Xcas, calcul formel (ou algébrique) et géométrie dynamique au lycée
Introduction
XCAS existe depuis quelques années mais est très mal connu au lycée car sa puissance fait peur. XCAS permet en effet de traiter des problèmes très sophistiqués, mais, ce qu’on passe souvent sous silence, des problèmes très simples qui permettent par exemple d’initier des élèves de l’école primaire à la programmation !
Nous commencerons en abordant la géométrie dynamique au lycée car c’est un domaine où une comparaison avec les logiciels massivement utilisés par les professeurs du secondaire est possible, ce qui n’est pas le cas du calcul formel, de la programmation et surtout la possibilité d’associer les trois plus le tableur qui constitue une des grandes forces de XCAS.
Nous poursuivrons par un sujet de l’épreuve pratique de Terminale S qui défraie la chronique actuellement et effraie nombre de collègues.
Nous traiterons ensuite un problème que ni un logiciel de géométrie classique, ni un tableur ne peuvent traiter et qui est pourtant très intéressant mathématiquement.
Nous finirons par un exemple de TP donné en Terminale S et qui utilise un soupçon d’algorithmique.
XCAS et la géomérie dynamique au lycée
Un argument souvent soulevé par ses détracteurs est que XCAS fonctionne principalement en ligne de commande. Notre expérience avec les élèves nous incite à dire qu’il ne s’agit pas d’un inconvénient mais plutôt d’un avantage pour eux : les élèves de nos classes sont en effet habitués à dialoguer via leur ordinateur sur les sites de messagerie instantanée. Le petit bémol qu’on pourrait apporter est qu’avec XCAS, il ne faut pas faire de fautes d’orthographe !
Les commandes sont de plus en français et adaptées aux besoins des élèves français car créées par des professeurs de l’Institut Joseph FOURIER de l’Universite Joseph FOURIER de Grenoble et testées grâce à l’IREM de Grenoble. Que dites-vous de :
parallele, droite, segment, aire, longueur, angle, resoudre, graphe, cercle, circonscrit, simplifier, factoriser, fonction_derivee,symetrie, projection,... ?
Le mode de construction d’une figure et de résolution du problème correspond de même à la démarche suivie par l’élève sur sa feuille de papier.
Pour illustrer notre propos, considérons par exemple le problème classique suivant donné en classe de Seconde :
Commençons par ouvrir une fenêtre de géométrie en tapant simultanément sur Alt et g puis définissons les points A et B dans un repère judicieusement choisi. On utilise point(x,y) ( ou même point(z) pour les terminales ) :
A :=point(0,0) // plaçons A
B :=point(0,-4) // plaçons B tel que AB=4 en laissant le 1er quadrant libre pour y tracer la courbe à la fin de la séance
Définissons ensuite le point C tel que le triangle ABC soit direct, rectangle en A et que l’on ait
à l’aide de la commande triangle_rectangle :
triangle_rectangle(A,B,3/4,C)
Créons maintenant un réel quelconque de [0 ;3] que l’on puisse faire varier à la souris à l’aide de la commande assume(t=[valeur de départ,mini,maxi]) :
assume(t=[1,0,3])
Définissons maintenant le point M d’abscisse variable t :
M :=point(t,0)
Pour définir N, commençons par définir la perpendiculaire en M à la droite (AC). La syntaxe est tout à fait naturelle grâce à perpendiculaire(Point,Droite). C’est bien ce que l’élève doit tracer sur sa feuille de papier pour tracer le rectangle :
d :=perpendiculaire(M,droite(A,C))
Définissons ensuite N comme l’intersection de d et (BC) grâce à inter_unique :
N :=inter_unique(d,droite(B,C))
Pour obtenir P, nous commençons par définir la parallèle à (AC) passant par N à l’aide de parallele(Point,Droite) :
D :=parallele(N,droite(A,C)) ;
puis l’intersection de D et 
:
P :=inter_unique(D,droite(A,B))
Il ne reste plus qu’à définir le rectangle APNM grâce à la commande polygone :
R :=polygone(A,P,N,M)
et à dessiner le rectangle dépendant du paramètre t :
couleur(R,jaune+rempli)
En faisant varier t à la souris, le rectangle bouge .
