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Les instruments de calcul anciens : de l’abaque à jetons aux réglettes de Genaille
Histoire, séances et ressources pour la classe
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Mis en ligne le 24 juin 2016, par Alain Busser, Nathalie Daval

Auteur(e)s : Alain Busser, Nathalie Daval, IREM de la Réunion

Cet article peut être librement diffusé à l’identique dans la limite d’une utilisation non commerciale suivant la licence CC-by-nc-nd

De tout temps, l’homme a cherché à produire et utiliser des algorithmes « simples » et efficaces facilitant les calculs. Cet article présente brièvement le contexte historique des instruments à calculer [1] que nous avons testés en classe (abaques et bâtons à multiplier), et propose des pistes d’utilisation en classe. Les activités proposées ont été testées en collège, lycée, supérieur et également pour des animations type « La fête de la Science » ou « La semaine des mathématiques ». Les ressources que nous proposons ici sont de différents types :

  • Tutoriels vidéo pour réaliser des calculs avec ces instruments, à destination d’enseignants, mais aussi des élèves ;
  • Fiches d’exercices (papier/crayon) ;
  • Logiciel en ligne (sur le site de l’IREM de La Réunion) et logiciel pour TNI (tableau numérique interactif, ici avec Open-Sankoré) pour des manipulations virtuelles.

Pour les séances testées en classe, nous avons utilisé le « Kit Calculus » (élaboré par Michel Mouyssinat) qui regroupe les instruments anciens de calcul que sont : l’abaque à jetons, les bâtons de Néper et les réglettes de Genaille. Nous proposons ici des fiches pour fabriquer ce matériel ainsi que des logiciels pour compléter par des manipulations virtuelles.

Dans une première partie, nous donnons une approche historique de l’évolution des abaques à jetons ainsi que des pistes pour leur utilisation en classe. En effet, les différents abaques historiques ont permis de faire progresser les techniques opératoires jusqu’à ce que les algoristes prennent le dessus avec des procédés plus simples et plus rapides… Mais, un retour à ces abaques dans les classes ne pourrait-il pas permettre une meilleure approche et compréhension de nos algorithmes actuels ? Dans une seconde partie, nous expliquons comment des « bâtons » (de Neper et de Genaille-Lucas) permettent d’aider à effectuer de manière efficace des multiplications.

I/ Les abaques à jetons [2]

Abaques

Nous présentons dans l’onglet suivant quelques aspects historiques des abaques à jetons. Les principes d’utilisation de ces abaques sont développés dans les autres onglets, en lien avec les expériences menées en classe.

Sur l’historique de ces outils, voir dans ce même numéro un historique plus détaillé par Dominique Tournès.

Pour ce numéro spécial, ont été programmés trois sortes d’abaques à jetons, en html5. On peut les télécharger en cliquant sur les images ci-dessous, et les modifier à l’aide d’un éditeur pour que certains jetons soient présents dès l’ouverture du fichier si on le souhaite. Les trois copies d’écran montrent la représentation du nombre 26, éventuellement sous la forme 14+12 :

Abaque simple, avec magnétisme sur les jetons (qui se placent automatiquement dans la case) :

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abaque romain simple
abaque en html5 pour poser des nombres entiers

Abaque à deux lignes, permettant de poser les jetons au choix en haut ou en bas, afin de poser un calcul avant de l’effectuer :

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abaque romain à deux lignes
Cet abaque permet de poser l’addition avant de l’effectuer (en faisant passer les jetons de la seconde ligne vers la première et en procédant à des échanges)

Abaque à verticales magnétiques, permettant de représenter les nombres de façon plus économique (un seul jeton, sur la verticale entre les dizaines et les unités, représente une quinaire) :

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abaque romain avec quinaires
si un jeton est à cheval entre deux cases on convient que sa valeur est quintuplée (5, 50, 500 etc) ; sa couleur change pour marquer cette multiplication par 5

Historique

Les abaques grecs et romains : des objets historiques

Les Grecs et les Romains utilisaient un système de numération non adapté aux calculs car non positionnel. C’est pourquoi les comptables antiques utilisaient des abaques à la place de leurs chiffres. L’un des plus célèbres abaques grecs de l’époque est sans doute la table de Salamine, trouvée en 1 846 sur l’île de Salamine. Il s’agit d’une plaque de marbre blanc de 149 cm de longueur, 75 cm de largeur et 4,5 cm d’épaisseur. On y voit de part et d’autre une série de cinq lignes parallèles, puis onze lignes parallèles coupées en deux par une droite perpendiculaire.
Trois séries de signes numériques grecs sont également présents. Des jetons ou des cailloux étaient disposés sur cet abaque afin de procéder aux calculs.

