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Xcas, calcul formel (ou algébrique) et géométrie dynamique au lycée
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Introduction

XCAS existe depuis quelques années mais est très mal connu au lycée car sa puissance fait
peur. XCAS permet en effet de traiter des problèmes très sophistiqués, mais, ce qu’on passe
souvent sous silence, des problèmes très simples qui permettent par exemple d’initier des élèves de l’école primaire à la programmation !

Nous commencerons en abordant la géométrie dynamique au lycée car c’est un domaine où une
comparaison avec les logiciels massivement utilisés par les professeurs du secondaire est possible, ce qui n’est pas le cas du calcul formel, de la programmation et surtout la possibilité d’associer les trois plus le tableur qui constitue une des grandes forces de XCAS.

Nous poursuivrons par un sujet de l’épreuve pratique de Terminale S qui défraie la chronique
actuellement et effraie nombre de collègues.

Nous traiterons ensuite un problème que ni un logiciel de géométrie classique, ni un tableur ne
peuvent traiter et qui est pourtant très intéressant mathématiquement.

Nous finirons par un exemple de TP donné en Terminale S et qui utilise un soupçon d’algorithmique.

XCAS et la géomérie dynamique au lycée

Un argument souvent soulevé par ses détracteurs est que XCAS fonctionne principalement en
ligne de commande. Notre expérience avec les élèves nous incite à dire qu’il ne s’agit pas d’un inconvénient mais plutôt d’un avantage pour eux : les élèves de nos classes sont en effet habitués à dialoguer via leur ordinateur sur les sites de messagerie instantanée. Le petit bémol qu’on pourrait apporter est qu’avec XCAS, il ne faut pas faire de fautes d’orthographe !

Les commandes sont de plus en français et adaptées aux besoins des élèves français car créées par des professeurs de l’Institut Joseph FOURIER de l’Universite Joseph FOURIER de Grenoble et testées grâce à l’IREM de Grenoble. Que dites-vous de :

parallele,
droite, segment, aire, longueur, angle, resoudre, graphe, cercle, circonscrit, simplifier,
factoriser, fonction_derivee,symetrie, projection
,...?

Le mode de construction d’une figure et de résolution du problème correspond de même à la démarche
suivie par l’élève sur sa feuille de papier.

Pour illustrer notre propos, considérons par exemple le problème classique suivant donné en classe de Seconde :


ÉNONCÉ :

On considère un triangle ABC rectangle en A tel que AC=3 et AB=4. Soit M un point
quelconque du segment [AC]. On construit le rectangle AMNP tel que N appartienne à [BC] et P à [AB].

Étudiez l’aire du rectangle AMNP en fonction de la position de M. 


Commençons par ouvrir une fenêtre de géométrie en tapant simultanément sur Alt et g
puis définissons les points A et B dans un repère judicieusement choisi. On utilise
point(x,y) ( ou même point(z) pour les terminales ) :

A :=point(0,0) // plaçons A
B :=point(0,-4) // plaçons B tel que AB=4 en laissant le 1er quadrant libre pour y tracer la courbe à la fin de la séance

Définissons ensuite le point C tel que le triangle ABC soit direct, rectangle en A et que l’on ait

<IMG
WIDTH="85" HEIGHT="35" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="http://revue.sesamath.net/IMG/img1.png"
">

à l’aide de la commande triangle_rectangle :

triangle_rectangle(A,B,3/4,C)

Créons maintenant un réel quelconque de [0 ;3] que l’on puisse faire varier à la souris à l’aide
de la commande assume(t=[valeur de départ,mini,maxi]) :

assume(t=[1,0,3])

Définissons maintenant le point M d’abscisse variable t :

M :=point(t,0)

Pour définir N, commençons par définir la perpendiculaire en M à la droite (AC). La syntaxe est
tout à fait naturelle grâce à perpendiculaire(Point,Droite). C’est bien ce que l’élève doit
tracer sur sa feuille de papier pour tracer le rectangle :

d :=perpendiculaire(M,droite(A,C))

Définissons ensuite N comme l’intersection de d et (BC) grâce à inter_unique :

N :=inter_unique(d,droite(B,C))

Pour obtenir P, nous commençons par définir la parallèle à (AC) passant par N à l’aide de parallele(Point,Droite) :

D :=parallele(N,droite(A,C)) ;

puis l’intersection de D et <IMG
WIDTH="42" HEIGHT="32" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="http://revue.sesamath.net/IMG/img2.png"
>

 :

P :=inter_unique(D,droite(A,B))

Il ne reste plus qu’à définir le rectangle APNM grâce à la commande polygone :

R :=polygone(A,P,N,M)

et à dessiner le rectangle dépendant du paramètre t :

couleur(R,jaune+rempli)

En faisant varier t à la souris, le rectangle bouge .

