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Sommaire > N°44 - mars 2015 > Le jeu de "franc-carreau"

Le jeu de "franc-carreau"
Un éclairage historique
Moteur de recherche
Mis en ligne le 23 février 2015, par Alain Busser

En général, lorsqu’on jette une pièce, on regarde si elle est tombée sur "pile" ou sur "face". En 1733, Georges-Louis Leclerc, comte de Buffon a soumis à l’académie des sciences une communication sur une variante où on ne s’intéresse plus au fait que la pièce soit tombée sur "pile" ou "face", mais seulement à l’endroit où elle est tombée : Le jeu de franc-carreau.

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jeu avec trois pièces
Les deux petites pièces sont à cheval sur 2 ou 4 carreaux ; seule la plus grande pièce est "franc-carreau"

En plus de son intérêt épistémologique, ce sujet est intéressant pour l’oral du CAPES parce qu’il touche à la fois à la géométrie, à l’algorithmique et au second degré. En plus, le logiciel CaRMetal utilisé ici étant désormais autorisé à l’oral du CAPES, la construction remarquablement rapide qui y est faite peut être réinvestie lors de l’oral.

En 1733, alors qu’il se préparait à entrer à l’académie des sciences, Buffon propose un "mémoire sur le jeu du franc carreau", dont aucune trace écrite ne semble subsister à ce jour. Cependant, Clairaut, rapporteur de ce mémoire, en a rédigé une petite critique [1]. Mais quelques années plus tard, en 1736, Buffon a incorporé à son histoire naturelle un curieux essai d’arithmétique morale où il cite à nouveau ses travaux sur le jeu de franc-carreau (prolongés par l’aiguille de Buffon), dans le paragraphe XXIII. Ce texte sera illustré ci-dessous par des constructions géométriques faites essentiellement avec CaRMetal.

L’article dans l’Encyclopédie

Une cinquantaine d’années plus tard, d’Alembert et Condorcet publient une annexe à l’Encyclopédie consacrée aux mathématiques et à l’astronomie. Voici l’article qu’ils consacraient à ce jeu :


Pour commencer, Buffon (qui avait la réputation d’aimer se vanter) remarque qu’une probabilité n’est pas forcément le rapport du nombre de cas favorables au nombre de cas possibles (donc une fraction) mais peut aussi être définie comme le rapport de deux aires :

L’Analyse est le seul instrument dont on se soit servi jusqu’à ce jour dans la science des probabilités, pour déterminer et fixer les rapports du hasard ; la Géométrie paroissoit peu propre à un ouvrage aussi délié ; cependant si l’on y regarde de près, il sera facile de reconnoître que cet avantage de l’Analyse sur la Géométrie, est tout-à-fait accidentel, et que le hasard selon qu’il est modifié et conditionné, se trouve du ressort de la géométrie aussi-bien que de celui de l’analyse ; pour s’en assurer, il suffira de faire attention que les jeux et les questions de conjecture ne roulent ordinairement que sur des rapports de quantités discrètes ; l’esprit humain plus familier avec les nombres qu’avec les mesures de l’étendue les a toujours préférés ; les jeux en sont une preuve, car leurs loix sont une arithmétique continuelle ; pour mettre donc la Géométrie en possession de ses droits sur la science du hasard, il ne s’agit que d’inventer des jeux qui roulent sur l’étendue et sur ses rapports, ou calculer le petit nombre de ceux de cette nature qui sont déjà trouvés ; le jeu du franc-carreau peut nous servir d’exemple : voici ses conditions qui sont fort simples.

Ensuite vient donc la description du jeu de franc-carreau [2]. Si les carreaux sont tous identiques, on va les choisir soit triangulaires (équilatéraux), soit carrés, soit hexagonaux. Donc la pièce ne peut couper qu’une à 6 arêtes. Buffon propose de calculer toutes ces probabilités :

Dans une chambre parquetée ou pavée de carreaux égaux, d’une figure quelconque, on jette en l’air un écu ; l’un des joueurs parie que cet écu après sa chute se trouvera à franc-carreau, c’est-à-dire, sur un seul carreau ; le second parie que cet écu se trouvera sur deux carreaux, c’est-à-dire, qu’il couvrira un des joints qui les séparent ; un troisième joueur parie que l’écu se trouvera sur deux joints ; un quatrième parie que l’écu se trouvera sur trois, quatre ou six joints : on demande les sorts de chacun de ces joueurs.