Table de Salamine

Chez les Romains, l’abaque à jetons était souvent plus massif : il s’agissait d’une table sur laquelle des divisions en lignes parallèles séparaient les différents ordres d’unités de la numération latine.

Table romaine

Cet abaque est constitué d’un tableau (une colonne par puissance de 10) et de jetons, ici en ivoire, à placer dans le tableau. En cliquant sur la copie d’écran ci-dessous, on peut ouvrir un tel abaque dans le navigateur et jouer avec. Voici comment on pose l’addition 43 + 25 avec cet abaque :

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Pour savoir combien vaut 43 + 25, il suffit de compter les jetons dans chaque colonne, et en ayant compté, on trouve que la somme vaut 68. Ce sont les 8 jetons qu’il est difficile de compter sans erreur.

Pour y remédier, on peut utiliser le trait séparant les colonnes pour coder des quinaires : par exemple, au lieu de placer 5 jetons dans la colonne des unités, on n’en place qu’un seul entre les colonnes des dizaines et des unités. 43 + 25 se code alors comme ceci :

Pour effectuer l’addition, on peut être amené à procéder à des échanges de quinaires : Ici, comme il y a 6 jetons dans la colonne des dizaines, on peut en retirer 5 et les remplacer par un jeton placé entre les colonnes des centaines et des dizaines (il représente alors 50) :

On lit alors la somme 50 + 10 + 5 + 3 = 68.

Nous proposons une version de l’abaque romain allégé, sans les quinaires, manipulable en ligne sur le site de l’IREM de La Réunion ou ci-dessous, et que nous détaillons dans l’onglet suivant. Les jetons sont disposés en constellations pour plus de facilité de manipulation, mais en réalité, chaque jeton représentait une unité. Sont représentées les colonnes des unités, dizaines, centaines, milliers, dizaines de mille et centaines de mille. À droite on dispose de groupements de jetons représentant des nombres que l’on peut placer directement sur l’abaque, en fonction de leur position.

Prenons l’exemple : additionner 23 et 45. La procédure sur l’abaque romain est d’inscrire 23 puis ajouter 45 , c’est-à-dire :

  • amener un total de 2 jetons dans la colonne des dizaines (deux jetons isolés ou un paquet de 2 jetons) ;
  • amener de même un total de 3 jetons (d’un coup ou 2+1 ou 1+1+1) dans la colonne des unités ;
  • amener de même 4 jetons de plus dans la colonne des dizaines, et 5 jetons de plus dans la colonne des unités ;
  • compter les jetons dans la colonne des dizaines : Le chiffre des dizaines de la somme est 6 ;
  • compter les jetons dans la colonne des unités : Le chiffre des unités est 8 donc la somme est 23 + 45 = 68.

Gerbert

De l’abaque romain à l’abaque de Gerbert

Attardons-nous à présent sur un personnage important du moyen-âge ayant contribué à l’essor de notre numération et des abaques à jeton : le pape Sylvestre II dit Gerbert d’Aurillac. Celui-ci utilisait un abaque appelé « abaque de Gerbert » : une évolution de l’abaque romain dont les jetons étaient numérotés avec des chiffres arabes.
Avant de nous intéresser au calcul avec l’abaque de Gerbert (avec des jetons numérotés), nous proposons une réflexion sur l’utilisation de l’abaque romain avec des jetons disposés en constellations. Cette approche, apparemment inédite, aurait pu être celle de Gerbert. Dans un premier temps, comme il est fastidieux de déplacer un à un les jetons de l’abaque romain, on les a regroupés en constellations qui accélèrent leur placement sur l’abaque :

