Mathématice, intégration des Tice dans l'enseignement des mathématiques  
Sommaire > N°56 - En cours d’élaboration - Les nouveautés de MathémaTICE > Aléatoiriser des documents ? Comment ? (...)

Aléatoiriser des documents ? Comment ? (4)
L’utilisation des variables et des calculs automatiques.
Moteur de recherche
Mis en ligne le 6 juillet 2017, par Olivier Jaccomard

Olivier Jaccomard nous propose le quatrième volet de ses articles au sujet de l’extension DocAlea qu’il a développée pour produire des documents d’évaluation avec des variables aléatoires. Pour mémoire voici les liens vers les précédents articles :

Cet article peut être librement diffusé et son contenu réutilisé suivant la licence CC-by-sa

Article mis sous spip par Angelo Laplace.

I) Rappels.


DocAlea est une extension de Libreoffice. Elle permet d’aléatoiriser automatiquement les documents. La version actuelle (0.7.7) est accessible sur mon site, avec tous les fichiers nécessaires :

http://scolamath.free.fr/pedagogie/OutilLibreOffice/

Pour la procédure d’installation (qui est très simple) de l’extension, référez-vous à l’article précédent de Mathematice, ou ici :

http://scolamath.free.fr/pedagogie/OutilLibreOffice/BibliDocalea.oxt

Et ici pour installer le menu :

http://scolamath.free.fr/pedagogie/OutilLibreOffice/InstallDocAlea.odt

.

L’objet de cet article est de montrer une utilisation approfondie des capacités de DocAlea : utiliser les variables et les calculs automatiques.

Remarque n°1 : cette version est une version « beta » : elle comporte encore des bugs, ne gère pas encore les tableaux irréguliers et les cadres, ne génère pas un code Latex propre ni d’exercices interactifs. Elle ne permet pas encore de faire du calcul formel, gère mal les erreurs de codage, etc. Tous ces points font l’objet de développements.

Remarque n°2   : la liste exhaustive des commandes est téléchargeable ici :

http://scolamath.free.fr/pedagogie/OutilLibreOffice/AideDocAlea.odt

Une liste succincte (image ci-dessous) est intégrée au menu à partir de la version 0.7.5 :


PNG - 185.6 ko


Remarque n°3 : la pertinence pédagogique des documents-exemples est faible (même s’il s’agit en général de documents que j’exploite en classe), l’objectif de cet article étant avant tout de faire comprendre l’usage de l’extension.

Avertissement de la rédaction  : les documents génériques à saisir dans DocAlea sont annoncés par un titre en rouge, quant aux documents générés par DocAlea à destination des élèves, leurs titres sont en bleu.


II) Un premier exemple en seconde d’utilisation des variables.


On souhaite faire une séance d’approfondissement sur la modélisation, utilisant les notions de fonctions affines et trinôme du second degré.

1) La situation :


PNG - 21.4 ko


Un point M se déplace sur une droite d’équation y = - ¤ x + ¤ . A et B sont respectivement les projections orthogonales de M sur l’axe des ordonnées et l’axe des abscisses. On s’intéresse à l’aire du rectangle OAMB  : le but est de calculer son aire et de voir s’il y a un maximum ou un minimum.

2) L’analyse mathématique :

On peut vouloir aider l’élève, notamment lors des premières modélisations de ce genre. On peut aussi vouloir avoir les solutions à l’avance (notamment le polynôme du second degré). D’autant plus que l’aléatoirisation fait que chaque élève aura un résultat différent. C’est pourquoi il est nécessaire, en général, de faire auparavant une analyse en effectuant les calculs paramétrés.

Ici :

M est sur la droite d’équation $ y = -ax+b$. Il a donc pour coordonnées $( x ; -ax+b)$.

L’aire du rectangle sera alors (puisque l’on est dans un repère orthonormé) :

$A( x )= -ax² + bx $.

Pour étudier les variations d’un tel polynôme, l’élève de seconde n’a pas la notion de dérivée. Il faut donc mettre le polynôme sous forme canonique, et le fournir à l’élève :

$A \left( x \right) = -a \left( x^2 + \frac{b} {-a}x \right) $

$A \left( x \right) = -a \Bigg( \left( x - \frac{b} {2a} \right) ^2 - \left( \frac{b}{2a} \right) ^2 \Bigg) $

$A\left( x \right) = -a \Bigg( \left( x - \frac{b} {2a} \right) ^2 - \frac{b^2}{4a^2} \Bigg) $

Ici, la droite est ‘descendante’, et a pour équation $ y= - ax+b $ on a donc :

$A\left( x \right) = -a \Bigg( \left( x - \frac{b} {2a} \right) ^2 - \frac{b^2}{4a^2} \Bigg) $

On aura donc deux variables au départ, $a$ et $b$ , qu’il faut réutiliser dans l’énoncé, pour écrire le polynôme sous forme canonique.

