Le site « Mathematical and Puzzle Fonts/Typefaces » est une véritable petite mine d’or trop méconnue et que je vais tenter de vous faire découvrir dans cet article. Ce site propose une trentaine de polices de caractères qui ont été créées par leurs auteurs (notamment par Erik Demaine, enseignant-chercheur en science informatique au MIT et Martin Dem, ingénieur en robotique, enseignant au MIT et artiste) selon des procédés, souvent mathématiques, plus ou moins complexes. Il ne s’agit pas de polices qui seront utilisées dans un traitement de texte : ce sont des curiosités à étudier ou des puzzles à résoudre ou des codes à décrypter. Elles sont toutes présentées de façon interactive, chacune ayant une page dédiée : on y saisit le texte à écrire et il s’affiche dans la police choisie avec plusieurs paramètres et réglages possibles et souvent des animations permettant de mieux illustrer leur fonctionnement. Plusieurs sont sous licence libre : pour celles-ci, les codes sont disponibles dans GitHub (lien fourni en bas de page des polices concernées).
Certaines de ces polices de caractères pourront être utilisées pour créer des exercices ludiques en lien avec les programmes. Quelques autres ne s’y prêtent pas vraiment, mais toutes pourront faire l’objet d’activités ludiques à tous les niveaux du collège ou du lycée, voire au primaire. Il sera possible, par exemple, de s’en servir comme support d’une énigme dans un jeu d’évasion ou bien comme un exercice dans un atelier de cryptographie ou dans un club maths. J’en ai ainsi utilisées certaines pour créer des énigmes pour les calendriers de l’avent de l’association Les Maths En Scène de décembre 2022 et 2023.
Je vais commencer par présenter cinq de ces polices en proposant pour chacune des utilisations possibles en classe. Trois autres, qui sont des coups de cœur, mais qui ne seront pas forcément utilisables en classe avec les élèves, seront présentées plus succinctement.

 Spiral Galaxies Font : à la recherche de la symétrie centrale

Cette police permettra de travailler la symétrie centrale de façon ludique et d’une façon très différente de celle rencontrée dans les exercices généralement proposés. Il ne s’agira pas de réaliser une construction, mais de retrouver des figures présentant un centre de symétrie (tous les centres sont donnés) sur une grille et en respectant quelques critères que nous allons détailler. Pour ceux qui la connaissent, on trouvera une certaine similitude avec l’activité « Réserve africaine », permettant de travailler la notion de rotation, proposée par le très créatif IREM de Paris Nord.

Le mot « text » reste à être décodé en résolvant le puzzle de cette police.

Voici la description, très claire, qui est faite de cette police par ses auteurs (traduite de l’anglais) :

Dans un puzzle « Galaxies en spirale », vous disposez d’une grille de carrés unitaires et d’une collection de centres (points, représentés par des disques noirs ou blancs). Le but est de décomposer la grille en régions appelées galaxies, chacune contenant un centre, de sorte que chaque galaxie soit un polyomino (un assemblage bord à bord de carrés unitaires) et présente une symétrie de rotation de 180° par rapport à son centre.
Spiral Galaxies ou Tentai Show (天体ショー en japonais) est l’un des nombreux puzzles papier-crayon conçus pour le magazine et éditeur japonais Nikoli. Comme la plupart des puzzles proposés par Nikoli, Spiral Galaxies est un problème NP-complet, ce qui signifie qu’il n’existe pas d’algorithme efficace pour le résoudre, en supposant que P ≠ NP.
Cette police de caractères comprend 36 puzzles Spiral Galaxies à solution unique, un pour chaque chiffre et chaque lettre de l’alphabet. La police de caractères des puzzles (« Puzzle font ») ne montre que les centres. Comme pour les puzzles Spiral Galaxies publiés par Nikoli, les centres sont représentés par des disques de deux couleurs différentes, noir et blanc ; après avoir résolu le puzzle, le polyomino de galaxie correspondant doit être rempli de la même couleur. Les galaxies noires forment alors une lettre ou un chiffre. La police résolue (« Solve font ») illustre ces solutions. Consultez notre article pour plus de détails, notamment sur la manière dont nous avons conçu la police de caractères.
Dans « Puzzle font », vous pouvez essayer de résoudre les puzzles en cliquant sur les bords de la grille pour déterminer s’il s’agit de bords de la galaxie (en noir). Si vous activez « Enable third connected state », vous pouvez cliquer une deuxième fois sur un bord pour le rendre gris et perpendiculaire afin d’indiquer que les deux carrés connectés appartiennent à la même galaxie (voir la figure 3 de notre article.) Les galaxies se rempliront lorsque vous aurez résolu le puzzle. Cliquez sur Réinitialiser tous les puzzles pour recommencer.

