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Arbre et loi binomiale
Utilisations pédagogiques de Mathématikos http://jpq.pagesperso-orange.fr/
Moteur de recherche
Mis en ligne le 14 avril 2012, par Jean-Paul Quelen

Voici un article qui apporte des outils utilisables en classe dans divers domaines :

  • fonctions
  • probabilités
  • et plein d’autres choses

L’auteur propose des animations (programmées en java) dans ces différents domaines. Il les met à disposition des enseignants et des élèves pour illustrer un cours ou encore parfaire les connaissances dans un domaine.

Toutefois, pour pouvoir visualiser ces animations, les utilisateurs de Firefox devront peut-être mettre à jour le plug-in java de leur navigateur : si une mise à jour automatique ne réussit pas, ils pourront trouver la méthode manuelle à cette adresse.

Mathématikos

Pourquoi ce site ?

J’ai créé mes premières animations sur Internet en 1996. A cette époque j’étais en poste à Barcelone et je venais de réaliser avec des élèves de STT le site Internet du lycée français dans le cadre d’un projet. Désirant aller plus loin que la simple création de pages statiques, je repérais un langage informatique appelé Java, de chez Sun Microsystems, qui me permettait d’intégrer de véritables programmes interactifs dans les pages Internet ; ce langage assez confidentiel à l’époque me paraissait très prometteur, d’autant plus que les outils proposés par Sun étaient gratuits.

De retour en France en 1998, j’ai alors créé http://perso.wanadoo.fr/jpq/ en proposant d’abord les visualisations de fractales, un classique de la programmation, et les animations à partir d’équations différentielles en utilisant la méthode d’Euler, que j’avais développées à Barcelone.

La géométrie a été ensuite mon domaine de prédilection. J’étais en 1998 titulaire remplaçant et les créations d’animations se faisaient au grè des notions étudiées lors de mes remplacements.

Puis ce fut le tour des probabilités et de la statistique, pour lesquels j’avais déjà écrit des programmes en Fortran dans les années 80. C’est l’arrivée en force de ce domaine et des TICE dans les nouveaux programmes de lycée qui ont motivé ce choix.

En conclusion, j’ai simplement eu la chance de croire très vite à l’intérêt du langage Java, peut-être avant beaucoup de monde, et j’ai pu très rapidement proposer des outils exploitables par des enseignants, élèves ou étudiants. Ce langage n’est peut-être pas le plus performant mais il permet de créer des animations directement utilisables sur tout type de machine. Aucun délai entre la conception et l’utilisation.

Enfin je dirai que ces animations peuvent être de simples programmes pédagogiques, ou bien des outils comme la construction géométrique en ligne ou bien encore des programmes illustrant des thèmes divers (machine des frères Carissan par exemple) qui furent l’occasion de discussions et d’échanges avec d’autres collègues.

Qu’est ce qu’une applet ?

Ces animations et programmes interactifs sont appelés appliquettes ou applets. Ces applets, comme les images et photos, sont intégrées dans des pages Internet et sont téléchargées automatiquement à l’ouverture de la page. Après chargement, l’exécution de l’applet est lancée sur la machine de l’utilisateur, PC, Mac ou autre, à condition que son navigateur le permette. Bien que fonctionnant sur les postes des utilisateurs, les applets Java sont des logiciels considérés, à l’heure actuelle, comme suffisamment sûrs car « sévèrement encadrés » par les navigateurs.

A qui cela s’adresse ?

Beaucoup de thèmes abordés. Des notions ou des situations toutes accompagnées d’une animation mais sans recherche d’exhaustivité, ni ciblage de telle ou telle catégorie d’utilisateurs.

Ils peuvent donc servir d’outils pour des élèves et étudiants. Mais il n’y a pas de cours proposés, juste une explication mathématique sous-jacente, prête à être imprimée lorsque cela est nécessaire. Les écrans contenant les animations sont souvent volontairement très dépouillés.

Les professeurs peuvent aussi utiliser ces programmes ou les faire utiliser par les élèves dans le cadre de TD sans se préoccuper de l’achat d’un quelconque logiciel. On y trouve en effet des grapheurs, une calculatrice « grands entiers » pour les spécialistes de TS et un générateur de figures géométriques dynamiques.

