Mathématice, intégration des Tice dans l'enseignement des mathématiques  
Sommaire > N° 9 - Mars 2008 > Le dossier du numéro > Entraîner les élèves à l’épreuve pratique de (...)

Entraîner les élèves à l’épreuve pratique de mathématique du baccalauréat S à l’aide de Mathenpoche Réseau
Moteur de recherche
Mis en ligne le 30 mars 2008, par Benjamin Clerc

La version réseau de Mathenpoche offre des potentialités encore trop souvent méconnues, en particulier celle de pouvoir créer des activités informatiques utilisant la géométrie dynamique.
L’exemple ci-dessous illustre comment un professeur peut utiliser cet environnement pour familiariser ou entraîner ses élèves à l’épreuve pratique du Bac S. Loin des clichés sur l’exerciseur, Mathenpoche se révèle être un auxiliaire efficace pour le professeur.

Pour utiliser les potentialités réseau de Mathenpoche, il faut être inscrit à l’une des versions réseau (inscription libre et gratuite) ; puis, il faut inscrire ses élèves ; il reste alors à programmer des exercices incluant de la géométrie dynamique. 1
Ces exercices pourront être enregistrés sur l’interface et affectés à tout ou partie des élèves (avec la possibilité de différencier, le cas échéant).
Voici une capture d’écran illustrant la création d’un exercice avec le logiciel Tracenpoche (logiciel de géométrie dynamique ayant reçu le label RIP) :

En plus de la figure dynamique à proprement parler, on peut inclure dans la consigne des objets de formulaires (cases à cocher, boutons radios, listes de sélection, zones de texte) ; en voici quelques exemples :
- exemple 1 : QCM de brevet
- exemple 2 : QCM d’évaluation intermédiaire
- exemple 3 : QCM du chapitre Triangle rectangle du manuel Sésamath 4ème
- exemple 4 : Activité de découverte, conjecture avec Tracenpoche

Ces éléments de formulaire peuvent être insérés dans la consigne donnée à l’élève à l’aide d’un éditeur de pages html, certains sont accessibles en ligne et configurés pour une utilisation conjointe de Mathenpoche : TinyMCE - FCKeditor.

Tout est donc réuni pour proposer dans de bonnes conditions des Travaux Pratiques en vue d’initier ou de perfectionner les élèves à ce type de travail.

Prenons comme exemple le sujet 012 de la banque de descriptifs de sujets 2007 disponibles sur Eduscol.


L’énoncé

sujet 012

Épreuve pratique de mathématiques

Descriptif

Le triangle ABC représente une équerre.
On s’intéresse à l’étude du lieu de certains points de l’équerre lorsque les points A et C glissent respectivement sur les demi-droites perpendiculaires [OM) et [OS).

Compétences évaluées

Compétences TICE

  • Construire une figure avec un logiciel de géométrie dynamique ;
  • Visualiser un lieu ;
  • Tester les conjectures émises.

Compétences mathématiques

  • Exploiter les propriétés du triangle rectangle ;
  • Utiliser les lignes trigonométriques dans un triangle.

L’énoncé tel qu’il est proposé aux élèves :

Le triangle ABC représente une équerre telle que AB = 3, AC = 6 et l’angle en B est droit.
Les points A et C glissent respectivement sur les demi-droites perpendiculaires [OM) et [OS).
Le point I est le milieu du segment [AC].
On s’intéresse aux lieux des points I et B.

  1. Observer les propriétés géométriques de la figure. Avec un logiciel de géométrie dynamique, construire une figure dynamique illustrant la situation.
  2. Visualiser, à l’aide du logiciel, le lieu du point I quand C décrit la demi-droite [OS).
    Quelle conjecture peut-on émettre sur la nature de ce lieu ?
  3. Visualiser, à l’aide du logiciel, le lieu du point B quand C décrit la demi-droite [OS).
    Quelle conjecture peut-on émettre sur la nature de ce lieu ?
  4. Donner les mesures des angles de l’équerre, puis celle de l’angle (A distinct de O).
    En déduire que le lieu de B est inclus dans une courbe simple dont on précisera la nature.
    Démontrer que .
    En déduire le lieu de B.