L’article mentionné décrit plus en détail (en anglais) la méthode de résolution de ces puzzles et également comment ils ont été créés.

Le puzzle s’appuyant sur la symétrie centrale, on pourra envisager de créer, grâce à cette police, une activité utilisable dès la classe de 5e lorsque la notion de centre de symétrie est abordée ou dans les classes suivantes pour un réinvestissement (par exemple, avant de traiter la rotation).

  Proposition de consigne pour un exercice de niveau 5e :

Chacune des grilles de 49 carrés unitaires (7 × 7) proposées représente le codage d’une lettre de l’alphabet. Pour retrouver ces lettres, vous devez créer des zones (appelées galaxies) de carrés unitaires adjacents en respectant les règles suivantes :

• chaque galaxie est formée d’un ou plusieurs carrés unitaires adjacents (ils doivent avoir un côté en commun) ;
• chaque galaxie possède un centre de symétrie qui est soit un point blanc soit un point noir (ces points sont représentés par des disques) ;
• chaque galaxie contient un unique point : son centre de symétrie ;
• tous les carrés de la grille sont utilisés et appartiennent à une unique galaxie ;
• il est possible qu’une galaxie ne soit formée que d’un seul carré (dans ce cas ce carré contient un point).
  Les galaxies ainsi formées et contenant un point noir seront coloriées et ce coloriage fera apparaitre une lettre.
  Exemple de la lettre A :
  

Procéder de la même façon pour déterminer le mot qui est codé par les grilles ci-dessous :

Pour cet exercice, le mot à trouver est « CENTRE » :

La consigne n’est pas forcément simple à comprendre, mais l’utilisation de l’outil en ligne peut permettre à l’enseignant de réaliser une démonstration étape par étape avec la classe : en cliquant sur les côtés des carrés, ceux-ci se noircissent en trait épais pour matérialiser les galaxies.

Sur l’exemple de la lettre « A », il est ainsi possible d’expliquer la construction des trois galaxies de droite et de continuer ainsi jusqu’à l’obtention de toutes les galaxies. Certaines galaxies se construisent très rapidement sans risque d’erreur (c’est le cas des deux galaxies tracées ici en haut à droite). Pour d’autres, un peu de réflexion et d’analyse ainsi qu’une démarche essai/erreur seront nécessaires, car plusieurs possibilités de tracé peuvent se présenter alors que la solution du puzzle est unique. Ainsi, un tel exercice mobilisera les compétences mathématiques « Chercher » et « Raisonner », bien plus que dans des exercices classiques généralement proposés.

Sur la page de la police, une fois la construction terminée et juste, les zones contenant les points noirs se colorient automatiquement.

Il est à noter que cette possibilité de tracer les galaxies directement sur le site permet de réaliser des exercices différenciés. Par exemple, pour le mot « CENTRE », on pourra proposer les grilles ci-dessous qui seront un peu plus simples à résoudre :

On peut également varier la difficulté en choisissant des mots plus ou moins longs à déchiffrer. Ainsi, de nombreuses possibilités sont possibles et on peut également imaginer un travail de groupe où chaque élève a à retrouver un mot d’une phrase (des lettres seront certainement communes à plusieurs mots : la communication entre membres du groupe et la répartition des tâches sont alors importantes).

 Integer Sequence Font : placer des points dans un repère du plan

Cette police est plus simple d’accès : chaque caractère est représenté par une série de points placés dans repère du plan et dont les coordonnées sont entières. Ces coordonnées sont données par une suite de nombres (« sequence » sur la page de la police) : l’abscisse du point et le rang du terme dans la suite et le terme lui-même en est son ordonnée.

Ainsi, dans la suite de nombres représentant le mot « text » (exemple ci-dessous, celui donné par défaut sur la page de la police) et qui comprend 70 termes, le premier point a pour coordonnées (1 ; 1), le second (2 ; 3), le troisième (3 ; 5), ainsi de suite.

Pour chaque abscisse entière correspond donc un unique point. Ce qui signifie qu’il ne peut pas y avoir d’alignement vertical des points : cela explique que la police soit « penchée ».

On pourra ici aisément créer une activité pour des élèves de 5e découvrant le repérage dans le plan : la suite de nombre étant donnée, il s’agira de replacer chaque point dans un repère pour faire apparaitre le texte cherché. Étant donné le nombre important de points à placer (70 pour l’exemple ci-dessus qui ne contient que 4 lettres !), l’usage de papier millimétré avec, en abscisse, le millimètre comme unité, est fortement recommandé. Ce travail est suffisamment accessible pour pouvoir être proposé en classe de 6e ou en activité d’introduction au repérage dans le plan en 5e.

