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Construire avec GeoGebra puis démontrer avec Exogéo
De l’exerciseur vers le problème ouvert
Moteur de recherche

Exogéo est un outil qui permet de construire des démonstrations de géométrie sous forme de déductogrammes. Exogéo se présente sous forme d’un site internet où sont proposés différents exercices utilisables directement avec un navigateur. Exogéo peut être installé sur un ordinateur ou sur un réseau local.

Les enseignants peuvent créer leurs propres exercices de démonstration en géométrie et les partager librement. Un guide de modification/création d’exercices est disponible.

Pour les élèves, ces exercices de géométrie se présentent sous la forme d’un jeu de construction. En effet, la résolution de l’exercice consiste à construire la démonstration sous forme d’un déductogramme à partir des éléments de base que sont les données, les théorèmes et les conclusions.

Cet article de MathémaTICE donne un compte rendu d’expérimentation en classe de seconde. Il concerne la version précédente d’Exogéo qui utilisait TraceEnPoche et présente quelques possibilités d’une utilisation en classe.

Le bilan de cette expérimentation était que :
- Exogéo semble plus adapté au collège, lors de l’introduction de la démonstration.
- Exogéo était peu adapté à la recherche d’une démonstration. Les élèves effectuaient la recherche sur papier et Exogéo ne servait qu’à mettre en forme leurs idées.

Cela m’a conduit à programmer de nouvelles fonctionnalités :
Dans la mesure où l’introduction de la démonstration se fait dès la classe de 6ième au travers de la justification de certaines constructions, il était intéressant de lier construction et démonstration.
Par ailleurs, Exogéo propose maintenant des outils qui permettent de mettre en place une véritable démarche de recherche de démonstration.

Lier construction et démonstration

Une forme classique d’exercice de géométrie consiste à demander à l’élève de construire une figure puis d’en démontrer une propriété. Or il arrive souvent qu’une fois la figure construite, l’élève ait du mal à distinguer les données issues de la construction des conjectures issues de l’observation.

Avec la nouvelle version d’Exogéo, la construction d’une figure en utilisant GeoGebra génère des assertions dans Exogéo. Ces assertions vont servir de données pour démontrer la propriété demandée par l’exercice. Lorsque l’élève modifie la figure, les données sont modifiées en conséquence. Ainsi, l’élève prend conscience que les données sont exclusivement liées à la construction et non aux éventuelles observations faites a posteriori sur la figure.

Par exemple lorsqu’on demande de construire un parallélogramme ABCD, les trois points A, B et C étant fixés, il y a de multiples constructions possibles. Chaque construction va générer un ensemble de données différent.

Alors que le quadrilatère final ABCD est rigoureusement le même dans les trois cas, il faudra bien sûr dans chaque cas mettre en œuvre une démonstration adaptée aux données pour prouver que ce qu’on a construit est bien un parallélogramme.

Exerciseur ou logiciel outil ?

Exogéo peut être considéré comme un logiciel outil, dans lequel un enseignant peut créer des exerciseurs.
A la base, Exogéo est un logiciel d’édition de déductogrammes à partir de données générées par la construction d’une figure GeoGebra. Ainsi, la consigne peut simplement être : « construire un carré, justifier la construction ». A l’opposé, on peut créer un exercice relativement « fermé » dans Exogéo qui consiste à reconstituer une démonstration à partir des données et de théorèmes à la manière d’un puzzle.

Entre ces deux extrêmes, l’enseignant peut proposer des exercices plus ou moins « ouverts ».

La recherche de démonstrations avec Exogéo

Exogéo permet de mettre en place une véritable démarche de recherche :
- On peut commencer la démonstration par la fin, à partir de l’assertion à démontrer.
- Un filtre dans la boîte à outils permet de sélectionner les théorèmes utiles.
- On peut contextualiser manuellement un théorème pour l’adapter à ce qu’on veut démontrer.

Comme exemple de mise en œuvre de cette démarche, je vais traiter un exercice tiré du manuel Sésamath 5ième :

Après le tracé de la figure, on obtient :

Etape 1 : Identifier l’objectif.