Définissons maintenant l’expression de l’aire du rectangle dépendant de t. Appelons-la par exemple Surf :

Surf :=aire(R)

Donnons son expression simplifiée :

simplifier(Surf)

qui répond :


<IMG
WIDTH="75" HEIGHT="50" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="http://revue.sesamath.net/IMG/img3.png"
>

Définissons le point X de la courbe représentative de la fonction associée d’abscisse t :

X :=point(t,Surf)

Traçons enfin la courbe représentative de la fonction associée à l’aide de la commande graphe :

graphe(Surf,t=0..3,couleur=bleu)

Voici une visualisation statique :

<IMG WIDTH="674" HEIGHT="686" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://revue.sesamath.net/IMG/img4.png" >
<IMG WIDTH="780" HEIGHT="454" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://revue.sesamath.net/IMG/img5.png" >

XCAS et les suites

Il existe principalement deux types de sujets proposés pour l’épreuve expérimentale du Bac S : les problèmes que peuvent traiter les logiciels de géométrie dynamique que nous venons d’étudier et l’étude de suites à l’aide du deuxième pilier de l’Éducation Nationale, le tableur.

Nous allons donc nous intéresser à ce deuxième type de sujet. Voici par exemple le sujet 5 de la
banque d’exercices de 2007 :


ɉtude de la suite
<IMG
WIDTH="124" HEIGHT="30" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="http://revue.sesamath.net/IMG/img6.png"
>

pour a et b donnés : convergence et valeur de la
limite.


On supposera par la suite que <IMG
WIDTH="42" HEIGHT="30" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="http://revue.sesamath.net/IMG/img7.png"
>

. En effet, dans le cas contraire,
<IMG
WIDTH="104" HEIGHT="30" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="http://revue.sesamath.net/IMG/img8.png"
>

 : la suite
est donc arithmétique et ne mérite pas une étude poussée...

On construit une procédure donnant <IMG
WIDTH="22" HEIGHT="30" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="http://revue.sesamath.net/IMG/img9.png"
>

en fonction de a, b et le premier terme <IMG
WIDTH="21" HEIGHT="30" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="http://revue.sesamath.net/IMG/img10.png"
>

. On traite le cas n=0 pour initialiser. Ensuite il suffit de rentrer
l’expression de <IMG
WIDTH="22" HEIGHT="30" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="http://revue.sesamath.net/IMG/img9.png"
>

en fonction du terme précédent :

u(n,a,b,uo) :=
si n==0 alors return uo ;
sinon a*u(n-1,a,b,uo)+b ; // C’est-à-dire u(n)=a*u(n-1)+b
fsi
 : ;

Par exemple, pour a=0,7, b=1 et <IMG
WIDTH="50" HEIGHT="30" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="http://revue.sesamath.net/IMG/img11.png"
>

, en tapant :

u(100,.7,1,1) ;u(500,.7,1,1) // le 100-ème et le 500-ème terme

on obtient :

3.333333333,3.333333333

Et pour a=-1/2, b=1 et <IMG
WIDTH="50" HEIGHT="30" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="http://revue.sesamath.net/IMG/img11.png"
>

, en tapant :

u(100,-0.5,1,1) ;u(500,-0.5,1,1)

on obtient :

0.6666666667,0.6666666667

REMARQUE : on peut préférer fixer a,b et uo hors de la procédure et définir u de manière plus standard ainsi :
u(n) :=
si n==0 alors return uo ;
sinon a*u(n-1)+b ;
fsi
 : ;

et alors :

a :=0.7
b :=1
uo :=1
u(100) ;

On a l’impression d’avoir de sérieux candidats pour la valeur de la limite. Pour confirmer cette intuition, représentons graphiquement les premiers
termes de la suite. On crée une séquence S de coordonnées, vide au départ, et à laquelle on ajoute les points coordonnées <IMG
WIDTH="50" HEIGHT="32" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="http://revue.sesamath.net/IMG/img12.png"
>

pour k variant
de 0 à n :

AffSuite(n,a,b,uo) :=
local S,k ;
S :=NULL ; // S est vide au départ : il n’y a pas encore de points
affichage(point_carre+rouge) ; // pour l’esthétique...
pour k de 0 jusque n pas 1 faire
S :=S,point(k,u(k,a,b,uo)) ; // on rajoute le point de coordonnées $(k,u_k)$ à notre liste
fpour

On affiche les valeurs de la suite ainsi que la limite présumée issue de notre calcul :

AffSuite(20,-.5,1,1),graphe(0.66666667,x=0..20,couleur=bleu)

et on obtient pour a=0,7, b=1 et <IMG
WIDTH="50" HEIGHT="30" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="http://revue.sesamath.net/IMG/img11.png"
>

 :

<IMG WIDTH="800" HEIGHT="516" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://revue.sesamath.net/IMG/img13.png" >

et pour a=-1/2, b=1 et <IMG
WIDTH="50" HEIGHT="30" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="http://revue.sesamath.net/IMG/img11.png"
>

 :

<IMG WIDTH="800" HEIGHT="508" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://revue.sesamath.net/IMG/img14.png" >

Notre intuition est confortée.

REMARQUE : cette manière de procéder peut sembler naturelle
et proche d’une démarche « papier-crayon », mais n’est pas optimale informatiquement.
On peut, pour la culture des élèves, évoquer le problème crucial de la complexité d’un algorithme.