Une alternative possible est de demander aux élèves de créer leur propre texte en plaçant un point (et un seul) pour chaque unité en abscisse dans un repère donné (ils créent alors leur propre police). Ils notent au fur et à mesure la suite de nombres correspondant aux ordonnées de tous les points ainsi placés. Ils transmettent cette suite de nombre à un camarade qui pourra déchiffrer le texte ainsi codé.

 Tiling Font : des caractères pour paver le plan

Cette police propose des caractères (minuscule et majuscules pour les lettres) qui ont la particularité de pouvoir paver le plan. La notion de pavage du plan, même si elle n’est pas explicitement inscrite dans les programmes, est essentielle en géométrie est elle est un support à de nombreuses autres notions comme les transformations du plan. En conséquence, cette police de caractère pourra être exploitée pour des travaux de géométrie et pour illustrer les différentes façons de paver le plan avec un motif. Il s’agit d’utiliser les différentes transformations du plan : la translation, la symétrie axiale, la symétrie centrale et la rotation (de 90° uniquement ici).

Quelques exemple : :

Avec la lettre « a » (minuscule), on utilise des symétries centrales et des translations.

Alors qu’avec la lettre « A » (majuscule), on utilise des translations et des symétries axiales.

Avec la lettre « J », ce seront des rotations de 90° et des translations.

Plusieurs type d’activités sont ici possibles de mettre en place avec cette police :

• On peut donner un caractère représenté sur une feuille quadrillée aux élèves et leur demander de reconstituer le pavage en leur expliquant que le motif peut-être « retourné » de n’importe quelle façon pour cela (phrase à reformuler sans le mot « retourné » suivant le niveau auquel l’activité est proposée et suivant que les élèves connaissent ou pas les transformations employées).

Il s’agit là d’un travail de recherche qui peut-être différencié en choisissant des caractères différents : le « B » est par exemple bien plus simple que le « j » ou que le « 1 ».

Pour cet exercice, mettre à disposition des élèves des lettres supplémentaires découpées (ou imprimées en 3D ou encore découpées avec une découpeuse laser) et à manipuler pour tester les configurations est un plus indéniable surtout si on s’adresse à de jeunes élèves (l’activité peut ainsi être proposée dès le primaire), mais également pour une différenciation plus poussée.

Recherche d’une solution avec des motifs découpés.

• Au cycle 4, les pavages peuvent être utilisés pour identifier ou caractériser certaines transformations.
  
  Par exemple, le pavage réalisé avec la lettre « f » étant donné et certains des motifs étant numérotés, on peut demander quelle est la transformation qui permet de passer du motif 1 au motif 2 ou du motif 1 au motif 3.
  On peut également demander aux élèves d’ajouter des points pour caractériser ces transformations.

• Un autre travail possible, mais certainement bien plus chronophage, serait de demander aux élèves de créer eux-même un motif représentant une lettre de l’alphabet ou un chiffre de telle sorte que ce motif pave le plan. Il s’agit d’un travail de recherche certainement très intéressant qui peut s’insérer dans un projet sur les pavages. L’ajout de contraintes peut permettre de différencier la tâche (imposer certaines transformations et/ou imposer la lettre sur laquelle effectuer les recherches).

 One-Fold Silhouette Font : utiliser la symétrie axiale

Cette police permet de reconstituer un texte donné par pliage le long d’un axe et par superposition de deux « parties » de ce texte. Une belle animation, sur la page dédiée, permet de visualiser ces deux étapes. Les deux parties se recouvrent, rendant le texte difficilement lisible sans cette manipulation ou sans un tracé par symétrie.

Cette police peut donc être utilisée dès le cycle 3 où la symétrie axiale est introduite par cette notion de superposition par pliage. Elle permettra de créer un bel exercice de manipulation, la lecture pouvant se faire par transparence.

Petit exercice : sauriez-vous trouver le mot qui se cache ci-dessous ?

En plaçant un quadrillage sous les motifs, on obtient un exercice plus classique de construction (« compléter avec un minimum d’éléments les deux figures pour qu’elles soient symétriques par rapport à l’axe rouge »). Une fois encore, la différenciation est simple à obtenir en modifiant la longueur du texte recherché.

 Tetris Font : pas si simple !

Cette police donne, pour chaque caractère, une série de tétraminos qui s’apprêtent à chuter verticalement selon le principe du jeu Tétris : leur empilement dessinera la silhouette des lettres cherchées.

Sans le quadrillage (une puce à cocher permet de l’afficher ou pas), le travail est complexe, mais avec le quadrillage et en faisant travailler les élèves sur une feuille à carreaux, on obtient un bon petit exercice de géométrie sur la reproduction de formes géométriques simples et qui introduit de façon intuitive la notion de translation. Une telle activité, en classe, s’adressera à des élèves de cycle 3.

