Mathématice, intégration des Tice dans l'enseignement des mathématiques  
Sommaire > N°43 - janvier 2015 > Nocturlabe et précession des équinoxes

Nocturlabe et précession des équinoxes
Influence de la latitude et de la précession des équinoxes sur la lecture de l’heure aux étoiles
Moteur de recherche
Mis en ligne le 8 janvier 2015, par David Crespil

L’article ci-dessous est la suite de l’article paru dans le n°41 de MathémaTICE

Étude de l’influence de la latitude et de la précession des équinoxes sur la lecture de l’heure aux étoiles.

A Denis Savoie pour son étude très fine du nocturlabe

1) Introduction

Je dois l’écriture de cet article à l’une de mes lectures, un document produit parDenis SAVOIE, astronome, qui m’a donné l’aimable autorisation de reproduire ses calculs de trigonométrie sphérique afin d’évaluer l’erreur commise lors de l’utilisation du nocturlabe.

Le dossier précédent sur le nocturlabe nous avait appris à mesurer l’heure aux étoiles en admettant que l’étoile polaire est sur l’axe du monde. Nous nous proposons d’établir le décalage dû au fait que l’étoile polaire est plus ou moins éloignée de l’axe du monde.

Au milieu du seizième siècle elle était approximativement située à 3° du pôle nord céleste et en sera au plus proche en 2100.

Nous verrons aussi l’influence de la latitude sur la précision des mesures. L’instrument devient de moins en moins précis au fur et à mesure que l’on monte en latitude.

La trigonométrie sphérique sera sollicitée par le biais des formules de Gauss.

Le logiciel Stellarium nous permettra de connaître les cordonnées équatoriales des étoiles à l’époque que l’on choisira et le tableur EXCEL fera le reste.

Il est important de préciser que la lecture de cet article suppose connues du lecteur les notions fondamentales d’astronomie que j’ai développées dans le dossier précédent sur le nocturlabe.

Notre étude visera à calculer :

Dh= angle horaire de l’étoile de référence- valeur lue sur le nocturlabe.

Nous verrons dans le point 6 comment la table des erreurs (connaissance de Dh) sur l’angle horaire de l’étoile de référence est la même pour le Temps Universel (TU) qui est l’objet de notre préoccupation.

Nous visualisons ici le nocturlabe présenté dans mathematice N°41

Schéma 1

Ce nocturlabe était basé sur le fait que l’étoile polaire est assez proche du pôle nord céleste au sens où, si l’on désigne par P l’étoile polaire, N le pôle nord terrestre ou céleste et O le centre de la terre alors l’angle $\widehat{PON}$ est très petit.

Cet angle était de 3° au milieu du seizième siècle.

On pourra le vérifier avec par exemple le goniomètre de Stellarium.

Notons qu’on peut choisir indifféremment le centre de la terre ou l’observateur, compte tenu des distances vertigineuses qui nous séparent des étoiles comparées aux dimensions de la terre.

Le fait que l’étoile polaire ne soit pas rigoureusement sur l’axe du monde entraîne une erreur de lecture sur l’angle horaire et par voie de conséquence sur l’heure :

Sur le schéma 1, l’angle $\widehat{TPA}$ correspond à l’heure et l’angle $\widehat{APB}$ à l’angle horaire.

Voici à présent le schéma simplifié du nocturlabe.

  • p est le pôle nord ; o centre de la sphère.
  • [et] est le manche du nocturlabe.
  • z : l’observateur 
  • e : l’étoile polaire au centre du nocturlabe 
  • E : sa projection sur la sphère
  • a : l’étoile de référence
  • A : sa projection sur la sphère.

Schéma 2

Rappel : l’orientation du manche du nocturlabe [et] se fait en considérant visuellement le plan contenant le manche, de telle manière que ce plan soit perpendiculaire au plan horizontal de l’observateur et qu’il passe par l’observateur.

Ce plan n’est plus le plan méridien de l’observateur comme dans le N° 41 consacré au nocturlabe.

Nous lisons alors un angle $\widehat{aet}= \widehat{Hp}$ sur le nocturlabe, mais cet angle n’est plus l’angle horaire de l’étoile de référence A du fait que la droite en vert n’est plus l’intersection du plan méridien avec le plan du nocturlabe.

Notre étude visera à calculer :

Dh= angle horaire de l’étoile de référence- Hp

2) Exercices

Exercice (shéma2) : Montrer que si l’on appelle E’ la projection orthogonale de l’étoile polaire sur le plan horizontal de l’observateur z alors ce plan (Etz) est aussi le plan (EE’z).

Exercice : Montrer que dans le schéma 3 l’angle sphérique $\widehat{AoB}$ est égal à la mesure de l’arc A’B’.