En effet, dans AffSuite, on recalcule u(k,a,b,uo) à chaque tour de boucle : pour aller
jusqu’au rang n, on effectue donc
<IMG
WIDTH="201" HEIGHT="40" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="http://revue.sesamath.net/IMG/img15.png"
>

calculs.

On dit que la complexité de l’algorithme est de l’ordre de <IMG
WIDTH="21" HEIGHT="16" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0"
SRC="http://revue.sesamath.net/IMG/img16.png"
>

.

Voici une manière plus « informatique » et efficace de procéder :

AffSuiteBis(n,a,b,u0) :=
local S,k,uk ;
affichage(point_carre+rouge) ;
S :=point(0,u0) ; // premier terme
k :=u0 ;
pour k de 1 jusque n pas 1 faire
uk :=a*uk+b ;
S :=S,point(k,uk) ; // on rajoute le point de coordonnées (k,u_k) à notre liste
fpour

On effectue n calculs pour avoir AffSuiteBis(n,a,b,uo) : la complexité est maintenant de l’ordre de n.

Le problème de la complexité est ici accessoire car dans les deux cas l’ordinateur effectue ces
calculs simples très rapidement. Cependant, quand les algorithmes sont plus sophistiqués, cela peut
permettre de sauver beaucoup de temps. On peut même évoquer le système RSA qui assure la sécurité
des transactions sur internet ou bancaire et dont la sécurité est basée sur la complexité
informatique du cassage du code théoriquement possible mais hors du temps humain pour l’instant.


Revenons à présent à notre problème.

Nous pouvons aussi remarquer que
<IMG
WIDTH="99" HEIGHT="32" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="http://revue.sesamath.net/IMG/img17.png"
>

, avec f(x)=ax+b.

Nous pouvons représenter la suite directement avec la fonction XCAS
plotseq((f(x),u(0),n) :

plotseq(0.7*x+1,1,10)

qui affiche un graphe que les élèves de terminales savent interpréter :

<IMG WIDTH="800" HEIGHT="516" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://revue.sesamath.net/IMG/img18.png" >

Le candidat pour la limite semble être l’intersection des droites d’équations y=ax+b et y=x.
On obtient la solution avec resoudre(équation,inconnue) :

resoudre((7/10)*x+1=x,x)

On obtient :


<IMG
WIDTH="24" HEIGHT="50" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="http://revue.sesamath.net/IMG/img19.png"
>

Il ne reste plus qu’à le démontrer...

Soit p la solution de ax+b=x. Elle existe bien car on a supposé <IMG
WIDTH="42" HEIGHT="30" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="http://revue.sesamath.net/IMG/img7.png"
>

.

Alors, en effectuant la différence membre à membre de
<IMG
WIDTH="112" HEIGHT="30" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="http://revue.sesamath.net/IMG/img20.png"
>

et <IMG
WIDTH="76" HEIGHT="30" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="http://revue.sesamath.net/IMG/img21.png"
>

, on obtient :

<IMG WIDTH="153" HEIGHT="32" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://revue.sesamath.net/IMG/img22.png" >

Donc la suite <IMG
WIDTH="62" HEIGHT="32" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="http://revue.sesamath.net/IMG/img23.png"
>

est géométrique de raison a et de premier terme <IMG
WIDTH="48" HEIGHT="30" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="http://revue.sesamath.net/IMG/img24.png"
>

.

On obtient donc

<IMG WIDTH="144" HEIGHT="32" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://revue.sesamath.net/IMG/img25.png" >

Vérifions :

expu(n,a,b,uo) :=
local p,c ;
p :=resoudre(a*x+b=x)[0] ; // la solution de l’équation
c :=simplifier(uo-p) ; // on simplifie l’écriture de u0-p
return(c*a^n+p) // on renvoie (uo-p)*a^n+p
 : ;

Par exemple, toujours avec a=0,7, b=1 et <IMG
WIDTH="50" HEIGHT="30" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="http://revue.sesamath.net/IMG/img11.png"
>

 :

expu(n,7/10,1,1)

On obtient :

<IMG
WIDTH="131" HEIGHT="100" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="http://revue.sesamath.net/IMG/img26.png"
>

Comparons maintenant les graphes :

AffSuite(20,7/10,1,1),graphe(expu(x,7/10,1,1),x=0..20,couleur=bleu)
<IMG WIDTH="800" HEIGHT="516" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://revue.sesamath.net/IMG/img27.png" >

Et voilà...Nous pouvons même nous payer le luxe de vérifier que expu vérifie la formule de
récurrence initiale dans le cas général, c’est-à-dire pour a, b, <IMG
WIDTH="21" HEIGHT="30" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="http://revue.sesamath.net/IMG/img10.png"
>

quelconques !

Ce confort n’est bien sûr possible qu’avec un logiciel de calcul formel...

expu(n+1,a,b,uo)-(a*expu(n,a,b,uo)+b)

donne :

<IMG
WIDTH="693" HEIGHT="54" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="http://revue.sesamath.net/IMG/img28.png"
>

Oups...

simplifier(ans()) // simplifie le résultat précédent

qui renvoie bien 0.