De plus, ceci permet de déterminer que l’aire sera maximum pour $ x = \frac{b}{2a}$.

3) La mise au point de l’énoncé.

Dans DocAlea, toute instruction d’aléatoirisation est stockée, et accessible sous la forme "# n° d’apparition". Par exemple, ici, la phrase "Un point M se déplace sur une droite d’équation $ y = -¤x + ¤ $." située en début d’exercice stockera le coefficient directeur (plus exactement son opposé) $a$ dans une variable nommée #1, et l’ordonnée à l’origine $b$ dans une variable nommée #2.

Remarque : pour des raisons techniques, l’ordre n’est pas toujours si prévisible. C’est pourquoi, lors de l’aléatoirisation, on génère un document qui donne la liste des variables.

Supposons qu’ici, $ a$ corresponde à #1 et $b$ corresponde à #2. $A\left( x \right) =-a \Bigg( \left( x - \frac{b} {2a} \right) ^2 - \frac{b^2}{4a^2} \Bigg) $ donnera donc le texte suivant :

$A( x )$ = - #1(( $x$ - /fs$\{$#2 ;2*#1$\}$ )² - /fs$\{$#2*#2 ;4*#1*#1$\}$ )

Et :

« Montrer que l’aire sera maximale pour $ x =\frac{b}{ 2 a }$. » donnera :

« Montrer que l’aire sera maximale pour $x$ =/fs$\{$#2 ;2*#1$\}$. »

En effet :

/fs$\{$#2 ;2*#1$\}$ calcule et simplifie $\frac{\text{#}2}{ 2 \times \text{#}1 }$, c’est à dire $\frac{b}{ 2 a }$.

/fs$\{$#2*#2 ;4*#1*#1$\}$ calcule et simplifie $\frac{\text{#}2 \times \text{#}2}{ 4 \times \text{#}1 \times \text{#}1}$, c’est à dire $\frac{b^2}{ 4 a^2 }$.


Voici un énoncé générique de l’exercice (remarque pédagogique : cet énoncé n’est pas ouvert et correspond plutôt à un exercice d’initiation à la modélisation, fait avant le cours sur les polynôme du second degré, et après le cours sur l’étude des effets des fonctions sur une inégalité) :


AP n°5 – Approfondissement

Exercice n°1

Soit f la fonction qui, à $x$ associe $-¤x + ¤$.

1. Cette fonction est-elle croissante ? Décroissante ? Justifier.

2. Tracer la représentation graphique de $f$.

3. Soit $M$ un point de la représentation graphique de $f$, d’abscisse $x_M$, dans un repère orthonormé. Quelles sont ses coordonnées ?

4. Soit $A (x_M ;0)$ et $B(0 ;y_M)$ où $y_M$ est l’ordonnée de $M$. On nomme $O$ l’origine du repère. Calculer l’aire $A( x )$ de $OAMB$ en fonction de $x$ .

5. Dans un autre repère, construire la représentation graphique de $A$. Cette fonction semble-t-elle croissante ? Décroissante ?

6. Démontrer que $ \$A( x )$ = - #1(($x$ - /fs$\{$#2 ;2*#1$\}$)² - /fs$\{$#2*#2 ;4*#1*#1$\}$) $ \$ $.

7. Démontrer que l’aire $A$ sera maximale pour $x= $/fs$\{$#2 ;2*#1$\}$.


Il est indispensable de tester le travail fait avant de générer les documents. C’est maintenant possible (merci à Vincent Everaert pour les excellentes suggestions d’amélioration).

Cliquez sur Doc Aléa → Aléatoirisation → Générer un exemplaire.

Voici deux documents produits à partir du texte ci-dessus :


Doc généré n° 1 : AP n°5 – Approfondissement

Exercice n°1

Soit $f$ la fonction qui, à $x$ associe $-3x + 3$.

1. Cette fonction est-elle croissante ? Décroissante ? Justifier.

2. Tracer la représentation graphique de $f$.

3. Soit M un point de la représentation graphique de $f$, d’abscisse $x_M$, dans un repère orthonormé. Quelles sont ses coordonnées ?

4. Soit $A(x_M ;0)$ et $B(0 ;y_M)$ où $y_M$ est l’ordonnée de $M$. On nomme $O$ l’origine du repère. Calculer l’aire $A(x)$ de $OAMB$ en fonction de $x $.