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On constate à l’usage que, tant sur ordinateur que sur support tactile, on pose et effectue les opérations bien plus vite qu’avec l’ancienne version de l’abaque. Et on dispose d’une certaine liberté sur la manière de placer les jetons ; par exemple au lieu du groupement de 4, on peut utiliser deux groupements de 2, et au lieu du groupement de 5, on peut assembler un groupement de 2 et un groupement de 3 :

Ou bien (ligne du haut), on peut ajouter un jeton à un groupement de 3 (respectivement 2) jetons pour avoir 43 :

Si on a opté pour la première version (une seule constellation par chiffre), il suffit de déplacer les 2 vers le haut et les 5 vers le haut aussi (sans les changer de colonne) pour faciliter le comptage :

On peut bien entendu là aussi échanger des quinaires, mais, comme déjà précisé, on souhaite ici suivre un autre chemin : l’étape suivante, c’est de reprendre les gros jetons en ivoire de l’abaque romain, et de dessiner dessus les constellations [3] :

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Mais cette fois-ci, les jetons sont opaques et il n’est plus possible de les superposer pour faciliter le comptage. On doit donc

  • enlever les deux jetons de la colonne des dizaines puis les remplacer par un jeton portant 6 points (parce que c’était le nombre total de points dans la colonne) ;
  • enlever les deux jetons de la colonne des unités après avoir compté les 8 points qu’ils portent en tout, puis remplacer ces deux jetons par un jeton à 8 points :

La subitisation ne permettant pas de connaître rapidement le nombre de points marqués sur un jeton, ces points ont été disposés en carré ou en triangle pour transformer le comptage en reconnaissance de forme (les joueurs de dés reconnaissent immédiatement le 6 des dizaines, on s’habitue vite au 8 aussi) : Ces constellations immédiatement reconnaissables ne sont rien d’autre que des chiffres [4].

Les chiffres utilisés par Gerbert étaient, on le sait, arabo-andalous. Le fait de les avoir fait graver sur l’ivoire, et que les jetons aient été circulaires, a probablement contribué à leur orientation européenne, les élèves de Gerbert ayant eu largement l’occasion de choisir la rotation qui leur convenait le plus. Ainsi, alors que le 1 et le 9 de l’alphabet arabe ressemblent beaucoup à ceux des alphabets européens, il n’en est pas de même pour les autres chiffres. Mais voici les chiffres 2, 3 et 6 en arabe (en bleu), puis les mêmes après rotation (de 90° pour les deux premiers, de 180° pour le troisième), en rouge, et enfin les chiffres européens pour comparaison. Ressemblant non ?

Maintenant qu’on a vu comment on pouvait passer de l’abaque romain avec constellations de jetons dessinées sur des jetons, à l’abaque de Gerbert avec chiffres arabes, nous allons encore une fois proposer une autre route, à considérer comme un détour pour les promeneurs qui ont le temps. Tout d’abord, puisque les constellations ressemblent aux faces d’un dé, on peut les dessiner sur des cartes :

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Ensuite comme il reste un peu de place, on peut ajouter à côté de chaque carte, un chiffre mnémotechnique :

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Enfin on peut envisager d’enlever les constellations et ne garder que les glyphes, ici comme Gerbert, on les marque non sur des cartes mais sur des jetons :

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Des dessins animés se trouvant dans cet article montrent comment on peut effectuer une addition, une soustraction et une multiplication avec l’abaque de Gerbert. Bien que la division soit nettement plus difficile, Gerbert l’enseignait aussi sur son abaque.