C’est mieux ! Nous pouvons aller jusqu’à calculer la limite de la suite dans le cas général :

limite(expu(n,a,b,uo),n,+infinity)

Mais XCAS ne sait que répondre...il faut bien sûr distinguer les cas :

assume(a>0) and assume(a<1) ; // 0<a<1
limite(expu(n,a,b,uo),n,+infinity)

donne :

<IMG
WIDTH="44" HEIGHT="52" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="http://revue.sesamath.net/IMG/img29.png"
>

et dans le cas a>1 :

assume(a>1) ;
limite(expu(n,a,b,uo),n,+infinity)

on obtient :
infinity

Ainsi, XCAS nous permet non seulement d’observer le résultat mais surtout de le démontrer grâce à ses facultés de calcul formel. Nous allons illustrer plus précisément ce point
dans le paragraphe suivant.

Preuve d’un théorème

Les coniques ne sont plus au programme de terminale mais sont encore sources d’activités.
Nous allons ici nous occuper d’un théorème concernant le tracé de la tangente à une conique
et le prouver à l’aide de XCAS ce qui n’est possible qu’avec un logiciel de
calcul formel.

Le théorème initial est le suivant :

Construction de la tangente à une conique

Soit <IMG
WIDTH="14" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0"
SRC="http://revue.sesamath.net/IMG/img30.png"
>

une conique de foyer F et de directrice associée D. La tangente à <IMG
WIDTH="14" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0"
SRC="http://revue.sesamath.net/IMG/img30.png"
>

en tout point M
qui n’appartient pas à l’axe focal coupe D en un point T tel que l’on ait
<IMG
WIDTH="99" HEIGHT="23" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0"
SRC="http://revue.sesamath.net/IMG/img31.png"
>

Nous allons adapter l’énoncé au cas d’une demi-ellipse définie à l’aide d’une fonction :

ÉNONCÉ


Soient a et b deux réels strictement positifs tels que a>b et f la fonction définie sur [-a,a] par
<

<IMG WIDTH="127" HEIGHT="65" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://revue.sesamath.net/IMG/img32.png" >

Notons <IMG
WIDTH="14" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0"
SRC="http://revue.sesamath.net/IMG/img30.png"
>

la courbe représentative de f dans un repère orthonormé.

Soit F le point de coordonnées
<IMG
WIDTH="100" HEIGHT="37" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="http://revue.sesamath.net/IMG/img33.png"
>

et D la droite d’équation
<IMG
WIDTH="84" HEIGHT="42" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="http://revue.sesamath.net/IMG/img34.png"
>

.

Montrez que la tangente à <IMG
WIDTH="14" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0"
SRC="http://revue.sesamath.net/IMG/img30.png"
>

en tout point M
d’ordonnée non nulle coupe D en un point T tel que l’on ait
<IMG
WIDTH="99" HEIGHT="23" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0"
SRC="http://revue.sesamath.net/IMG/img31.png"
>


Nous pouvons bien sûr commencer par illustrer des cas particuliers en prenant un point mobile sur <IMG
WIDTH="14" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0"
SRC="http://revue.sesamath.net/IMG/img30.png"
>

et en observant
que la propriété reste vérifiée.

Nous allons sauter cette étape, notre propos étant de montrer comment un logiciel de calcul formel permet
non seulement d’illustrer mais aussi de prouver un théorème général.

Nous commençons par définir la fonction f :

f :=x->b*sqrt(1-(x^2/a^2)) : ;

Nous allons ensuite considérer un point quelconque de <IMG
WIDTH="14" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0"
SRC="http://revue.sesamath.net/IMG/img30.png"
>

d’absisse t, avec
<IMG
WIDTH="77" HEIGHT="32" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="http://revue.sesamath.net/IMG/img35.png"
>

 :

assume(a>0) : ; assume(t>-a) and assume(t<a) : ; M :=point(t,f(t)) : ;

Pour définir la tangente d à <IMG
WIDTH="14" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0"
SRC="http://revue.sesamath.net/IMG/img30.png"
>

en M, nous allons introduire la fonction dérivée de f que nous
noterons fp. Nous utiliserons les commandes XCAS abscisse et ordonnee qui
renvoient l’abscisse et l’ordonnée d’un point bien sûr, et la commande droite qui permet de définir
une droite de multiples façons ( par une équation, deux points, comme intersection de deux plans, une représentation paramétrique,... ). Nous la définirons ici par l’équation classique
<IMG
WIDTH="232" HEIGHT="32" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="http://revue.sesamath.net/IMG/img36.png"
>

 :

fp :=fonction_derivee(f) : ; d :=droite(y=fp(abscisse(M))*(x-abscisse(M))+ordonnee(M)) : ;
Mode « muet »

Vous noterez que chaque ligne de commande se termine par  : ; ce qui indique à XCAS
qu’il doit évaluer cette ligne mais sans renvoyer de résultat. En effet, aucun tracé ne peut être effectué
pour l’instant car aucune valeur numérique n’est affectée aux paramètres a, b et t.


Il reste à définir le point F et la droite D :

F :=point(sqrt(a^2-b^2),0) : ;
D :=droite(x=a^2/sqrt(a^2-b^2)) : ;

Le point T est l’intersection des droites d et D.

