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Utilisation du logiciel GEOGEBRA pour illustrer certaines notions d’analyse
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Mis en ligne le 15 janvier 2015, par Hédi Abderrahim

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(http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/fr/)

Plan

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Objectifs

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Ce travail consiste à exploiter un exercice classique d’optimisation pour :

  • réaliser une construction - sous contrainte - d’un triangle isocèle de périmètre donné ;
  • conjecturer la valeur maximale de $A(x)$ : son aire et la valeur de $x$ correspondante, à partir de la figure ;
  • créer un point $M(x ; A(x))$, afficher sa trace puis son lieu ;
  • déterminer avec le calcul (à la main), l’équation de ce lieu et le reconstruire (avec GeoGebra) comme étant la courbe représentative d’une fonction $ f : x \mapsto A(x)$ ;
  • évoquer quelques méthodes graphiques pour la détermination du maximum de $C_f$ avec GeoGebra, en particulier :
    • Définition du maximum ;
    • $f$, fonction dérivable donc sa dérivée $f’$ s’annule : tangente horizontale ;
    • détermination de $C_{f’}$ $\cap (xx’)$ après avoir affiché l’expression de $f’(x)$ et tracé sa courbe ;
  • visualiser comment la tangente à $C_f$ occupe la position limite d’une ‘’ sécante ‘’ ;
  • afficher le coefficient directeur de la tangente et le nombre dérivé de $f$ en un point $x_0$ ;
  • construire la tangente ;
  • vérifier que $A(x) = \int_a^b f(x) \, \mathrm dx$ ;
  • se convaincre de la ‘’ légitimité ‘’ de la formule de calcul d’aire sur un intervalle où la fonction change de signe (confusion entre intégrale et aire) ;
  • donner un encadrement de $A(x)$ : approcher la valeur de l’intégrale par la méthode des rectangles ;
  • utiliser la somme supérieure et la somme inférieure ;
  • utiliser des suites adjacentes.

Situation problème

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ABC est un triangle isocèle de sommet principal A et de périmètre 12. Déterminer les longueurs que doivent avoir ses côtés pour que son aire soit maximale.

La phase d’expérimentation est assurée à l’aide du logiciel GeoGebra.
En effet, parmi les quelques logiciels que je prétends maîtriser :

  • il est gratuit (www.geogebra.org) ;
  • il permet à la fois : les constructions géométriques, le traçage des courbes des fonctions (grapheur) et le calcul de certains éléments d’analyse : dérivée, intégrale...

Construction du triangle ABC :
La contrainte porte sur les conditions sur les longueurs des côtés.

Premier choix :

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Soit BC = $a$ alors AB = AC = $ \frac {12-a} {2}$.
• il faut que $ \frac {12-a} {2} - \frac {12-a} {2} \leq a \leq \frac {12-a} {2} \times 2$ ce qui signifie que $0 \leq a \leq 6$.

On prendra [BC] comme base et alors on aura la hauteur $h$ = $\sqrt { ( {\frac {12-a} {2} })^2 - (\frac {a} {2})^2 }$ = $ \sqrt {36 - 6a} $ et donc l’aire de ABC sera exprimée par la fonction $f : x \mapsto \frac {1} {2} x \sqrt {36 - 6x}$.

Second choix  :

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Soit AB = AC = $a$ alors BC = $12 – 2a$.
• il faut que |$12 - 2a - a$| $\leq a \leq 12 - 2a + a$ ce signifie que $3 \leq a \leq 6 $.

On prendra [BC] comme base et alors on aura la hauteur $h$ = $\sqrt { a^2 - (6 - a)^2 }$ = $ \sqrt {12a - 36} $.
Donc l’aire de ABC sera exprimée par la fonction $g : x \mapsto (6 - x) \sqrt {12x - 36}$.

Passons à l’action.

Première étape : vers une première conjecture (à partir du premier choix)

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Commençons par créer une variable réelle $a$ dans l’intervalle [0 ; 6].