Définissons maintenant l’expression de l’aire du rectangle dépendant de t. Appelons-la par exemple Surf :
Surf :=aire(R)
Donnons son expression simplifiée :
simplifier(Surf)
qui répond :
Définissons le point X de la courbe représentative de la fonction associée d’abscisse t :
X :=point(t,Surf)
Traçons enfin la courbe représentative de la fonction associée à l’aide de la commande graphe :
graphe(Surf,t=0..3,couleur=bleu)
Voici une visualisation statique :
XCAS et les suites
Il existe principalement deux types de sujets proposés pour l’épreuve expérimentale du Bac S : les problèmes que peuvent traiter les logiciels de géométrie dynamique que nous venons d’étudier et l’étude de suites à l’aide du deuxième pilier de l’Éducation Nationale, le tableur.
Nous allons donc nous intéresser à ce deuxième type de sujet. Voici par exemple le sujet 5 de la banque d’exercices de 2007 :
ɉtude de la suite
pour a et b donnés : convergence et valeur de la
limite.
On supposera par la suite que 
. En effet, dans le cas contraire,
: la suite
est donc arithmétique et ne mérite pas une étude poussée...
On construit une procédure donnant 
en fonction de a, b et le premier terme 
. On traite le cas n=0 pour initialiser. Ensuite il suffit de rentrer
l’expression de
en fonction du terme précédent :
u(n,a,b,uo) :=
si n==0 alors return uo ;
sinon a*u(n-1,a,b,uo)+b ; // C’est-à-dire u(n)=a*u(n-1)+b
fsi
: ;
Par exemple, pour a=0,7, b=1 et 
, en tapant :
u(100,.7,1,1) ;u(500,.7,1,1) // le 100-ème et le 500-ème terme
on obtient :
3.333333333,3.333333333
Et pour a=-1/2, b=1 et
, en tapant :
u(100,-0.5,1,1) ;u(500,-0.5,1,1)
on obtient :
0.6666666667,0.6666666667
|
REMARQUE : on peut préférer fixer a,b et uo hors de la procédure et définir u de manière plus
standard ainsi :
u(n) := et alors :
a :=0.7 |
On a l’impression d’avoir de sérieux candidats pour la valeur de la limite. Pour confirmer cette intuition, représentons graphiquement les premiers
termes de la suite. On crée une séquence S de coordonnées, vide au départ, et à laquelle on ajoute les points coordonnées 
pour k variant
de 0 à n :
AffSuite(n,a,b,uo) :=
local S,k ;
S :=NULL ; // S est vide au départ : il n’y a pas encore de points
affichage(point_carre+rouge) ; // pour l’esthétique...
pour k de 0 jusque n pas 1 faire
S :=S,point(k,u(k,a,b,uo)) ; // on rajoute le point de coordonnées $(k,u_k)$ à notre liste
fpour
On affiche les valeurs de la suite ainsi que la limite présumée issue de notre calcul :
AffSuite(20,-.5,1,1),graphe(0.66666667,x=0..20,couleur=bleu)
et on obtient pour a=0,7, b=1 et
:
et pour a=-1/2, b=1 et
:
Notre intuition est confortée.
|
REMARQUE : cette manière de procéder peut sembler naturelle et proche d’une démarche « papier-crayon », mais n’est pas optimale informatiquement. On peut, pour la culture des élèves, évoquer le problème crucial de la complexité d’un algorithme. En effet, dans AffSuite, on recalcule u(k,a,b,uo) à chaque tour de boucle : pour aller
jusqu’au rang n, on effectue donc
On dit que la complexité de l’algorithme est de l’ordre de Voici une manière plus « informatique » et efficace de procéder :
AffSuiteBis(n,a,b,u0) := On effectue n calculs pour avoir AffSuiteBis(n,a,b,uo) : la complexité est maintenant de l’ordre de n. Le problème de la complexité est ici accessoire car dans les deux cas l’ordinateur effectue ces calculs simples très rapidement. Cependant, quand les algorithmes sont plus sophistiqués, cela peut permettre de sauver beaucoup de temps. On peut même évoquer le système RSA qui assure la sécurité des transactions sur internet ou bancaire et dont la sécurité est basée sur la complexité informatique du cassage du code théoriquement possible mais hors du temps humain pour l’instant. |
Revenons à présent à notre problème.