Les créateurs de documents sur Internet n’ont pas été oubliés. Ils peuvent récupérer les applets et les intégrer dans des pages de leur fabrication (cours, TD en ligne …) ; ce n’est pas plus difficile que d’y intégrer des images fixes ou animées.

Enfin pour ceux qui s’intéressent à la programmation, je fournis les codes « source » de mes applets qui peuvent être alors modifiées ou enrichies à loisir. J’ai d’ailleurs beaucoup d’étudiants qui m’écrivent pour me demander des renseignements concernant les algorithmes utilisés en probabilités.

En conclusion, ce site s’adresse à plusieurs catégories de personnes, j’ai même prévu un parcours pour les non-scientifiques qui peuvent se balader dans les animations tout en évitant les formules mathématiques.

Que trouve-t-on ?

Des fractales et des simulations de mouvements à partir de la méthode d’Euler : cela correspond à mes premières programmations d’applets Java en 1996. Les simulations à partir d’équations différentielles que j’ai réalisées sont maintenant du niveau bac + 1 ou bac + 2 et peuvent être utilisées aussi bien par les matheux que par les physiciens ; tout est paramétrable et le réalisme des mouvements montre la puissance d’une telle approche. La méthode utilisée (Euler) n’est pas la plus performante mais c’est la plus simple à comprendre pour ceux qui voudraient analyser le programme source.

Le langage Java est comme tous les autres langages modernes orientés « objets ». Un programme en Java est un peu plus que l’application d’algorithme avec un début et une fin et une liste d’instructions qui devra être exécutée en un temps fini. En simplifiant à l’extrême, je dirais que cela consiste à définir dans un premier temps des objets informatiques (nombres, tableaux ou matrices de nombres, droites, cercles, figures géométriques …) puis à définir les actions sur ces objets.
La géométrie se prête bien à ce type d’approche. J’ai créé les « objets » point, droite, cercle, vecteur, … puis défini l’affichage de ces objets à l’écran ainsi que les positions relatives de ces objets. Rien que l’affichage d’une droite dans une « fenêtre » n’est pas simple car Java, comme tous les autres langages ne connaît que les segments, il y avait donc tout un travail de programmation à faire pour ne dessiner que ce qui est nécessaire. Cela a finalement donné un « package » que j’ai appelé « geo » et que tout programmeur peut utiliser. La conception d’animations à base de géométrie et de graphique se trouve, de fait, grandement simplifiée.

Puis j’ai eu envie d’aller plus loin et de proposer un générateur de figures animées en ligne « Gava ».

Enfin, les probabilités-statistiques : utiliser la fonction « random » pour générer des nombres au hasard dans l’intervalle [0 ; 1] c’est maintenant connu et moyennant quelques lignes de programmation sur calculette on peut simuler des situations diverses. Mais dès que l’on veut visualiser les résultats, faire des histogrammes alors il vaut mieux passer à l’ordinateur qui apporte un confort sans égal. Que reste-t-il comme outils sur ces derniers ? Les tableurs et la programmation. J’ai privilégié cette dernière approche. Certes, il est nécessaire que les élèves et enseignants réalisent au moins une fois une simulation correspondante à une situation donnée mais il est aussi important d’avoir à d’autres moments des outils tout faits, quitte ensuite à récupérer les données générées dans un tableur par un copier/coller.

Comme pour les autres animations, les codes des programmes sont fournis, cela permet à loisir de contrôler la validité des données générées relativement au problème posé et de récupérer les algorithmes. J’ai d’ailleurs beaucoup de courrier à ce propos émanant d’étudiants en proba-stat.

Les nouveautés

Les arbres et la loi binomiale. Outil pédagogique pour la classe de 1re. Cette animation permet d’introduire la loi binomiale. Il permet d’expliquer la formule $p^k(1-p)^{n-k}$ et les coefficients binomiaux par « repliement » de l’arbre.