Gerbert n’avait pas de jeton portant le chiffre 0 : Il codait 0 par l’absence de jeton. On peut constater alors qu’en numération binaire, l’abaque romain peut être utilisé comme abaque de Gerbert : un jeton pour représenter un 1, pas de jeton pour représenter un 0. L’idée semble moderne, elle ne l’est pas tant que ça puisqu’Edouard Lucas (dont on reparlera dans cet article) a montré la primalité de 170 141 183 460 469 231 731 687 303 715 884 105 727 par des multiplications binaires effectuées par des déplacements de jetons sur un tableau qu’il appelait "échiquier" (l’algorithme utilisé était le test de primalité de Lucas-Lehmer pour les nombres de Mersenne). Par la suite, il s’est attaché à refaire ce genre de calcul avec un arithmomètre faisant partie de la collection de son ami Henri Genaille (lui aussi, voir plus bas)

Légendes

Des légendes à propos de Gerbert

Dans ce paragraphe, nous parlons de quelques légendes qui sont racontées à propos de Gerbert d’Aurillac… au lecteur de se faire une opinion !

Une légende du moyen-âge disait qu’à chaque fois qu’un pape allait mourir, le cercueil de son prédécesseur [Sylvestre II] se mettait à couler, et qu’il en sortait de l’eau. Sylvestre II avait en effet, pendant son règne, été accusé régulièrement d’avoir pactisé avec le diable. Une autre légende disait que Sylvestre II avait, grâce à des connaissances scientifiques très en avance sur son époque, fabriqué une tête qui répondait par "oui" ou "non" à chaque question qu’il lui posait. Il lui avait d’emblée demandé "vais-je être pape un jour ? [5]" et la tête avait répondu "oui". Alors qu’il était pape, il a demandé à la tête s’il mourrait avant de faire une messe à Jérusalem, et la tête ayant répondu "non", il s’était disait-on persuadé qu’il serait immortel à condition de ne jamais aller à Jérusalem. Mais il ignorait que l’église de Sainte-Marie de Jérusalem en laquelle il a prononcé une messe, était couramment appelée "Jérusalem". Il tomba alors malade et demanda qu’après sa mort, son corps qu’il disait appartenir au diable soit éparpillé et que seule son âme reste à Dieu. De là à dire qu’il avait pactisé avec le diable, on a pu confondre humilité et compromission...

Son pacte avec le diable, dessiné ici, voici comment il est censé s’être déroulé :

Un jour, Gerbert d’Aurillac se trouvait à Séville en Espagne, rencontra un sorcier arabe qui disait tout savoir sur tout, grâce à un grimoire magique résumant ses connaissances. Gerbert, qui était d’un naturel très curieux, s’est mis à convoiter ce grimoire, et a profité de la première occasion qui s’est présentée pour partir en courant avec ce grimoire caché sur lui. Dans sa fuite, il s’est caché sous un pont, suspendu au-dessus de l’eau, et effectivement le sorcier ne l’a pas trouvé. Mais le temps s’étant dégradé, Gerbert a eu peur de finir noyé et promet de rendre hommage au diable si celui-ci le tire de ce mauvais pas. Il se retrouve alors instantanément téléporté sur les rives de France et demande au diable s’il réussira dans la vie. La réponse énigmatique du diable fut « tu passeras de R en R ; puis, pape, tu mourras en R ». Effectivement, Gerbert vécut à Reims puis à Ravenne, et mourut en tant que Sylvestre II, à Rome. Mais même le séjour de Gerbert à Séville est très probablement légendaire. Voici son histoire :

Un jour, Borrell, Comte de Barcelone, lors d’un long voyage, demanda pour la nuit, l’hospitalité à l’Abbaye Saint-Gérault d’Aurillac. Là il rencontra un moine, Gerbert, dont l’ampleur des connaissances scientifiques l’impressionna tant qu’il l’invita à aller visiter avec lui les marches d’Espagne et d’Italie. Il est probable que là (et pas à Séville), Gerbert ait pu consulter des manuscrits arabes, et y ait découvert, avec deux siècles d’avance sur Fibonacci, les chiffres arabes. Par la suite, il a vécu à Reims (où il enseignait en l’école cathédrale qui était un peu l’équivalent d’une université) où, ayant soutenu Hugues Capet contre les carolingiens, il devient archevêque puis cardinal, et ses activités politiques font finalement de lui le symbole d’un schisme en gestation ; aussi pour faire régner la paix, l’empereur Otton III appuie sa candidature pour devenir pape. Il n’en a pas moins réalisé des études scientifiques de haute volée, comme la fabrication de nocturnabes et l’abaque qui porte son nom, dont l’idée plutôt simple consiste juste à écrire des chiffres sur l’abaque romain pour faciliter son usage.