Nous pouvons aussi remarquer que
, avec f(x)=ax+b.
Nous pouvons représenter la suite directement avec la fonction XCAS plotseq((f(x),u(0),n) :
plotseq(0.7*x+1,1,10)
qui affiche un graphe que les élèves de terminales savent interpréter :
Le candidat pour la limite semble être l’intersection des droites d’équations y=ax+b et y=x. On obtient la solution avec resoudre(équation,inconnue) :
resoudre((7/10)*x+1=x,x)
On obtient :
Il ne reste plus qu’à le démontrer...
Soit p la solution de ax+b=x. Elle existe bien car on a supposé
.
Alors, en effectuant la différence membre à membre de
et 
, on obtient :
Donc la suite 
est géométrique de raison a et de premier terme 
.
On obtient donc
Vérifions :
expu(n,a,b,uo) :=
local p,c ;
p :=resoudre(a*x+b=x)[0] ; // la solution de l’équation
c :=simplifier(uo-p) ; // on simplifie l’écriture de u0-p
return(c*a^n+p) // on renvoie (uo-p)*a^n+p
: ;
Par exemple, toujours avec a=0,7, b=1 et
:
expu(n,7/10,1,1)
On obtient :
Comparons maintenant les graphes :
AffSuite(20,7/10,1,1),graphe(expu(x,7/10,1,1),x=0..20,couleur=bleu)
Et voilà...Nous pouvons même nous payer le luxe de vérifier que expu vérifie la formule de
récurrence initiale dans le cas général, c’est-à-dire pour a, b,
quelconques !
Ce confort n’est bien sûr possible qu’avec un logiciel de calcul formel...
expu(n+1,a,b,uo)-(a*expu(n,a,b,uo)+b)
donne :
Oups...
simplifier(ans()) // simplifie le résultat précédent
qui renvoie bien 0.
C’est mieux ! Nous pouvons aller jusqu’à calculer la limite de la suite dans le cas général :
limite(expu(n,a,b,uo),n,+infinity)
Mais XCAS ne sait que répondre...il faut bien sûr distinguer les cas :
assume(a>0) and assume(a<1) ; // 0<a<1
limite(expu(n,a,b,uo),n,+infinity)
donne :
et dans le cas a>1 :
assume(a>1) ;
limite(expu(n,a,b,uo),n,+infinity)
on obtient : infinity
Ainsi, XCAS nous permet non seulement d’observer le résultat mais surtout de le démontrer grâce à ses facultés de calcul formel. Nous allons illustrer plus précisément ce point dans le paragraphe suivant.
Preuve d’un théorème
Les coniques ne sont plus au programme de terminale mais sont encore sources d’activités. Nous allons ici nous occuper d’un théorème concernant le tracé de la tangente à une conique et le prouver à l’aide de XCAS ce qui n’est possible qu’avec un logiciel de calcul formel.
Le théorème initial est le suivant :
|
Construction de la tangente à une conique
Soit |
Nous allons adapter l’énoncé au cas d’une demi-ellipse définie à l’aide d’une fonction :
|
ÉNONCÉ
Notons |
Nous pouvons bien sûr commencer par illustrer des cas particuliers en prenant un point mobile sur 
et en observant
que la propriété reste vérifiée.
Nous allons sauter cette étape, notre propos étant de montrer comment un logiciel de calcul formel permet non seulement d’illustrer mais aussi de prouver un théorème général.