On peut lire dans les commentaires sur ce sujet :

Ce TP démarre par une démarche d’analyse synthèse, d’où les difficultés des élèves. Le manque d’entraînement de ces derniers sur ce type d’activité pose la question de l’adaptation de ce sujet à une évaluation. Les candidats essaient à plusieurs reprises de construire la figure à l’aide de Géoplan, ils prouvent des connaissances concernant les manipulations du logiciel et une certaine aisance, mais malheureusement les figures sont rarement adaptées à la situation, ceci par défaut d’analyse. Il est également constaté le manque d’entraînement sur les allers-retours « du papier crayon vers l’ordinateur » et sur la mobilisation de connaissances mathématiques élémentaires permettant de construire la figure.
Par suite, les demandes d’aide sont fréquentes ce qui complique la tâche de l’examinateur.
Une fois résolus les problèmes d’analyse de la figure, l’activité permet de bien évaluer diverses compétences telles l’expérimentation à l’aide d’une figure dynamique, l’émission de conjectures ; elle permet également la prise d’initiatives par exploration plus fine, par affichage d’angles, de longueurs...,
pour amener l’accès à la démonstration, et enfin l’esprit critique.

Il est possible dans Mathenpoche de proposer la question 1 sous cette forme :


Figure à manipuler



Cette façon de procéder donne à l’élève un énoncé dynamique de la figure, lui permettant d’appréhender plus facilement la construction qui lui est demandée.
A noter que le logiciel Tracenpoche peut être configuré préalablement par l’enseignant, en restreignant éventuellement les fonctionnalités disponibles ; de même il peut choisir d’afficher ou non les zones "énoncé", "script" ou "analyse".

Lorsque l’élève clique sur le bouton pour valider sa construction, celle-ci est alors automatiquement enregistrée dans l’interface du professeur . Ainsi ce dernier peut avoir accès par la suite à toutes les constructions dynamiques de ses élèves (il lui suffit de cliquer sur "voir le travail") : il peut alors éventuellement les utiliser en vidéo-projection pour pointer les erreurs récurrentes commises par les élèves.

Quelques exemples :


Mauvaise construction du point B ...


La construction du point C n’est pas liée à celle de A, les points O, M et S ne sont pas fixés : catastrophe !


Le point O n’est pas fixé ! A est un point de la droite (OM), donc l’équerre disparait si A est trop haut, et surtout, les traces ne sont pas celles attendues puisque l’équerre peut glisser le long de (OM) sous [OS) !


L’équerre disparait si on tire A trop vers le haut ! Et puis le point O n’est pas fixé, et les axes ne sont pas perpendiculaires ...


Le reste du sujet peut bien sûr être traité sur papier en utilisant la figure construite en Q1. Il est possible aussi de proposer dans une autre page l’énoncé des questions suivantes sous cette forme :


Le triangle ABC représente une équerre telle que AB = 3, AC = 6 et l’angle en B est droit.
Les points A et C glissent respectivement sur les demi-droites perpendiculaires [OM) et [OS).
Le point I est le milieu du segment [AC].
On s’intéresse aux lieux des points I et B.

  1. Visualiser, à l’aide du logiciel, le lieu du point I quand C décrit la demi-droite [OS).
    Quelle conjecture peut-on émettre sur la nature de ce lieu ?
  2. Visualiser, à l’aide du logiciel, le lieu du point B quand C décrit la demi-droite [OS).
    Quelle conjecture peut-on émettre sur la nature de ce lieu ?
  3. Donner les mesures des angles de l’équerre, puis celle de l’angle (A distinct de O).


    En déduire que le lieu de B est inclus dans une courbe simple dont on précisera la nature.


    Démontrer que OB = 6 sin ($\widehat{OAB}$).


    En déduire le lieu de B.

     

Donner l’énoncé sous cette forme a l’avantage que l’élève raisonne sur une figure juste, qui ne vient pas perturber sa réflexion par son éventuelle imperfection.

Lorsque l’élève clique sur le bouton "Valider l’exercice", les réponses qu’il a entrées dans les différentes zones de saisie sont enregistrées dans l’interface professeur, l’enseignant peut alors les consulter sur Internet. Dans le bilan de la séance, pour chaque exercice enregistré par les élèves, il peut cliquer sur le lien "voir le travail" pour afficher les réponses

Par exemple :