Éléments à créer
Guide de l’exécution et résultats obtenus
Dans la zone de saisie : O(0,0)
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Point V(6,0)
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t=segment[O,V]
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Point P variable sur [OV]
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a = dist[O,P]
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Construisons les sommets du triangle

Éléments à créer
Guide de l’exécution et résultats obtenus
Point B libre (feuille de travail)
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Point C variable sur le cercle $\zeta$(B,a)
et variable b = $\frac {12-a}{2}$
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cercle $\zeta$’(B,b),

cercle $\zeta$’’(C,b),

point A $ \in \zeta ’ \cap \zeta ’’$

et polygone ABC
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Aérer la figure en cachant les cercles $\zeta , \zeta ’ , \zeta ’’$, le point V et les étiquettes des côtés du triangle ABC.
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Insertion d’un texte dynamique

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Afficher sur la feuille de travail : les valeurs respectives de $a$, du périmètre et de l’aire du triangle ABC.

Éléments à créer
Guide de l’exécution et résultats obtenus
Affichons ces paramètres dans la fenêtre algèbre tout d’abord.
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Par itération des mêmes étapes, on arrive à afficher des textes dynamiques indiquant les valeurs de $a$ et celle du périmètre.
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Animer P, noter le changement des valeurs de $a$ et de l’aire de ABC alors que le périmètre est toujours fixé à 12.
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Continuer à faire varier manuellement la position de P sur t et conjecturer les valeurs cherchées de $a$ et de l’aire de ABC. ($a = $4 ; aire = 6.93).

Dans les cas litigieux, on pourra augmenter le nombre de chiffres de la partie décimale.

Autres méthodes pour conjecturer

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On va présenter d’autres méthodes permettant de conjecturer les valeurs cherchées de $a$ et celle de l’aire du triangle ABC : Aire(ABC).

Rappelons que dans les pages précédentes de ce travail, on a exposé une première méthode : elle consistait à faire varier manuellement la position de P sur le segment t et à lire la valeur de $a$ et celle de Aire(ABC) qui s’affichent instantanément sur la feuille de travail et on a conjecturé que $a = 4$ et l’aire = 6,93.

Éléments à créer
Guide de l’exécution et résultats obtenus
Créer dans la zone de saisie le point M(a, poly1), animer M par le biais de P.
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Afficher Trace de M ; animer M en déplaçant P.
La deuxième méthode consiste à lire les coordonnées de M dans la fenêtre algèbre et à noter la valeur de l’abscisse pour laquelle l’ordonnée atteint sa valeur maximale (remarquer dans ce cas la position de M sur sa trace.)
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On affiche le tableur de GeoGebra.
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Sélectionner le point M(a,poly1) /menu contextuel / enregistrer sur le tableur

$\Rightarrow$ conjecture sur $a$ et aire de ABC.
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Pour chaque position de M, ses coordonnées sont enregistrées sur le tableur.

Nombre de décimales (options / arrondi / choix et validation) pour les situations litigieuses.

La troisième méthode consiste à lire les coordonnées de M dans le tableur et à noter la valeur de l’abscisse pour laquelle l’ordonnée atteint sa valeur maximale (remarquer dans ce cas la position de M sur sa trace.)
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Afficher le lieu de M.
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Pour aérer la figure, on va cacher le tableur, le triangle ABC et ses sommets.
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Pour tracer la courbe de la fonction $g : x \mapsto \frac {1} {2} x \sqrt {36 - 6x}$, on donne un nom arbitraire à sa courbe $C_g$ et on écrit son expression dans la zone de saisie.

Pour avoir sa restriction à l’intervalle [0 ; 6], dans la zone de saisie, on écrit $C_f = fonction[C_g,0,6]$ puis on cache $C_g$.
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Créer un curseur $c$ qui varie dans l’intervalle [0 ; 7] avec un pas de 0,1 (c’est-à-dire une variable $c$ qui sera commandée).
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Effacer la trace de M (enfoncer les touches Ctrl et F à la fois) puis cacher le lieu de M.

Pour s’assurer que M est sur $C_f$, on clique sur l’icône où on a trouvé "curseur" et on active "Relation entre deux objets" puis on clique sur M et sur $C_f$, la confirmation s’affiche alors.

Créer une droite $\Delta$ : $y = c$.
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On affiche les points d’intersection E et F de $\Delta$ et $C_f$ et leurs coordonnées (dans la fenêtre algèbre).

La quatrième méthode repose sur la résolution graphique de l’équation $f(x) = c$ ; elle consiste à faire varier la position de $\Delta$ par le biais du curseur $c$ et à relever leur ordonnée commune à l’instant où ces deux points coïncident -presque- (c’est une opération délicate et qui nécessite beaucoup d’habileté et de changer le pas du curseur).