Nous commençons par définir la fonction f :
f :=x->b*sqrt(1-(x^2/a^2)) : ;
Nous allons ensuite considérer un point quelconque de
d’absisse t, avec
:
assume(a>0) : ; assume(t>-a) and assume(t<a) : ; M :=point(t,f(t)) : ;
Pour définir la tangente d à
en M, nous allons introduire la fonction dérivée de f que nous
noterons fp. Nous utiliserons les commandes XCAS abscisse et ordonnee qui
renvoient l’abscisse et l’ordonnée d’un point bien sûr, et la commande droite qui permet de définir
une droite de multiples façons ( par une équation, deux points, comme intersection de deux plans, une représentation paramétrique,... ). Nous la définirons ici par l’équation classique
:
fp :=fonction_derivee(f) : ; d :=droite(y=fp(abscisse(M))*(x-abscisse(M))+ordonnee(M)) : ;
|
Mode « muet »
Vous noterez que chaque ligne de commande se termine par : ; ce qui indique à XCAS
qu’il doit évaluer cette ligne mais sans renvoyer de résultat. En effet, aucun tracé ne peut être effectué
pour l’instant car aucune valeur numérique n’est affectée aux paramètres a, b et t.
|
Il reste à définir le point F et la droite D :
F :=point(sqrt(a^2-b^2),0) : ;
D :=droite(x=a^2/sqrt(a^2-b^2)) : ;
Le point T est l’intersection des droites d et D.
On utilise la commande inter_unique(ensemble1,ensemble2) :
T :=inter_unique(d,D) : ;
Il ne reste plus qu’à calculer le produit scalaire
à l’aide de scalar_product.
scalar_product(vecteur(M,F),vecteur(T,F))
|
Calcul vectoriel
Un vecteur pour XCAS est une liste de coordonnées entre deux crochets tout comme l’est un point.
L’opération scalar_product(affixe(M)-affixe(F),affixe(T)-affixe(F)) On peut également demander à Bernard PARISSE de créer une commande vecteur(M1,M2) synonyme de M2-M1 pour l’ordinateur mais moins choquante pour les élèves. C’est ce que j’ai fait...et obtenu une heure plus tard ! Encore un point fort de XCAS... |
Ainsi :
scalar_product(vecteur(F,M),vecteur(F,T))
qui donne :
Ouh la la...Voici un calcul qui a de quoi déprimer n’importe quel élève de lycée. Heureusement, nous pouvons faire faire « le sale boulot » à XCAS grâce à la commande simplifier et se concentrer sur le problème géométrique sans être gêné par les difficultés de calcul algébrique.
Cette fois-ci :
simplifier(scalar_product(vecteur(M,F),vecteur(T,F))
renvoie bien 0, ce qui prouve notre théorème car les calculs ont été effectués dans le cas général.
Illustration graphique
Pour observer ce phénomène en géométrie dynamique, il suffit d’ouvrir une fenêtre de géométrie en tapant Alt-g puis en définissant a, b et t comme étant des paramètres que nous ferons varier à la souris :
a :=element(0..5)
b :=element(0..a)
t :=element(-a..a)
le reste des instructions restant inchangé. On obtient :
Bilan de cette activité
Nous voici donc en mesure de tracer n’importe quelle tangente à une ellipse à l’aide d’une équerre puisqu’il suffit de tracer la perpendiculaire à (MF) en M puis l’intersection T de cette droite avec une directrice : la tangente est la droite (TM).
Il s’agit d’un problème géométrique. L’ordinateur nous permet de prouver ce théorème en se dispensant de passer trop de temps dans des calculs algébriques compliqués : nous restons dynamiques mathématiquement sans être perturbés par l’aquisition d’une virtuosité algébrique ou informatique. Les instructions données correspondent à la démarche mathématique. Nous avons fait des mathématiques et très peu d’informatique en somme. Nous nous sommes concentrés sur le raisonnement et l’ordinateur nous a permis de ne pas nous perdre dans les calculs.
