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Pyramides et pyramides à degrés
Moteur de recherche
Mis en ligne le 6 octobre 2017, par Patrice Debrabant

Dans cet article, on va s’intéresser aux pyramides et aux pyramides à degrés.
L’objectif est de les modéliser selon différents points de vue. On utilisera différents logiciels : tableur, Scratch, DGPad et CaRMetal.
Le sujet pourrait donner lieu à un EPI.

I) Introduction

Une pyramide à degrés est un polyèdre ayant globalement l’allure d’une pyramide, mais ayant des faces en forme d’escalier. On peut considérer qu’elle est constituée de pavés droits empilés.

pyramide maya de Kukulcan

Les pyramides à degrés ont servi de construction funéraire pour les anciens Égyptiens et de temple solaire pour les peuples précolombiens.

Dans l’Egypte antique, la pyramide à degrés est un stade intermédiaire de l’évolution des pyramides, dont le stade ultime est la pyramide à faces lisses.

pyramides de Gizeh
pyramide de Khéphren

On veut étudier ici une pyramide régulière à base carrée de hauteur 12 m et dont la base est un carré de 12 m de coté. Cette pyramide sera approchée par des pyramides à degrés.

On peut ainsi construire une maquette à l’échelle 1/100 d’une de ces pyramides à degrés en empilant des pavés droits en carton d’épaisseur 5 mm et ayant pour base un carré de longueur 12 cm, 11.5 cm, ….


Exercice 1 : Volume de la pyramide (approché par le volume d’une pyramide à degrés)

Dans cet exercice, on veut calculer le volume de cette pyramide sans utiliser la formule du volume d’une pyramide.

A) Avec un tableur

1) Le premier pavé droit en carton a pour base un carré de 12 cm de côté et pour hauteur 5 mm.
Calculer le volume de ce pavé droit.

2) Pour les pavés droits suivants, on diminue le côté de 5 mm et on garde une hauteur de 5 mm.
On utilise la feuille de calcul suivante pour calculer rapidement les volumes de ces pavés droits :


a) Quelle formule a-t-on saisie en A3 et C2, puis recopiées vers le bas ?

b) Réaliser cette feuille de calcul, puis la modifier pour trouver le volume de la pyramide à degrés.

c) En déduire une valeur approchée du volume d’une pyramide régulière de hauteur 12 m à base un carré de 12 m de côté.

d) Comment améliorer la précision de cette valeur approchée ?
Appliquer la méthode et obtenir une valeur approchée plus précise du volume de la pyramide.

OpenDocument Spreadsheet - 16.5 ko
Solution

B) Avec Scratch

La méthode présentée dans la partie A peut être appliquée plus efficacement avec un logiciel de programmation. On va commencer par le faire avec Scratch.

1) Ecrire un programme Scratch qui calcule la valeur approchée du volume en utilisant des pavés droits d’épaisseur 0,5 cm et vérifier que l’on obtient la même valeur qu’avec le tableur.

Indications : créer une variable cotéDeBase et une variable volume.
Au départ :
cotéDeBase = 12 et volume = 0.
Faire évoluer ces deux variables pour obtenir au final : cotéDeBase = 0 et volume = …

2) Modifier le programme pour obtenir une valeur très précise du volume.

Scratch - 53.6 ko
Solution

C) Avec CaRMetal

On fait pareil qu’à la partie A, mais dans un langage de programation en ligne (Javascript).

1) Lancer CaRMetal, puis créer un nouveau script (menu).
Ecrire un programme en Javascript qui calcule la valeur approchée du volume en utilisant des pavés droits d’épaisseur 0,5 cm et vérifier que l’on obtient la même valeur qu’avec Scratch.

2) Modifier le programme pour obtenir une valeur plus précise du volume.

CarMetal - 653 octets
Solution

Exercice 2 : Représentation en perspective cavalière de la pyramide à faces lisses

pyramide du Louvre

A) Avec CaRMetal

Construire la représentation en perspective cavalière de la pyramide.
On peut choisir des sommets dont les coordonnées sont évidentes.

CarMetal - 21.5 ko
Solution

B) Avec DGPad

Etapes 1, 2, 3 pour tracer le repère, puis les points sont entrés à l’aide de la calculatrice sous forme d’un « tableau » (= en utilisant les crochets).
On construit ensuite les arêtes (segments).

Solution


Exercice 3 : Représentation en perspective cavalière de la pyramide à degrés

pyramide à degrés de Djéser

A) Avec CaRMetal

On utilise la tortue dynamique.

Indication :

CarMetal - 19.5 ko
Solution

B) Avec DGPad

Indication : on peut utiliser une fonction récursive.

Solution

Avec DGPad, on peut avoir des boucles dynamiques. (Par rapport à CaRMetal, on a plus de possibiltés, mais le code du script peut être considéré un peu moins « pur »).
Construire une pyramide à degrés avec un curseur e pour l’épaisseur d’une marche.

pyramide maya Tikal

Solution


Exercice 4 : Construire le patron dépliable de la pyramide à faces lisses

On va faire un patron en étoile, et on commence par calculer l’angle de pliage (angle dièdre entre la base et une face latérale).
Un chouïa de trigonométrie montre que cet angle est égal à arctan(2).
On crée donc un curseur pliage variant entre 0 et 180 − arctan(2).

On calcule ensuite la longueur l des arêtes latérales.
Un chouïa de théorème de Pythagore montre que $l=12\sqrt{\dfrac{3}{2}}$

On peut en déduire les angles des face latérales (triangles isocèles) :

angle à la base = $arccos(\dfrac{1}{\sqrt{6}})$

angle au sommet = $180-2.arccos(\dfrac{1}{\sqrt{6}})$

A) Avec CaRMetal

Construire le patron dépliable est presque une formalité avec la tortue dynamique mutante.
On peut commencer par faire un script pour un patron non repliable :

Première approche :

Puis on finalise le script :

On obtient une version fil de fer du patron dépliable, que l’on peut compléter dans l’interface générale en construisant les polygones :

CarMetal - 4.6 ko
Solution

B) Avec DGPad

On procède comme avec CaRMetal, à ceci près qu’il faut gérer le remplissage des polygones (et les contours) dans le script, ce qui complique un peu celui-ci.
Comme on a un retour visuel immédiat de l’orientation de la tortue, on peut partir sur un repérage initial « absolu » (= un seul point initial, créé dans l’interface générale).

On crée un repère 3D, on crée le point initial, et dans son onglet tortue on renseigne le script suivant :

Et on obtient la figure dynamique suivante :

Solution


Exercice 5 : Construire le patron dépliable de la pyramide à degrés

Bien que l’on semble proche du kirigami, il s’agit « simplement » d’un patron de polyèdre.
On va le faire en utilisant la tortue.

A) Avec CaRMetal

On programme une fonction qui construit une face latérale, et on l’applique aux quatre côtés. Voici le script :

et la figure obtenue :

CarMetal - 4.7 ko
Solution

B) Avec DGPad

La méthode choisie ici consiste à le faire pour une face latérale en construisant une fonction faceLat, puis à copier-coller ce code de fonction pour le réutiliser aux trois autres sommets.

Solution

Ce script peut être adapté comme précédemment pour ajouter un curseur dynamique pour l’épaisseur de chaque tranche ou le nombre de celles-ci.

Solution

On pourra noter l’incroyable robustesse de DGPad et son potentiel créatif.

Pour finir, voici une version Libre Office de l’article :

OpenDocument Text - 5.7 Mo

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