Une cinquième méthode peut être signalée : elle consiste à positionner le point P sur l’abscisse 4 et à relever l’ordonnée de M à cet instant car il est le sommet pour $C_f$.
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Illustration graphique de la tangente à une courbe en un point

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Éléments à créer
Guide de l’exécution et résultats obtenus
De la figure, ne garder que $C_f$ et les points O et V : effacer tout le reste.

Créer

  • un curseur $x_0 \in [3.5,4.5]$ ;
  • un point $A_0(x_0,f(x_0))$ ;
  • un curseur $e \in [-0.5,0.5] $ ;
  • un point $A_1(x_0 + e,f(x_0 + e))$ ;
  • une droite $(A_0A_1)$ ;



Écrire dans la zone de saisie : $"tangente[A_0,C_f]"$. On aura alors la tangente à$C_f$ en $A_0$.

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Faire apparaître $abs(A_0)$ et $abs(A_1) = x$ sur la feuille de travail : insérer un texte dynamique.
Remarquer que $abs(A_1)$ tend vers $abs(A_0)$.

Faire apparaître les pentes de ces deux droites.

Observer le traçage de la tangente : triangle rectangle de côtés 1 et m : la pente.
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Pour $e = 0$, $(AA_1)$ est la tangente $\Rightarrow$ la tangente occupe une position limite d’une sécante.

Utiliser les curseurs pour vérifier que la pente est nulle pour $x =4$.

Ainsi on vient de vérifier que :

  • la tangente occupe une position limite de la sécante ;
  • en un extremum, la dérivée (le nombre dérivé) s’annule.
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Expression de la fonction dérivée, affichage et exploitation de sa courbe

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Éléments à créer
Guide de l’exécution et résultats obtenus
Effacer le curseur $e$ : tout ce qui en dépend s’en va.

Dans la zone de saisie, écrire : $"h(x)=dérivée[C_f]"$. Le tracé de $C_h$ et l’expression de $f’$ s’affichent :

$f’(x) = h(x) = \frac {36 - 9x} {2 \sqrt {36 - 6x}}$. On peut vérifier l’exactitude du calcul.

Dans la zone de saisie, écrire : $p = h(x_0)$. Remarquer que $p$ est égal à la pente de la tangente T (le coefficient directeur de T est le nombre dérivé de $f$ en $x_0$).
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On rectifie l’intervalle du curseur :

$x_0 \in$ [3 ; 5].

Marquer un point B variable sur $C_{f’}$ (notée $h$ sur mes graphiques), de même abscisse $x_0$ que $A_0$ et qui varie sur $C_{f’}$. (Zone de saisie : $B = (x_0, h(x_0))$.)

Enregistrer ses coordonnées sur le tableur et noter la valeur de son abscisse $x_0$ dans le cas où l’ordonnée est nulle.
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Coordonnées du point d’intersection de $C_f$ avec $(xx’)$.

D’après sa courbe, $h$ (c’est-à-dire $f’$) est continue (pas de rupture) et strictement décroissante sur [3 ; 5]. De plus, elle change de position par rapport à $(xx’)$ alors l’équation f’(x) = 0 possède une solution unique (Corollaire du théorème des valeurs intermédiaires).

En animant le curseur $x_0$, on découvre que $f’(x)$ s’annule et change de signe en $x_0 = 4$ : c’est en ce point que f atteint son maximum.
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Concepts qui s’attachent à la notion d’intégrale

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Rappelons que, dans la suite, $f$ désigne la fonction $x \mapsto \frac {1} {2} x \sqrt {36 - 6x}$ et que $f’$ désigne la fonction dérivée de f (c’est ce que j’ai nommé h dans la partie précédente).

Éléments à créer
Guide de l’exécution et résultats obtenus
Créer un curseur s $\in$ [3,5] avec un incrément égal à 0.1.

Dans la zone de saisie : $I_s$ = $Intégrale[f’,0,s]$ ; puis $f_s =f(s)$.

Afficher les testes dynamiques $f_s = f(s) = $ et $I_s = intégrale[f’,0,s] =$.

Comparer les deux résultats.
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Calcul d’aire et valeurs conditionnées

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Rappelons que :

  • si $f’ > 0$, l’aire de la partie du plan limitée par $C_{f’}, (xx’), (yy’)$ et $x = s$ est égale à son intégrale de 0 à $s$.
  • si $f’ < 0$, l’aire de la partie du plan limitée par $C_{f’}, (xx’), (yy’)$ et $x = s$ est la valeur absolue de son intégrale de 0 à $s$.
  • si $f’$ change de signe, l’aire de la partie du plan limitée par $C_{f’}, (xx’), (yy’)$ et $x = s$ est la somme de l’intégrale correspondant à $f’ > 0$ et la valeur absolue de l’intégrale correspondant à $f’ < 0$.