Schéma 3

Exercice

Soit une sphère de centre O ; (D’’) une droite passant par O ; (S) un plan perpendiculaire à (D’’).

z, p, a trois points de la sphère. Z, P, A les intersections respectives des droites (Oz) , (Op) et (Oa) avec le plan (S).

Soit (D) la droite d’intersection du plan (OPZ) avec le plan (S).
(D’) la droite d’intersection du plan (OPA) avec le plan (S).

Il s’agit de montrer que l’angle $\widehat{zpa}$ du triangle sphérique est égal à l’angle $\widehat{ZPA}$.

Schéma 4

Application : l’angle $\widehat{AEt}$ du nocturlabe est égal à l’angle du triangle sphérique aez (shéma2).

Nous allons dans ce document essayer de mieux comprendre les valeurs affectées aux cotés des triangles sphériques qui ont servi à établir les formules en vue du calcul de Dh.

3) Rappels sur les notions fondamentales d’astronomie

Les notions de latitude, de hauteur d’un astre, d’angle horaire, de coordonnées équatoriales, de point vernal, ont été exposées dans l’article n° 41.Nous les revoyons ici en nous concentrant sur certaines portions d’arc afférentes à ces notions.

1) la latitude  : La mesure de l’arc $\overset{\frown}{ms}$ est la latitude de l’observateur et la mesure de l’arc $\overset{\frown}{Pm}$ que l’on appelle la colatitude est égale à 90°-latitude.

m désigne l’observateur, le méridien de m coupe le cercle équateur en s.

La latitude est la mesure en degrés de l’arc $\overset{\frown}{ms}$ , cette mesure étant affectée du signe + dans l’hémisphère nord et dans l’hémisphère sud pour les formules mais on peut rajouter à cette mesure N POUR l’hémisphère nord et S pour l’hémisphère sud.

2) déclinaison d’un astre  : Dans ce cas la mesure de l’arc $\overset{\frown}{PE}$ est égale à 90° -déclinaison de l’astre.

Il s’agit ici de rappeler ce qui a été vu dans Mathematice n°41.

La mesure en degrés de l’arc ES $\overset{\frown}{ES}$ est la déclinaison de l’astre qui est ici représenté sur la sphère céleste en E. On adopte les mêmes conventions que pour la latitude.

On peut aussi au lieu de travailler sur la sphère céleste travailler sur le point substellaire, intersection de la droite (OE) avec la sphère terrestre, O désignant le centre de la sphère. C’est le point de vue que j’ai adopté, faute de pouvoir avec Cabri 3D représenter une sphère céleste transparente avec à l’intérieur, la terre reliée au nocturlabe.

La déclinaison d’une étoile E mesurée sur la sphère céleste est la même que celle mesurée sur terre en utilisant le point substellaire de l’étoile.

3) hauteur d’un astre

La hauteur de l’astre est égale à la mesure de l’arc $\overset{\frown}{tE}$ sur le cercle des hauteurs, obtenu en intersectant le plan (zénith, M, E) avec la sphère céleste locale de centre M, le point M désignant l’observateur.

Le complément de cette hauteur est donc la mesure de l’arc $\overset{\frown}{(zénith)E}$

Exercice : montrer que la hauteur de l’astre est aussi égale à l’angle $ \widehat{eMe’’}$
Exercice : les distances qui nous séparent des étoiles étant considérables par rapport aux dimensions de la terre, on a que les droites (Oe) et (Me) sont parallèles.

Dans ce cas montrer par le jeu des angles correspondants que le complément de la hauteur de l’astre est égal aussi à l’angle $ \widehat{MOe’}$ ou encore à la mesure de l’arc Me’ $ \widehat{Me’}$ sur le grand cercle de la sphère terre.

4) Les triangles sphériques qui nous seront utiles

A partir du schéma 2, voici comment se présentent les différents arcs ramenés non pas à la sphère céleste – ce qui eût été un choix possible - mais à la sphère terrestre.

En effet pour des raisons liées à Cabri, je n’ai pu représenter une sphère céleste transparente dans laquelle j’aurais inclus un nocturlabe j’ai donc choisi de tout ramener à la terre.

Schéma 5 l’explication des valeurs des arcs est donnée au paragraphe 3.


φ représente la latitude de z

δ’ la déclinaison de l’étoile polaire

δ la déclinaison de l’étoile de référence ;

K la distance angulaire entre l’étoile polaire et l’étoile de référence

h la hauteur de l’étoile de référence et p la mesure en degrés de l’arc ez

On pourrait aussi raisonner sur la sphère céleste mais dans ce cas le point Z représenterait le zénith de l’observateur. Habituellement, c’est avec la sphère céleste que l’on raisonne mais je ne pouvais avec Cabri 3D introduire mon nocturlabe dans cette sphère que je ne peux rendre transparente et j’ai fait le choix de travailler sur la sphère terrestre dans un but pédagogique.