On s’en doute, la probabilité de faire "franc-carreau" dépend du rapport entre le diamètre de la pièce et le côté des carreaux, supposé unitaire. On peut donc faire, pour différents diamètres (inférieurs au côté du carré) des simulations, dès qu’on dispose d’un logiciel de géométrie dynamique qui possède une macro pour dessiner le carrelage et qui gère les intersections entre grilles et cercles. C’est le cas de CaRMetal choisi ci-dessous.

Construction de la figure

La "grille orthonormée" de CaRMetal est de longueur 1, donc pour se simplifier la figure, on construit le point de coordonnées (0,0) sur lequel on fixe la grille, avant de le rendre invisible :

Ensuite pour modéliser la pièce on crée un cercle (rempli) par centre et rayon. Le centre est mobile et le rayon peut être modifié par un cliquer-glisser pendant l’appui sur la touche :

du clavier de l’ordinateur.

Ci-dessous on a fixé le rayon à 0,4 :

La suite consiste à créer une "expression" valant 1 si la pièce est "franc-carreau" et 0 sinon. Or la grille orthonormée ayant deux composantes (verticale et horizontale), il y a deux manières pour la pièce de ne pas être franc-carreau :

  • ou bien elle coupe une droite verticale (le point d’intersection P6 existe) ;
  • ou bien elle coupe une droite horizontale (le point d’intersection P7 existe).

Alors on construit, à l’aide de l’outil "intersection", l’intersection (un des points d’intersection en tout cas) du cercle et de la composante verticale de la grille. CaRMetal nomme ce point P6 :

Puis on construit (après avoir éventuellement déplacé le cercle, mais ce n’est même pas nécessaire, c’est juste pour mieux voir ce qu’on fait) le point P7, intersection du cercle et de la composante horizontale de la grille :

On dit alors que la pièce est "franc-carreau" si aucun des points P6 et P7 n’existe. Il reste à caractériser algébriquement cette existence. Cet article d’Eric Hakenholz explique comment on peut faire cela : L’égalité x(P6)==x(P6) n’est vraie que si P6 existe, elle vaut donc 1 si P6 existe et "invalid" sinon. Alors le test

if(x(P6)==x(P6),0,1)

vaut 0 si P6 existe et 1 si P6 n’existe pas.

Seulement si on essaye d’inclure le test d’existence de P7 cela ne marche pas :

if((x(P6)==x(P6))||(x(P7)==x(P7)),0,1)

renvoie 1 si P7 existe mais pas P6 : CaRMetal fait une évaluation paresseuse des booléens, autrement dit, si P6 n’existe pas, il n’est pas nécessaire de savoir si P7 existe, et la pièce est considérée comme "franc-carreau". La solution de ce problème est donnée par George Boole : Dès que l’un des points d’intersection existe, il met un facteur d’un produit à 0, et ce produit a bien l’effet escompté (il vaut 1 uniquement lorsque ni P6 ni P7 n’existe) :

if(x(P6)==x(P6),0,1)*if(x(P7)==x(P7),0,1)

L’expression s’appelle fc comme "franc-carreau", ainsi donc fc=1 lorsque la pièce est franc-carreau et 0 lorsqu’elle ne l’est pas :


La suite reste dans le domaine booléen : En additionnant les valeurs successives de fc, on compte les succès :

  • additionner 0 ne change pas la somme (s’il y a échec) ;
  • additionner 1 (s’il y a succès) incrémente la somme.

Ainsi à tout instant la somme est égale au nombre de fois où la pièce était "franc-carreau". Il suffit de la diviser par la somme de "1" (nombre total de cas) pour avoir la fréquence des succès. L’expression affichant celle-ci est donc

sum(fc)/sum(1)

Voici donc la figure terminée :


En actionnant le monkey, la pièce parcourt aléatoirement l’écran et la fréquence observée converge lentement vers la probabilité de succès [3].