Dans la zone de saisie, on définit :

  • $N_s $= $abs(intégrale[f’, 4, s])$ : c’est l’aire de la partie du plan limitée par $C_{f’}, (xx’), x = 4$ et $x = s (f’<0)$ ;
  • $P_s $= $Si [s > 4, intégrale[f’, 0, 4], 0]$ : c’est l’aire de la partie du plan limitée par $C_{f’}, (xx’), x = 0$ et $x = 4$ lorsque $s > 4$, sinon $P_s = 0$ ;
  • $Aire = Si [s > 4, P_s + N_s , Is]$ : c’est l’aire de la partie du plan limitée par $C_{f’},(xx’), x = 0$ et $x = s$, c’est $P_s + N_s$ lorsque $s > 4$, sinon c’est $I_s$ (défini au cours de l’étape précédente).

Animer le curseur $s$ et remarquer que si $f’$change de signe sur l’intervalle d’intégration (s>4), son intégrale diminue alors que la surface de la partie du plan limitée par $C_{f’}, (xx’), (yy’)$ et $x = s$ a augmenté : on gagne du terrain !

L’intégrale est un cumul de grandeurs algébriques alors que l’aire est un cumul de grandeurs positives.

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Valeur approchée d’une intégrale : méthode des rectangles

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  • Redéfinir $I_s = Intégrale [f’,0,4]$ (Menu déroulant / Propriétés / Basique).
  • On supprime le curseur $s$, par suite il y a suppression de tout ce qui en dépend.
  • Créer un curseur $n \in$ [1,10] avec un incrément égal à 1 ; (on va partager l’intervalle [0,4] en $n$ intervalles de même amplitude) ;

Dans la zone de saisie : $S_{i n}$ : somme inférieure $[f’, 0 , 4, n]$ ; $S_{i n} = (\frac {b-a} {n}) \sum_{k=1}^{n-1} f’ (a + k \frac {b-a} {n} )$ est la somme partielle des aires de n rectangles intérieurs.

Dans la zone de saisie : $S_{s n}$ : somme supérieure $[f’, 0 , 4, n]$ ; $S_{s n} = (\frac {b-a} {n}) \sum_{k=0}^{n-1} f’ (a + k \frac {b-a} {n} )$ est la somme partielle des aires de n rectangles extérieurs.

Faire varier la valeur du curseur $n$ (manuellement ou automatiquement) et remarquer que lorsque $n$ croît, l’encadrement de $I_s = \int_0^4 f’(x) \, \mathrm dx$ devient meilleur : son amplitude se réduit. Ainsi plus $n$ est grand, plus $S_{i n}$ et $S_{s n}$ approchent $I_s$.

On peut pousser les choses encore plus loin en changeant les valeurs min et max de $n$, par exemple min = 50 et max = 100. L’inconvénient est que leur largeur commune devient tellement petite (de $\frac {4} {50}$ à $\frac {4} {100}$) qu’on ne pourra plus distinguer les rectangles sur la représentation.
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Suites adjacentes

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Pour tout entier naturel $n > 0$, posons :

  • $S_{i n} = (\frac {b-a} {n}) \sum_{k=1}^{n-1} f’ (a + k \frac {b-a} {n} )$ le terme général d’une suite $(S_{i n})$ croissante et majorée par $I_s $ ;
  • $S_{s n} = (\frac {b-a} {n}) \sum_{k=0}^{n-1} f’ (a + k \frac {b-a} {n} )$ le terme général d’une suite $(S_{n n})$ décroissante et minorée par $I_s $.

Graphiquement :

  • $S_{i n}$ représente la somme des aires des rectangles situés en dessous de la courbe de $f’$ ;
  • $S_{s n}$ représente la somme des aires des rectangles dont le quatrième sommet est situé au-dessus de la courbe de $f’$.
Créer les points $I(n,S_{i n})$ et $S(n,S_{sn})$ de deux couleurs différentes.

Activer "Trace" pour I et S.

Tracer la droite : $\Delta : y = intégrale[f’, 0 , 4]$.

Remarquer la convergence des deux suites vers l’intégrale $I_s$.