Le travail avec un calculateur formel est donc la continuation logique du travail avec une calculatrice usuelle, mais en offrant beaucoup plus de posibilités bien sûr.
Approximation affine
On s’intéresse aux fonctions 
dérivables sur 
satisfaisant la condition
pour tout 
,
avec 
un réel arbitrairement fixé.
On va tenter, dans cette section, d’obtenir une approximation de l’allure de la courbe représentative d’une solution de (1).
On va pour cela considérer que pour 
« suffisamment petit » et pour tout réel 
,
.
Montrez alors que
.
Subdivision
Pour obtenir ce tracé, nous allons choisir un réel
, un segment
, nous allons fixer
l’image de
par
pour avoir une solution unique de (1) dans un premier temps.
Nous allons subdiviser le segment
en N segments de même longueur : quelle sera la
longueur de chaque petit segment ?
Tracé d’une ligne brisée
Ouvrons une fenêtre de géométrie en tapant simultanément sur Alt et g.
On définit un point dont on connaît les coordonnées avec la commande point :
A :=point(1,2) ;
B :=point(3,-1) ;
C :=point(4,5) ;
On relie ces points par des segments de droite grâce à la commande polygone_ouvert(liste de points) :
polygone_ouvert(A,B,C)
Tracé en boucle
Oublions pour un temps notre problème et voyons comment nous pourrions tracer « point par point »
sur
la courbe représentative d’une fonction 
vérifiant :
pour tous réels distincts
et 
de
et 
.
On peut par exemple subdiviser le segment
en segments de longueurs 0,25 et réfléchir au moyen d’obtenir les images par
de
chacune des extrémités des segments de la subdivision.
Il suffit de penser que
, c’est-à-dire
.
On peut donc calculer 
si l’on connaît 
.
On va donc partir du point de coordonnées
et obtenir de proche en proche les
coordonnées de plusieurs points de la courbes en faisant des petits sauts de 0,25 et en s’arrêtant à
3 :
S :=NULL ; // on crée une suite de points vide au départ
X :=-3 ; // au départ X vaut -3
Y :=-1 ; // au départ Y vaut -1
tantque X<=3 faire // tant que s’écrit tantque en XCAS
S :=S,point(X,Y) ; // on rajoute le point de coordonnées (X,Y) à notre liste
X :=X+0.25 ; // on avance de 0,25 à chaque tour de boucle
Y :=0.5+Y ; // on sait que g(X+0,25)=0,5+g(X)
ftantque : ; // f comme fin de la boucle
polygone_ouvert(S) ; // on relie les points de la liste S à la règle
et on découvre sans surprise qu’il s’agit d’un segment de droite.
Procédure
Cela fonctionne pour ce cas particulier mais ça devrait aussi « marcher » si l’on change les valeurs du pas, du coefficient directeur, des bornes de l’intervalle de définition, de l’image de la borne inférieure de cet intervalle.
On a donc envie de créer un fonction informatique, une procédure, qui reprend cette méthode mais dans le cas général, avec des coefficients quelconques qu’on donnera à l’ordinateur. On crée ainsi une sorte de fonction de plusieurs variables.
Notons donc h le pas, m le coefficient directeur,
l’intervalle de définition et yo
l’image de a.
Donnons également un nom à notre procédure, par exemple TraceAffine.
On va ouvrir une fenêtre de programmation en tapant Alt p :
TraceAffine(h,m,a,b,yo) := // on précise quels sont les variables de notre procédure
S :=NULL ; // on crée toujours une suite de points vide au départ
X :=a ; // au départ X vaut a cette fois
Y :=yo ; // au départ Y vaut yo
tantque X<=b faire // on s’arrête à X=b
S :=S,point(X,Y) ; // on rajoute le point de coordonnées (X,Y) à notre liste
X :=X+h ; // on avance de h à chaque tour de boucle
Y :=h*m+Y ; // on sait que g(X+h)=h*m+g(X)
ftantque : ; // f comme fin de la boucle
polygone_ouvert(S) ; // on relie les points de la liste S à la règle
: ; // on termine la procédure en fermant l’accolade
Pour valider, on clique sur OK.