On peut modifier le diamètre de la pièce et actionner le Monkey suffisamment longtemps pour que la fréquence des "franc-carreaux" se stabilise, ce qui permet d’évaluer la probabilité de gain à ce jeu. Mais Buffon a eu l’idée de tout ramener à un seul carreau par des translations adéquates [4], et d’estimer qu’alors le centre de la pièce suit une loi uniforme sur ce carreau.

Ce n’est pas tout-à-fait le cas

Comme il n’est pas possible de définir une probabilité uniforme sur le plan tout entier, il est plus raisonnable de supposer que la position du centre de la pièce suit une loi normale (à deux dimensions) de grand écart-type. On prend l’exemple d’une position moyenne (2,2 ;1,7) et on simule un vecteur gaussien avec l’algorithme de Box-Muller ; on soustrait à chacune de ses coordonnées sa partie entière (ou troncature) puis on dessine l’histogramme de son ordonnée, avec le script suivant dans alcoffeethmique :

  1. vecGauss = ->
  2. theta = alea()*pi
  3. r = 2*racine(-2*ln(alea()))
  4. [2.2+r*cos(theta),1.7+r*sin(theta)]
  5.  
  6. partfrac = (v) ->
  7. [v[0]-troncature(v[0]), v[1]-troncature(v[1])]
  8.  
  9. histogramme ((partfrac vecGauss())[1] for n in [1..100000]), 0, 1, 80, 10000

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Dans ce cas l’histogramme n’est pas tellement plat :

image/svg+xml

Mais en augmentant l’écart-type (ci-dessus, 2) l’histogramme devient de plus en plus plat et l’hypothèse d’une répartition uniforme devient de plus en plus plausible. Par exemple pour un écart-type de 8 on ne distingue plus vraiment l’histogramme de celui d’une distribution uniforme :

image/svg+xml

Simulation avec un CaRScript

On dessine un carré de côté unité, simplement en construisant les points de coordonnées respectives (0,0), (1,0), (0,1) et (1,1) puis en les liant par un polygone. On construit un point O à l’intérieur du polygone (en cochant "dans l’objet" après l’avoir lié au polygone ; JavaScript rend d’ailleurs cette étape facultative).

Cette fois-ci, on ne construit plus l’intersection du cercle avec la grille, mais avec le carré ; CaRMetal l’appelle P5 ; donc l’expression fc devient

if(x(P5)==x(P5);0;1)

et la fréquence des gains reste la même que précédemment.

Ensuite pour simuler le lancer d’une pièce on lance le script suivant :

  1. Move("O",Math.random(),Math.random());

On peut lier ce script au clic sur un bouton, pour améliorer le confort d’utilisation. Mais on peut aussi créer un bouton "lancer 1000 fois" auquel on associe le script suivant :

  1. for (i=0; i<1000; i++){
  2. Move("O",Math.random(),Math.random());
  3. }

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Le clic sur ce bouton (ou le lancement du script) produit quelque chose qu’il est difficile de décrire : Le disque rouge représentant la pièce s’agite frénétiquement et l’expression "fréquence des gains" fluctue de moins en moins, se rapprochant de la probabilité cherchée.

Voici le texte de Buffon sur ce passage au quotient :

Je cherche d’abord le sort du premier joueur et du second ; pour le trouver, j’inscris dans l’un des carreaux une figure semblable, éloignée des côtés du carreau, de la longueur du demi-diamètre de l’écu ; le sort du premier joueur sera à celui du second, comme la superficie de la couronne circonscrite est à la superficie de la figure inscrite ; cela peut se démontrer aisément, car tant que le centre de l’écu est dans la figure inscrite, cet écu ne peut être que sur un seul carreau, puisque par construction cette figure inscrite est partout éloignée du contour du carreau, d’une distance égale au rayon de l’écu ; et au contraire dès que le centre de l’écu tombe au dehors de la figure inscrite, l’écu est nécessairement sur deux ou plusieurs carreaux, puisqu’alors son rayon est plus grand que la distance du contour de cette figure inscrite au contour du carreau ; or, tous les points où peut tomber ce centre de l’écu, sont représentés dans le premier cas par la superficie de la couronne qui fait le reste du carreau ; donc le sort du premier joueur est au sort du second, comme cette première superficie est à la seconde