Voici la description que Leibniz [6] donnait en 1704, de Gerbert :

Calculus

L’abaque romain dans les classes

Pour ces expérimentations, nous avons utilisé des « kits calculus » pour manipuler les instruments de calcul. Ce kit comprend pour la partie « abaque à jetons » un abaque de type romain (ou grec). Ces manipulations réelles ont été complétées par des manipulations virtuelles avec un TNI.
Dans cette partie, nous présentons des activités sur l’abaque à jetons pour inscrire des nombres et effectuer des calculs. La partie « abaque à jetons » est constituée d’une page au format A4 et de 30 jetons (ceux-ci peuvent tout à fait être remplacés par des boutons, des pois du cap…). Il reprend en partie la forme des abaques grecs et romains de manière simplifiée. Les lignes horizontales représentent les différents ordres : unités, dizaines, centaines, milliers, dizaines de milliers. La ligne verticale permet de délimiter deux zones dans lesquelles on pourra représenter deux nombres différents. Pour représenter un nombre, il suffit de placer, pour chaque ordre, autant de jetons que la valeur du chiffre. Pour réduire le nombre de jetons à manipuler, cinq jetons sur une ligne sont remplacés par un seul positionné entre cette ligne et la ligne immédiatement au dessus.
Un exemple de représentation des nombres 10 259 et 7 031 sur l’abaque à jetons est proposé ci-dessous selon le principe suivant : sur les « tiges », les nombres valent un (dans le rang considéré) alors que, entre les tiges, les nombres valent 5 (dans le rang considéré). Les jetons qui valent 5 s’appellent des quinaires. L’abaque ci-dessous permet d’inscrire des nombres jusqu’à la dizaine de milliers.

Voici un tutoriel (pour les élèves, les enseignants, les parents…) expliquant comment représenter un nombre sur un tel abaque à jetons.

Lors d’un TD d’histoire des sciences à destination d’étudiants de licence, les apprentis abacistes [7] s’adonnent aux joies du calcul instrumenté, loin des calculatrices actuelles !

Des compléments à utiliser en classe sont disponibles au téléchargement :

  • un support à projeter au tableau, grâce au logiciel de TNI libre et gratuit Open-Sankoré ou Open-board [8] permettant de manipuler les jetons à l’aide de la souris ou d’une tablette graphique ;
L'abaque projeté
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  • des fiches vierges à imprimer représentant des abaques à jetons sous plusieurs formes : simple ou double côtés, avec ou sans matrices représentant les jetons.
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Simple repéré
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Simple
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Double repéré
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Double
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Exemples d’utilisation

Mais l’abaque à jetons permet également d’effectuer des calculs.
Par exemple, effectuons la somme de 10 259 et de 7 031 :

  • on pose d’abord côte à côte les deux nombres, sur chacune des deux zones (figure 1) ;
  • on déplace les jetons de la colonne de droite vers la colonne de gauche, ou inversement (figure 2) ;
  • on procède à des échanges : sur la ligne des unités, cinq jetons sont remplacés par un jeton quinaire entre la ligne des unités et la ligne des dizaines (figure 3). Puis, les deux jetons quinaires sont remplacés par un jeton de l’ordre supérieur des dizaines (figure 4) ;
  • enfin, on « lit » le nombre obtenu : 10 259 + 7 031 = 17 290 :
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figure 1
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figure 2
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figure 3
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figure 4

Des expérimentations d’utilisation de l’abaque à jetons en classe ont été menées par des professeurs des écoles stagiaires durant l’année 2014/2015, leur compte-rendu est disponible dans cet article.

Autre exemple d’utilisation, dans le cadre de la fête de la science où un atelier "Calcul avec des instruments anciens" avait été mis en place : l’objectif était de faire découvrir aux enfants (et aux adultes) le principe de l’abaque à jetons et, en fonction de leur âge, leur motivation, leur compréhension, de commencer à aborder les premières opérations.

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II/ La science des bâtons

Nous nous intéressons maintenant aux bâtons pour faire des multiplications ainsi qu’à nos expériences en classe.