On utilise la commande inter_unique(ensemble1,ensemble2) :

T :=inter_unique(d,D) : ;

Il ne reste plus qu’à calculer le produit scalaire
<IMG
WIDTH="70" HEIGHT="23" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0"
SRC="http://revue.sesamath.net/IMG/img37.png"
>

à l’aide de scalar_product.

scalar_product(vecteur(M,F),vecteur(T,F))
Calcul vectoriel

Un vecteur pour XCAS est une liste de coordonnées entre deux crochets tout comme l’est un point.
L’opération <IMG
WIDTH="54" HEIGHT="30" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="http://revue.sesamath.net/IMG/img38.png"
>

est donc licite pour XCAS. Pour ne pas semer le trouble dans les esprits des élèves du
lycée, on peut remplacer M-F par coordonnees(M)-coordonnees(F), ou bien, pour éviter de calculer
avec des systèmes de coordonnées, on peut préférer travailler sur les affixes en rentrant

scalar_product(affixe(M)-affixe(F),affixe(T)-affixe(F))

On peut également demander à Bernard PARISSE de créer une commande vecteur(M1,M2) synonyme
de M2-M1 pour l’ordinateur mais moins choquante pour les élèves. C’est ce que j’ai
fait...et obtenu une heure plus tard ! Encore un point fort de XCAS...

Ainsi :

scalar_product(vecteur(F,M),vecteur(F,T))

qui donne :

<IMG
WIDTH="419" HEIGHT="64" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="http://revue.sesamath.net/IMG/img39.png"
>


<IMG
WIDTH="555" HEIGHT="98" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="http://revue.sesamath.net/IMG/img40.png"
>

Ouh la la...Voici un calcul qui a de quoi déprimer n’importe quel élève de lycée. Heureusement, nous
pouvons faire faire « le sale boulot » à XCAS grâce à la commande simplifier et se
concentrer sur le problème géométrique sans être gêné par les difficultés de calcul algébrique.

Cette fois-ci :

simplifier(scalar_product(vecteur(M,F),vecteur(T,F))

renvoie bien 0, ce qui prouve notre théorème car les calculs ont été effectués dans le cas général.

Illustration graphique

Pour observer ce phénomène en géométrie dynamique, il suffit d’ouvrir une fenêtre de géométrie en tapant Alt-g puis en définissant a, b et t comme étant des paramètres que nous ferons varier à la souris :

a :=element(0..5)
b :=element(0..a)
t :=element(-a..a)

le reste des instructions restant inchangé. On obtient :

Bilan de cette activité

Nous voici donc en mesure de tracer n’importe quelle tangente à une ellipse à l’aide d’une équerre puisqu’il suffit de tracer la perpendiculaire à (MF) en M puis l’intersection T de cette droite avec une directrice : la tangente est la droite (TM).

Il s’agit d’un problème géométrique. L’ordinateur nous permet de prouver ce théorème en se dispensant de passer trop de temps dans des calculs algébriques compliqués : nous restons dynamiques mathématiquement sans être perturbés par l’aquisition d’une virtuosité algébrique ou informatique. Les instructions données correspondent à la démarche mathématique. Nous avons fait des mathématiques et très peu d’informatique en somme. Nous nous sommes concentrés sur le raisonnement et l’ordinateur nous a permis de ne pas nous perdre dans les calculs.

Le travail avec un calculateur formel est donc la continuation logique du travail avec une calculatrice usuelle, mais en offrant beaucoup plus de posibilités bien sûr.

Approximation affine

On s’intéresse aux fonctions <IMG
WIDTH="14" HEIGHT="30" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="http://revue.sesamath.net/IMG/img42.png"
>

dérivables sur <IMG
WIDTH="4" HEIGHT="15" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0"
SRC="http://revue.sesamath.net/IMG/img43.png"
>

satisfaisant la condition

<IMG WIDTH="165" HEIGHT="35" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://revue.sesamath.net/IMG/img44.png" >

pour tout <IMG
WIDTH="29" HEIGHT="30" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="http://revue.sesamath.net/IMG/img45.png"
>

,
avec <IMG
WIDTH="13" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0"
SRC="http://revue.sesamath.net/IMG/img46.png"
>

un réel arbitrairement fixé.

On va tenter, dans cette section, d’obtenir une approximation de l’allure de la courbe
représentative d’une solution de (1).

On va pour cela considérer que pour <IMG
WIDTH="14" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0"
SRC="http://revue.sesamath.net/IMG/img47.png"
>

« suffisamment petit » et pour tout réel <IMG
WIDTH="13" HEIGHT="13" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0"
SRC="http://revue.sesamath.net/IMG/img48.png"
>

,
<IMG
WIDTH="140" HEIGHT="40" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="http://revue.sesamath.net/IMG/img49.png"
>

.

Montrez alors que
<IMG
WIDTH="173" HEIGHT="32" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="http://revue.sesamath.net/IMG/img50.png"
>

.