A présent nous pourrons appliquer les formules de la trigonométrie sphérique. J’ai fait le choix d’utiliser la trigonométrie sphérique sur la sphère terrestre et non sur la sphère céleste pour des raisons inhérentes à Cabri 3d qui n’autorise pas la représentation en transparence de la sphère céleste.

5) Démonstration des formules utilisées dans le fichier Excel intitulé : calcul d’erreur

a ) RAPPEL :

a : étoile repère par exemple Dubhé ;

e : étoile polaire ;

P : pôle nord.

(ea) : direction dans laquelle est vue l’étoile repère.

Z : observateur

Hp : angle entre le manche du nocturlabe et la direction (ea) mesuré de 0° à 360° dans le sens des aiguilles d’une montre à partir du manche.

Notations : (et) désignent les ascensions droites de l’étoile de référence (par exemple Dubhé) et de l’étoile polaire. Et leurs déclinaisons respectives.

b) Application de la formule de GAUSS ( iii )aux différents triangles sphériques du schéma 5 du paragraphe 4 qui par commodité sont représentés comme ci-dessous.

Formules de Gauss.

Triangle sphérique EPA

$ \cos K= \sin \delta \sin \delta’ + \cos \delta \cos \delta’ \cos \widehat{EPA} $ (1)

Triangle sphérique APZ

$\sin h= \sin \varphi \sin \delta + \cos \varphi \cos \delta \cos \widehat{APZ} $ (2)

Triangle sphérique EPZ

$\cos p= \sin \varphi \sin \delta’ + \cos \varphi \cos \delta’ \cos \widehat{EPZ} $ (3)

Triangle sphérique AEZ

$\sin h=\cos K \cos p +\sin K \sin p \cos \widehat{AEZ} $ (4)

D’où

$\cos \widehat{AEZ} = \dfrac{\sin h -\cos K \cos p }{\sin K \sin p }$ (5)

Compte tenu de la périodicité de la fonction cosinus, on aura dans tous les cas de figure possibles :

$\cos \widehat{EPA} = \cos (\alpha - \alpha’)$
avec α et α’ ascensions droites de l’étoile repère (par exemple Dubhé) et de l’étoile polaire.

$\cos \widehat{APZ}= cos H $

H désignant l’angle horaire de l’étoile repère, par exemple Dubhé.

$\cos \widehat{EPZ} = \cos(\alpha - \alpha’ + H)$

$\cos EZ = \cos Hp $

où Hp a été défini au rappel 1.

D’où, si l’on tient compte de ce que 0 < p < π

$\sin h = \sin \varphi \sin \delta + \cos \varphi \cos \delta \cos H$

$\cos K = \sin \delta \sin \delta’ + \cos \delta \cos \delta’ \cos (\alpha - \alpha’)$

$\cos p = \sin \varphi \sin \delta’ + \cos \varphi \cos \delta’ \cos (\alpha - \alpha’ + H)$


$\sin h = \cos K \cos p +\sin K \sin p \cos Hp $

$\cos Hp= \dfrac{\sin h -\cos K \cos p }{\sin K \sin p }= \dfrac{\sin h -\cos K \cos p }{\sin K \sqrt{1-(\cos p)^2 }}$

6) Lien entre l’erreur sur l’angle horaire et l’erreur sur le TU.

Le nocturlabe, on l’a vu dans MathemaTICE n°41, nous permet - si l’on considère que l’étoile polaire est sur l’axe du monde - d’avoir par lecture directe l’angle horaire de l’étoile de référence mais aussi l’heure TU (angle horaire du soleil moyen : voir le schéma 1 de l’introduction).

Nous avons, dans ce nouveau dossier, porté notre attention sur l’évaluation de l’erreur Dh.

La connaissance de l’erreur Dh permettant de calculer l’angle horaire de l’étoile de référence.
Dh = angle horaire – valeur Hp lue sur le nocturlabe.

Si l’étoile polaire n’est plus suffisamment près du pôle comme c’était par exemple le cas vers 1550 (à 3°environ du pôle céleste), on, peut alors simplement lire Hp sur le nocturlabe, mais pas le TU. Quelle sera alors l’erreur sur le TU ?

Exercice : Montrer que si TsG désigne, pour l’étoile de référence, l’heure sidérale à l’heure TU au méridien de Greenwich, alors en appelant TsO l’heure sidérale à 0 h TU au méridien de Greenwich, on a :

TsG = TsO +1,002734 *TU (1)

Aide  : 24 h =86400 s ; durée de rotation de la terre 23 h 56 m 4 s = 86164 s 86400/86164= 1,02734…

Le TsO est donné par les éphémérides. Ainsi le TsO du 2 avril 2013 vaut :

12 h 42 m 1,03258 s

Nous nous proposons à présent de montrer que la table des erreurs du fichier EXCEL ‘’ calcul d’erreur ’’ est la même pour le TU.