J’ai quitté un temps l’environnement Java pour Qt et le langage C++. C’est un environnement graphique (des téléphones Nokia !) qui existe aussi sur beaucoup de plateformes et qui permet, moyennant des re-compilations, de créer des imagiciels sur beaucoup de machines. J’ai mis en place une bibliothèque d’objets géométriques, c’était l’objet de mon projet de cet été dans le cadre d’une formation à l’ISN.

Justement je vais certainement enseigner l’ISN l’an prochain, ce qui implique beaucoup de programmes et exemples pour la terminale S.

Approche de la loi binomiale

Promenade sur un quadrillage

Une fourmi se déplace sur un quadrillage
mais uniquement dans le sens des deux
flèches $\vec u$ et $\vec v$. Ainsi elle peut aller du point
I au point J ou du point G au point M mais pas de B vers A ni de N vers H.
Le but de cette activité est de trouver le nombre de chemins possibles reliant le point O à un point donné de la grille.
a) Par combien de chemins peut-on aller de O à C ? à L ? à G ? à I ? à N ?
b) Compter le nombre de chemins permettant d’aller de O à H, de O à C puis de O à I. Même question avec S, M et T. Même question avec M, H et N. En déduire une méthode pour déterminer le nombre de chemins différents permettant d’atteindre un point quelconque du quadrillage.
c) Indiquer à côté de chaque point du quadrillage le nombre de chemins permettant d’atteindre ce point.

Le but de cette activité est de sensibiliser l’élève aux coefficients binomiaux qui peuvent se calculer facilement à l’aide d’un triangle de Pascal.

Application : le triangle de Pascal

$ 1 1$

$ 1 2 1$

$ 1 3 3 1$

Exercice : compléter en inscrivant deux lignes supplémentaires.

La planche de Galton




Une planche de Galton est une planche verticale sur laquelle on a disposé des clous en quinconce. Plusieurs billes sont jetées au dessus du clou A et tombe avec une probabilité de $\frac{1}{2}$ sur le clou B ou le clou C. La bille étant au dessus de B elle aura de même une chance sur 2 de tomber sur D et une chance sur 2 de tomber sur E. À chaque étage elle tombera soit à gauche soit à droite d’un clou avec la probabilité$\frac{1}{2}$ jusqu’à atteindre les bacs situés en dessous des clous G, H, I, J.
a) Quelle est la probabilité pour qu’une bille partant de A arrive sur les clous D, E, F ?
Remarque : pour arriver sur E elle doit passer par B ou par C.
b) Quelle est la probabilité pour qu’une bille partant de A arrive sur les clous G, H, I, J ?
c) Déterminer enfin les probabilités d’arriver dans les différents bacs.




C’est une première approche de la loi binomiale.

Voir http://jpq.pagesperso-orange.fr/pro... pour une simulation du fonctionnement de la planche de Galton.

Étude d’un exemple







On lance trois fois un dé symétrique et on s’intéresse au nombre de côtés 6 obtenus.
On note X la variable aléatoire qui donne ce nombre.

1. Compléter l’arbre ci-contre.
2. Compléter :
P (X = 3) = $\left(\frac{1}{6}\right)^3$
P (X = 2) =
P (X = 1) =
P (X = 0) =

3. Calculer E (X) et V (X)







La loi binomiale

Si X suit une loi binomiale de paramètres n et p alors l’ensemble des valeurs prises par X est 0, 1, 2 . . . n et pour tout entier k appartenant à 0, 1, 2 . . .n,

<object
width="700" height="700">


alt : arbre.jar


Retrouver cette représentation sur http://jpq.pagesperso-orange.fr/pro....

On peut remarquer que pour arriver à une feuille n°k (k = 0 à 3) il faut parcourir k fois une arête montante et 3− k fois une arête descendante. Ainsi la probabilité d’arriver à la feuille n°k est $p^k(1-p)^{n-k}$ avec n=3. On peut justifier de la présence de p et 1− p
sur chaque branche par le fait que les expériences sont identiques et indépendantes.
On replie l’arbre en poussant le curseur à droite, on obtient les mêmes probabilités que précédemment mais comme l’arbre a été replié il faut tenir compte du nombre de chemins arrivant à chaque feuille. Ce nombre de chemins est le coefficient binomial noté n qu’on obtient à partir d’un triangle de Pascal.


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