Subdivision

Pour obtenir ce tracé, nous allons choisir un réel <IMG
WIDTH="13" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0"
SRC="http://revue.sesamath.net/IMG/img46.png"
>

, un segment
<IMG
WIDTH="42" HEIGHT="32" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="http://revue.sesamath.net/IMG/img51.png"
>

, nous allons fixer
l’image de <IMG
WIDTH="13" HEIGHT="13" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0"
SRC="http://revue.sesamath.net/IMG/img48.png"
>

par <IMG
WIDTH="14" HEIGHT="30" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="http://revue.sesamath.net/IMG/img42.png"
>

pour avoir une solution unique de (1) dans un premier temps.

Nous allons subdiviser le segment
<IMG
WIDTH="42" HEIGHT="32" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="http://revue.sesamath.net/IMG/img51.png"
>

en N segments de même longueur : quelle sera la
longueur de chaque petit segment ?

Tracé d’une ligne brisée

Ouvrons une fenêtre de géométrie en tapant simultanément sur Alt et g.

On définit un point dont on connaît les coordonnées avec la commande point :

A :=point(1,2) ;
B :=point(3,-1) ;
C :=point(4,5) ;

On relie ces points par des segments de droite grâce à la commande
polygone_ouvert(liste de points) :

polygone_ouvert(A,B,C)

Tracé en boucle

Oublions pour un temps notre problème et voyons comment nous pourrions tracer « point par point »
sur
<IMG
WIDTH="55" HEIGHT="32" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="http://revue.sesamath.net/IMG/img52.png"
>

la courbe représentative d’une fonction <IMG
WIDTH="13" HEIGHT="30" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="http://revue.sesamath.net/IMG/img53.png"
>

vérifiant :

<IMG WIDTH="113" HEIGHT="55" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://revue.sesamath.net/IMG/img54.png" >

pour tous réels distincts <IMG
WIDTH="13" HEIGHT="13" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0"
SRC="http://revue.sesamath.net/IMG/img48.png"
>

et <IMG
WIDTH="11" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0"
SRC="http://revue.sesamath.net/IMG/img55.png"
ALT="$ b$">

de
<IMG
WIDTH="55" HEIGHT="32" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="http://revue.sesamath.net/IMG/img52.png"
>

et <IMG
WIDTH="88" HEIGHT="32" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="http://revue.sesamath.net/IMG/img56.png"
>

.

On peut par exemple subdiviser le segment

<IMG
WIDTH="55" HEIGHT="32" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="http://revue.sesamath.net/IMG/img52.png"
>

en segments de longueurs 0,25 et réfléchir au moyen d’obtenir les images par <IMG
WIDTH="14" HEIGHT="30" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="http://revue.sesamath.net/IMG/img42.png"
>

de
chacune des extrémités des segments de la subdivision.

Il suffit de penser que
<IMG
WIDTH="128" HEIGHT="40" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="http://revue.sesamath.net/IMG/img57.png"
>

, c’est-à-dire
<IMG
WIDTH="181" HEIGHT="32" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="http://revue.sesamath.net/IMG/img58.png"
>

.

On peut donc calculer <IMG
WIDTH="85" HEIGHT="32" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="http://revue.sesamath.net/IMG/img59.png"
ALT="$ g(x+0,25)$">

si l’on connaît <IMG
WIDTH="34" HEIGHT="32" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="http://revue.sesamath.net/IMG/img60.png"
>

.

On va donc partir du point de coordonnées
<IMG
WIDTH="71" HEIGHT="32" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="http://revue.sesamath.net/IMG/img61.png"
>

et obtenir de proche en proche les
coordonnées de plusieurs points de la courbes en faisant des petits sauts de 0,25 et en s’arrêtant à
3 :

S :=NULL ; // on crée une suite de points vide au départ
X :=-3 ; // au départ X vaut -3
Y :=-1 ; // au départ Y vaut -1
tantque X<=3 faire // tant que s’écrit tantque en XCAS
S :=S,point(X,Y) ; // on rajoute le point de coordonnées (X,Y) à notre liste
X :=X+0.25 ; // on avance de 0,25 à chaque tour de boucle
Y :=0.5+Y ; // on sait que g(X+0,25)=0,5+g(X)
ftantque : ; // f comme fin de la boucle
polygone_ouvert(S) ; // on relie les points de la liste S à la règle

et on découvre sans surprise qu’il s’agit d’un segment de droite.

Procédure

Cela fonctionne pour ce cas particulier mais ça devrait aussi « marcher » si l’on change les valeurs
du pas, du coefficient directeur, des bornes de l’intervalle de définition, de l’image de la borne
inférieure de cet intervalle.

On a donc envie de créer un fonction informatique, une procédure, qui reprend cette méthode
mais dans le cas général, avec des coefficients quelconques qu’on donnera à l’ordinateur. On crée
ainsi une sorte de fonction de plusieurs variables.

Notons donc h le pas, m le coefficient directeur,
<IMG
WIDTH="42" HEIGHT="32" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="http://revue.sesamath.net/IMG/img51.png"
>

l’intervalle de définition et yo
l’image de a.

Donnons également un nom à notre procédure, par exemple TraceAffine.