Une fois de plus, l’animation sur la page dédiée permet de donner un exemple très explicite du travail à faire et, une fois de plus, la différenciation est aisée à mettre en place : il suffit de varier le nombre de caractères à rechercher.

 Une sélection de polices à ne pas manquer

Je ne vais pas passer en revue la trentaine de polices de caractères présente sur le site. Mais il y en a au moins 3 que je ne peux pas passer sous silence tant elles me semblent intéressantes. Elles seront très difficilement utilisables en classe avec les élèves, mais ce sont de belles curiosités.

  Checkers Font : Une police inspirée du jeu de dames

Ici on joue aux dames sur un damier de 64 cases. Il y a des pions rouge et des pions noirs et ce sont les noirs qui commencent. Et tout comme au jeu de dames, la prise est obligatoire et, ici, ce sont les seuls déplacements possibles (chaque déplacement est une prise). Les trajectoires des pions dessinent les caractères recherchés. Splendide !

Sur cet exemple, les lettres « d », « a », « e » et « s » ne posent pas de problème : l’unique pion noir prend tous les pions blancs. Par contre, pour le « m », il faut réfléchir un peu plus.

Cette police pourra faire, sans aucun doute, le bonheur des élèves dans un club maths.

  Voronoi Font : jouer avec les diagrammes de Voronoï

Des diagrammes de Voronoï pour représenter des caractères, l’idée est géniale.
Et ce qui est encore plus génial, c’est qu’il y a deux modes possibles. Dans le premier, les germes du diagramme sont donnés et ce sont les cellules (à retrouver) qui forment les caractères recherchés.

Dans le second, c’est l’inverse : les cellules sont données et la recherche des positions des germes donnera les caractères à trouver.

Les auteurs ont même pensé à un mode où les germes sont manipulables (cocher la case « Draggable ») : on peut les déplacer, en ajouter ou en supprimer pour chercher à représenter nous-mêmes un caractère avec les cellules obtenues. C’est addictif !

  Card Shuffling Font : algorithme et programmation

Cette police ne manquera pas de séduire tous ceux qui s’intéressent à la programmation (une application en classe de NSI est d’ailleurs certainement possible). Il s’agit de mélanger un jeu de 26 cartes (chaque carte étant une lettre de l’alphabet) pour faire apparaitre en haut du paquet le caractère souhaité. Les auteurs l’expliquent très bien (traduit de l’anglais) :

Un mélange parfait consiste à couper un jeu de cartes en deux paquets contenant chacun le même nombre de cartes, puis à les mélanger avec une alternance exacte entre les cartes des deux paquets obtenus. Il y a alors deux possibilités de mélanges, selon lequel des deux paquets fait tomber la première carte : la carte supérieure est placée soit sur le dessus du nouveau paquet (à l’extérieur ou « O »), soit une carte plus bas (à l’intérieur ou « I »). En exécutant une série appropriée de mélanges parfaits, vous pouvez placer n’importe quelle carte sur le dessus du jeu ; c’est ce qu’on appelle le problème d’Elmsley, qui a été résolu par Persi Diaconis et Ron Graham.
Dans cette police, nous partons d’un jeu trié de 26 cartes étiquetées de A à Z (à gauche) et, pour chaque lettre du message, nous appliquons les (au plus 5) mélanges parfaits nécessaires pour amener cette lettre au sommet du jeu (en gras), afin qu’elle puisse être présentée à l’auditoire. Les « I » et les « O » codent ces mélanges nécessaires, et les graphiques montrent comment les cartes se réorganisent en cours de route. Cette police est inhabituelle dans la mesure où l’encodage de chaque lettre dépend de l’emplacement actuel de la lettre dans le jeu, qui dépend à son tour de la séquence de lettres et des mélanges qui ont été effectués auparavant.
Cette police a été préparée en l’honneur du 80e anniversaire de Ron Graham. Voir notre article « Juggling and Card Shuffling Meet Mathematical Fonts », dans Connections in Discrete Mathematics : In Honor of Ron Graham’s 80th Birthday, 2018.

Et une fois de plus l’animation est très explicite.

 Bien d’autres surprises à découvrir

J’ai passé en revue, de façon plus ou moins détaillée, huit des polices de caractères présentes sur le site des frères Demaine. Il y a bien plus à découvrir et à s’étonner : pliages de différents types, dissection du carré, sodoku et autres puzzles mathématiques, technique de mise en forme du verre, tressage ou jonglerie… Les auteurs de ces polices ne manquent pas d’imagination et il y a de quoi ravir tous ceux qui aiment les curiosités mathématiques, bien au-delà de l’intérêt pédagogique potentiel.