Remarquer que $\Delta$ est ‘’tangente’’ à Cf : on revérifie que $I_s = 6.93$ est la valeur maximale de Aire(ABC) et elle est atteinte pour $a = 4$.
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Enregistrer les points I et S dans le tableur ; animer le curseur $n$, s’assurer de la remarque précédente concernant la convergence de ces deux suites vers la même limite $I_s$.
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Fonction définie par une intégrale

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Rappel du second choix :

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Soit AB = AC = $a$ alors BC = $12 – 2a$.
• il faut que |$12 - 2a - a$| $\leq a \leq 12 - 2a + a$ ce signifie que $3 \leq a \leq 6 $.

On prendra [BC] comme base et alors on aura la hauteur $h$ = $\sqrt { a^2 - (6 - a)^2 }$ = $ \sqrt {12a - 36} $.
Donc l’aire de ABC sera exprimée par la fonction $g : x \mapsto (6 - x) \sqrt {12x - 36}$.

Éléments à créer
Guide de l’exécution et résultats obtenus
Ouvrir une nouvelle fenêtre de GeoGebra. Reconstruire le triangle ABC suivant le second choix (voir ci-dessus).

Créer :

  • les points O(0,0) ; U(3,0) ; V(6,0) ;
  • le segment [UV]
  • le point P variable sur [UV] ;
  • a = distance[O,P] ;
  • le point A libre ;
  • le cercle $\zeta (A,a)$ ;
  • le point B variable sur $\zeta (A,a)$.
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Créer

  • $b = 12 -2a$ ;
  • le cercle $\zeta ’(B,b)$ ;
  • le point C $ \in \zeta \cap \zeta ’$ ;
  • le polygone ABC.
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Cacher $\zeta$ et $\zeta ’$.
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Créer le point M$(a,poly1)$. Animer M. Trace activée par le biais de P.
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Tracer la courbe de $g : x \mapsto (6 - x) \sqrt {12x - 36}$.

Vérifier que M est un point de $C_g$ : (outil/relation) $M(a,poly1)$ et $C_g$.

Résultat :$M \in C_g$.
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Cacher le triangle ABC et ses sommets.

Vérifier par le calcul que $g$ n’est pas dérivable à droite en 3.

$dérivée[g] : g’(x) = \frac {-9x + 36} {\sqrt {3x - 9}} ]$ donc g’ n’est pas définie en 3, par suite, elle ne peut pas y être continue.

On vérifie que $g(6) = 0$ donc $g$ est la primitive de $g’$ qui s’annule en 6.
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on définit sur ]3 ; + $\infty$ [, la fonction F par : $F(x) = \int_6^x {\frac {-9t + 36} {\sqrt {3t - 9}}} dt$ (intégrale qui n’est pas facile à calculer à la main au niveau du secondaire).

Créer un curseur $v \in$ [0,0.5] avec un incrément égal à 0.01 ; poser $x_0 = 3 + v$.

Dans la zone de saisie : $ intégrale[g’,6, x_0$] puis $g(x_0)$ ; comparer les deux résultats ; faire varier $x_0$ par le biais du curseur v.
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Animer le curseur $v$ et remarquer l’effet de cette animation sur les valeurs de $x_0$,
$g(x_0)$ et $F(x_0)$.

Discuter ce qui se passe pour $v = 0$ c’est-à-dire $x_0 = 3$.

Conjecturer la limite à droite en 0 de $\int_6^x {\frac {-9t + 36} {\sqrt {3t - 9}}} dt$
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Conclusion

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Dans cet article, je me suis fixé l’objectif de parvenir à illustrer un grand nombre de notions d’analyse issues du programme de Terminale. Tout en partant d’un support géométrique, j’ai détaillé pas à pas comment à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique, on pouvait donner vie aux concepts les plus abstraits de l’analyse. Je tiens à signaler que les choix que j’ai faits lors de mes manipulations de GeoGebra n’étaient pas les uniques solutions offertes par ce logiciel. Mais j’ai essayé de présenter les options qui me permettaient de m’approcher le plus possible des objectifs que je m’étais fixés.

J’ose espérer que la possibilité de ‘’matérialiser’’ certaines notions d’analyse à l’aide de logiciels de géométrie dynamique, comme GeoGebra, donnera des idées aux enseignants de lycée et permettra à un grand nombre d’élèves de voir les choses un peu plus clairement. C’était bien là mon objectif principal en présentant ce tutoriel.


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