x)=artg( x/k)

Avec le programme suivant :

with(plots) :

animate( plot,
arctan(x/k),x=-10..10,y=-1.6..1.6,color=blue,title="Représentation de la famille de fonction" arctan(x/k)"], k=-4..4 ) ;

On obtient une visualisation animée des fonctions fk(x)=artg(x/k ) avec k ∈ [-4,4].

Figure 5 : Représentation de la famille de fonctions fk(x)=artg(x/k) (k=2)


Figure 6 : Représentation de la famille de fonctions fk(x)=artg(x/k) (k=-4)

Sections planes de la surface z=artg(y/x )

Avec le programme :

With(Sturent[MultivariateCalculs]) :

CrossSection(artan(y/x), x=-4..4, x=-6..6, y=-6..6, z=-2..2, output=animation, planes=5) ;

On obtient :


Figure 7 : Capture écran Maple (CrossSection):surface z=artg(y/x)

La commande CrossSection donne une visualisation animée de l’intersection de la surface z= artg( ) avec le plan x=k, k Î[-4,4].
Les deux figures qui suivent montrent l’intersection de la surface z=artg( ) avec le plan x=k avec k>0 dans la figure 9 et k<0 dans la figure 8.


Figure 8 : Intersection de la surface z=artg(y/x) avec le plan x=k (k<0)

Figure 9 : Intersection de la surface z=artg(y/x) avec le plan x=k (k>0)

Représentation de la famille de fonctions fk(x)= artg(x/k ),k ∈ IR*

Si on coupe la surface z=artg(y/x ) selon le plan x=k, k ∈ R*, on obtient les courbes Ck des fonctions fk(x)=artg(y/k ).

Figure 10 : Représentation de la famille de fonctions fk(x)=artg(x/k)

5-2-Etude de la surface z= ln(y)+xy

Avec le programme :

with(plots) :

plot3d(ln(y)+x*y,x=-6..6,y=0.01..6,color=x) ;

On obtient les représentations suivantes selon différents angles de visions :

Figure 11 : Représentation 1 de la surface z=ln(y)+xy


Figure 12 : Représentation 2 de la surface z=ln(y)+xy

les deux représentions qui suivent donnent une bonne vision sur l’allure de la famille de fonctions fk</sub(x)=ln(x)+kx, k ∈ IR.

Figure 13 : Représentation 3 de la surface z=ln(y)+xy

Figure 14 : Représentation 4 de la surface z=ln(y)+xy

En effet, les deux figures 13 et 14 donnent les représentations z=ln(y)+xy avec x=k ,k ∈IR c’est-à-dire z=ln(y)+ky , k ∈IR

Visualisation animée de la famille de fonctions fk(x)= ln(x)+kx, k ∈ IR

Avec le programme suivant :

with(plots) :

animate( plot, [ln(x)+k*x,x=0.01..4,y=-4.5..2.5,color=blue,title="Représentation de la famille de fonction ln(x)+kx"], k=-4..4 ) ;

On obtient une visualisation animée des fonctions fk</sub(x)=ln(x)+kx avec k ∈ [-4,4].


Figure 15 : Représentation de la famille de fonctions fk</sub(x)=ln(x)+kx (k=2)

Figure 16 : Représentation de la famille de fonctions fk</sub(x)=ln(x)+kx (k=-4)

Sections planes de la surface z=ln(y)+xy

Avec le programme :

With(Sturent[MultivariateCalculs]) :

CrossSection(ln(y)+x*y x=-4..4, x=-4..4, y=0.01..4, z=-4.5..2.5, output=animation, planes=8) ;


Figure 17 : Capture écran Maple (CrossSection):surface z=ln(y)+xy

On obtient :


Figure 18 : Intersection de la surface z=ln(y)+xy avec le plan x=k (k>0)


Figure 19 : Intersection de la surface z=ln(y)+xy avec le plan x=k (k<0)

La commande CrossSection donne une visualisation animée de l’intersection de la surface z= ln(y)+xy avec le plan x=k, k ∈ [-4,4].

Ces deux figures montrent l’intersection de la surface ln(y)+xy avec le plan x=k avec k>0 dans la figure 18 et k<0 dans la figure 19.

¨Représentation de la famille de fonctions fk</sub(x)=ln(x)+kx, k ∈ IR

Si on coupe la surface z= ln(y)+xy selon le plan x=k, on obtient les courbes Ck des fonctions fk</sub(x)=ln(x)+kx.


Figure 20 : Représentation de la famille de fonctions fk</sub(x)=ln(x)+kx

6-Analyse des résultats et discussion

6-1- Conclusion relative au premier terrain d’expérience

Une lecture rapide des manuels scolaires actuels et passés montre l’absence de cette manière d’aborder la notion de fonction numérique.
Cette méthode utilise les TIC pour la visualisation des surfaces z=xy+f(y) et à partir d’une programmation sur un logiciel choisi (Maple), l’élève peut visualiser des sections planes de cette surface et une animation qui visualise la famille de fonction y=kx+f(x), k ∈ IR. Donc cela peut être considéré comme une nouvelle situation d’apprentissage pour la visualisation de la courbe d’équation y=f(x) (lorsqu’on prend k=0), et à partir de l’allure de la fonction l’élève établit les propriétés de la fonction choisie (domaine de définition, convexité, limites aux bornes, extremums, etc.)

6-2-Analyse des résultats du questionnaire et discussion

La première remarque est que sur les 60 élèves qui ont participé au test, 46 élèves ont réussi les trois activités. Lorsqu’ils ont attribué une place de nature spatiale à l’expression y=ln(x), ils ont facilement trouvé les propriétés de cette fonction, ce qui prouve que l’outil proposé est une méthode efficace pour présenter les fonctions et cela appuie l’utilité de la visualisation dans l’enseignement de l’analyse.