Nous avons vu dans MathemaTICE n° 41 dossier 7 la relation suivante :

Temps sidéral local=angle horaire+ ascension droite (modulo 24 h) (2)

Par ailleurs Dh= Ah - Hp avec Ah angle horaire de l’étoile de référence et Hp angle lu sur le nocturlabe et défini sur le schéma 2 de l’introduction.

On a : TsG= AhG + a (modulo 24 h) (2)

TsG =TsO +TU *1,002734 (modulo 24 h) (1)

Nous allons examiner le cas ou l’on a des égalités en (1) et (2) et non des congruences.

Les autres cas se traitent pareillement.

On a TU= (AhG+a –TSO) / 1,002734)

Au lieu de lire Ah avec le nocturlabe, on lit Hp.

Supposons que l’on soit dans le cas où par exemple, AhG - Ah ′= L (longitude), les autres cas se traitant de la même manière.

Dans ce cas TU= (Ah +L+a –TSO)/1,002734 (3)

Et le TU’ qui résultera de la lecture du nocturlabe est obtenu en remplaçant Ah par Hp dans (3)

TU’= (Hp+L+ a –TSO) / 1,002734

D’où TU-TU’= (Ah - Hp)/1,002734= Dh / 1,002734

Comme 1,002734 est voisin de 1, on a bien TU-TU′ ≈ Dh

On peut montrer dans tous les cas que : TU-TU’≈Dh

Ainsi la table du fichier EXCEL ‘’ calcul d’erreur ’’ est la même pour le TU.

Voici une page tirée des éphémérides donnant le TsO

7) Conclusion

Voici les résultats obtenus à l’aide du fichier Excel

Excel - 51.6 ko

pour l’étoile de référence Dubhé à une latitude moyenne de 49° en 2010.

angle horaire deDh en min
l’étoile de référence
0,000 1,568496981
30,000 2,832066826
60,000 4,431863665
90,000 5,95881666
120,000 7,020441416
150,000 7,328865022
180,000 6,780716381
210,000 5,505138482
240,000 3,847601774
270,000 2,274077852
300,000 1,223626299
330,000 0,972921361

Voici les résultats obtenus à l’aide du fichier Excel pour l’étoile de référence Dubhé à une latitude moyenne de 49° en 1550

H degDh min
  
  
01,568496981
  
  
3011,85983404
6018,87410676
9024,17262312
12026,32826029
15024,33295085
18018,23701829
  
2109,687611361
2401,544145872
270-3,54765508
300-4,381656206
330-1,260748701

L’erreur de lecture est en nette augmentation.

Le fichier Excel permettra de faire varier la latitude et d’observer combien le décalage devient important aux hautes latitudes et de constater que plus on se rapproche de 2100, plus la distance entre l’étoile polaire et le pôle nord céleste diminue, ce qui a pour conséquence de réduire le décalage Dh.
Le changement de date permet d’être confronté à la précession des équinoxes qui modifie la position de l’étoile polaire sur la sphère céleste.

Ce fichier Excel comporte 3 onglets :

  • un onglet relatif à l’étoile Dubhé en 2010
  • Un onglet relatif à l’étoile Dubhé en 1550
  • Un onglet relatif à une étoile circumpolaire de vitre choix à la date que vous aurez choisie sur Stellarium.

L’étoile Kochab est intéressante pour notre époque alors que vers 1550, l’erreur pouvait atteindre 40 min.

Exercice : le vérifier en utilisant le fichier Excel après avoir récupéré les coordonnées équatoriales sur STELLARIUM ou sur le logiciel REDSCHIFT.

Pour conclure, nous avons montré que la latitude, dès lors qu’elle est élevée (à partir de 70°), et la précession des équinoxes affectent de manière notable la précision de l’instrument, celui- ci devenant de plus en plus précis au fur et à mesure que l’on se rapprochera de l’an 2100, date à laquelle la polaire sera au plus prés du pôle.

Par le plus heureux des hasards, certaines étoiles circumpolaires n’ont pas affecté la précision du nocturlabe, ce qui n’était pas le cas de toutes les étoiles circumpolaires comme par exemple l’étoile Dubhé qui en 1550 était à l’origine d’un décalage de 24 min environ.

Rendons hommage à l’ingéniosité humaine qui a permis, avec un mécanisme aussi simple de réaliser la prouesse de lire l’heure dans les étoiles !


Réagir à cet article
Vous souhaitez compléter cet article pour un numéro futur, réagir à son contenu, demander des précisions à l'auteur ou au comité de rédaction...
À lire aussi ici
MathémaTICE est un projet
en collaboration avec
Suivre la vie du site Flux RSS 2.0  |  Espace de rédaction  |  Nous contacter  |  Site réalisé avec: SPIP  |  N° ISSN 2109-9197