La propriété "la pièce est franc-carreau" se ramène donc à la position du centre de la pièce à l’intérieur d’une figure obtenue en menant parallèlement à chaque bord du carreau, une équidistante. Dans le cas d’un polygone régulier [5], cette figure est un polygone de même forme mais plus petit. Dans le cas du carré, on construit donc un carré intérieur dont les sommets ont pour coordonnées (c2,c2), (1-c2,c2), (1-c2, 1-c2) et (c2,1-c2). c2 est à la fois le nom du cercle rouge (dans la figure) et celui de son rayon (dans la partie algébrique). Ainsi, en modifiant le diamètre de la pièce avec un Ctrl-cliqué-glissé, le carré bleu intérieur se met à jour. Ici le cas où c2=0,25 :

Comme CaRMetal a baptisé poly2 le carré bleu, l’expression fc devient

inside(O;poly2)

selon les recommandations de Buffon.

En modifiant le rayon du cercle c2, on constate que dès que celui-ci dépasse 1/2, le carré bleu disparaît et donc il n’est plus possible de gagner à franc-carreau si le diamètre de la pièce est plus grand que le côté du carreau (on s’en doutait !).

Si par la suite on crée un point de coordonnées (c2 ;poly2) dont on active la trace, les mêmes modifications de c2 par le Ctrl-clic-glisser tracent progressivement la représentation de la probabilité fonction de c2. Ce qui permet de conjecturer que c’est une parabole. D’ailleurs en appelant r le rayon (supposé inférieur à 1/2) de la pièce, le côté du carré intérieur est 1-2r donc son aire (égale à la probabilité de gain) est (1-2r)² :

image/svg+xml 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

Pour savoir pour quel rayon le jeu est équitable, on peut résoudre l’équation (1-2r)²=1/2 dont la solution inférieure à 1 est 2r=1-1/√2, ce qu’avait effectivement calculé Buffon, avec amusement :

Ainsi pour rendre égal le sort de ces deux joueurs, il faut que la superficie de la figure inscrite, soit égale à celle de la Couronne, ou ce qui est la même chose, qu’elle soit la moitié de la surface totale du carreau.
Je me suis amusé à en faire le calcul, et j’ai trouvé que pour jouer à jeu égal sur des carreaux carrés, le côté du carreau devoit être au diamètre de l’écu, comme 1 : 1-(√1/2) ; c’est-à-dire, à peu-près trois et demi fois plus grand que le diamètre de la pièce avec laquelle on joue.

Un prolongement

On peut aussi colorier la partie du carré où la pièce coupe plusieurs côtés, et calculer son aire :

Je cherche maintenant le sort du troisième joueur qui parie que l’écu se trouvera sur deux joints ; et pour le trouver, j’inscris dans l’un des carreaux, une figure semblable comme j’ai déjà fait, ensuite je prolonge les côtés de cette figure inscrite jusqu’à ce qu’ils rencontrent ceux du carreau, le sort du troisième joueur sera à celui de son adversaire, comme la somme des espaces compris entre le prolongement de
ces lignes et les côtés du carreau, est au reste de la surface du carreau. Ceci n’a besoin pour être pleinement démontré, que d’être bien entendu.
J’ai fait aussi le calcul de ce cas, et j’ai trouvé que pour jouer à jeu égal sur des carreaux carrés, le côté du carreau doit être au diamètre de la piece, comme 1 : 1/√2, c’est-à-dire, plus grand d’un peu moins d’un tiers.

Voici le dossier au format CaRMetal permettant d’explorer les carreaux carrés de Buffon par degrés d’abstraction successifs :

CarMetal - 46.4 ko
carreaux carrés
Ouvrir avec CaRMetal

Le cas des carreaux triangulaires s’explore de façon similaire :

Quelques différences

La grille n’est plus orthonormée, on va donc lui préférer la grille définie par 3 points : Le point (0,0), le point (1,0) et un troisième point du cercle trigonométrique définissant un angle de 60° (en haut à droite ci-dessous) ou 120° (à gauche ci-dessous). Chacun de ces troisièmes points possibles définit une grille oblique, partageant les droites horizontales et complétant les autres de manière à avoir des triangles :

Chaque grille est formée de deux familles de droites [6] et la famille de droites horizontales apparaît deux fois ; il suffit de supprimer l’une de ses copies pour n’avoir plus que trois familles de droites qui définissent la grille triangulaire. L’aire d’un triangle (de côté 1) est $\frac{\sqrt{3}}{4}$ ; il faudra donc diviser par ce nombre l’aire du domaine bleu pour avoir la probabilité de gain.