5. Dans un autre repère, construire la représentation graphique de $A$. Cette fonction semble-t-elle croissante ? Décroissante ?

6. Démontrer que $A \left( x \right) \, =\, -\, 3 \left( \left( x\, -\, {\frac{1}{2}} \right) ²\, -\, {\frac{1}{4}} \right) $.

7. Démontrer que l’aire $A$ sera maximale pour $x= \frac{1}{2}$.


Doc généré n° 2 : AP n°5 – Approfondissement

Exercice n°1

Soit $f$ la fonction qui, à $x$ associe $-9x + 8$.

1. Cette fonction est-elle croissante ? Décroissante ? Justifier.

2. Tracer la représentation graphique de $f$.

3. Soit $M$ un point de la représentation graphique de $f$, d’abscisse $x_M$, dans un repère orthonormé. Quelles sont ses coordonnées ?

4. Soit $A (x_M ;0)$ et $B(0 ;y_M)$ où $y_M$ est l’ordonnée de $M$. On nomme $O$ l’origine du repère. Calculer l’aire $A(x)$ de $OAMB$ en fonction de $x $.

5. Dans un autre repère, construire la représentation graphique de $A$. Cette fonction semble-t-elle croissante ? Décroissante ?

6. Démontrer que $A \left( x \right) \, =\, -\, 9 \left( \left( x\, -\, {\frac{4}{9}} \right) ²\, -\, {\frac{16}{81}} \right) $.

7. Démontrer que l’aire $A$ sera maximale pour $x= \frac{4}{9}$.


Et voici le contenu du document répertoriant les variables pour le deuxième document :

BMP - 387.1 ko

On constate bien que #1 correspond à l’opposé du coefficient directeur, et que #2 correspond à l’ordonnée à l’origine.

Remarque : dans certains cas, c’est le nom de l’instruction qui peut être utile. En l’occurrence, ce serait accessible par la commande #c1 ou #c2.


III) Un second exemple en seconde : des inéquations produits.


La résolution d’inéquations au moyen de tableaux de signes est souvent traitée dans la deuxième partie de l’année. L’inconvénient d’une séance habituelle en classe est que tout le monde planche sur la même inéquation, ce qui laisse la porte ouverte à l’attitude passive qui consiste à ne pas chercher pendant le temps de recherche, et à recopier ensuite sans réfléchir la correction. Pour éviter ce phénomène, une solution consiste à ne pas donner le même sujet à chaque élève. Mais on est alors confronté au problème de la correction : comment faire en sorte que chaque élève puisse savoir s’il a juste ou faux, sans être débordé. Et, s’il a faux, comment l’aider à trouver rapidement son erreur ?

La résolution automatique peut permettre d’améliorer l’autonomie de l’élève. Ici, cette résolution automatique est faite en deux temps :

- premier temps, lors de la distribution des sujets, le résultat est donné.

- deuxième temps, en fin de séance, la correction complète est donnée.

Avertissement : ceci ne fonctionne qu’à partir de la version 0.7.7 !


1) La situation

On veut résoudre une inéquation produit de deux polynômes de degré 1. On souhaite avoir un coefficient entier négatif et un positif (pour tester la capacité de l’élève à déterminer le signe d’une fonction affine dans les deux cas possibles). De plus le deuxième facteur du produit ne doit pas être égal au premier facteur (ce qui pourrait arriver dans de rares cas, avec ¤).


2) La mise au point de l’énoncé

Le plus simple est d’utiliser :

/al$\{$borne inférieure ;borne supérieure ;nombre de décimales ; valeurs interdites$\}$
Les deux derniers paramètres sont optionnels (voir http://scolamath.free.fr/pedagogie/OutilLibreOffice/AideDocAlea.odt pour les détails sur chaque commande.)

On aura ainsi, pour une inéquation donnée :

(/al$\{$-9 ;-1$\} x$ + /al$\{$-9 ;9 ;0 ;0$\}$)(/al$\{$1 ;9$\} x $ + /al$\{$-9 ;9 ;0 ;#2 ;0$\}$)/t$\{$> ;< ;≤ ;≥$\}$0.

En effet :

/al$\{$-9 ;-1$\}$ générera un entier (par défaut) entre -9 et -1.

/al$\{$-9 ;9 ;0 ;0$\}$ générera un entier entre -9 et 9, qui ne vaudra jamais 0.

/al$\{$1 ;9$\}$ générera un entier (par défaut) entre 1 et 9.

/al$\{$-9 ;9 ;0 ;#2 ;0$\}$ générera un entier entre -9 et 9, qui ne vaudra jamais 0, et ne sera jamais égal à la deuxième valeur générée.