On va ouvrir une fenêtre de programmation en tapant Alt p :

TraceAffine(h,m,a,b,yo) := // on précise quels sont les variables de notre procédure
S :=NULL ; // on crée toujours une suite de points vide au départ
X :=a ; // au départ X vaut a cette fois
Y :=yo ; // au départ Y vaut yo
tantque X<=b faire // on s’arrête à X=b
S :=S,point(X,Y) ; // on rajoute le point de coordonnées (X,Y) à notre liste
X :=X+h ; // on avance de h à chaque tour de boucle
Y :=h*m+Y ; // on sait que g(X+h)=h*m+g(X)
ftantque : ; // f comme fin de la boucle
polygone_ouvert(S) ; // on relie les points de la liste S à la règle
 : ; // on termine la procédure en fermant l’accolade

Pour valider, on clique sur OK.

Pour exécuter cette procédure, on place le curseur sur une ligne de commande.

Par exemple, pour retrouver le cas précédent, on rentre :

TraceAffine(0.25,2,-3,3,-1)

À vous de jouer

Vous êtes maintenant armés pour adapter ce que nous venons de voir à la méthode d’Euler sachant que
cette fois
<IMG
WIDTH="185" HEIGHT="32" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="http://revue.sesamath.net/IMG/img62.png"
>

comme nous l’avons vu au premier paragraphe.

Construisez donc une procédure Euler(h,k,a,b,yo)...

Estimation de l’erreur

Nous avons vu en cours que la solution de l’équation différentielle <IMG
WIDTH="47" HEIGHT="32" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="http://revue.sesamath.net/IMG/img63.png"
>

avec <IMG
WIDTH="62" HEIGHT="32" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="http://revue.sesamath.net/IMG/img64.png"
>

s’appelle
la fonction exponentielle qui se note exp pour XCAS.

Nous avons utilisé une approximation pour obtenir son tracé par la méthode d’Euler. Il est bien sûr
primordial d’avoir un ordre de grandeur de l’erreur commise.

Nous avons écrit que
<IMG
WIDTH="213" HEIGHT="32" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="http://revue.sesamath.net/IMG/img65.png"
>

.

Créons alors une fonction Exp(h,x) qui donne une approximation de <IMG
WIDTH="12" HEIGHT="17" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0"
SRC="http://revue.sesamath.net/IMG/img66.png"
>

pour un h donné.

Il suffit d’utiliser la procédure précédente en ôtant la partie concernant le tracé et en prenant <IMG
WIDTH="42" HEIGHT="13" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0"
SRC="http://revue.sesamath.net/IMG/img67.png"

, <IMG
WIDTH="42" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0"
SRC="http://revue.sesamath.net/IMG/img68.png"
>

,
<IMG
WIDTH="42" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0"
SRC="http://revue.sesamath.net/IMG/img69.png"
>

 :

Exp(h,x) :=
X :=0 ;
Y :=1 ;
tantque X<=x faire
X :=X+h ;
Y :=(1+h)*Y ;
ftantque : ;
 : ;

Par exemple, on peut comparer Exp(h,1) et <IMG
WIDTH="49" HEIGHT="32" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="http://revue.sesamath.net/IMG/img70.png"
>

pour des valeurs successives de h entre
0,1 et 0,0001, puis en prenant d’autres valeurs de <IMG
WIDTH="14" HEIGHT="13" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0"
SRC="http://revue.sesamath.net/IMG/img71.png"
>

.

ɉtudiez le rapport
<IMG
WIDTH="122" HEIGHT="40" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="http://revue.sesamath.net/IMG/img72.png"
>

pour différentes valeurs de <IMG
WIDTH="14" HEIGHT="13" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0"
SRC="http://revue.sesamath.net/IMG/img71.png"
>

.

Que pensez-vous de l’approximation ?


On peut visualiser l’erreur commise en créant une fonction erreur :

erreur(x) :=(1-Exp(0.01,x)/evalf(exp(x)))*100

Puis en créant la suite des points de coordonnées (x,erreur(x)) pour x variant de 0 à 100 avec un
pas de 1.

La commande seq comme séquence HREF="footnode.html#foot355">0.1 permet de créer cette suite de
valeurs :

seq(point(x,erreur(x)),x=0..100)

Des commentaires ?

Moralité...

On reproche souvent à l’utilisation de l’informatique au lycée d’exister pour elle-même et de semer la confusion
dans les esprits des élèves en les incitant à confondre observation et preuve.

On peut également remarquer que sur les 97 propositions de sujets pour l’épreuve expérimentale du Bac S 2008, les domaines traités couvrent une très petite partie du programme du Bac : essentiellement les suites, la géométrie, voire un peu de probabilités.

Ces reproches sont souvent justifiés compte tenu des limitations des logiciels promus officiellement : le tableur et les logiciels de géométrie dynamique, par essence, ne permettent que d’observer des données numériques ou géométriques et ne peuvent élaborer une preuve générale, ce que peut faire un logiciel de calcul formel. Ils ne peuvent non plus aborder le calcul différentiel, intégrale, algébrique que de manière numérique ou expérimentale et donc passent à côté de la plus grande partie du programme de terminale S.