Il y a donc trois intersections à construire avec le cercle rouge [7] représentant la pièce. Dans l’exemple ci-dessous CaRMetal a nommé ces trois points P38, P39 et P40. Les voici :

L’expression fc devient donc

if(x(P38)==x(P38);0;1)*if(x(P39)==x(P39);0;1)*if(x(P40)==x(P40);0;1)

La fréquence des gains reste toujours

sum(fc)/sum(1)

Le Monkey est plus lent qu’avec les carreaux carrés donc il est conseillé d’augmenter sa vitesse à l’aide du curseur "Monkey" dans "tailles".

Pour les CaRSCripts, la difficulté essentielle est de simuler un point aléatoire suivant une loi uniforme dans le triangle équilatéral. Pour cela on commence par calculer une abscisse et une ordonnée uniformes dans [0,1] puis

  • on regarde si l’ordonnée est supérieure à x√3, auquel cas le point est trop haut dans la moitié gauche du carré, pour être dans le triangle ;
  • on regarde si l’ordonnée est supérieure à (1-x)√3, auquel cas le point est en haut à droite, donc là encore trop haut pour être dans le triangle.

Si l’une au moins de ces conditions est vérifiée, on recommence purement et simplement, jusqu’à ce que x et y soient les coordonnées d’un point dans le triangle. Ainsi, du moment que les coordonnées étaient uniformes dans le carré, elles sont uniformes dans le triangle. Pour un lancer ça donne ceci :

  1. var x = Math.random();
  2. var y = Math.random();
  3. while ((y>Math.sqrt(3)*x)||(y>Math.sqrt(3)*(1-x))) {
  4. x = Math.random();
  5. y = Math.random();
  6. }
  7. Move("O",x,y);

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Et pour 1000 lancers, cela :

  1. for (n=0; n<1000; n++){
  2. x = Math.random();
  3. y = Math.random();
  4. while ((y>Math.sqrt(3)*x)||(y>Math.sqrt(3)*(1-x))) {
  5. x = Math.random();
  6. y = Math.random();
  7. }
  8. Move("O",x,y);
  9. }

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Là encore, les 1000 lancers provoquent une agitation frénétique de la pièce en cuivre dans le triangle avec une mise à jour de l’affichage. La construction de Buffon mène à un triangle dont les sommets ont pour coordonnées respectives (r√3 ;r), (1-r√3 ;r) et (1/2 ;r+(1-2√3r)×√3/2). L’aire du triangle intérieur est donc (1-2√3)²×√3/2. Ce triangle est plutôt petit :

La probabilité de gain est alors (en divisant l’aire par celle du triangle extérieur) (r√12-1)² qui vaut 1/2 lorsque r vaut (2√3-√6)/12 soit environ 0,085. C’est ce qu’écrivait Buffon :

Pour jouer sur des carreaux triangulaires équilatéraux, le côté du carreau doit être au diamètre de la pièce, comme 1 : (1/2√3)/(3+3√1/2), c’est-à-dire, presque six fois plus grand que le diamètre de la pièce.

Voici le dossier CaRMetal pour la version triangulaire du jeu de franc-carreau :

CarMetal - 48.3 ko
"franc-carreau" sur des triangles
ouvrir avec CaRMetal

Note : En ne gardant que la première des deux grilles ci-dessus, on obtient le jeu de franc-carreau sur des "losanges", Buffon en écrivait :

Sur des carreaux en losange, le côté du carreau doit être au diamètre de la pièce, comme 1 : (1/2√3)/(2+√2) , c’est-à-dire, presque quatre fois plus grand.