Pour exécuter cette procédure, on place le curseur sur une ligne de commande.
Par exemple, pour retrouver le cas précédent, on rentre :
TraceAffine(0.25,2,-3,3,-1)
À vous de jouer
Vous êtes maintenant armés pour adapter ce que nous venons de voir à la méthode d’Euler sachant que
cette fois
comme nous l’avons vu au premier paragraphe.
Construisez donc une procédure Euler(h,k,a,b,yo)...
Estimation de l’erreur
Nous avons vu en cours que la solution de l’équation différentielle 
avec 
s’appelle
la fonction exponentielle qui se note exp pour XCAS.
Nous avons utilisé une approximation pour obtenir son tracé par la méthode d’Euler. Il est bien sûr primordial d’avoir un ordre de grandeur de l’erreur commise.
Nous avons écrit que
.
Créons alors une fonction Exp(h,x) qui donne une approximation de 
pour un h donné.
Il suffit d’utiliser la procédure précédente en ôtant la partie concernant le tracé et en prenant 
, 
,
:
Exp(h,x) :=
X :=0 ;
Y :=1 ;
tantque X<=x faire
X :=X+h ;
Y :=(1+h)*Y ;
ftantque : ;
: ;
Par exemple, on peut comparer Exp(h,1) et 
pour des valeurs successives de h entre
0,1 et 0,0001, puis en prenant d’autres valeurs de 
.
ɉtudiez le rapport
pour différentes valeurs de
.
Que pensez-vous de l’approximation ?
On peut visualiser l’erreur commise en créant une fonction erreur :
erreur(x) :=(1-Exp(0.01,x)/evalf(exp(x)))*100
Puis en créant la suite des points de coordonnées (x,erreur(x)) pour x variant de 0 à 100 avec un pas de 1.
La commande seq comme séquence0.1 permet de créer cette suite de valeurs :
seq(point(x,erreur(x)),x=0..100)
Des commentaires ?
Moralité...
On reproche souvent à l’utilisation de l’informatique au lycée d’exister pour elle-même et de semer la confusion dans les esprits des élèves en les incitant à confondre observation et preuve.
On peut également remarquer que sur les 97 propositions de sujets pour l’épreuve expérimentale du Bac S 2008, les domaines traités couvrent une très petite partie du programme du Bac : essentiellement les suites, la géométrie, voire un peu de probabilités.
Ces reproches sont souvent justifiés compte tenu des limitations des logiciels promus officiellement : le tableur et les logiciels de géométrie dynamique, par essence, ne permettent que d’observer des données numériques ou géométriques et ne peuvent élaborer une preuve générale, ce que peut faire un logiciel de calcul formel. Ils ne peuvent non plus aborder le calcul différentiel, intégrale, algébrique que de manière numérique ou expérimentale et donc passent à côté de la plus grande partie du programme de terminale S.
D’un autre côté, on reproche aux logiciels de calcul formel d’être trop compliqués à utiliser au lycée. Nous venons de voir que c’est injustifié et qu’au contraire travailler en ligne de commande et ainsi dialoguer naturellement avec l’ordinateur peut en fait être beaucoup plus simple que de naviguer dans des menus, sous-menus et autres sous-sous-menus d’icônes à cliquer.
Enfin, de manière plus précise, le logiciel XCAS semble être particulièrement adapté au lycée car il permet à la fois de faire du calcul formel, de la géométrie dynamique, du tableur et est largement francisé.
Il resterait à parler de l’initiation à la programmation qui devrait faire partie du bagage minimum fourni aux élèves des sections scientifiques ( ce qui est le cas dans de nombreux pays européens ) et qui peut être également abordée grâce à XCAS dès la seconde comme j’en ai fait l’expérience depuis plusieurs années dans mes classes...et même dès l’école primaire grâce à la Tortue de XCAS, mais ceci est un autre problème qui sera abordé dans un prochain article...