/t$\{$> ;< ;≤ ;≥$\}$ choisira au hasard un symbole parmi les quatre mentionnés.


3) La mise au point du résultat

a) La première étape consiste à vérifier le numéro de stockage de chaque variable.

Un lancement de DocAlea sur l’expression « (/al$\{$-9 ;-1$\} x$ + /al$\{$-9 ;9 ;0 ;0$\}$)(/al$\{$1 ;9$\} x $ + /al$\{$-9 ;9 ;0 ;#2 ;0$\}$)/t$\{$> ;< ;≤ ;≥$\}$0. » donne, pour les variables, ceci :

BMP - 575.9 ko

(L’expression générée est, dans cet exemple, ($-5x -9)(2x -1$)<0. ).

On constate que l’ordre n’est pas celui attendu : la commande « /t » est effectuée avant les commandes « /al ». Il faut donc en tenir compte pour modifier le texte de l’énoncé, et l’affichage du résultat.

b) La seconde étape consiste à étudier mathématiquement tous les cas.

On utilisera alors dans les résultats l’instruction /si$\{$test ;instruction si test vrai ;instruction si test faux$\}$.

La première expression « (/al$\{$-9 ;-1$\}x$ + /al$\{$-9 ;9 ;0 ;0$\}$) » donnera comme valeur pivot $\frac{-\text{#}3}{\text{#}2}$, et sera négative si $ x$ > $\frac{-\text{#}3}{\text{#}2}$, positive sinon.

La deuxième expression (/al$\{$1 ;9$\}x$ + /al$\{$-9 ;9 ;0 ;#2 ;0$\}$) donnera pour valeur pivot $\frac{-\text{#}5}{\text{#}4}$, et sera négative si $x<$$\frac{-\text{#}5}{\text{#}4}$, positive sinon.

Donc :
- Si #1 vaut « < », la solution est l’union de deux cas :

cas n°1  : $x$ > $\frac{-\text{#}3}{\text{#}2}$ (première expression négative) et $x$ > $\frac{-\text{#}5}{\text{#}4}$ (deuxième expression positive).
Si $\frac{-\text{#}3}{\text{#}2}$>$\frac{-\text{#}5}{\text{#}4}$, cela donne $ ] \frac{-\text{#}3}{\text{#}2} ;+\infty [$, sinon, $ ] \frac{-\text{#}5}{\text{#}4} ;+\infty [$.

cas n°2  : $x$ < $\frac{-\text{#}3}{\text{#}2}$ (première expression positive) et $x$ < $\frac{-\text{#}5}{\text{#}4}$ (deuxième expression négative).
Si $\frac{-\text{#}3}{\text{#}2}$>$\frac{-\text{#}5}{\text{#}4}$, cela donne $ ] -\infty ;\frac{-\text{#}5}{\text{#}4} [$, sinon,$ ] -\infty ;\frac{-\text{#}3}{\text{#}2} [$.

Ce qui donne, au global :

Si $\frac{-\text{#}3}{\text{#}2}$>$\frac{-\text{#}5}{\text{#}4}$, $ ] -\infty ;\frac{-\text{#}5}{\text{#}4} [ \cup ] \frac{-\text{#}3}{\text{#}2} ;+\infty [ $, sinon : $ ] -\infty ;\frac{-\text{#}3}{\text{#}2} [ \cup ] \frac{-\text{#}5}{\text{#}4} ;+\infty [ $.

- Si #1 vaut « ≤ », on obtient :

Si $\frac{-\text{#}3}{\text{#}2}$>$\frac{-\text{#}5}{\text{#}4}$, $ ] -\infty ;\frac{-\text{#}5}{\text{#}4} ] \cup [ \frac{-\text{#}3}{\text{#}2} ;+\infty [ $, sinon : $ ] -\infty ;\frac{-\text{#}3}{\text{#}2} ] \cup [ \frac{-\text{#}5}{\text{#}4} ;+\infty [ $.

- Si #1 vaut « > », la solution est l’union de deux cas :

cas n°1  : $x$ < $\frac{-\text{#}3}{\text{#}2}$ (première expression positive) et $x$ > $\frac{-\text{#}5}{\text{#}4}$ (deuxième expression positive).
Si $\frac{-\text{#}3}{\text{#}2}$>$\frac{-\text{#}5}{\text{#}4}$, cela donne $ ] \frac{-\text{#}5}{\text{#}4} ;\frac{-\text{#}3}{\text{#}2}[$, sinon, c’est l’ensemble vide.