Reste le cas des carreaux hexagonaux :

Différences par rapport aux cas précédents

Les grilles de CaRMetal ne permettant pas de dessiner une structure en nid d’abeille par courbes paramétrées, on va directement à l’hexagone unique. Le script pour avoir une probabilité uniforme sur cet hexagone est le suivant :

  1. var r = Math.sqrt(3);
  2. x = 2*Math.random()-0.5;
  3. y = 2*Math.random();
  4. while ((y>r) || (y<-r*x) || (y>r*(2-x)) || (y>r*(x+1)) || (y<r*(x-1))){
  5. x = 2*Math.random()-0.5;
  6. y = 2*Math.random();
  7. }
  8. Move("O",x,y);

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On remarque qu’il faut vérifier la position de y par rapport à 5 des côtés de l’hexagone, car le sixième côté est l’axe des abscisses et comme on a choisi y positif, le point ne peut pas être en-dessous de l’axe des abscisses. Bien entendu la version à 1000 temps est celle-ci :

  1. var r = Math.sqrt(3);
  2. for(n=0;n<1000;n++){
  3. x = 2*Math.random()-0.5;
  4. y = 2*Math.random();
  5. while ((y>r) || (y<-r*x) || (y>r*(2-x)) || (y>r*(x+1)) || (y<r*(x-1))){
  6. x = 2*Math.random()-0.5;
  7. y = 2*Math.random();
  8. }
  9. Move("O",x,y);
  10. }

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On peut alors vérifier expérimentalement que la probabilité de gain pour une pièce de rayon r est (1-2r/√3)² qui vaut 1/2 lorsque r=√3/2-√6/4≈0,25365 : Le jeu est équilibré lorsque le diamètre de la pièce vaut environ 0,5073 fois le côté de l’hexagone. Ce que Buffon avait publié :

Enfin sur des carreaux hexagones, le côté du carreau doit être au diamètre de la pièce, comme 1 : (1/2√3)/(1+√1/2), c’est-à-dire, presque double.
Je n’ai pas fait le calcul pour d’autres figures, parce que celles-ci sont les seules dont on puisse remplir un espace sans y laisser des intervalles d’autres figures

Buffon hyperbolique

Si Buffon avait vécu dans un espace hyperbolique, il aurait été bien embêté pour les deux raisons suivantes :

  1. Il existe une infinité de pavages possibles pour le plan hyperbolique ;
  2. Dans le plan hyperbolique, les équidistantes ne sont plus des droites et le domaine caractérisant la situation de "franc-carreau" n’est plus un polygone. Son aire n’a pas l’air facile à calculer.

Le cas du triangle équilatéral devient alors une infinité de cas différents, les triangles équilatéraux se regroupant par au moins 7 autour de chaque sommet. Par exemple, on peut avoir 8 triangles par sommet, chaque triangle ayant des angles de 45° ou π/4 radians (dans ce cas leur aire est aussi π/4). Aucun de ces cas ne sera traité ici, mais on peut s’inspirer de ce qui est dans le classeur CaRMetal ci-dessous pour expérimenter l’un d’eux.

Le cas du carrelage par des carrés se généralise de deux manières possibles à une infinité d’autres cas :

  • des quadrilatères réguliers, au moins 5 par sommet (par exemple 6 quadrilatères par sommet, les angles de ces quadrilatères mesurant donc 60° ou π/3 radians et donc d’aire 2π/3) ; cas non traité ci-dessous ;
  • ou des polygones réguliers n’ayant que des angles droits. Deux d’entre eux ont été explorés dans le dossier CaRMetal ci-dessous, un pentagone et un hexagone.

Pour construire le pentagone, on a créé un cercle concentrique à l’horizon passant par un point d’ordonnée nulle et placé 4 autres points sur le cercle formant un pentagone (euclidien) régulier. Puis on a modifié l’abscisse du premier point jusqu’à ce que l’angle (hyperbolique) entre deux côtés successifs de ce pentagone soit droit. Le début du pavage a alors été fait par des symétries centrales et orthogonales.

Les équidistantes étant difficiles à construire dans ce cas, il a fallu ruser pour les construire, avec l’algorithme suivant :

  1. construction de la droite passant par deux sommets consécutifs du pentagone, mais avec points idéaux ;
  2. construction d’un point de l’équidistante avec l’outil "compas", en reportant à partir du milieu d’un côté, le rayon de la pièce rouge.
  3. passage provisoire en mode euclidien, en cochant la case idoine ;
  4. construction de l’équidistante à l’aide de l’outil "arc de cercle" défini par les points idéaux et le point de l’équidistante ;
  5. retour au mode hyperbolique en décochant la case.