D’un autre côté, on reproche aux logiciels de calcul formel d’être trop compliqués à utiliser au lycée. Nous venons de voir que c’est injustifié et qu’au contraire travailler en ligne de commande et ainsi dialoguer naturellement avec l’ordinateur peut en fait être beaucoup plus simple que de naviguer dans des menus, sous-menus et autres sous-sous-menus d’icônes à cliquer.

Enfin, de manière plus précise, le logiciel XCAS semble être particulièrement adapté au lycée car il permet à la fois de faire du calcul formel, de la géométrie dynamique, du tableur et est largement francisé.

Il resterait à parler de l’initiation à la programmation qui devrait faire partie du bagage minimum fourni aux élèves des sections scientifiques ( ce qui est le cas dans de nombreux pays européens ) et qui peut être également abordée grâce à XCAS dès la seconde comme j’en ai fait l’expérience depuis plusieurs années dans mes classes...et même dès l’école primaire grâce à la Tortue de XCAS, mais ceci est un autre problème qui sera abordé dans un prochain article...

Annexe : quelques conseils avant de commencer

Si vous êtes un peu perdu(e) pour commencer, une aide multiple est variée est accessible un peu
partout :

  • vous pouvez commencer par consulter l’aide fournie avec votre installation en allant dans le menu Aide. Par exemple, pour les soucis d’interface, vous allez dans Aide->interface. Tout est en français et au format html ;
  • vous pouvez posez une question sur le forum dédié à XCAS : Aide->Internet->Forum ;
  • vous pouvez me poser une question directement par courrier électronique...

Quelques conseils néanmoins pour éviter les pièges habituels ( 
il ne s’agit que de quelques petites trucs usuels. N’hésitez pas à poser des questions si des problèmes subsistent ) :

  • lors de l’installation, on vous demande quel niveau vous souhaitez : choisissez Universite. Si vous avez déjà installé XCAS, allez dans Cfg->configuration générale->niveau->université puis cliquez sur sauver. Ainsi, à chaque démarrage, vous aurez une fenêtre normale. Vous pouvez également configurer la taille de la police, les couleurs ;
  • il est souvent utile de passer à la ligne sans valider l’instruction : on appuie simultanément sur Shift et Enter ;
  • vérifiez si vous n’avez pas oublié une lettre, mis un accent, une mauvaise ponctuation ;
  • si l’on veut supprimer une ligne, on clique sur son numéro qui apparaît alors sur fond noir puis on va sur Edit->supprimer les niveaux selectionnes ;
  • lorsque vous voulez rentrer une procédure, il vaut mieux ouvrir une fenêtre de programmation en tapant simultanément sur Alt et p. Ce n’est pas obligatoire, mais cela permet de faire tester son code par XCAS sans mettre en péril le reste de la session. On clique sur OK pour valider son programme. De plus, vous profitez ainsi de la coloration syntaxique de l’éditeur qui met en valeur les mots-clés : vous trouverez à la page suivante un aperçu de ce que cela donne pour un des programmes de l’étude de la méthode d’Euler vue à la section précédente et un autre du début de l’étude d’une suite récurrente. On remarquera sur ces captures d’écran que l’on peut commenter son code, c’est-à-dire donner quelques explications qui ne seront pas évaluées par XCAS mais utiles au lecteur éventuel : les commentaires apparaissent en vert à la suite de // ; On peut aussi commenter dans une céllule à part en tapant simultanément sur Alt et c :
<IMG WIDTH="780" HEIGHT="796" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="IMG/capture_euler.png" ALT="capture_euler">
<IMG WIDTH="780" HEIGHT="964" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="IMG/capture_suite.png" ALT="capture_suite">

Ces reproches sont souvent justifiés compte tenu des limitations des logiciels promus officiellement : le tableur et les logiciels de géométrie dynamique, par essence, ne permettent que d’observer des données numériques ou géométriques et ne peuvent élaborer une preuve générale, ce que peut faire un logiciel de calcul formel. Ils ne peuvent non plus aborder le calcul différentiel, intégrale, algébrique que de manière numérique ou expérimentale et donc passent à côté de la plus grande partie du programme de terminale S.

D’un autre côté, on reproche aux logiciels de calcul formel d’être trop compliqués à utiliser au lycée. Nous venons de voir que c’est injustifié et qu’au contraire travailler en ligne de commande et ainsi dialoguer naturellement avec l’ordinateur peut en fait être beaucoup plus simple que de naviguer dans des menus, sous-menus et autres sous-sous-menus d’icônes à cliquer.

Enfin, de manière plus précise, le logiciel XCAS semble être particulièrement adapté au lycée car il permet à la fois de faire du calcul formel, de la géométrie dynamique, du tableur et est largement francisé.

Il resterait à parler de l’initiation à la programmation qui devrait faire partie du bagage minimum fourni aux élèves des sections scientifiques ( ce qui est le cas dans de nombreux pays européens ) et qui peut être également abordée grâce à XCAS dès la seconde comme j’en ai fait l’expérience depuis plusieurs années dans mes classes...et même dès l’école primaire grâce à la Tortue de XCAS, mais ceci est un autre problème qui sera abordé dans un prochain article...


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