cas n°2  : $x$ > $\frac{-\text{#}3}{\text{#}2}$ (première expression négative) et $x$ < $\frac{-\text{#}5}{\text{#}4}$ (deuxième expression négative).
Si $\frac{-\text{#}3}{\text{#}2}$>$\frac{-\text{#}5}{\text{#}4}$, cela donne l’ensemble vide, sinon, $ ] \frac{-\text{#}3}{\text{#}2} ;\frac{-\text{#}5}{\text{#}4} [$. Ce qui donne, au global :

Si $\frac{-\text{#}3}{\text{#}2}$>$\frac{-\text{#}5}{\text{#}4}$, $ ] \frac{-\text{#}5}{\text{#}4} ;\frac{-\text{#}3}{\text{#}2} [$, sinon : $ ] \frac{-\text{#}3}{\text{#}2} ;\frac{-\text{#}5}{\text{#}4} [$.
- Si #1 vaut « ≥ », on obtient :

Si $\frac{-\text{#}3}{\text{#}2}$>$\frac{-\text{#}5}{\text{#}4}$, $ [ \frac{-\text{#}5}{\text{#}4} ;\frac{-\text{#}3}{\text{#}2} ]$, sinon : $ [ \frac{-\text{#}3}{\text{#}2} ;\frac{-\text{#}5}{\text{#}4} ]$.

c) La troisième étape : une première rédaction, avec résultat intégré.

Concernant l’énoncé, on change :

(/al$\{$-9 ;-1$\}x$ + /al$\{$-9 ;9 ;0 ;0$\}$)(/al$\{$1 ;9$\}x$ + /al$\{$-9 ;9 ;0 ;#2 ;0$\}$)/t$\{$> ;< ;≤ ;≥$\}$0.

en :

(/al$\{$-9 ;-1$\}x$ + /al$\{$-9 ;9 ;0 ;0$\}$)(/al$\{$1 ;9$\}x$ + /al$\{$-9 ;9 ;0 ;#3 ;0$\}$)/t$\{$> ;< ;≤ ;≥$\}$0 pour tenir compte de l’ordre d’exécution des commandes.

Concernant les résultats, on va imbriquer des /si, en se servant de la touche ‘Entrée’ et de la touche ‘Tab’ pour rendre le texte plus lisible :

/si$\{$#1=< ;

/si$\{$/calc$\{$- #3/#2$\}$>/calc$\{$- #5/#4$\}$ ;

$]-$\infty$ ;/fs$\{$- #5 ;#4$\}$[U]/fs$\{$- #3 ;#2$\}$ ;+$\infty$[$ ;

$]-$\infty$ ;/fs$\{$- #3 ;#2$\}$[U]/fs$\{$- #5 ;#4$\}$ ;+$\infty$[$ ;

$\}$ ;

/si$\{$#1=$\leq$ ;

/si$\{$/calc$\{$- #3/#2$\}$>/calc$\{$- #5/#4$\}$ ;

$]-$\infty$ ;/fs$\{$- #5 ;#4$\}$]U[/fs$\{$- #3 ;#2$\}$ ;+$\infty$[$ ;

$]-$\infty$ ;/fs$\{$- #3 :#2$\}$]U[/fs$\{$-#5 ;#4$\}$ ;+$\infty$[$

$\}$ ;

/si$\{$#1=> ;

/si$\{$/calc$\{$- #3/#2$\}$>/calc$\{$- #5/#4$\}$ ;

$]/fs$\{$- #5 ;#4$\}$ ;/fs$\{$- #3 ;#2$\}$[$ ;

$]/fs$\{$- #3 ;#2$\}$ ;/fs$\{$- #5 ;#4$\}$[$

$\}$ ;

/si$\{$/calc$\{$- #3/#2$\}$>/calc$\{$- #5/#4$\}$ ;

$[/fs$\{$- #5 ;#4$\}$ ;/fs$\{$- #3 ;#2$\}$]$ ;

$[/fs$\{$- #3 ;#2$\}$ ;/fs$\{$- #5 ;#4$\}$]$

$\}$ ;

$\}$ ;

$\}$ ;

$\}$ ;

Avertissement : ceci ne fonctionne qu’à partir de la version 0.7.7 !

Voici un exemple d’un document générique complet :


Accompagnement personnalisé : résolution d’inéquations.

Exercice

Résoudre l’inéquation :

(/al$\{$-9 ;-1$\}x$ + /al$\{$-9 ;9 ;0 ;0$\}$)(/al$\{$1 ;9$\} x$ + /al$\{$-9 ;9 ;0 ;#3 ;0$\}$)/t$\{$> ;< ;≤ ;≥$\}$0.