Les activités proposées aux élèves, nous montre aussi que :

  • Les élèves étaient très motivés lors de la manipulation de la surface sur Maple pour retrouver les propriétés des fonctions.
  • Les TIC jouent un rôle très important pour l’attribution d’une place de nature spatiale à une expression formelle codée, mais ce rôle est ignoré des pratiques scolaires.
  • Si on veut donner du sens au concept fonction, il est nécessaire de lui attribuer une place de nature spatiale, et de le voir comme section plane d’une surface.

Pour mieux profiter de ce nouvel outil nous pensons :

  • qu’il est nécessaire que les manuels scolaires de mathématiques contiennent des activités semblables à celle du questionnaire.
  • Que le calcul d’Assimilations et les TIC peuvent accompagner la dichotomie « sens/forme » dans l’enseignement d’un concept mathématique tel que le concept « fonction numérique de la variable réelle ».

Conclusion et perspectives

Au terme de cette recherche, Nous avons en particulier pu adapter le calcul d’Assimilations pour en faire un outil de présentation du concept « fonction numérique de la variable réelle ». Ainsi avons-nous établi, par exemple, la possibilité pour l’élève de retrouver les propriétés d’une fonction y=f(x) à partir de sa visualisation avec le logiciel Maple qui permet de voir la fonction y=f(x) comme une section plane d’une surface z=xy+ln(y).

Nous avons proposé une nouvelle méthode pour présenter une fonction aux élèves du Baccalauréat. Une lecture rapide des manuels scolaires actuels et passés montre l’absence de cette manière d’aborder la notion de fonction numérique de la variable réelle.

Cette méthode est très motivante et d’après les expériences qu’on a fait dans les classes, les résultats étaient encourageantes et l’élève sera capable de visualiser une famille de fonction y= kx+f(x), kÎIR et en particulier la fonction logarithme. A partir de cette visualisation, il déduit les propriétés de la fonction tel que domaine de définition, convexité, croissance, limites aux bornes …

D’autres situations d’apprentissages des fonctions telles que la fonction exponentielle feront l’objet de futures recherches.

Peut-on affirmer que l’outil proposé, basé sur le calcul d’Assimilations et les TIC est à même de corriger le fonctionnement actuel du système d’enseignement et de donner au sens et à la forme du concept « fonction » la place qui leur est due ?

Les quelques expériences que nous avons menées auprès des classes de mathématiques donnent des signes encourageants dans ce sens, mais il faut multiplier ce genre d’expériences avant de confirmer définitivement la tendance ainsi engagée.

Bibliographies
- BALACHEFF N., GAUDIN N. (2002) Students conceptions : an introduction to a formal characterization. Cahier Leibniz, Numéro 65, Publication de Université Joseph Fourrier. http://halshs.archives-ouvertes.fr/hal-00190425_v1/

- BLOCH I. (2003) Teaching functions in a graphic milieu : what forms of knowledge enable students to conjecture and prove. Educational Studies in Mathematics. Vol52. pp 3-28.

- COPPE S., DORIER J.-L., YAVUZ I. (2007) De l’usage des tableaux de valeurs et des tableaux de variations dans l’enseignement de la notion de fonction en France en seconde. Recherche en Didactique des Mathématiques. Vol 27 (2). pp 151-186.

- DUVAL R. (1991) Registres de représentation sémiotique et fonctionnement cognitif de la pensée. Annales de didactique et de sciences cognitives. Vol 5. pp 37-65.

- Duval, R. (1991). Structure du raisonnement déductif et apprentissage de la démonstration.
Educational Studies in Mathematics, 22-3, 233_261.

- RAFTOPOULOS A., PORTIDES, D. (2010) Le concept de fonction et sa représentation spatiale, dans symposium Franco-Chypriote« Mathematical Work Space », 201-214, Paris, France

- ROGALSKI , M. (2008). Les rapports entre local et global : Mathématiques, rôle en physique élémentaire, questions didactiques. In L. Viennot (Ed.), Didactique, épistémologie et histoire des sciences (pp. 61-87). Paris : PUF.

- GUITART, R. (2003). Calcul d’assimilations, modalités et analyse d’images. In J. Boniface (ed.), Calculs et formes de l’activité mathématique (pp. 75-89). Paris : ellipse

- Tall D. (1991). The psychology of advanced mathematical thinking. In D. Tall (Ed.), Advanced Mathematical Thinking (pp. 3-24). Dordrecht : Kluwer Academic Publishers.

- THOM, R. (1974).Les mathématiques modernes et mathématique de toujours in pourquoi la mathématique édition 10/18

- THOM, R. (1980).Modèles mathématiques de la morphogenèse. Paris : Christian Bourgeois Editeur


notes

[1Laboratoire de Technologie de l’Information et Modélisation (Observatoire de Recherches en Didactique et Pédagogie Universitaire) Faculté des Sciences Ben M’Sik, Université Hassan II-Mohammedia, Casablanca,Maroc, nachitbrahim@yahoo.f

[2Laboratoire de Technologie de l’Information et Modélisation(TIM), Faculté des Sciences Ben M’Sik, Université Hassan II-Mohammedia, Casablanca, Maroc

[3Cellule d’Observation et de Recherche en Enseignement des Sciences et Techniques (COREST), Centre Régional des Métiers de l’Education et de la Formation Derb Ghalef, Casablanca, Maroc

[4Observatoire de Recherches en Didactique et Pédagogie Universitaire (ORDIPU), Université Hassan II-Mohammedia, Casablanca, Maroc

[5Observatoire de Recherches en Didactique et Pédagogie Universitaire (ORDIPU), Université Hassan II- Mohammedia, Casablanca, Maroc

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