Rabdologie

Deux siècles après l’invention par Gerbert, de son abaque à chiffres, le marchant pisan Guglielmo Bonaccio est parti s’installer à Béjaïa avec sa famille. Là, son fils Leonardo découvrit à son tour les chiffres arabes et la numération de position. Mais contrairement à Gerbert, il disposait d’une quantité suffisante de papier pour laisser tomber les abaques en tout genre et effectuer les multiplications sur le papier (comme on le fait aujourd’hui). C’est dans son liber abaci qu’il fit connaître à toute l’Europe la numération décimale et les algorithmes de multiplication que l’on connaît aujourd’hui. On y trouve notamment la technique de la multiplication par jalousies. L’idée de modéliser les colonnes du tableau que l’on obtient par cette technique revient au baron John Napier qui les avait fait réaliser en ivoire et que l’on appelle donc Napier’s bones en anglais. En français on parle plutôt de bâtons de Napier.

Gelosia

De la multiplication par tableaux à la rabdologie

La multiplication per gelosia est une technique opératoire provenant de la civilisation indienne au 12e siècle. Introduite en Europe par le mathématicien italien Léonard de Pise, plus connu sous le nom de Fibonacci, elle fut très utilisée jusqu’au 15e siècle.
Le nom fait allusion à la pièce en bois qui, en Italie, équipait certaines « fenêtres à jalousie » chez les maris jaloux : la femme pouvait regarder ce qui se passait dans la rue sans être vue des autres hommes.

Cette méthode permet de multiplier deux nombres quelconques, entiers ou décimaux, écrits dans une base ou un produit n’a jamais plus de deux chiffres. Elle nécessite la connaissance des tables de multiplication, comme notre technique usuelle.

Elle utilise l’algorithme suivant : soient x et y deux nombres à multiplier et n et m leurs nombres de chiffres respectifs.

  • On commence par dessiner un tableau rectangulaire de n par m cases carrées ainsi que les diagonales montantes des cases de ce tableau ;
  • on inscrit les deux facteurs à l’extérieur du tableau. Si le facteur horizontal est écrit de la gauche vers la droite, alors le facteur vertical est écrit de haut en bas. Si le facteur horizontal est écrit de la droite vers la gauche, alors le facteur vertical est écrit de bas en haut ;
  • on inscrit tous les produits dans les cases correspondantes, le chiffre des dizaines étant écrit dans le triangle du haut et le chiffre des unités dans celui du bas ;
  • on calcule les sommes à l’intérieur de chaque bande diagonale puis on lit le résultat dans le même sens qu’a été écrit le facteur horizontal.

Exemple - le calcul de 7 35 x 42 donne :

La multiplication par gelosia, est une technique de multiplication qui ne vise pas à remplacer la technique experte actuelle, mais elle présente un intérêt pédagogique à être utilisée en classe : elle permet une approche différente de la multiplication, de manière ludique ; elle est plus simple à mettre en œuvre puisqu’il s’agit de remplir un tableau en s’affranchissant de la gestion classique des décalages et des retenues de multiplication… Elle présente tout de même quelques défauts : elle est plus compliquée à « dessiner », que ce soit pour l’impression (à l’époque des débuts de l’imprimerie) ou pour sa construction à la main ; elle demande la compréhension du système des retenues et, enfin, la connaissance des tables de multiplication est indispensable.
Afin de limiter le temps nécessaire à l’élaboration des quadrillages, vous trouverez ci-dessous des quadrillages vierges à télécharger, de tailles variables.

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Grilles vierges

Bâtons

Les bâtons de Neper

Le mathématicien écossais John Napier inventa en 1617 un abaque facilitant le calcul des produits, quotients, puissances et racines, qui est connu en français sous le nom de bâtons de Napier, ou réglettes de Neper. Son nom anglais est Napier’s bones en raison de la matière originelle de l’instrument : l’os. Il décrit sa nouvelle invention dans son ouvrage Rabdologiae.
L’abaque est constitué d’un plateau sur lequel peuvent être placés des bâtonnets gravés. Le bâton le plus à gauche constitue l’index, il est divisé en neuf cases numérotées de 1 à 9. Les autres bâtons sont divisés en une case supérieure qui porte un nombre entre 0 et 9 et de neuf cases qui correspondent aux résultats de la table de multiplication par le nombre de la case supérieure.
Ce sont des réglettes en forme de pavé droit comportant quatre « faces » avec chacune une table de multiplication différente. Cela permet de multiplier le nombre de possibilités de former les nombres du multiplicande.