Solution (attention : cette solution n’est qu’un moyen de contrôle. Si vous n’obtenez pas cela, cherchez votre erreur, ou recommencez votre résolution. En cas de deuxième échec, appelez le professeur ou demandez à votre voisin de vous aider) :

/si$\{$#1=< ;

/si$\{$/calc$\{$- #3/#2$\}$>/calc$\{$- #5/#4$\}$ ;

$]-$\infty$ ;/fs$\{$- #5 ;#4$\}$[U]/fs$\{$- #3 ;#2$\}$ ;+$\infty$[$ ;

$]-$\infty$ ;/fs$\{$- #3 ;#2$\}$[U]/fs$\{$- #5 ;#4$\}$ ;+$\infty$[$ ;

$\}$ ;

/si$\{$#1=$\leq$ ;

/si$\{$/calc$\{$- #3/#2$\}$>/calc$\{$- #5/#4$\}$ ;

$]-$\infty$ ;/fs$\{$- #5 ;#4$\}$]U[/fs$\{$- #3 ;#2$\}$ ;+$\infty$[$ ;

$]-$\infty$ ;/fs$\{$- #3 :#2$\}$]U[/fs$\{$-#5 ;#4$\}$ ;+$\infty$[$

$\}$ ;

/si$\{$#1=> ;

/si$\{$/calc$\{$- #3/#2$\}$>/calc$\{$- #5/#4$\}$ ;

$]/fs$\{$- #5 ;#4$\}$ ;/fs$\{$- #3 ;#2$\}$[$ ;

$]/fs$\{$- #3 ;#2$\}$ ;/fs$\{$- #5 ;#4$\}$[$

$\}$ ;

/si$\{$/calc$\{$- #3/#2$\}$>/calc$\{$- #5/#4$\}$ ;

$[/fs$\{$- #5 ;#4$\}$ ;/fs$\{$- #3 ;#2$\}$]$ ;

$[/fs$\{$- #3 ;#2$\}$ ;/fs$\{$- #5 ;#4$\}$]$

$\}$ ;

$\}$ ;

$\}$ ;

$\}$ ;



Et voici différents documents générés produits par DocAlea :



Doc généré n° 1 : Accompagnement personnalisé : résolution d’inéquations.

Exercice

Résoudre l’inéquation :

(-6$x$ - 5)(5$x$ + 8)>0.

Solution (attention : cette solution n’est qu’un moyen de contrôle. Si vous n’obtenez pas cela, cherchez votre erreur, ou recommencez votre résolution. En cas de deuxième échec, appelez le professeur ou demandez à votre voisin de vous aider) :

$]-\, {\frac{8}{5}} ;-\, {\frac{5}{6}}[$


Doc généré n° 2 : Accompagnement personnalisé : résolution d’inéquations.

Exercice

Résoudre l’inéquation :

(-3$x$ -7)(3$x$ + 8)≤0.

Solution (attention : cette solution n’est qu’un moyen de contrôle. Si vous n’obtenez pas cela, cherchez votre erreur, ou recommencez votre résolution. En cas de deuxième échec, appelez le professeur ou demandez à votre voisin de vous aider) :

$]-∞ ;-\, {\frac{8}{3}}]U [-\, {\frac{7}{3}} ;+∞[$


Doc généré n° 3 : Accompagnement personnalisé : résolution d’inéquations.

Exercice

Résoudre l’inéquation :

(-2$x$ -3)(9$x$ + 1)>0.

Solution (attention : cette solution n’est qu’un moyen de contrôle. Si vous n’obtenez pas cela, cherchez votre erreur, ou recommencez votre résolution. En cas de deuxième échec, appelez le professeur ou demandez à votre voisin de vous aider) :

$ ]-\, {\frac{3}{2}} ;-\, {\frac{1}{9}}[$



4) La mise au point de la correction automatique.

Pour la correction automatique, il faut écrire la résolution des deux inéquations qui justifient les signes, puis le tableau de signe, et enfin le résultat.

a) Résolution des deux inéquations :

Arbitrairement, et pour bien montrer que l’établissement du tableau de signe ne nécessite pas d’étudier tous les cas, je résous :

#2$x$ + #3<0 et #4$x$ + #5<0.

- Texte de la résolution de #2$x$ + #3<0 :

Pour la première inéquation, cela donne :
$#2$x$ + #3<0$
$#2$x$< -#3$
/si$\{$#2<0 ;$x>/fs$\{$-#3 ;#2$\}$$ car on divise de chaque côté par $#2$ qui est négatif ; $ x< /fs$\{$-#3 ;#2$\}$$$\}$
Donc, /si$\{$#2<0 ;si $x>/fs$\{$-#3 ;#2$\}$$, alors $#2$x$ + #3$ est négatif ; si $x< /fs$\{$-#3 ;#2$\}$$, alors $#2$x$ + #3$ est négatif.$\}$

Quelques explications :
- les « $ » permettent de mettre le texte au format mathématique.
- Le « /si$\{$#2<0 ;$x>/fs$\{$-#3 ;#2$\}$$ car on... » permet d’insister sur le piège de la division par un nombre négatif.
- Le « Donc, /si$\{$#2<0 ;si $x>/fs$\{$-#3 ;#2$\}$$ ... » donne l’interprétation de la résolution.