Annexe : quelques conseils avant de commencer
Si vous êtes un peu perdu(e) pour commencer, une aide multiple est variée est accessible un peu partout :
- vous pouvez commencer par consulter l’aide fournie avec votre installation en allant dans le menu Aide. Par exemple, pour les soucis d’interface, vous allez dans Aide->interface. Tout est en français et au format html ;
- vous pouvez posez une question sur le forum dédié à XCAS : Aide->Internet->Forum ;
- vous pouvez me poser une question directement par courrier électronique...
Quelques conseils néanmoins pour éviter les pièges habituels ( il ne s’agit que de quelques petites trucs usuels. N’hésitez pas à poser des questions si des problèmes subsistent ) :
- lors de l’installation, on vous demande quel niveau vous souhaitez : choisissez Universite. Si vous avez déjà installé XCAS, allez dans Cfg->configuration générale->niveau->université puis cliquez sur sauver. Ainsi, à chaque démarrage, vous aurez une fenêtre normale. Vous pouvez également configurer la taille de la police, les couleurs ;
- il est souvent utile de passer à la ligne sans valider l’instruction : on appuie simultanément sur Shift et Enter ;
- vérifiez si vous n’avez pas oublié une lettre, mis un accent, une mauvaise ponctuation ;
- si l’on veut supprimer une ligne, on clique sur son numéro qui apparaît alors sur fond noir puis on va sur Edit->supprimer les niveaux selectionnes ;
- lorsque vous voulez rentrer une procédure, il vaut mieux ouvrir une fenêtre de programmation
en tapant simultanément sur Alt et p. Ce n’est pas obligatoire, mais cela permet de
faire tester son code par XCAS sans mettre en péril le reste de la session. On clique sur OK pour valider son programme. De plus,
vous profitez ainsi de la coloration syntaxique de l’éditeur qui met en valeur les
mots-clés : vous trouverez à la page suivante un aperçu de ce que cela donne pour un des
programmes de l’étude de la méthode d’Euler vue à la
section précédente et un autre du début de l’étude d’une suite récurrente.
On remarquera sur ces captures d’écran que l’on peut commenter son code, c’est-à-dire donner
quelques explications qui ne seront pas évaluées par XCAS mais utiles au lecteur
éventuel : les commentaires apparaissent en vert à la suite de
//; On peut aussi commenter dans une céllule à part en tapant simultanément sur Alt et c :
Ces reproches sont souvent justifiés compte tenu des limitations des logiciels promus officiellement : le tableur et les logiciels de géométrie dynamique, par essence, ne permettent que d’observer des données numériques ou géométriques et ne peuvent élaborer une preuve générale, ce que peut faire un logiciel de calcul formel. Ils ne peuvent non plus aborder le calcul différentiel, intégrale, algébrique que de manière numérique ou expérimentale et donc passent à côté de la plus grande partie du programme de terminale S.
D’un autre côté, on reproche aux logiciels de calcul formel d’être trop compliqués à utiliser au lycée. Nous venons de voir que c’est injustifié et qu’au contraire travailler en ligne de commande et ainsi dialoguer naturellement avec l’ordinateur peut en fait être beaucoup plus simple que de naviguer dans des menus, sous-menus et autres sous-sous-menus d’icônes à cliquer.
Enfin, de manière plus précise, le logiciel XCAS semble être particulièrement adapté au lycée car il permet à la fois de faire du calcul formel, de la géométrie dynamique, du tableur et est largement francisé.
Il resterait à parler de l’initiation à la programmation qui devrait faire partie du bagage minimum fourni aux élèves des sections scientifiques ( ce qui est le cas dans de nombreux pays européens ) et qui peut être également abordée grâce à XCAS dès la seconde comme j’en ai fait l’expérience depuis plusieurs années dans mes classes...et même dès l’école primaire grâce à la Tortue de XCAS, mais ceci est un autre problème qui sera abordé dans un prochain article...
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