Ces bâtons permettent d’effectuer des multiplications, des divisions et des extractions de racines carrées. Une représentation des bâtons de Néper est disponible dans le kit calculus sous forme d’une page A4 accompagnée de 21 bâtons (deux séries numérotées de 0 à 9) et d’un index. Les bâtons se placent dans des encoches. Pour effectuer un calcul, on juxtapose les réglettes dans l’ordre des chiffres du multiplicande en face de la réglette « index » fixe de gauche. Le résultat se calcule en additionnant les nombres en diagonale. Voici un tutoriel d’utilisation expliquant comment effectuer la multiplication d’un nombre par un nombre à un chiffre.

Il est également possible d’utiliser un support à projeter au tableau, grâce au logiciel de TNI libre et gratuit Open-Sankoré ou Open-board permettant de manipuler les bâtons à l’aide d’un TNI, de la souris ou d’une tablette graphique.

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Exemple de calcul : 5853 x 7.

On juxtapose les réglettes dans l’ordre des chiffres du multiplicande en face de la réglette « index » fixe de gauche.
Le résultat se calcule en additionnant les nombres obtenus dans le cadre violet en diagonale.

Voici ci-dessous une application en ligne permettant de manipuler lesdits bâtons de manière virtuelle.

En classe

Les bâtons de Néper dans les classes

On pourra trouver des bâtons de Néper « prêts à l’emploi » à découper dans un document de Caroline Poisard,

La fête de la science est un moment tout à fait opportun pour faire découvrir des techniques différentes ou anciennes : la fiche suivante fait découvrir le principe de la multiplication per gelosia, de manière progressive, en utilisant les bâtons de Neper.

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Si l’utilisation des bâtons de Neper peut se faire à l’école élémentaire, ils peuvent également être l’occasion d’une activité en groupes avec une classe de terminale en relation avec l’introduction du logarithme népérien. Auparavant, on pourra demander aux élèves d’effectuer une petite recherche sur Neper, et notamment de ses inventions en terme d’outils de calcul.

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Malgré tout, la calculatrice reste présente, comme outil de vérification !

Lucas

Édouard Luca

Une partie de la collection de machines à calculer du musée des Arts et Métiers provient de la collection personnelle d’Édouard Lucas, qui décrit, dans le tome 2 de ses récréations mathématiques, certaines pièces de cette collection. Son intérêt pour l’arithmomètre l’a notamment conduit à se lier d’amitié avec d’autres collectionneurs comme

  • Pafnouti Tchebychev, lui-même auteur d’une machine que Lucas décrit brièvement dans les récréations mathématiques ;
  • Maurice d’Ocagne, promoteur des nomogrammes ;
  • et Henri Genaille, avec qui Lucas a trouvé un moyen de se servir de l’arithmomètre pour tester la primalité de nombres de Mersenne, et avec qui Lucas a initié puis perfectionné les réglettes décrites dans l’onglet suivant.

Voici la manière dont Maurice d’Ocagne décrivait Lucas dans le Figaro du 22 novembre 1931 :

Contrairement à d’Ocagne, et à l’instar des anglosaxons, Lucas utilisait le mot « abaque » pour désigner les bouliers ; il est aussi l’auteur de "bouliers" originaux, obtenus en détournant de sa fonction un jeu de dames :

  • Un boulier décimal :
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L’abaque de Lucas ; ici est représenté le nombre 369 258 147
  • et la version binaire, avec la description de l’empereur qui a inspiré Leibniz pour la numération binaire :
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abaque binaire d’Édouard Lucas, sur les deux dernières lignes d’un damier

Genaille

La multiplication sans calcul : les réglettes de Genaille-Lucas

Ces réglettes sont issues d’une proposition théorique du mathématicien Édouard Lucas que l’ingénieur de l’armement Henri Genaille parvint à mettre en œuvre en 1885.
Voilà ce que disait Édouard Lucas dans ses « récréations mathématiques » :

La manoeuvre de ces réglettes est aussi facile que celle qui consiste à suivre un chemin à travers un labyrinthe, au moyen de mains indicatrices dessinées sur des poteaux placés aux carrefours ; c’est dire que l’on apprend à se servir de ces réglettes en une minute au plus.