  • texteQ2 : Le point I semble décrire un arc de cercle de rayon 3
  • texteQ3 : Le point B semble décrire un segment d’une demi-droite passant par O.
  • texteQ41 : L’angle $\widehat{BAC}$ vaut 60° car son cosinus vaut $\frac{3}{6} = 0,5$. L’angle $\widehat{BCA}$ vaut donc 30° car complémentaire. L’angle $\widehat{AOB}$ est égal à l’angle $\widehat{ACB}$ = 30°, car tous deux sont inscrits sur le cercle de centre I de rayon 3 et interceptent le même arc $\stackrel \frown {AB} $.
  • texteQ42 : Le point B décrit un segment de la demi-droite passant par O, image de [OM) par rotation de 30° dans le sens horaire.
  • texteQ43 : On utilise deux fois le théorème D’Al Kashi 4 : Dans le triangle OAB puis OBC
    OB²=OA²+AB²- 2OA×AB×cos($\widehat{OAB}$)
    OB²=OC²+CB²- 2OC×CB×cos($\widehat{OCB}$)
    On ajoute membre à membre et on utilise le théorème de Pythagore dans les triangles rectangles AOC et ABC
    2OB² = AC² +AC² - 2OA×AB×cos($\widehat{OAB}$) - 2OC×CB×cos($\widehat{OCB}$)
    Les angles OAB et OCB sont supplémentaires, (O, A , B ,C) cocycliques, donc cos($\widehat{OCB}$) = - cos($\widehat{OAB}$)
    Donc 2OB² = AC² +AC² - 2OA×AB×cos($\widehat{OAB}$) + 2OC×CB×cos($\widehat{OAB}$)
    on divise par 2
    OB² = AC² - OA×AB×cos($\widehat{OAB}$) + OC×CB×cos($\widehat{OAB}$)
    On exprime OA , AB, OC, CB en fonction de AC :
    OA = AC×cos($\widehat{OAC}$)
    AB = AC×cos($\widehat{CAB}$)
    OC = AC×sin($\widehat{OAC}$)
    BC = AC×sin($\widehat{CAB}$)
    Donc OB² = AC² - (OA×AB - OC×CB)cos($\widehat{OAB}$)
    OB² = AC² - AC²(cos($\widehat{OAC}$)×cos($\widehat{CAB}$) - sin($\widehat{OAC}$)×sin($\widehat{CAB}$))×cos($\widehat{OAB}$)
    On reconnait cos(a+b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b)
    OB² = AC² - AC²×cos($\widehat{OAB}$)×cos($\widehat{OAB}$)
    OB² =AC²(1-cos²($\widehat{OAB}$)) = AC²sin²($\widehat{OAB}$)
    D’où OB = AC sin($\widehat{OAB}$) = 6 sin ($\widehat{OAB}$)
  • texteQ44 : L’angle $\widehat{OAB}$ varie de 30° à 150° en passant par 90°.
    Donc OB vaut au maximum 6 lorsque l’angle $\widehat{OAB}$ vaut 90° et vaut au minimum 3 lorsque l’angle $\widehat{OCB}$ vaut 30°.
    Le lieu de B est donc bien un segment de la demi-droite passant par O, image de [OM) par rotation de 30° dans le sens horaire.

Pour voir une autre réponse élève

En conclusion :

Cet exemple illustre une possibilité d’utilisation de la version actuelle de Mathenpoche réseau. Les versions ultérieures (déjà en développement) permettront d’aller plus loin dans le paramétrage et l’intégration des outils (plus simples et plus ergonomiques) et surtout, à terme, dans les intéractions possibles entre eux : géométrie dynamique, tableur, calculatrices virtuelles...
De cette façon, l’environnement Mathenpoche permettra facilement de proposer des situations et un panel d’outils mais aussi de récupérer automatiquement toutes les traces et figures des élèves.


1 Comment créer puis insérer un exercice Tracenpoche dans une séance.
2 La figure est ici proposée dans un Tepweb (affichage de Tracenpoche), on peut aussi la proposer à l’aide de geogebra.jar (affichage de Geogebra), de CaRMetal.jar (affichage de CarMetal), de Cabrijava (affichage de Cabri Géomètre), de GeoplanJ (affichage de Geoplan), ...
3 Le logiciel proposé ici est Tracenpoche, mais il est tout à fait possible de proposer Geogebra ou CarMetal. A noter que dans ce cas, il ne sera pas possible de récupérer automatiquement les figures dans l’interface de Mathenpoche, cette possibilité étant offerte par le lien naturel entre Mathenpoche et Tracenpoche. On peut cependant contourner ce problème en demandant à l’élève d’envoyer la figure produite via la messagerie électronique, ou de l’enregistrer sur l’espace de sa classe sur le réseau de l’établissement.
4 voir le théorème d’Al-Kashi sur Wikipédia


Documents associés à l'article
     |   (Texte - 2.9 ko)
     |   (geogebra - 1.6 ko)
     |   (PDF - 42.5 ko)
     |   (Texte - 2.8 ko)
Réagir à cet article
Vous souhaitez compléter cet article pour un numéro futur, réagir à son contenu, demander des précisions à l'auteur ou au comité de rédaction...
À lire aussi ici
MathémaTICE est un projet
en collaboration avec
Suivre la vie du site Flux RSS 2.0  |  Espace de rédaction  |  Nous contacter  |  Site réalisé avec: SPIP  |  N° ISSN 2109-9197