Les équidistantes se coupent en 5 points qui semblent les sommets d’un pentagone mais ce pentagone n’est plus la zone où doit tomber le centre de la pièce pour qu’on fasse franc-carreau : Les équidistantes ne sont pas des droites. D’ailleurs en dessinant les côtés du pentagone (en bleu pointillé ci-dessous) on voit qu’ils ne coïncident pas avec les équidistantes :

Par contre on peut calculer l’aire du petit pentagone à l’aide de l’angle au sommet, et si on approche l’aire de la région de gain par celle de ce pentagone, on obtient une estimation raisonnable de la probabilité de gain qui a été représentée graphiquement ci-dessus. On peut alors estimer la taille de la pièce qui donne un jeu équitable :

Pour ce pentagone hyperbolique, le côté d’un pavé est environ 1,0613 (on peut le vérifier avec l’outil de mesure des segments hyperboliques de CaRMetal) et le jeu est équitable lorsque le rayon de la pièce vaut environ 0,197 donc son diamètre, environ 0,371. Alors le diamètre vaut environ 37,1% du côté du carreau pour un jeu de franc-carreau équitable en géométrie hyperbolique.

Le second cas traité ici est celui où le carreau est hexagonal à angles droits. La construction est similaire à celle du cas précédent :

On constate que pour l’hexagone hyperbolique, le jeu est équitable lorsque le rayon de la pièce vaut environ 0,25 donc le diamètre environ 0,5 ; mais comme dans ce cas le côté de l’hexagone est environ 1,317 on peut en déduire que le diamètre de la pièce doit mesurer environ 19% du côté du pavé. On peut récapituler en donnant les diamètres des pièces qui donnent un jeu équitable sur les carrelages vus ici :

carreaux diamètre
triangle euclidien 17%
carré euclidien 58,58%
quadrilatères à 45° 9,4 %
hexagone euclidien 50,73 %
pentagone à angles droits 37,1 %
hexagone à angles droits 19 %

Les expériences sur les hexagones euclidien et hyperbolique ont été regroupées dans le dossier CaRMetal ci-dessous :

CarMetal - 100.2 ko
"franc-carreau" sur des hexagones et pentagones
ouvrir le fichier avec CaRMetal et explorer

Bonus : La figure DGPad

Voici le code de la figure DGPad qui ouvre cet article :