La version complète

C’est un intéressant exemple de "tâche complexe" au collège :

En effet, les réglettes de Genaille-Lucas permettent de calculer une multiplication dont l’un des facteurs est constitué d’un seul chiffre, par simple lecture. 
Voici un tutoriel d’utilisation expliquant comment effectuer la multiplication d’un nombre par un nombre à un chiffre grâce aux réglettes.

La partie du Kit Calculus est constituée d’une page format A4 comportant des encoches et de 21 « réglettes » : un index et deux séries de dix réglettes numérotées de 0 à 9.
On peut également projeter les réglettes et les manipuler sur un TBI ou à la souris grâce au fichier suivant :

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On pourra trouver des réglettes de Genaille-Lucas « prêtes à l’emploi » dans un document de Caroline Poisard, là :

Ci-dessous un étudiant, « suivant le chemin » menant au résultat.

Conclusion.

Comme nous l’avons présenté ici, les outils historiques, et notamment les abaques et les bâtons permettent des utilisations multiples en classe, de l’école élémentaire à l’université. Ils permettent notamment de créer du lien entre l’histoire des mathématiques et la construction de notre numération, par le biais de certains instruments de calculs anciens, et donnent du sens aux algorithmes utilisés lors des méthodes expertes des opérations (addition, soustraction, multiplication et division).

Références

  • André Allard : La révolution arithmétique du Moyen-Âge, dans La Recherche "hors série nombres", été 1999
  • Alain Schärlig : Le mystérieux abaque de Gerbert d’Aurillac, dans Pour La Science numéro 414, août 2012
  • Georges Ifrah : Histoire universelle des chiffres, Seghers 1981, tome 2
  • Georges Ifrah : Histoire universelle des chiffres, Robert Lafont 1994, tome 1
  • Alain Schärlig : Compter avec des jetons, Presses polytechniques et universitaires romandes 2003
  • Alain Schärlig : Un portrait de Gerbert d’Aurillac, Presses polytechniques et universitaires romandes 2011
  • Édouard Lucas : Récréations mathématiques, tome 3
  • Caroline Poisard : L’étude des bâtons à multiplier, sur Culturemaths, avec des réglettes de Genaille à découper
  • Godefroy-Guillaume Leibnitz : Explication de l’arithmétique binaire, qui se sert des seuls caractères O et I avec des remarques sur son utilité et sur ce qu’elle donne le sens des anciennes figures chinoises de Fohy, Académie des Sciences 1703, consultable ici
  • Edouard Lucas : Récréations mathématiques, tome III, Librairie scientifique et technique, Éditions A. Blanchard, Paris, 1960

notes

[1Pour plus de précisions historiques sur ces instruments, voir l’article de Dominique Tournès de ce numéro spécial de MathémaTICE

[2appelés "boutons" dans cet article du même numéro

[3L’idée vient de la contemplation de l’un des logiciels d’Alain Pauty.

[4Il ne semble pas y avoir de civilisation utilisant des points pour représenter des chiffres, si on excepte l’alphabet Braille. En général on leur préfère des traits (minoens, chinois, romains, ...).

[5Personnellement je lui aurais plutôt demandé "vas-tu répondre non ?" mais Gerbert n’en a apparemment pas eu le courage...

[6connu aussi pour avoir transformé la pascaline en une machine à multiplier

[7se dit des pratiquants des abaques, en opposition aux algoristes, adeptes des algorithmes de calcul

[8Open-Sankoré est disponible pour Windows, Linux ou Mac OSX jusqu’à la version 10.9. Pour Yosemite et El capitan, télécharger Open-Board

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