De même,

- Texte de la résolution de #4$x$ + #5<0 :

Pour la deuxième inéquation, cela donne, de la même façon :
$#4$x$ + #5<0$
$#4$x$< -#5$
/si$\{$#4<0 ; $x>/fs$\{$-#5 ;#4$\}$$ car on divise de chaque côté par $#4$ qui est négatif ; $ x< /fs$\{$-#5 ;#4$\}$$$\}$
Donc, /si$\{$#4<0 ;si $x>/fs$\{$-#5 ;#4$\}$$, alors $#4$x$ + #5$ est négatif ; si $x< /fs$\{$-#5 ;#4$\}$$, alors $#4$x$ + #5$ est négatif.$\}$

La conception du tableau nécessite de savoir laquelle des deux valeurs pivots est la plus petite, et d’afficher des « + » ou des « - » suivant ce classement d’où :

On a donc le tableau de signes :

$x$ -∞ /si$\{$/calc$\{$-#3/#2$\}$>/calc$\{$-#5/#4$\}$ ;/fs$\{$-#5 ;#4$\}$ ;/fs$\{$-#3 ;#2$\}\}$ /si$\{$/calc$\{$-#3/#2$\}$>/calc$\{$-#5/#4$\}$ ;/fs$\{$-#3 ;#2$\}$ ;/fs$\{$-#5 ;#4$\}\}$ +∞
$#2x + #3$ + /si$\{$/calc$\{$-#3/#2$\}$>/calc$\{$-#5/#4$\}$ ; ;0$\}$ /si$\{$/calc$\{$-#3/#2$\}$>/calc$\{$-#5/#4$\}$ ;+ ;-$\}$ /si$\{$/calc$\{$-#5/#4$\}$>/calc$\{$-#3/#2$\}$ ; ;0$\}$ -
$#4x + #5$ - /si$\{$/calc$\{$-#3/#2$\}$>/calc$\{$-#5/#4$\}$ ;0 ; $\}$ /si$\{$/calc$\{$-#3/#2$\}$>/calc$\{$-#5/#4$\}$ ;+ ;-$\}$ /si$\{$/calc$\{$-#5/#4$\}$>/calc$\{$-#3/#2$\}$ ;0 ; $\}$ +
$(#2x + #3)(#4x + #5)$
-
0
+
0
-

Voici des résultats de documents complets obtenus en lançant DocAlea (pour rendre commode la lecture, j’ai rassemblé résultats et correction détaillée sur le même document) :


Doc généré n° 1 : Accompagnement personnalisé : résolution d’inéquations.

Exercice

Résoudre l’inéquation :

(-5$x$ -3)(3$x$ + 6)<0.

Solution (attention : cette solution n’est qu’un moyen de contrôle. Si vous n’obtenez pas cela, cherchez votre erreur, ou recommencez votre résolution. En cas de deuxième échec, appelez le professeur ou demandez à votre voisin de vous aider) :

$ ]-∞ ;-\, 2 [U ]-\, {\frac{3}{5}} ;+∞ [$

Correction complète

Pour la première inéquation, cela donne :

$-5x\, -3<0$

$-5x<\, +3$

$x>-\, {\frac{3}{5}}$ car on divise de chaque côté par $-5$ qui est négatif

Donc, si $x>-\, {\frac{3}{5}}$, alors $-5x\, -3$ est négatif.

Pour la deuxième inéquation, cela donne, de la même façon :

$3x\, +\, 6<0$

$3x<\, -6$

$x<\, -\, 2$

Donc, si $x<\, -\, 2$, alors $3x\, +\, 6$ est négatif.

On a donc le tableau de signes :

BMP - 511.8 ko

Doc généré n° 2 : Accompagnement personnalisé : résolution d’inéquations.

Exercice

Résoudre l’inéquation :

(-8$x$ -1)(5$x$ + 7) $\geq$ 0.