Il faut tout d’abord bien identifier ce qu’on va chercher à démontrer et le repérer sur la figure.
Dans ce cas il est raisonnable de conjecturer que le quadrilatère EBFD est un parallélogramme.

Etape 2 : De quels outils dispose-t-on pour arriver à cet objectif ?

Le filtre « - pour montrer que - » de la boîte à outils permet de sélectionner les théorèmes permettant de démontrer un certain type d’assertion.
Pour avoir tous les théorèmes qui permettent de montrer qu’un quadrilatère est un parallélogramme, on sélectionne « WXYZ est un parallélogramme » dans la liste déroulante du filtre.

Etape 3 : Quels sont les outils les plus adaptés dans ce contexte ?

D’après les données codées sur la figure, il semble que les théorèmes P2r et P4r soient les plus adaptés à l’exercice :

En cliquant sur les noms de point du théorème et en sélectionnant un nom de point de l’exercice, on peut contextualiser ces théorèmes :

L’assertion « (EB) est parallèle à (FD) » a été implicitement validée car elle est codée sur la figure.

Exogéo peut être en mode implicite ou explicite. En mode implicite, si une assertion est complètement contextualisée et qu’elle correspond à une donnée codée sur la figure, elle est validée implicitement. Les assertions concernant le parallélisme, l’alignement, la perpendicularité, le milieu, l’appartenance à une droite ou un cercle, le diamètre d’un cercle sont validées implicitement. En mode explicite, il faut explicitement brancher toutes les données vers les théorèmes adéquats.

Etape 4 : Identifier les objectifs intermédiaires permettant de mettre en œuvre les outils de l’étape précédente.

Si on arrive à montrer que « (BF) est parallèle à (ED) » ou que « EB=FD », on pourra résoudre l’exercice.

Etape 5 : De quels outils dispose-t-on pour arriver à ces objectifs intermédiaires ?

D’après les données codées sur la figure, le théorème D2 semble être le plus approprié pour montrer que « (BF) est parallèle à (ED) ».

On aurait aussi pu penser au théorème D2 à une étape précédente.

Etape 6 : On organise la solution de l’objectif jusqu’aux données.

L’assertion « (BF) est parallèle à (ED) » va contextualiser la conclusion du théorème D2.

Il ne reste plus qu’à contextualiser manuellement la droite (d1) en (b) (qui est le nom de la droite (AC) dans la construction GeoGebra) dans le théorème D2 :

Les assertions « (b) est perpendiculaire à (ED) » et « (BF) est perpendiculaire à (b) » ont été implicitement validées car elles sont codées sur la figure.

Justification d’une construction

Comme exemple, je vais traiter la justification de la construction d’un carré.

Voici un exemple de construction :

Cette construction est justifiée en suivant la même démarche de recherche par objectif utilisée précédemment.

Il y a de nombreuses autres constructions/démonstrations possibles.

La recherche par objectifs

C’est une démarche généralisable à beaucoup de problèmes non mathématiques. Lorsqu’on la décrit en termes généraux, elle semble être une démarche de « bon sens » :
- Identification de l’objectif à atteindre
- Recherche des outils disponibles permettant d’arriver à cet objectif
- Choix de l’outil le plus adapté
- Identification d’objectifs intermédiaires
- Recherche des outils disponibles permettant d’arriver à ces objectifs intermédiaires
- etc ...

Ainsi, il est important que les élèves acquièrent cette démarche. De la sorte, l’élève peut aborder efficacement des problèmes ouverts et totalement nouveaux.

Pour utiliser des mots à la mode, cette démarche est proactive : en fonction de l’objectif à atteindre, l’élève va créer les conditions suffisantes pour atteindre cet objectif.

Cette approche s’oppose à une démarche réactive : l’élève reconnaît un certain type d’exercice connu et réagit en utilisant le schéma de résolution adéquat.

Voir aussi l’article suivant à propos d’Exogeo.


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