  1. // Coordinates System :
  2. SetCoords(60,323,200);
  3.  
  4.  
  5. // Geometry :
  6. P1=Point("P1","[0,0]","0");
  7. P2=Point("P2","[1,0]","0");
  8. P3=Point("P3","[1,1]","0");
  9. P4=Point("P4","[0,1]","0");
  10. Poly1=Polygon("Poly1","_P1,_P2,_P3,_P4");
  11. O=PointOn("O",Poly1,[0.035,0.64]);
  12. C1=Circle1("C1",O,0.25);
  13. P5=Point("P5","[C1,C1]","0");
  14. P6=Point("P6","[1-C1,C1]","0");
  15. P7=Point("P7","[1-C1,1-C1]","0");
  16. P8=Point("P8","[C1,1-C1]","0");
  17. fc=Expression("fc","franc-carreau = ","","","(x(O)>C1)*(x(O)<1-C1)*(y(O)>C1)*(y(O)<1-C1)","0.1","1.165");
  18. Poly2=Polygon("Poly2","_P5,_P8,_P7,_P6");
  19.  
  20.  
  21. // Styles :
  22. STL(P1,"c:#0000b2;h:1;s:6;f:30");
  23. STL(P2,"c:#0000b2;h:1;s:6;f:30");
  24. STL(P3,"c:#0000b2;h:1;s:6;f:30");
  25. STL(P4,"c:#0000b2;h:1;s:6;f:30");
  26. STL(Poly1,"c:#966400;o:0.8;s:1;f:30");
  27. STL(O,"c:#0000b2;s:6;sn:true;f:16;sp:1");
  28. STL(C1,"c:#760012;o:0.6;s:1;l:1;f:30;p:0");
  29. STL(P5,"c:#0000b2;h:1;s:6;f:30");
  30. STL(P6,"c:#0000b2;h:1;s:6;f:30");
  31. STL(P7,"c:#0000b2;h:1;s:6;f:30");
  32. STL(P8,"c:#0000b2;h:1;s:6;f:30");
  33. STL(fc,"c:#511c78;s:7;sn:true;f:20;p:4;cL:200;cPT:YzojNzgwMDEzO3M6MTA7ZjozMA==");
  34. STL(Poly2,"c:#0000b2;o:0.2;s:1;f:30");
  35. SetCoordsStyle("isAxis:true;isGrid:true;isOx:true;isOy:true;isLockOx:false;isLockOy:false;centerZoom:false;color:#111111;fontSize:18;axisWidth:1;gridWidth:0.1");
  36. SetGeneralStyle("background-color:#FAFAFA");
  37.  
  38.  
  39. // Texts :
  40. Text("<h3>Le jeu de \"franc-carreau\"</h3><p>La pi\u00e8ce (rouge, parce qu'en cuivre) tombe n'importe o\u00f9 dans le carreau (marron parce qu'en bois; Buffon \u00e9tait sp\u00e9cialiste de la sylviculture). Elle ne tombe \"franc-carreau\" que si son centre est dans la zone bleue. On peut soit d\u00e9placer la pi\u00e8ce en d\u00e9pla\u00e7ant son centre, soit la redimensionner en d\u00e9pla\u00e7ant un point de son bord. Une variable bool\u00e9enne <em>fc</em> vaut 1 s'il y a franc-carreau et 0 sinon. Le script ci-dessous compte les succ\u00e8s sur 100 exp\u00e9riences ce qui permet d'estimer la probabilit\u00e9 de succ\u00e8s par intervalle de confiance. La probabilit\u00e9 est actuellement %(1-2*C1)^2%.</p>\u00a7 name=\"Lancer 100 fois\" style=\"font-size:24px;color:darkblue; background-color: lightcyan; border-radius: 8px;\"\nr=GetExpressionValue(\"C1\");\nns = 0;\nfor (var i=0;i<100;i++){\nx=Math.random();\ny=Math.random();\nif(x>r && x<1-r && y>r && y<1-r){ns++};\n}\nFind(\"fs\").innerHTML = ns;\nns /= 100;\nFind(\"bI\").innerHTML = Math.max(ns-0.1,0).toLocaleString();\nFind(\"bS\").innerHTML = Math.min(ns+0.1,1).toLocaleString();\n\n\u00a7\n\nIl y a eu \"franc-carreau\" dans <span id=\"fs\">x</span> pourcents des cas; un <em>intervalle de confiance</em> pour la probabilit\u00e9 de gain est donc <span style=\"background-color: yellow;\"> [<span id=\"bI\"> </span> ; <span id=\"bS\"> </span>] </span> \u00e0 95 pourcents de confiance.",320,23,405,457,"c:rgba(213,180,116,0.8);s:3;r:15;p:4");

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Ensuite, Buffon évoquait les pièces non circulaires pour arriver à ses fameuses aiguilles :

PDF - 709.2 ko
Texte original de Buffon

ps

Le jeu de franc-carreau a déjà été le sujet de publications voire de ressources pédagogiques. C’est même un grand classique sur le GeoGebraTube. Le CNDP en propose une synthèse et mathemaTICE l’a traité dans cet article. Mais il semblait manquer jusqu’à présent le contexte historique, oubli que l’on espère réparé dans le présent article.

notes

[1Il a surtout montré que les calculs de probabilité étaient parfois trop grossièrement approchés

[2la pièce est "franc-carreau" si elle est "franchement dans un carreau" c’et-à-dire qu’elle n’est pas à cheval sur deux carreaux ou plus

[3Le fait que lors d’une marche aléatoire, le monkey parcourt uniformément la fenêtre, est la conséquence du théorème de Pólya : "En dimension inférieure à 3, une marche aléatoire est récurrente ; au-delà, elle est transiente."

[4qui ramènent le centre de la pièce dans le carreau central

[5seul cas étudié par Buffon, ainsi qu’il l’explique dans la dernière phrase citée en bas de cet article.

[6en réalité, des courbes paramétrées

[7n’ayant pas les moyens de jeter des pièces d’or n’importe où, l’auteur a opté pour des pièces en cuivre, d’où la couleur rouge

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