Solution (attention : cette solution n’est qu’un moyen de contrôle. Si vous n’obtenez pas cela, cherchez votre erreur, ou recommencez votre résolution. En cas de deuxième échec, appelez le professeur ou demandez à votre voisin de vous aider) :

$ [-{\frac{7}{5}} ;-{\frac{1}{8}}] $

Correction complète

Pour la première inéquation, cela donne :

$-8x\, -1<0$

$-8x<\, 1$

$x>-\, {\frac{1}{8}}$ car on divise de chaque côté par $-8$ qui est négatif

Donc, si $x>-\, {\frac{1}{8}}$, alors $-8x\, -1$ est négatif.

Pour la deuxième inéquation, cela donne, de la même façon :

$5x\, +\, 7<0$

$5x<\, -7$

$x<-\, {\frac{7}{5}}$

Donc, si $x<-\, {\frac{7}{5}}$, alors $5x\, +7$ est négatif.

On a donc le tableau de signes :

BMP - 525.9 ko


IV) Un exemple de devoir maison en Terminale S


Un autre intérêt de cette extension est de pouvoir donner des devoirs maisons tous différents : il est alors possible de les noter, sans être confronté au fléau de la recopie.

Voici un exemple de DM qui utilise les variables de DocAlea :

Soit f définie par f(x)= ${\frac{ax^3-b}{x^2+c}}$

En dérivant f, on obtient : f ’(x)= $\frac{x\left( ax^3+3acx+2b\right) }{\left( x^2+c\right) ^2}$.

Soit g définie par g(x)=$ax ^3 + 3acx+ 2b.$

En dérivant g, on obtient :g’(x) = $3a(x^2 + c)$.

Donc, en choisissant c positif, et a positif :
- g est croissante, continue, $\lim_{x \to\, -\infty}{g \left( x \right) }=-\infty$ et $\lim_{x \to\, +\infty}{g \left( x \right) }=+\infty$ : g(x)=0 admet donc une unique solution.
- On peut donc en déduire le signe de g, et, par conséquent, le signe de f’.
- On peut donc étudier les variations de f.


Voici un exemple d’énoncé aléatoirisé :


TS – DM n°4

Exercice n°1

On considère la fonction f définie sur R par f(x)=/f$\{$¤x^3 – µ ;x^2 + µ$\}$ et on note $c_f$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

Soit $g(x)$ = #1$x^3$ + /calc$\{$3*#1*#3$\} x$ + /calc$\{$2*#2$\}$.

a. Calculer la dérivée de f et montrer que le numérateur de f ’ vaut xg(x).

b. En déduire le tableau de signe de g (Indication : utiliser la dérivée de g et le théorème des valeurs intermédiaires ).

c. En déduire le tableau de variation de f.


… et un résultat obtenu :


Doc généré n° 1 : TS – DM n°4

On considère la fonction f définie sur R par f(x)=${\frac{5x^3\, –\, 1}{x^2\, +\, 9}}$ et on note $c_f$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

Soit $g(x) = 5x^3 + 135x + 2$.

a. Calculer la dérivée de f et montrer que le numérateur de f ’ vaut xg(x).

b. En déduire le tableau de signe de g (Indication : utiliser la dérivée de g et le théorème des valeurs intermédiaires).

c. En déduire le tableau de variation de f.


V) Conclusion


Je me sers continuellement de cette extension, mais elle est loin d’être finalisée.

Comme dit en introduction, plusieurs points noirs ne sont pas encore résolus (faute de temps) :
- La gestion des erreurs de syntaxe (un « $ » ou un « $\}$ » oublié fait planter le système).
- Les tableaux irréguliers ne sont pas gérés (et font aussi planter le programme).
- Les cadres ne sont pas encore gérés. Encore moins des cadres dans des tableaux eux-mêmes dans des cadres…

Cependant, avec les commandes existantes, on peut déjà faire quelque chose, notamment des sujets différents pour chaque élève, qui incite à réfléchir et à expliquer. Qui plus est, l’utilisation de variables permet de générer les résultats, et donc d’encourager les élèves à davantage d’autonomie et de réflexion, en les donnant.

Outre les chantiers indiqués ci-dessus, il reste aussi à implémenter :
- Une sortie utilisant le moteur Latex.
- Un outil facilitateur de saisie de formules.
- Un générateur d’exercices j3p.
- Un outil de calcul formel.

Pour avoir des nouvelles sur les mises à jour, etc., on trouvera les infos ici :

http://scolamath.free.fr/pedagogie/OutilLibreOffice/

Réagir à cet article
Vous souhaitez compléter cet article pour un numéro futur, réagir à son contenu, demander des précisions à l'auteur ou au comité de rédaction...
À lire aussi ici
MathémaTICE est un projet
en collaboration avec
Suivre la vie du site Flux RSS 2.0  |  Espace de rédaction  |  Nous contacter  |  Site réalisé avec: SPIP  |  N° ISSN 2109-9197